11. relac. metric. triang. rectang.

GEOMETRIA Guias 97-II
-
GUIA 9
TEMA: Relaciones Métricas en el Triángulo Rectángulo
1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en
B, se traza CF perpendicular a la
prolongación de la ceviana interior BM tal
que CM es la bisectriz del ángulo BCF.
Calcular AB si AM x AC =128
1) 6 4) 12
2) 9 5) 10
3) 8
2. En un triángulo rectángulo ABC recto en B,
se traza la altura BH luego se trazan HF y
HQ perpendiculares a AB y BC
respectivamente. Calcular BH si HF x HQ x
AC = K
1) 23 k 4) 43 k
2) 33 k /2 5) 53 k /2
3) 3 k
3. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado
mide 2a. Usando como centro D y como
radio DA, se traza el arco de circunferencia
AC. Se toma F punto medio de BC tal que
AF corta en G al arco AC. Calcular la
longitud de FG
1)
3
3a
4)
2
2a
2)
5
5a
5)
6
6a
3)
7
7a
4. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto
en B, en el cual AB = 9 y BC = 15. Calcular
la longitud del radio de la circunferencia
que pasa por A y es tangente en C a BC
1) 20 4) 17
2) 19 5) 21
3) 18
5. En la figura: se tienen dos circunferencias
tangentes exteriores, siendo O centro de la
menor y B un punto de tangencia. Calcular
FM si los radios miden 2 y 14 y AB = 4 6
1) 1
2) 1,5
3) 4
4) 3
5) 2,5
1. Marcar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
- La proyección de un segmento sobre una
recta puede ser un punto
- En un triángulo rectángulo el producto
de los catetos es igual a la suma de la
hipotenusa y su altura respectiva
- El teorema de Pitágoras es aplicable a
cualquier triángulo
1) VVV 4) FFF
2) VFV 5) FFV
3) VFF
2. “a” y “c” son los catetos de un triángulo
rectángulo cuya hipotenusa “b” mide 2cm.
Si “a” es media proporcional entre “b” y
“c”. Hallar el cateto “a”
1) 5 - 1 4) )( 152 −
2) 15 − 5) 13 −
3) 13 −
3. En un triángulo rectángulo la diferencia de
las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa es igual a la altura “h” relativa a
la hipotenusa. Calcular la hipotenusa
1) h 5 4) h 3
2) 2h 5) h 2
3) h 6
4. Las bases de un trapecio isósceles miden
6cm y 8cm, su altura mide 7cm. Calcular el
radio del círculo circunscrito a este trapecio.
- 1 -
A
B
F M
O

1) 4cm 4) 2 2 cm
2) 5cm 5) 3 2 cm
3) 6cm
5. En la figura T es un punto de tangencia AT
= 4; OB = 3. Hallar BC
1) 2
2) 1
3) 0,52
4) 0,65
5) 0,75
6. Calcular la longitud de la cuerda común a
dos circunferencias ortogonales de radios 6
y 8.
1) 2,4 4) 9,6
2) 4,8 5) 12
3) 8
7. Los catetos de un triángulo rectángulo son
AB = 9cm y AC = 15cm. Determinar el
radio de la circunferencia que pasa por el
vértice B y es tangente al cateto AC en C.
1) 16cm 4) 18cm
2) 19cm 5) 17cm
3) 21cm
8. En la figura AB = BC = 6, O y O1 son
centros AC es tangente. Calcular R.
1) 6 3
2) 2
3) 2 3
4) 4
5) 4 3
9. En el cuadrante AOB, OE = 3m, EF = 4m.
Hallar EB.
1) 13 - 1
2) 6 - 1
3) 5 + 1
4) 7 - 2
5) 11 - 3
10. En la figura ABCD es un cuadrado, si el
radio r = 3 . Calcular la longitud de la
tangente BM
1) 3
2) 3
3) 2
4) 6
5) 5
11. En la figura EF = 3m MH = 2m. Calcular
ME
1) 7 m
2) ( 7 - 1)m
3) ( 7 + 1)m
4) 3 m
5) ( 5 - 1)m
12. En la figura ABCD es un cuadrado de lado
10m. Calcular MN
1) 2m
2) 2 m
3) 5 m
4) 1m
5) 1,5m
13. En la figura ABC es un triángulo equilátero
de 2u de lado M y N son puntos medios.
Calcular NF
1)
2
15 −
2)
2
15 +
3) 5 /3
4) 5 /2
5) 5 - 1
14. En un triángulo rectángulo ABC recto en B
se traza la altura BH . Si los inradios de los
triángulos AHB y BHC miden 3cm y 4cm,
calcular el inradio del triángulo ABC
1) 5cm 4) 8cm
2) 7cm 5) 10cm
3) 6cm
1. La altura de un triángulo rectángulo
determina en la hipotenusa dos segmentos
que miden 18cm y 32cm. Calcular el cateto
menor.
1) 40 cm
2) 35 cm
- 2 -
A
T
B CO
A
B
C
R
O O1
O
60º
E
A
F
Br
M
B C
A D
A H
B
F
C
M
E
A
B
D
C
NM
A M
B
F
N
C

3) 30 cm
4) 25 cm
5) 20 cm
2. Se tiene un triángulo ABC, m ∠ B = 60°
inscrito en una circunferencia. Si AB =
2
3
y BC = 2. hallar AC.
1) 3
2)
2
10
3)
2
11
4) 2 3
5)
2
13
3. En la figura el lado del cuadrado es 4cm
“P” es punto de tangencia y AB es
diámetro. Hallar PE
1) 1 cm
2) 2 cm
3) 3 cm
4) 2 cm
5) 3 cm
4. En un triángulo rectángulo de altura relativa
a la hipotenusa mide 2cm y determina en la
hipotenusa dos segmentos que están en la
relación de 3 a 4. hallar el cateto menor
1) 6
2) 7
3) 8
4) 5
5) 10
5. Hallar la relación entre los catetos de un
triángulo rectángulo en el cual la mediana
relativa a la hipotenusa es perpendicular a la
mediana relativa al cateto mayor
1) 1/2
2) 1/3
3) 2 /2
4) 3 /2
5) 3 /3
6. Hallar la proyección de un segmento AB
de longitud 41cm sobre una recta “L” que la
corta. Si la distancia de los extremos A y B
a la recta miden 5cm y 4cm
1) 40 cm
2) 30 cm
3) 35 cm
4) 32 cm
5) 25 cm
7. Calcular la diagonal de un trapecio
isósceles cuya mediana mide 12m y su
altura 5m
1) 15 m
2) 17 m
3) 13 m
4) 24 m
5) 14 m
8. Hallar la base de un triángulo isósceles
inscrito en un círculo de 5cm de radio,
sabiendo que sus lados iguales miden 6 cm
1) 9,6 cm
2) 9,8 cm
3) 12,4 cm
4) 10,8 cm
5) 10,6 cm
9. En la figura se tiene un cuadrado ABCD de
lados 10m. Hallar del cuadrado PQRS
1) 5 m
2) 6 m
3) 7 m
4) 2 2
5) 2 3
10. El producto de los radio de dos
circunferencias tangentes exteriores es
36m2. Hallar la longitud de la tangente
común exterior
1) 9 m
2) 12 m
3) 16 m
4) 6 m
5) 8 m
11. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC).
La altura AF corta a la altura BH en
“O” si OB = 5m y OH = 1m. Hallar OA
1) 6 m
2) 7 m
3) 2 2 m
- 3 -

4) 3 m
5) 4 m
12. Hallar el radio del cuadrante AOC. Si AB =
1cm y BC = 2
1) 10
2) 5
3) 5 /2
4) 10 /2
5) 3
13. En una circunferencia de centro O t radio
12m, una cuerda CD corta al diámetro
AB en el punto medio “M” del radio OA .
Si MD = 2MC. Calcular MC
1) 6
2
3
2) 4 3
3) 3 3
4) 5
2
3
5) 6
14. En la figura “O” es centro de la
circunferencia de radio 13m. Calcular OM
si: a. b. c. d = 625m4
.
1) 12 m
2) 10 m
3) 11 m
4) 9 m
5) 5 m
15. En la figura ABCD es un paralelogramo
AC = 16m y BD = 8m. Hallar la tangente
AF
1) 4 6 m
2) 2 6 m
3) 3 6 m
4) 6m
5) 8m
16. En un triángulo rectángulo ABC recto en B;
se toma el incentro I, si AI = 3cm y IC = 9
2 cm
Hallar AC
1) 10 cm
2) 12 cm
3) 15 cm
4) 17 cm
5) 18 cm
17. En el cuadrado mostrado, calcular su lado,
Si AO = 1cm
1) 5 cm
2) 2 3 cm
3) 2 5 cm
4) 6 m
5) 3 2 cm
18. Los radios de las circunferencias inscrita y
circunscrita a un triángulo rectángulo son
“r” y “R”. Hallar la distancia entre sus
centros
1) RrR 22
−
2) 2 Rr
3) 2 22
rR +
4) 3 Rr
5) 3 22
rR +
1. En un triángulo rectángulo, se cumple que
k2
- 4mn = 16. Calcular la longitud de la
proyección de la mediana relativa a la
hipotenusa sobre dicha hipotenusa siendo
"m" y "n" las proyecciones de los catetos
sobre la hipotenusa que mide "k"
1) 4
2) 3
3) 1
4) 2
5) 5
2. En una semicircunferencia de diámetro
AB , se toma un punto "T", por el cual
pasa una recta tangente a la
semicircunferencia. Si AB = 9 y la distancia
de "B" a dicha recta tangente mide 5,
calcular AT.
1) 5
2) 4
3) 4,5
4) 6
5) 5,5
3. Una circunferencia es tangente a los lados
de un ángulo recto en los puntos A y B.
- 4 -

Calcular el radio de dicha circunferencia si
un punto que se encuentra en el menor arco
AB, dista de los lados del ángulo 3m y 6m
1) 10m
2) 12m
3) 15m
4) 18m
5) 20m
4. En la figura "T" es punto de tangencia, "B"
es centro del arco AC. Hallar AC, si DT = 2
y
TE = 9.
1) 3
2) 4
3) 5
4) 6
5) 8
B, se traza la altura BH y la bisectriz
interior AF , las cuales se cruzan en un
punto "G". hallar BG, si AB = 8 y BC = 6.
1) 8/3
2) 8/5
3) 12/7
4) 9/5
5) 7/5
B, se traza la bisectriz interior BF . Por F
se traza una perpendicular a la hipotenusa,
la cual intercepta en M a BC , tomando
como diámetro FM , se traza una
circunferencia que corta a BC en G.
Hallar BF, si MG = 2 y CG = 8.
1) 2
2) 2 2
3) 3 2
4) 4 2
5) 5 2
7. En un triángulo ABC, la mediana BG y la
bisectriz interior AF , se cortan
perpendicularmente en un punto M, tal que
FC = 10, MG = 2 3 . Hallar FM
1) 7
2) 10
3) 13
1) 4,5
2) 3,5
8. En la figura mostrada, si los radios de las
semicircunferencias miden 6 y 8 calcular
"r"
1) 1
2) 1,5
3) 0,5
4) 2
5) 2,5
9. En la figura ABCD es un cuadrado de 12m
de lado. Hallar "r" siendo AB el diámetro
y "C" y "D" centros de las otras curvas.
1) 2
2) 3
3) 2,5
4) 3,5
5) 1
10. En la figura, si AP = 1 y PQ = 8, hallar AC
1) 2 2
2) 3
3) 3 2
4) 2 3
6) 4
11. En la figura, si MN = 5 y BC = 9, hallar R
siendo AB y AC los diámetros de las
semicircunferencias.
1) 15
2) 12
3) 16
4) 20
5) 25
12. En una circunferencia de centro "O" se
traza el diámetro AD , en cada
semicircunferencia se ubican los puntos B y
C, respectivamente, de los cuales se trazan
las perpendiculares al diámetro BEyCH
(H en AO y E en OD ). Si AB = 12, AC
= 4 y HE = 8. Hallar la longitud del radio
de la circunferencia.
1) 8
- 5 -
r
A B
QC
P
AB
M
N
C
R
O
A
B
D
C E
T
r
B
CD
A

2) 9
3) 10
4) 6
5) 4
13. En el romboide ABCD, donde BM = 7 y
MC = 2, Hallar AB, si "O" es el centro de
circunferencia
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
5) 5
14. En la figura AM = 3 y AB = 6, hallar PC,
siendo B y C punto de tangencia y "O"
centro de la circunferencia.
1) 2 3
2) 3 5
3) 3 6
4) 56
5) 52
15. En la figura AP = PB, PF = 4, FG = 5, PD =
2. Hallar DE si A y B son puntos de
tangencia
1) 12
2) 13
3) 14
4) 15
5) 16
16. En la figura ADxEF = 72 y AC = 17.
Calcular ABxBC siendo "B" punto de
tangencia
1) 36
2) 72
3) 18
4) 34
5) 32
17. En la figura AB = 2m, BC = 6m y AF =
1m. Hallar FD, siendo "B" punto de
tangencia
1) 2m
2) 2,5m
3) 3m
4) 3,5m
5) 4m
1. En un triángulo rectángulo la hipotenusa
mide 15 y la altura relativa a la hipotenusa
mide 6. Hallar el cateto menor
A) 3 2 D) 3 7
B) 3 3 E) 5 3
C) 3 5
2. La suma de los catetos y la altura de un
triángulo rectángulo es 47, si la hipotenusa
mide 25. Hallar el cateto menor
A) 7 D) 15
B) 9 E) 20
C) 12
3. En un triángulo rectángulo la altura relativa
a la hipotenusa mide 1cm y determina sobre
la hipotenusa dos segmentos que están en la
relación de 1 a 3. Hallar el cateto menor
A)
3
32
D) 3
B) 6 E) 3 /2
C) 2 2
4. En un trapecio la diferencia de las bases es
8cm y los lados no paralelos miden 4cm y
6cm. calcular su altura
A)
2
153
cm D)
3
154
cm
B)
3
152
cm E) 15 cm
C)
3
154
cm
5. La base mayor de un trapecio isósceles es
igual a su diagonal y la base menor es igual
a su altura. La razón entre la base menor y
la base mayor es:
A) 2/3 D) 4/5
B) 3/4 E) 5/6
C) 3/5
las medianas AFyBM se corta
perpendicularmente. Hallar AC si AF =
12m
- 6 -
A
B M
D
C
O
A
P
B
GF
D
E
A CB
D
F
E
A
E
C
F
D
B
A
B
O
P
C
M

A) 12 m D) 18 m
B) 6 m E) 12 2 m
C) 24 m
7. En un triángulo rectángulo los catetos
miden 9cm y 40cm. Hallar la distancia del
incentro a la hipotenusa
A) 2 cm D) 5 cm
B) 3 cm E) 6 cm
C) 4 cm
"L". hallar el radio de la circunferencia en
función del lado.
A) 5L/8
B) 3L/8
C) 2L/3
D) L/2
E) 3L/4
9. Se tienen dos circunferencias de radios 5m
y 12m. cuya distancia entre sus centros es
25m. Calcular la longitud de la tangente
común exterior
A) 12 m D) 10 m
B) 24 m E) 18 m
C) 16 m
10. En la figura calcular el radio "r", si el lado
del cuadrado es 32cm y las dos
circunferencias inferiores son congruentes.
A) 8cm
B) 9cm
C) 10cm
D) 12cm
E) 10,5cm
11. En la figura O y O1 son centros AB = 2 y
BC = 10. Calcular r
A) 5
B) 2 3
C) 2 5
D) 3
E) 7
12. En la figura AC es diámetro AP = 2cm y
QC = 6cm. Hallar la tangente QT
A) 4cm
B) 2 3 cm
C) 3 2 cm
D) 2cm
E) 4 2 cm
2 5 . Hallar BF
A) 2
B) 3
C) 5
D) 1
E) 2
10m, BM = MA. Hallar FM
A) 2m
B) 2 m
C) 5 m
D) 1m
E) 3 m
15. En la figura OByAB son diámetros EM
= 9 y MF = 4, "O" es centro. Hallar MB
A) 4
B) 5
C) 6
D) 3 2
E) 2 3
16. En la figura AB = BC, "M" y "N" son
puntos medios de BCyAB . El diámetro
AC = 2R. Hallar EF.
A) R 3 /2
B) R( 3 -1)/2
C) R( 3 +1)
D) R 3
E) R 2
17. Una circunferencia de radio R es tangente a
dos rectas perpendiculares, calcular el radio
de la mayor circunferencia tangente a esta
circunferencia y a la dos rectas
A) R(2 + 2 ) D) R(3 + 2 2 )
B) R(3 + 2 ) E) R( 3 +1)
C) R( 3 -1)
4m. Hallar BF
A) 2 3
B) 3
C) 3 2
- 7 -
r
A C
T
P
Q
A D
CB
F
A D
CB
O
A B O1
D
r
A DE
CB
F
A
B C
D
MF
A
E
O
M
B
F
A O C
R R
B
E
M N
F

D) 2
E) 3
19. Las distancias del incentro a los vértices de
los ángulos de un triángulos rectángulo
miden 3cm y 9 2 cm . Hallar la distancia
del incentro a la hipotenusa
A) 9/5 D) 10/3
B) 9/4 E) 8/3
C) 12/5
se traza la altura BH , los inradios de los
triángulos rectángulos ABH y BHC miden
3 y 4 respectivamente. Hallar AC
A) 20 D) 25
B) 18 E) 30
C) 24
B, se traza la ceviana interior BF tal que
AF = 2 3 y FC = 10. Calcular BF si el
ángulo C mide 30º.
1) 3 3 4) 34
2) 19 5) 37
3) 30
2. En una semicircunferencia de diámetro AB
= 13, se traza la cuerda AC = 5. Por C se
traza una paralela a AB la cual corta en G
al arco BC. Calcular la distancia de G a
AB
1) 4,6 4) 4,2
2) 5,2 5) 4,8
3) 5,6
3. Exteriormente a un romboide ABCD se
construye el cuadrado ADFG. Se traza
BH . Perpendicular a FG . Calcular:
FH2
– GH2
si el ángulo ABD mide 90°, CD
= 4 y BD = 7.
1) 33 4) 25
2) 28 5) 36
3) 42
4. En un trapecio ABCD de bases BC = 4 y
AD = 9, las diagonales son perpendiculares
entre si. Calcular AC si BD = 12.
1) 9 4) 7
2) 5 5) 8
3) 6
5. En el interior de un cuadrante AOB se
trazan una semicircunferencia de diámetro
OB. Calcular el radio de la
semicircunferencia que es tangente en A al
arco AB y tangente en F al arco OB,
estando su diámetro en AO, si OB = R.
1) R/2 4) 2R/3
2) R/4 5) 3R/5
3) R/3
B, en AC se toma el punto D. Se traza
CE perpendicular a la prolongación de
BD tal que los ángulos ACB y ACE son
congruentes. Calcular BD si AD = 8 y CD =
6
1) 3 7 4) 4 14
2) 2 7 5) 2 14
3) 4 7
7. En el interior de un cuadrante AOB se traza
una semicircunferencia de diámetro OB. El
radio OF de dicho cuadrante corta en C al
arco OB. Se traza CG perpendicular a OB.
Calcular la distancia de F a OA si OG = 4 y
GB =12.
1) 6 4) 9
2) 7 5) 10
3) 8
8. Se tiene el trapecio rectángulo ABCD, recto
en C y D, circunscrito a una circunferencia,
que es tangente en F a BC. Calcular BF si
AD = 6 y CD = 4.
1) 2 4) 1,5
2) 0,5 5) 2,5
3) 1
9. En un rectángulo ABCD se traza BF
perpendicular a AC . Calcular BF si la
distancia de F a BC es 4 y CD = 25
1) 8 4) 15
2) 12 5) 10
3) 14
10. En un triángulo obtusángulo ADC, obtuso
en D, la semicircunferencia de diámetro AD
corta en B a AC. Se traza BH perpendicular
- 8 -

a AD. Si CH es la bisectriz del ángulo
ACD, AC = 18, BH = 6 y CD = 8. Hallar
AH.
1) 6 4) 8
2) 7 5) 10
3) 9
11. En los lados BC y CD de un cuadrado
ABCD se toman los puntos F y G
respectivamente. Los segmentos AF y
BG se cortan perpendicularmente en M.
Calcular MG si AM = 9 y FM = 4.
1) 8 4) 6
2) 5 5) 9
3) 7
12. Se tienen 2 circunferencias secantes. La
prolongación de la cuerda BC de la
circunferencia mayor es tangente en A a la
otra circunferencia y corta en M a la
prolongación de la cuerda común, tal que
MC = 2 y BC = 5. Calcular AM.
1) 14 4) 2,5
2) 1,8 5) 10
3) 2,9
13. Por un punto B exterior a una
circunferencia se trazan la tangente BA y la
secante BFC tal que la cuerda AF mide
igual que AB. Hallar BF si AF = 4 y AC = 7
1) 1,96 4) 2,04
2) 2,14 5) 2,22
3) 2,28
14. En una semicircunferencia de diámetro AB
= 10, se toman los arcos AD y BE tal que el
arco AD mide el triple que el arco BE.(El
arco AE es mayor que el AD). La recta que
pasa por D y E corta en F a la prolongación
de AB . Calcular ED si FB = 4.
1) 5,6 4) 4,2
2) 6,2 5) 5,4
3) 4,8
15. Se tiene una semicircunferencia de
diámetro AM y de centro O. Por un punto P
de AO se traza una perpendicular a AO, que
corta en L al arco AM. Una recta que pasa
por A corta en C y G a una circunferencia
que pasa por M y P tal que C y G son
puntos exteriores a la semicircunferencia.
Hallar AC si: CG = 4 y AL = 2 3
1) 3 4) 1,5
2) 1 5) 2,5
3) 2
16. En un triángulo ABC (AC = 16), se
determina el baricentro G. La prolongación
de BG corta en F a AC y en M a la
circunferencia circunscrita a dicho
triángulo. Calcular FM si BG = 4.
1) 8,75 4) 12,8
2) 9,74 5) 8,24
3) 10,66
17. En una circunferencia se traza la cuerda AD
y en el menor arco AD se toma el punto E y
se trazan las cuerdas ABF y ECG tal que
AC > AB, AB = CD, BE = 3, BF = 4 y EC
= 2. Hallar CG.
1) 4 4) 8
2) 6 5) 3
3) 5
18. Por un punto C exterior a una
circunferencia se trazan la tangente CB y
la secante CMA talque AM = 4, es
diámetro. Calcular CM si AB = BC.
1) 1 4) 1,5
2) 2 5) 2,5
3) 3
19. En la figura O es el centro del arco AB,
FM=MG=2 y AF=OF. Calcular AM.
1) 4
2) 15
3) 10
4) 2 3
5) 14
20. En la figura: F es punto de tangencia y los
ángulos BAC y ACE son congruentes.
Calcular BF si: BN = 8.
1) 6
2) 9
3) 8
4) 10
5) 7
- 9 -
A
F
O
G
B
M
A E G
B C
F

11. relac. metric. triang. rectang.

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