Este documento presenta 32 preguntas de geometría sobre áreas de regiones planas y geometría del espacio, incluyendo triángulos, cuadrados, circunferencias y sus combinaciones. También incluye preguntas sobre puntos, líneas y planos en el espacio tridimensional. Finalmente, presenta las claves de respuesta a cada pregunta.

1. Preguntas Propuestas
3

2. Geometría
. . .
2
Áreas de regiones planas I
1. Del gráfico, OM=4. Calcule el área de la región
sombreada.
O
MM
B
A
A) 8 B) 4 C) 6
D) 2 E) 5
2. Del gráfico, T es punto de tangencia, r=2 y
R=3, calcule el área de la región ATB.
T
B
R
A
r
A) 2 2 B) 3 2 C) 6
D) 6 2 E) 6 3
3. Tomando como diámetro al lado CD de un
cuadrado ABCD se dibuja interiormente una
semicircunferencia. Luego se traza AE tangen-
te a CD. Siendo AB=10, halle el área de la re-
gión que encierra el triángulo ABE.
A) 72 u2
B) 40 u2
C) 50 u2
D) 60 u2
E) 30 u2
4. En el gráfico BO=K, calcule el área de la re-
gión sombreada.
C
B
OA
15º
A) 4K2
B) 2 32
K C) 2K2
D) K2
3 E) K2
5. En los triángulos ABC y PCQ son equiláteros,
calcule el área de la región sombreada.
C
B
A
Q
a
PP
A)
a2
3
2
B)
a2
4
C)
3
4
2
a
D)
a2
3
4
E)
4
3
2
a
6. Se muestra una circunferencia inscrita en el
triángulo PQR. Si AB=, calcule el área de la
región triangular PQR.
r
BA
P
Q
R
A)
r
2
B)
r
3
C) r
D)
2r
3
E)
3r
2

3. Geometría
3
7. Del gráfico, G es el baricentro de la región ABC,
cuya área es A, calcule el área de la región
DGM.
D
CM
B
A
G
α
α
A)
A
5
B)
A
6
C)
A
8
D)
A
9
E)
A
12
8. Del gráfico, ABCD es un cuadrado, M, N y P son
puntos de tangencia, calcule la razón de áreas
de las regiones BCP y DNP.
A N
B C
D
M
P
A)
1
2
B) 1 C)
2
3
D)
2
2
E)
1
3
Áreas de regiones planas II
9. Del gráfico T es punto de tangencia, R=5,
BT=2(AB)=4, calcule el área de la región ABO.
A B
TR
O
A) 10 2 B) 8 2 C) 14
D) 16 E) 20
10. Si M y N son puntos de tangencia, R=12,
AM=16 y BN=9, calcule el área de la región
AMNB.
BA
M
RR
N
A) 150 B) 200 C) 222
D) 230 E) 250
11. Si ABCD es un cuadrado de perímetro 16, M es
punto medio de CD y m APM=90º, calcule el
área de la región APCM.
A) 6
B) 8
A
B C
D
M
P
C) 5
D) 10
E) 9

4. Geometría
. . .
4
12. Si ABC y DBE son triángulos equiláteros y
AD=2 cm, calcule el área de la región cua-
drangular cóncava AEDC.
E
D
C
B
A
DD
A) 1
B) 3
C) 2
D) 2 3
E) 3
13. Calcule el área de la región trapecial ABCD
(BC // AD) si AB=CD y AD=4.
30º30º
A D
CB
A) 6 3 B) 4 3 C) 3 3
D) 3 2 E)
3 3
2
14. La circunferencia inscrita en un trapecio isósce-
les ABCD, de bases AD y BC, es tangente a los
lados laterales AB y CD en M y N. Si AM=4 cm y
CN=1 cm, calcule el área de la región trapecial
ABCD.
A) 10 cm2
B) 12 cm2
C) 15 cm2
D) 20 cm2
E) 25 cm2
15. En el gráfico, PB=b. Calcule el área de la re-
gión cuadrada ABCD.
A B
D C
PP
A) 3 2
b B) 3b2
C)
3
3
2
b
D) b2
E) 2b2
16. Del gráfico, calcule razón de áreas de regiones
BTC y BDCT.
B C
A
T
D
A)
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
5
E)
2
3

5. Geometría
5
Áreas de regiones planas III y
Geometría del espacio I
17. Se muestra un semicírculo y un círculo inscrito
en el triángulo equilátero ABC, calcule la razón
de áreas de dichas regiones.
A)
1
2
B) 1
A C
B
C)
1
3
D)
2
3
E)
3
4
18. En el gráfico AB // CD, calcule el área de la re-
gión sombreada.
30º30º
A B
C
6
D
A) 3p B) 6p C) 8p
D) 10p E) 12p
19. Del gráfico, O es el centro del cuadrado ABCD,
AB=6. Calcule el área de la región sombreada.
(M y N son puntos de tangencia)
A) 3 3 − π
B) 2 3 3 −( )π
M
A D
B C
N
OO
C) 3 3 3 −( )π
D) 4 3 3 −( )π
E) 6 3 3 −( )π
20. Del gráfico, A y B son puntos de tangencia,
además el área de la región equilátera ABC es
27 3
4
, calcule el área de la región sombreada.
B
A
C
A) π +
3 3
2
B) 2
2 3
3
π + C) 3
9 3
4
π +
D) 6
9 3
2
π + E) 9
3
2
π +




21. Del gráfico, T es punto de tangencia. Calcule el
área de la región sombreada.
55
33
TT
100º
A)
10
3
≠
B)
20
3
≠
C)
40
9
≠
D)
60
13
≠
E)
80
9
≠
22. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F)
en las siguientes proposiciones.
I. Tres puntos siempre determinan un único
plano.
II. Si los extremos de un arco de circunferencia
pertenecen a un plano, entonces dicho arco
está contenido en el plano.
III. Si se tiene dos rectas alabeadas y un plano
contiene a una de ellas entonces la otra rec-
ta será secante a dicho plano.
A) VVF B) VVF C) FFF
D) FVF E) FFV

6. Geometría
. . .
6
23. Indique verdadero (V) o falso (F).
I. Todo plano determinado por dos rectas
paralelas a otro plano, es paralelo a dicho
plano.
II. Se tiene dos rectas alabeadas, entonces
todo plano que contiene a una de ellas es
secante a la otra.
III. Todo plano paralelo a una recta que está
contenida a otro plano, es paralelo a dicho
plano.
A) FFV B) FVF C) FVV
D) VFV E) FFF
24. Según el gráfico H // P la circunferen-
cia está incluida en el Q, A, B, C y D son
los puntos de intersección de la circunfe-
rencia con los planos paralelos. Calcule x si
m mATB CLD + = 200.
BB
xx
TT
AA
LL
DDCC
A) 40º B) 20º C) 30º
D) 50º E) 80º
Geometría del espacio II
25. En el gráfico PM es perpendicular al plano que
contienealtrapecioABCD, CM=MD=3;AM=4 3,
el ángulo que forma PD con la región trapecial
es 53º. Calcule el ángulo que forma PB con
dicha región.
MM
D
CB
P
A
A) 37º B) 53º C) 37º/2
D) 53º/2 E) 30º
26. En el gráfico, PD es perpendicular a la región
regular ABCD, BM=MC=PD. Calcule el ángulo
que forman AM CPy .
M C
P
B
A D
A) 30º B) 37º C) 45º
D) 53º E) arccos
2
5




27. En el gráfico, el ángulo que determina PC con la
región rectangular ABCD es 37º. Calcule el ángu-
lo entre PD y dicha región, si PB=6 y DC=4 5.
P
B
D
C
A
A) 37º/2 B) 53º/2 C) 37º
D) 53º E) 30º

7. Geometría
7
28. En el gráfico, OP es perpendicular al plano Q
que contiene a la circunferencia de centro O.
Si OP=R, (AO)(OB)=12 y T punto de tangencia,
calcule el área de la región APB. (R es el radio
de dicha circunferencia).
BB
TT
AA
OO
PP
A) 4 2 B) 8 2 C) 6 2
D) 8 E) 6
29. En el gráfico, mAB = 60º, AB=6. Calcule BP, si
PQ es perpendicular al plano que contiene a la
semicircunferencia.
QQ
BB
AA 53º/253º/2
P
A) 10
B) 8
C) 14
D) 16
E) 12
30. En un cuadrado ABCD de centro O se traza OP
perpendicular al plano que contiene a dicho
cuadrado. Si PB=4 y OA=2, calcule el área de
la región APD.
A) 2 3 B) 6 3 C) 8 3
D) 2 7 E) 4 3
31. Se traza BP perpendicular al plano que con-
tiene al triángulo equilátero ABC. Si AB=6 y
PB = 4 3 , calcule la medida del ángulo diedro
AC .
A) 45º B) 30º C) 37º
D) 53º E) 60º
32. Se tiene el cuadrado ABCD y el rombo ABPQ
contenido en planos perpendiculares. Si
m BPQ=30º, calcule la medida del diedro
determinado por la región QCD y la región
ABCD.
A) 30 B) 53º/2 C) 37º/2
D) 37º E) 53º
Claves
01 - A
02 - C
03 - E
04 - D
05 - D
06 - C
07 - D
08 - D
09 - C
10 - C
11 - B
12 - B
13 - C
14 - D
15 - B
16 - C
17 - D
18 - B
19 - E
20 - C
21 - C
22 - C
23 - E
24 - A
25 - E
26 - B
27 - B
28 - C
29 - E
30 - D
31 - D
32 - B
01 - A
02 - C
03 - E
04 - D
05 - D
06 - C
07 - D
08 - D
09 - C
10 - C
11 - B
12 - B
13 - C
14 - D
15 - B
16 - C
17 - D
18 - B
19 - E
20 - C
21 - C
22 - C
23 - E
24 - A
25 - E
26 - B
27 - B
28 - C
29 - E
30 - D
31 - D
32 - B