Geometria 5° 2 b

33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria
EJERCICIOS PROPUESTOS
01.Del gráfico adjunto, “T” es un punto de
tangencia. Calcular x.
O
3xº
2xº
T
a) 10 b) 15 c) 18
d) 20 e) 12
02.Del gráfico adjunto, P y T son puntos de
tangencia. Calcular x.
P
3x - 35m
x +10m
T
A
a) 22,5m b) 45m c) 20m
d) 25m e) 35m
03.Del gráfico adjunto el centro de la
circunferencia dista 6m de la cuerda AB .
¿Cuánto mide el radio de la circunferencia, si
AB = 16m?
O
A B
a) 9m b) 10m c) 15m
d) 11m e) 9,5m
04.Del gráfico adjunto M, N, Q y T son puntos
de tangencia. Calcular: AD. Si AB=7m,
BC=4m y CD=10m.
B N
T
Q
C
D
M
A
a) 11m b) 12m c) 13m
d) 14m e) 12,5m
05.Del gráfico adjunto P, Q y T son puntos de
tangencia. Calcular el perímetro del triangulo
rectángulo ABC.
B
P
A
C
Q
T
I 3m
18m
a) 21m b) 42m c) 39m
d) 24m e) 48m
06.Del gráfico adjunto M, N y Q son puntos de
tangencia. Calcular: x+y+z.
B
yº
M
C
zº
I
A
xº
N
Q
a) 45 b) 90 c) 160
d) 180 e) 100
07.Se tiene una circunferencia inscrita en un
triángulo ABC la cual es tangente a BC en
Q. Calcular BQ, si: AB = 8, BC = 7m y AC =
11m.
a) 6m b) 5m c) 4m
d) 3m e) 2m
08.Del gráfico adjunto M, P y Q son puntos de
tangencia. Calcular: BQ. Si: AB = 7, BC=9 y
AC = 12.
M
B
Q
C
P A
a) 5m b) 7m c) 2m
d) 3m e) 4m
09.Del gráfico adjunto M, N, Q y T son puntos
de tangencia. El perímetro del triángulo ABC
es 64m, el perímetro del triángulo ADE es
20m. Calcular: EC.
T
B
Q
C
M A
D
N
E
O
a) 13m b) 23m c) 33m
d) 14m e) 22m
10.Del gráfico adjunto P, Q y T son puntos de
tangencia. Calcular: c, si MC =DC.
B
T
A
C
Q
P
I
D
F
M
xº
a) 30 b) 60 c) 40
d) 45 e) 75
11.Del gráfico adjunto calcular: x, si: M, N y Q
son puntos de tangencia.
B
Q
A
C
M
N
100º
xº
100º
a) 40 b) 45 c) 50
d) 60 e) 37
12.Del gráfico adjunto AQ = 5m y HC = 2m.
Calcular: BC.
A
B
C
HO
C1
Q
a) 7m b) 6m c) 8m
d) 6,5m e) 7,5m
tangencia. Calcular el perímetro del triángulo
formado al unir los centros de las tres
circunferencias.
A
12m
C
M
B
Q
N
a) 12m b) 24m c) 36m
d) 27m e) 28m
S5GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
II
CIRCUNFERE
CIRCUNFERENCI

01.En la figura calcular “x”, si “O” es centro.
C
A
B
O
xº
a) 30 b) 37 c) 60
d) 90 e) 45
02.Si: AB=R, calcular: mAB .
A
B
O
R
a) 50 b) 35 c) 53
d) 74 e) 60
03.En una circunferencia, cuyo radio mide 12, se
inscribe el triángulo ABC. Si m )∠A=70 y
m )∠C=80m, calcular “AC”
a) 6 b) 9 c) 12
d) 15 e) 18
04.Calcular “x”, si “O” es centro.
A
B
O
C
D
20º
a) 90 b) 110 c) 120
d) 130 e) 135
05.En la figura m AED = 240 y BC = 20 ,
calcular la suma de las medidas de los
ángulos indicados.
A
B
D
C
E
yº
xº
a) 20 b) 30 c) 40
d) 50 e) 60
06.Si: CBD = 130 ; AB es diámetro ,
calcular “x”
A B
D
C
E
xº
O
a) 20 b) 30 c) 25
d) 35 e) 15
07.Si; m ∩
AC
+m ∩
DT
=140, calcular la m
∩
AT
A
T
D
C
B
a) 100 b) 110 c) 120
d) 130 e) 140
08.Calcular la m ∩
AF
, si α+β=124.
A
F
P
Q
ºβ ºα
a) 94 b) 114 c) 124
d) 152 e) 138
09.En la figura m )∠B=70 y “T” es punto de
tangencia. Calcular m )∠C.
A
B
T
C
D
a) 55 b) 40 c) 70
d) 80 e) 110
10.Se tiene el cuadrante AOB, O es centro, cuyo
radio mide 4. En el arco AB se ubica el punto
“C”, tal que la mAC=30. Calcular la ditancia
de “B” a AC.
a)2 b) 2 2 c) 4 2
d) 4 e) 8
11.m ∩
AE
=50, calcular m )∠.ADC
A
B
C
E
D
a) 50 b) 30 c) 35
d) 34,5 e) 25
12.De la figura BC=CD, calcular: θ; “A” es
punto de tangencia.
A
B
C
P
D40º θ
a) 100 b) 120 c) 130
d) 110 e) 150
tangencia, AB=6m y BC=8. Calcular: R
M
A
O
C
R
Q
N
B
a) 10 b) 11 c) 14
d) 12 e) 19
14.En un trapecio isósceles ABCD ( AB //
AD ) se encuentra inscrita una
circunferencia, donde AB=12m. Calcular el
perímetro del trapecio.
a) 24m b) 36m c) 48m
d) 44m e) 42m
15. AB es el diámetro de una
semicircunferencia, tal que se prolonga AB
hasta el punto C. Luego se traza la tangente
CT a la semicircunferencia en la cual se
tiene que AB=2BC. Calcular: m )∠ACT.
a) 37 b) 53 c) 30
d) 60 e) 45
16.Del gráfico adjunto “T” es punto de
tangencia.
A
20º
O
50º
T
yº
xº
a) 100 b) 140 c) 110
d) 120 e) 130
17.Calcular: mAB , si m EDC = 150

E
A
B C
30º
D
a) 80 b) 60 c) 70
d) 90 e) 75
18. AB y CA son tangentes, m )∠BAC=80,
calcular “x”.
xº
A
B
C
a) 110 b) 100 c) 140
d) 120 e) 130
19.Si: ABCD es un romboide, calcular x.
xº
A B
D
C
20.Calcular “α”, si “P” y “T” son puntos de
tangencia.
α
P
r
T
r
a) 100 b) 120 c) 135
d) 150 e) 143
21.En la figura AE es bisectriz del ángulo
BAC; E, F y G son puntos de tangencia.
Calcular x.
48º
E
A D G
Xº
F
C
B
a) 48 b) 42 c) 24
d) 36 e) 72
22.Del gráfico calcular “x”, si “T” es punto de
tangencia.
20º
A
T
O xº
a) 20 b) 30 c) 25
d) 50 e) 40
23.Si: AB es diámetro, calcular “x”
A
xº
120º
B
a) 120 b) 60 c) 90
d) 150 e) 30
24.Calcular “x” si “O“: centro.
50º
O
70º xº
a) 10 b) 15 c) 20
d) 25 e) 7,5
25.Calcular “x”
xº
60º
a) 80 b) 40 c) 70
d) 50 e) 60
26.Calcular “x”
xº
50º
a) 20 b) 40 c) 25
d) 30 e) 80
TAREA DOMICILIARIA
01.En el gráfico adjunto “O” es centro y “S” es
punto de tangencia. Calcular la m )∠TSA,
si m )∠ROT = 110.
S
A
O
T
R
a) 35 b) 45 c) 55
d) 70 e) 40
02.En el gráfico “O” es centro y BP // AQ ,
además “A” y “B” son puntos de tangencia.
Calcular “x”.
xº
P
O
A
B
Q
a) 90 b) 45 c) 100
d) 110 e) 75
03.Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo
mide 30 y el lado mayor mide4. Calcular la
medida del radio de la circunferencia inscrita
en este triángulo.
a) 2- 3 b) 3- 3 c) 3 -1
d) 1 e) 3
04.El perímetro de un triángulo rectángulo ABC,
recto en B es 12. Calcular la distancia de B al
centro de la circunferencia ex inscrita al
triángulo rectángulo y referente a AC .
a) 12 b) 6 c) 8
d) 4 3 e) 6 2
05.De la figura adjunta AC – CE =26. Calcular
BD.
D
O B
E
C
O'
a) 12 b) 13 c) 6
d) 6,5 e) 26
06.El perímetro del triángulo ABF es 8. Calcular
el perímetro del triángulo ACF; D, E y F son
puntos de tangencia.
B
A
D
C
F
E
a) 4 b) 8 c) 12
d) 10 e) 16
07.Una circunferencia está inscrita en un trapecio
isósceles ABCD ( BC // AD ). Si AB =
48, calcular la medida de la mediana del
trapecio.

a) 24 b) 36 c) 48
d) 98 e) 72
08.En un triángulo ABC: AB = 8, BC=10 y
AC=12. Si la circunferencia inscrita es
tangente a AC en “M”, calcular AM.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 2
DEFINICIONES PRELIMINARES:
RELACION MÉTRICA:- Relación métrica entre
varios segmentos es la relación entre los números
que expresan el valor de esos segmentos, con la
misma unidad.
PROYECCIÓN ORTOGONAL:
a) Proyección ortogonal de un punto sobre una
recta: es el pie de la perpendicular trazada
desde el punto a la recta. La perpendicular se
llama “proyectante” y la recta se llama “eje
de proyección”. Ejm.: Proyección de P sobre
la recta XY es P’.
P
x y
P'
b) Proyección ortogonal de un segmento sobre
una recta: es la parte de la recta comprendida
entre los pies de la perpendiculares trazadas
desde los extremos del segmento. Pueden
presentarse los siguientes casos: sea el
segmento AB y su proyección A’B’.
Nótese los dos casos especiales: (4) cuando el
segmento es paralelo a la recta, proyección es
igual al segmento y (5) cuando el segmento
es perpendicular a la recta, la proyección es
un punto.
y
A
A'
B
B'
x
(1)
x A
A' B'
B
y
(2)
BA
A' B'
x y
(4)
yx A'
A
B
B'
(3)
x
B
A
y
A' B'
(5)
PROYECCIONES ORTOGONALES EN EL
TRIÁNGULO
a) En un triángulo acutángulo; si se traza la
altura de uno de sus vértices, las proyecciones
de los otros dos lados son:
c
B
H n
C
b
A
m
Proyección de “C” sobre BC es “m”y de “b”
sobre BC es “n”.
b) En un triángulo obtusángulo: la proyección de
uno de los lados está en la prolongación del
otro, así;
H B a C
b
A
c
Proyección de “C” sobre BC es BH.
RELACIONES
METRICAS EN LOS

A) RELACIONES METRICAS EN EL
TRIANGULO
Si en un triángulo rectángulo ABC (recto en
A), se traza la altura AH desde el ángulo
recto, se tiene que el segmento “m” es
proyección del cateto “c”y el segmento “n” es
proyección del cateto “b”.
 Obsérvese que la proyección
ortogonal de la hipotenusa sobre un cateto
es el mismo cateto.
c
B
A
b
Cm nH
a
h
 Elementos del triángulo rectángulo:
b,c : Catetos
a : Hipotenusa
h : Altura relativa a la hipotenusa
m : Proyección de “c” sobre la hipotenusa
n : Proyección de “b” sobre la
hipotenusa.
TEOREMA:
En un triángulo rectángulo si se traza la altura
correspondiente a la hipotenusa, se verifica:
1) Los triángulos rectángulos parciales son
semejantes entre sí y semejantes al
triángulo dado.
2) La altura correspondiente a la hipotenusa
es media proporcional entre las
proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa.
nmh .2
=
3) Cada cateto es media proporcional entre
la hipotenusa y su proyección sobre ella.
nab .2
= mac .2
=
4) El producto de los catetos es igual al
producto de la hipotenusa por la altura
correspondiente a ella.
a.hc.b =
5) En todo triángulo rectángulo, los
cuadrados de los catetos son
proporcionales a sus proyecciones sobre
la hipotenusa.
m
n
c
b
2
2
=
CONJUGADAS ISOGONALES
Son dos rectas que partiendo de un mismo
vértice. De un triángulo, el ángulo que forma una
de ellas con un lado es igual al ángulo que forma
la otra recta con el otro lado del triángulo.
α α
M N
B C
A
Si: B ^
A
M = N ^
A
C, entonces:
AM y AN son isogonales.
PROPIEDAD
Si AM y AP son conjugadas isogonales se
cumple:
AM.APb.c =
α αc
B
M
P
C
b
A
TEOREMA
En todo triángulo rectángulo la suma de los
catetos es igual a la suma de los diámetros de las
circunferencias, circunscrita e inscrita.
A
r
M
m r
r
o
r
N
m p o' nC B
cb
n
a
2r2Rcb +=+
H: Sea el triángulo rectángulo ABC y los círculos
circunscrito e inscrito de radios R y r
respectivamente.
T: b+c=2R+2r
DEMOSTRACIÓN: Por propiedad de tangentes:
CM = CP = m
BN = BP = n
Mirando la figura:
b = m + r
c = n + r
Ssumando miembro a miembro:
b + c = m + n +2r
Pero: m + n = 2R; luego:
b + c = 2R + 2r 1q.q.d.
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR.
1) En todo triángulo la bisectriz de un ángulo
interior, divide al lado opuesto en dos
segmentos directamente proporcionales a los
lados que forman dicho ángulo.
α α
A
B D C
H: Sean AB y AC los lados que forman el
ángulo A y AD su bisectriz interior, y
sean BD y DC los segmentos
determinados en el lado opuesto al ángulo
A.
T: Se va a demostrar que:
DC
BD
AC
AB
=
DEMOSTRACION: Por B se traza una paralela a
la bisectriz AD, cortando a la prolongación CA en
E
α α
B D C
α
Aα
E
Llamado α los ángulos determinados por la
bisectriz, se tiene:
El triángulo BAE es isósceles por tener dos
ángulos iguales.
B ^
E
A = D ^
A
C = α, por correspondientes
A ^
B
E = B ^
A
D = α, por alterno internos
Luego: AE = AB

En todo triángulo EBC, AD es paralelo a EB,
luego los triángulos EBC y ADC son semejantes,
entonces aplicando el teorema de Thales:
DC
BD
AC
EA
= ; pero AE = AB
∴
DC
BD
AC
AB
= 1.q.q.d
2) En todo triángulo, el cuadrado de la bisectriz
de un ángulo interior es igual al producto de
los lados que forman el ángulo, menos el
producto de los segmentos determinados por
la bisectriz del tercer lado.
αα
A
B D C
DCBDACABAD
2
×−×=
H: Sean AB y AC los lados del ángulo A, sea
AD la bisectriz del mismo ángulo y sean
BD y DC, los segmentos determinados en
el tercer lado.
T: 2
AD =AB x AC – BD x DC
DEMOSTRACIÓN
α α
β
βB
A
C
E
D
RELACIONES MÉTRICAS
RELACIONES MÉTRICAS EN LA
CIRCUNFERENCIA :
TEOREMA DE LAS CUERDAS:
a
n b
m
a .b = n . m
TEOREMA DE LA TANGENTE Y SECANTE:
t
n
m
t = m . n2
TEOREMA DE LAS SECANTES
n
m
a . b = m . n
b
a
01.Calcular “a”
a
9 16
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
02 Calcular “h”
h
9
25
a) 10 b) 6 c) 12
d) 18 e) 20
03 E, F y T son puntos de tangencia r = 3 y AE =
5 . Calcula “EC”
a) 10 b) 12 c) 14
d) 15 e) 16
04 Calcular la longitud del radio de la
circunferencia inscrita e un rombo cuyas
diagonales miden 12 y 16 respectivamente.
a) 4 b) 4,2 c) 4,6
d) 4,8 e) 5
05 En un ∆ABC, recto en B, se traza la ceviana
interior BR , tal que AB = BR. Calcular
“AB”, si: AC . AR = 72
a) 6 2 b) 9 c) 6
d) 8 e) 3 2
06.Del gráfico, calcular “PQ”, si: R = 9 y r = 4.
P
Q
R
r
a) 6 b) 6 2 c) 12
d) 13 e) 8
07.En un ∆ABC, recto en “B”, se trazan la altura
BH ; ABHE ⊥ y BCHF ⊥ (E en
AB y F en BC ). Si: AE = 1 y FC = 8,
calcular “EB”.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
08.Del gráfico calcular “AB”, si PQ = 12.
A
B1
6
P Q
a) 13 b) 15 c) 16
d) 18 e) 20
09.Si AH = 2 y HC = 8, calcular “CD”
A
D
H
B
C
a) 4 5 b) 5 5 c) 6 5
d) 7 5 e) 8 5
10.Las dos medianas relativas a los catetos de un
triángulo rectángulo miden 6 y 8. Calcular la
medida de la hipotenusa de dicho triángulo.
a) 2 5 b) 3 2 c) 4 5
d) 5 e) 10
11.Calcular “MQ . QN”, si “O” es centro.

A
N
O
M
B
P
2
Q 3
a) 6 b) 8 c) 9
d) 12 e) 16
12.En la figura “T”, “Q” y “M” son puntos de
tangencia, PQ=QT y PA =2. Calcular “PB”
B
M A
Q
T
P
a) 4 b) 6 c) 8
d) 12 e) 16
13.Calcular “AC”, si AP=8 y CQ=6.
B
C
A
Q
P
a) 7 b) 12 c) 10
d) 9 e) 11
14.En la figura BD // AE , AB=4, BC=8 y
CD=6. Calcular “EF”
B
E
A
D
C
F
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
15.En la figura “T” y “Q” son puntos de
tangencia, AT = 6 y AB = 4. Calcular “QC”.
B
C
A
Q
T
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
16.Calcular “CT”, si AB = AC y EF = 4.
A
E
O
T
B
F
C
a) 4 b) 8 c) 2 2
d) 4 2 e) 6 2
17.Si BF=1, FC=2, AF=16 y BC // AD ,
calcular “EF”
B
E
A
F
C
D
a) 2 b) 3 c) 4
d) 6 e) 8
18.En la figura “P”, “Q” y “T” son puntos de
tangencia, CQ=12, AP=4 y BP=6. Calcular
“PT”
B
Q
A
P
C
T
a) 12 b) 18 c) 15
d) 24 e) 30
19.Si ABCD es un paralelogramo calcular “x”
A
D
B
E
C
x
8 12
a) 8 b) 9 c) 10
d) 12 e) 6
20.En la figura: AB=7 y EF = 3. Calcular “FB”
A
E
B
F
a) 2,5 b) 3,5 c) 4
d) 4,5 e) 5
TAREA DOMICILIARIA
01.De la figura AB=15, BQ=8 y AH=HC.
Calcular “QC”.
A
B
H
Q
C
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
02.De la figura, calcular BQ, si AH=4, HC=9 y
HQ=2.
A
B
H
Q
C
a) 4 b) 4 2 c) 4 3
d) 5 e) 3 2
03.Calcular AP, si AB=12; BC=16, AB y
AC son diámetros de las
semicircunferencias.
A P
B
C
a) 2,8 b) 2,2 c) 7,2
d) 6,2 e) 8,2
04.De la figura, calcular O’Q, si QB =200.
A O B
O'
Q
a) 10 b) 10 2 c) 4 2
d) 5 2 e) 6 2
05.De la figura: AP=6, calcular AQ.
A O BO'
Q
P
a) 3 b) 3 2 c) 4
d) 4 2 e) 2 3
06.Del gráfico calcular “PQ + PT”, si PA = 8 y
AB = 10.
P
Q
T
A
B
a) 24 b) 36 c) 18
d) 32 e) 16 2
07.Si ABCD es un cuadrado, AD=5 y PB=7,
calcular “MD”

B
A
D
D
P
M
a) 5 b)
13
60
c)
60
13
d) 12 e) 13
08.Calcular “BP”, si AM=MC, AC=5 y AB=3.
A
B
P
CM
a) 4 b) 2 2 c) 2
d) 4 2 e) 3 2
09.Si AB es diámetro, “M” es centro y PQ=4.
calcular “QM”
A
BN
C
Q
M
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10.En la figura: PT=6 y AQ=2. Calcular “QB”.
P
Q
T
A
B
a) 2,5 b) 3,5 c) 4
d) 3 e) 5 EJERCICIOS PROPUESTOS
01.Completar:
Para que se cumpla en teorema de Thales
basta un mínimo de ………. y ……….
a) Dos paralelas y una secante
b) Una paralela y una secante
c) Tres paralelas y una secante
d) Tres paralelas y dos secantes
e) Dos paralelas y dos secantes
02.La razón de dos segmentos es 3/5. Si uno de
ellos mide 8cm más que el otro, ¿Cuánto
mide el segmento menor?
a) 11cm b) 9cm c) 12cm
d) 8cm e) 13cm
03.A partir el gráfico mostrado se pide calcular «
x », si PQ // BC // AD .
A
2 2
P
x
B C
2
Q
4
D
a) 2 b) 1/2 c) 3
d) 2/3 e) 1
04.Según el gráfico, calcular
BM
MN
, si MN
// AC y
4
3
NC
BN
= .
α°
α°
A C
M N
B
a)
4
5
b)
4
3
c)
3
2
d)
2
3
e)
3
4
05.En el triángulo ABC donde:
5
7
BC
AB
= se
traza la bisectriz interior BC .
Si: AD=3,5, ¿Cuánto mide DC ?
a) 2,5 b) 1,5 c) 3
d) 3,5 e) 2
06.En un triángulo ABC; AB=4; BC=8 y AC=6.
Se traza la bisectriz exterior BE (E en la
prolongación de CA ). Calcular: EA
a) 5 b) 2 c) 4
d) 6 e) 8
07.En un triángulo ABC, BD es bisectriz
interior y «P» es el incentro. Si: 5BP=7(PD) y
AB+BC=21, calcular AC.
a) 10 b) 19 c) 14
d) 12 e) 15
08.Del gráfico adjunto, calcular: x.
2b
CA
b
3a
2ax + 2
B
x
a) 6 b) 5 c) 7
d) 3 e) 8
09.Del gráfico indicando, calcular «x».
P
2 a B
5a
A
b
Q
b
L
x C x - 3
a) 4 b) 8 c) 9
d) 5 e) 7
10.En el gráfico mostrado AB // CD //
MN , 3(AE)=6(ED)=2(DN). Si CM=6,
calcular EB.
PROPORCIONALI

A B
C D
E
M N
a) 5 b) 4 c) 6
d) 2 e) 3
11.En la figura, Calcular “α”
α°
109
4
a) 53 b) 37 c) 30
d) 60 e) 45
12.En la figura, calcular “x”.
α°α° 8
6
x
7
a) 1 b) 4 c) 2
d) 3 e) 5
13.En la figura, calcular “x”.
α°
α°
5
7
6 x
a) 15 b) 10 c) 08
d) 10 e) 12
14.En la figura, calcular “x”
37°
53°
2
2a
x
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 5
15.Si: EF // AB // CD , calcular “x”.
x°5
G F
5
D
B
10
A
C
3
E
a) 53 b) 37 c) 74
d) 90 e) 30
16.Si: L1 // L2, calcular “x”.
x°
8
4
L2
L1
a) 53 b) 60 c) 90
d) 30 e) 45
17.Si: AB // CD , calcular “α”.
α°
3a
2
2a
BA
C D
2α°
a) 60 b) 53 c) 30
d) 18,5 e) 26,5
18.En la figura, AB // CD , calcular “α”.
α°
5
3
A
3x
C
2x
B
8
D
a) 53 b) 37 c) 60
d) 90 e) 30
19.En la figura, AB // CD , calcular “x”.
A
4
C
x
x9
B
D
a) 10 b) 18 c) 12
d) 15 e) 16
20.En la figura, calcular “α”.
5
α°
10
3a
2a
a) 53 b) 37 c) 30
d) 60 e) 53
21.Si: L1 // L2 // L3’ calcular “x”.
x+4 x+2
x-1x
L1
L2
L3
a) 6 b) 2 c) 4
d) 3 e) 5
22.Calcular “x”
α° α° 24
x
x
18
a) 10 b) 9 c) 12
d) 8 e) 6
23.Calcular “x”
α°
α°
x
9
x 12
a) 6 b) 7 c) 5
d) 8 e) 5,5
24.Calcular “α”
α°
α°
1
2
a) 26,5 b) 22,5 c) 18,5
d) 30 e) 15
25.Si: AB // CD // PQ , calcular “x”.
Q
D
4
x
BA
x
P
3
C
a) 6 b) 5 c) 8
d) 7 e) 9
26.En la figura, calcular “α”

α°
10
3
α°
a) 30 b) 53 c) 45
d) 37 e) 55
3
3 x
a) 4 b) 7 c) 5
d) 6 e) 8
28.Calcular “x”
a°a°8
x
x 2
a) 4 b) 3 c) 6
d) 5 e) 2
29.En la figura, calcular “α”.
90°+ α
α° 4
3
a) 53 b) 30 c) 45
d) 60 e) 37
30.En la figura DF // AE y DE // AC .
Calcular “x”
D E
2
F
1
B
A C
x
a) 3 b) 4 c) 9
d) 8 e) 6
10
4a
a
4
α°
a) 53 b) 37 c) 45
d) 30 e) 60
6
3
α°
10
α°
a) 53 b) 30 c) 60
d) 18,5 e) 26,5
33.En la figura calcular “α”
2y
x
α°
2x
α°
y
a) 45 b) 30 c) 15
d) 60 e) 37
60°6 60°
12
x
a) 4 b) 5 c) 3
d) 2 e) 6
35.En la figura, calcular x.
x
4
4
a) 3 b) 4 c) 8
d) 6 e) 5
36.En la figura, calcular x.
α°
α°x
2
x 3
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 8
α°
α°6
x
a) 4 b) 5 c) 2
d) 3 e) 1
α°
α°6
x
8
a) 3 b) 5 c) 4
d) 6/5 e) 7/2
39.Calcular “x”
2a
x° x°
a
a) 40 b) 60 c) 30
d) 45 e) 53
40.Calcular “x”
x° x°
x°
2 1 3
a) 60 b) 30 c) 53
d) 45 e) 37
TAREA DOMICILIARIA
01.En la figura BN=6 y NH=9. Si AC=20,
calcular “PQ”.
A
P
H C
Q
N
B
a) 6 b) 7,5 c) 10
d) 8 e) 9

02.Los lados de un triángulo miden 17,19 y 23.
Calcular la medida del menor lado de otro
triángulo semejante a él cuyo perímetro es
177.
a) 26 b) 34 c) 38
d) 46 e) 51
03.En un trapecio las bases miden 4 y 8, además
la altura mide 9. Calcular la distancia del
punto de intersección de las diagonales a la
base menor.
a) 4 b) 2 c) 3,5
d) 3 e) 4,5
04.En un triángulo ABC se traza MN // AC
(“M” en AB y “N” en BC ), tal que
AM=2-x, MB=x+1, BN=x+3 y NC=3,
calcular “AC”
a) 1,5 b) 2,5 c) 3
d) 4,5 e) 5,4
05.Calcular “EC”, si AB=10 y CD=2.
A O D E
C
B
a) 2,5 b) 3 c) 4
d) 5 e) 3,5
06.En la figura, calcular «x».
α° α°θ° θ°
x 2 4
a) 6 b) 1 c) 3
d) 2 e) 4
07.En la figura « G » es baricentro del triángulo
ABC. Calcular «x».
α°
α°
x - 5
x + 4
G
M N
A
B
C
a) 10 b) 8 c) 12
d) 9 e) 14
08.Del gráfico, calcular «x».
Si:
b
1
a
1
+ =1,6
a b
x
37° 37°
a) 0,8 b) 0,9 c) 1,0
d) 1,4 e) 1,6
09.Calcular «x»,si ABCD: romboide.
x
3
A
B C
D
8
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10.En un triángulo ABC, se traza la mediana
BM . Calcular BM, si AB=8 y m )∠
MBC=m )∠A+m )∠C
a) 3 b) 4 c) 2
d) 6 e) 5
11.Si ABCD es un romboide, 4BP = 3BD y
AB=12, calcular “NC”
A
B C
D
NP
a) 2 b) 3 c) 4
d) 6 e) 8
12.En el triángulo ABC se trazan las alturas
AD y CE , tal que AE=12, BE=3 y
BD=5. Calcular “CD”
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
13.En la figura BE=2 y BC=8, calcular “BP”
α° α°
A
B
C
E
P
a) 53 b) 30 c) 45
d) 60 e) 37
14.De la figura adjunta, calcular BQ
A
P
Q
B C
3
2
X
α°
α°
α°
a) 3/5 b) 5/3 c) 1
d) 4/3 e) 3/4
15.En un triángulo ABC se traza la ceviana
BD , tal que: 3AD=2DCy
3
BAC)m
5
BDA)m ∠
=
∠
=M )∠B
CA.
a) 4 b) 5 c) 6
d) 8 e) 9
16.En un ∆ABC: AB=8, BC=6 y AC=7. Las
bisectrices interior y exterior del ángulo B
intersecan a AC y a su prolongación en los
puntos E y F, respectivamente. Calcular
«EF».
a) 20 b) 24 c) 18
d) 22 e) 26
17.De la figura adjunta: BC=4; AB=9: BD=8,
BM // CF y AM=ME. Calcular DE .
EMA
B
C
D
F
a) 15 b) 12 c) 10
d) 6 e) 7,5
18.Del gráfico mostrado ID=
4
AC
y el
perímetro del triángulo ABC es 20m (I es
incentro). Calcular BD.
A D C
B
I
a) 3m b) 5m c) 7m
d) 6m e) 4m

19.En un triángulo ABC una recta paralela a
AC interseca a AB y BC en los
puntos “P” y “Q” respectivamente. Calcular
“PQ” si AP=6, PB=2 y AC=12.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
20.En la figura: AP y CP son tangentes,
AB=9 y BC=4. Calcular PB.
A
B
C
P
a) 6 b) 7,5 c) 6,5
d) 3 2 e) 8
21.En la prolongación del lado Andel
cuadrilátero ABCD se ubica el punto E, tal
que BD es bisectriz del ángulo “B” y m
)∠CDE; AB=18 y BC=8.
Calcular: BD .
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 15
22.Si EF // AC ,3(BF)=2(CF) y BE=6,
Calcular “AD”.
D
E
B
F
A C
30º
x
a) 2 3 b) 4 3 c) 3 3
d) 6 3 e) 12 3
23.En un trapecio las bases miden 4 y 8, además
la altura mide 9. Calcular la distancia del
punto de intersección de las diagonales a la
base menor.
a) 4 b) 2 c) 3,5
d) 3 e) 4,5
24.En un cuadrado ABCD en BC se ubica el
punto “P” y en la región triangular APD se
ubica su baricentro “G”. Luego trazamos , tal
que AH=4. Calcular el perímetro del
cuadrado.
a) 36 b) 44 c) 32
d) 40 e) 48
25.En un trapecio rectángulo ABCD: m )∠
A=m )∠B=90, AC y DB se
intersecan perpendicularmente, BC=18 y
AD=50. Calcular AB.
a) 24 b) 25 c) 30
d) 32 e) 36
26.La mediatriz del lado AC de un triángulo
ABC interseca a BC y a la prolongación de
AB en “M” y “N” respectivamente. Si
4BM=3MC y AB=4, calcular “BN”.
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 15
27.En la figura BM es mediana; AP=2 y
PB=4. Calcular “AC”
P
B
MA C
a) 4 3 b) 4 2 c) 8
d) 6 2 e) 6 3
28.Los lados AB y BC del triángulo ABC
miden 4 y 6; siendo el ángulo ABC de 120.
Calcular la bisectriz BD (D en AC ).
a) 2,5 b) 1,2 c) 1,8
d) 3,6 e) 2,4
SEMEJANZAS DE

Dos triángulos serán semejantes si tienen la
misma forma, pero diferente tamaño.
Si dos triángulos son semejantes entonces se
cumple que todos sus elementos homólogos a los
elementos de uno y otro triángulo semejante que
se encuentran en relación directa.
Para que dos triángulos tengan la misma forma
será necesario que tengan congruentes sus tres
ángulos.
CA
B
θºαº
H
∼
M
N
Lθºαº
Q
Si ∆ABC ∼ ∆MNL
⇒
k...
MQ
AH
NQ
BH
p2
p2
ML
AC
NL
BC
MN
AB
MNL
ABC
=======
∆
∆
El símbolo ∼ , se lee “ es semejante a”
k : Razón de semejanza.
Dados dos triángulos semejantes. Llamaremos
lados homólogos, uno en cada triángulo, a
aquéllos opuestos a ángulos congruentes.
CASOS DE SEMEJANZA
Dos triángulos serán semejantes si cumplen con
cualquiera de los siguientes casos:
1er. Caso: Dos triángulos serán semejantes
si tienen dos ángulos respectivamente
congruentes.
αº θº
αº θº
∼
2do. Caso : Dos triángulos serán semejantes
si tienen dos lados respectivamente
proporcionales y congruente el ángulo
comprendido.
ωº
∼
ωº
ak
bk
a
b
3er. Caso : Dos triángulos serán semejantes
si tienen sus tres lados respectivamente
proporcionales.
∼a b
c
ak bk
ck
Aplicación:
1. En un triángulo ABC, sobre BC se
toma el punto “ D ”, tal que la m ∡ BAD
= m∡ C, BD = 4 y DC = 5. Calcular “ AB
”.
2. Sobre el lado AC de un triángulo ABC
se toma el punto “D” tal que AD = 1,
DC = 8 y AB = 3.
Si BC = 10, calcular “BD”
3. Se tiene un cuadrilátero bicéntrico
ABCD, tal que las prolongaciones de
DCyAB se intersecan en “E”. Si
AE = 8, ED = 10 y AD = 9, calcular
“BC”
Observaciones
1.
CA
NM
B M N
A C
B
Si AC//MN ⇒ ∆ MBN ∼ ∆ ABC
2.
A
B
C
P
Q
Si : CPyAQ son alturas
⇒ ∆ PBQ ∼ ∆ ABC
3.
A
H
B
C
αº
αº
αº90º -
Del gráfico:
AHB BHC ABC∼ ∼
Propiedad
A D
B C
P Q
O
a
b
Si : AD//PQ//BC
⇒
ba
ab2
PQ
+
= y PO = OQ
Observación:
Del gráfico se cumple
a
bx
ba
ab
x
+
=
TEOREMA DE MENELAO
AQ, BQ, CL = PB, QC, AL
A
B
C
P
Q
L
L

TEOREMA DE CEVA
“Tres cevianas concurrentes trazadas desde
los vértices de un triángulo, determinan sobre
sus lados seis segmentos, cumpliéndose que
el producto de tres de ellos considerados en
forma no consecutiva es igual al producto de
los tres restantes”.
Sean las cevianas concurrentes
CMyBL,AN trazadas en el ∆
ABC. Entonces se verificará la siguiente
relación:
AM . BN . CL = BM . NC . AL
A
B
C
L
N
M
Propiedad :
A
B
E
D C
α
θ
θ
α
Se cumple:
CE
AE
DC
AD
=
01.Del gráfico calcular “x”
x
x
9
4
αº
β º
αº
β º
a) 3b) 4 c) 4, 5
d) 6 e) 8
02.Si AC//MN , calcular “x”
A
x + 2
B
C
M N
x - 2 3k
5k
a) 5 b) 7c) 9
d) 10 e) 12
03.Calcular “x”
x n
2n
18
45º
a) 23 b) 4c) 6
d) 32 e) 62
04.Calcular “x”.
A
C
B
x D
E
12
15
6
a) 5 b) 7, 5 c) 9
d) 10 e) 12, 5
05.Si : AC//MN , AM = 7 , AB = 10 y
CN = MN + 12. Calcular MN
A
B
C
M N
θº
θº
a) 7 b) 8c) 9
d) 10 e) 15
06.En la figura TO = 2 y AO . OR = 12. Calcular
: OC
A
B
C
T R
o
a) 3 b) 4c) 5
d) 6 e) 7
07.En la figura mostrada si AD = 8 ; DC = 10,
calcular AB
A
B
C
D
αº
αº
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
08.Calcular “ AT ”, si “ T ”es punto de
tangencia, AB = 4 y TC = 3TB
A B
C
T
a) 6 b) 8c) 10
d) 12 e) 16
09.Si AB = 8 y BD = 6 , Calcular “ BC ”.
A
B
D
C
θº θº
θº
a) 4 b) 4, 5 c) 5
d) 5, 5 e) 7, 5
10.Los lados de un triángulo miden 4, 7 y 10. Si
otro triángulo semejante al primero tiene un
perímetro de 147, calcular la medida de su
lado menor.
a) 24 b) 28 c) 30
d) 32 e) 20
11.En la figura mostrada BC = 8 y AD = 18.
Calcular AB
A D
B C
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
12.En un triángulo ABC : AB = 3, BC = 6 y m ∡
ABC = 120. Si BD es bisectriz interior,
calcular “ BD ”.

a) 1 b) 3 c) 2
d) 32 e) 3
13.En la figura, si AT = 2 y MC = 8, Calcular R,
“ T ” y “ M ” puntos de tangencia
A
B
T
M
R
O
C
a) 3 b) 4c) 5
d) 6 e) 7
14.En la figura mostrada BM = MA, si BC = 4 y
AD = 9, calcular AB.
A D
B C
M
a) 8 b) 9c) 10
d) 11 e) 12
15.En la figura “ O ” es centro, OE = 9 y OF =
16. Calcular “ OA ”
A E
O
T F
a) 8 b) 12, 5 c) 12
d) 15 e) 18
16.En la figura : CD = 3BE, AE = 7, AD = 4.
Calcular BE
B
E
A
C
D
θº θº
a) 5 b) 5, 4 c) 6
d) 6, 6 e) 7, 2
17.En la figura el diámetro AC mide 8, AB =
2BM. Calcular MN
A
B
C
M
N
a) 2 b) 32 c) 4
d) 34 e) 6
18.En la figura AE = 2 y EB = 4. Calcular “BC”.
A
B
D
E
C
αº αº
a) 2 b) 3c) 4
d) 6 e) 7, 5
19.En la figura mostrada calcular “x”
A
6F
C
2 x
D
B
a) 1, 5 b) 2c) 2, 5
d) 3 e) 3, 5
TAREA DOMICILIARIA
01.Los ángulos de un triángulo miden 17; 19 y
23 . Calcular la medida del menor lado de
otro triángulo semejante a él; cuyo perímetro
es 177.
a) 26 b) 34 c) 38
d) 46 e) 51
02.Calcular “x”
A
C
B
x D
E
12
15
6
a) 5 b) 7, 5 c) 9
d) 10 e) 12, 5
03.En la figura se cumple : 2 (ED) = CB ; AB
= 5 y AD = 6. Calcular “ED”.
A
D
C
E
B
α º
α º
a) 2, 5 b) 2, 55 c) 2, 65
d) 2, 75 e) 2, 85
04.En el triángulo ABC se trazan las alturas AD
y CE tal que : AE = 12; BE = 3; BD = 5.
Calcular “CD”
a) 2 b) 3c) 4
d) 5 e) 6
05.En la figura BN = 6 y NH = 9. SI AC = 20,
calcular “PQ”
B
P Q
C
N
A
H
a) 6 b) 7, 5 c) 10
d) 8 e) 9
06.ABCD : cuadrado; cuyo perímetro es 24
calcular HP; si : BM = MC
A
B C
D
H M
P
a) 1 b) 1, 5 c) 2
d) 2, 5 e) 3
07.Calcular “DE”, si AB = 14, BC = 6 y AG
= 5.
G
B
A
E
C
D
αº αº
a) 1 b) 4c) 2
d) 1, 5 e) 3
08.Si BC//MN , AB = 18,
AC = 27 y BC = 36. Calcular AM para que
el perímetro del triángulo AMN sea igual al
perímetro del trapecio BMNC.

A
B C
M N
a) 14, 25 b) 16, 2 c) 12, 5
d) 18, 2 e) 19, 25
09.En un trapecio, el punto de intersección de las
diagonales dista 3 de la base menor y 4 de la
base mayor. ¿A qué distancia de la base
menor se encuentra el punto de intersección
de los lados no paralelos?
a) 7 b) 14 c) 21
d) 12 e) 18
10.Si “ C ” es punto de tangencia , AC = 9 ; BC
= 6 ; CD = 5; calcular CE.
A
B
D
E
C
a) 4 b) 11/ 3 c) 10/ 3
d) 13/ 3 e) 14/ 3
11.En un trapecio ABC; BC = 18, la mediana
BM y la bisectriz interior AD son
perpendiculares; calcular “ BD ”.
a) 4, 5 b) 6c) 7, 8
d) 8 e) 9
12.En la figura : AH = 3 y BC = 9. Calcular
“PQ”.
A
H
B
P
C
Q
a) 0, 5 b) 1c) 1, 5
d) 2 e) 3
13.Si : PQ = 2, PS = 5 y AD = 7; calcular BC
B
C
S
DA
Q P
a) 3, 5 b) 6 c) 7
d) 7, 5 e) 8
14.Por el baricentro de una región triangular se
traza una paralela a un lado, determinándose
un triángulo parcial cuyo perímetro es 4.
Calcular el perímetro del triángulo inicial.
a) 5 b) 6c) 8
d) 12 e) 9
15.En un trapecio rectángulo las bases miden 4 y
9. Calcular la medida de la altura del trapecio
si las diagonales son perpendiculares entre sí.
a) 5 b) 9c) 8
d) 6 e) 12
16.Del gráfico, “ P ” es un punto de tangencia,
AM = 18 y NB = 8 . Calcular : “ PQ ”.
A
N
B
MP
Q
a) 9 b) 10 c) 12
d) 15 e) 8
17.En un triángulo ABC, m ∡ A = 2 m ∡ C ; AB
= 4 y AC = 5. Calcular BC.
a) 23 b) 5, 5 c) 6
d) 34 e) 7
18.En un triángulo ABC ( AB = BC ) se trazan
las alturas BH y AQ que se intersecan en
“O”.
Si : OH = 1 y OB = 8, calcular “AC”
a) 3 b) 3c) 33
d) 6 e) 9
19.Dado el romboide ABCD : AB = 9 y AD =
12, en AC se ubica el punto “P” cuya
distancia a AB es 6. Calcular la distancia
de “ P ” a AD
a) 4, 5 b) 5c) 3
d) 8 e) 7, 5
20.Las bases de un trapecio miden 10 y 20. Se
traza una paralela a las bases que dividen a
los lados no paralelos e segmentos
proporcionales a 2 y 3. Calcular la longitud
de dicha paralela.
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 18
21.En el gráfico mostrado, 3 (CD) = 4 (DE) y
BC = 8u. Calcular AB; siendo C punto de
tangencia.
A
C
E
D
B
a) 7 u b) 6 u c) 6, 5 u
d) 5 u e) 5, 5
22.Si L es mediatriz de AB , CB = 3 (TC)
y AN = 8 cm, calcular NC.
A
C
N
B
T
L
a) 1,5 cm. b) 2 cm. C) 3 cm.
d) 4 cm. e) 3, 5 cm.
23.Del gráfico 2
1 m4S =
2
2 m3S =
Calcular 3S
A
B
E
D C
S1 S2
S3
αº αº
β º
β º
a) 10 2
m b) 21 2
m c) 7 2
m
d) 5 2
m e) 15 2
m
24.De la figura adjunta se cumple:

4
BC
3
OB
2
AO
==
Calcular MO, si MP = 15,
321 L//L//L
A
N
P C
B
O
M
L1
L2
L3
a) 1 b) 1, 5 c) 5
d) 10/3 e) 2, 5
25.Si ABCD es un romboide, PM = 2 y MN =
16, calcular AP.
A
N
B
D
P
M
C
a) 8 b) 3 2 c) 3
d) 4 e) 12
26.De la figura adjunta AC//PQ ; si AL =
6, calcular LC
A
B
C
P
L
Q
a) 8 b) 6 c) 12
d) 3 e) 4, 5
27.De la figura adjunta : AL = 2; AU = 1.
Calcular UP.
T
A U PL
M
N
a) 6 b) 3 c) 2
d) 4, 5 e) 9
28.De la figura adjunta :
5
1
c
1
a
1
=+ .
Calcular BD.
B
A D C
c
x
a
53º 53º
a) 7 b) 6 c) 10
d) 12 e) 9
29.En la figura “O” es centro, AB = 3BE y AE
= 6. Calcular “EC”
A
B
C
D
E
O
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 4, 5
30.Se tiene un triángulo ABC de bisectriz
interior BD . Calcular el máximo valor
entero de ID, siendo I: incentro del triángulo
ABC y IB = 4
a) 2 b) 5 c) 1
d) 3 e) 4
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