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Gobierno Bolivariano de Venezuela
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder popular para la Educación superior
Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara
“Andrés Eloy Blanco”.
Barquisimeto, Estado- Lara
Integrante:
Joan Cortez CI: 18.334.924
Unidad Curricular: Matemática
Prof.: María Morales
Trabajo de matemática
investigación y presentación.
Barquisimeto, Enero 28 /2021.
Plano Numérico.
Distancia.
Punto medio.
Ecuaciones y trazado de circunferencias.
Parábolas.
Elipses.
Hipérbola.
Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas.
contenido
Unidad 2
Plano cartesiano El plano cartesiano o sistema de ejes coordenados es la representación gráfica
matemática donde dos líneas numeradas se interceptan. Recibe este nombre en honor al
matemático y filósofo René Descartes (1596-1650).
Características del plano cartesiano.
Los ejes de coordenadas son perpendiculares entre sí.
Las escalas de los ejes son iguales.
Los números positivos están a la derecha del origen en el eje de las x y por arriba del origen en el eje de
las y.
Los puntos en los ejes no pertenecen a ningún cuadrante.
Es bidimensional.
Plano numérico
Plano numérico
Partes del plano cartesiano.
Partes del plano cartesiano
En el plano cartesiano se pueden identificar varios elementos:
Los ejes de coordenadas: son dos líneas numeradas que se cruzan delimitando ángulos rectos entre sí.
El origen: es el punto de intersección entre los dos ejes de coordenadas.
El eje de abscisas o eje de las x: es la línea horizontal de los ejes de coordenadas.
Hacia la derecha del origen se encuentran los valores positivos, hacia la izquierda, se encuentran los
valores negativos.
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encuentran los valores positivos; por debajo, los valores negativos.
Los cuadrantes del plano cartesiano: son las cuatros regiones en que se divide el plano por causa de los
ejes x y y. En el primer cuadrante, los valores de x y y son positivos; en el segundo cuadrante, los
valores de x son negativos y los de y son positivos; en el tercer cuadrante, tanto x como y son
negativos; en el cuarto cuadrante, los valores de x son positivos y los de y son negativos.
Plano numérico
Abscisa y ordenada de un punto.
La abscisa y la ordenada de un punto son las coordenadas cartesianas del punto. Se representa por un
par de números encerrados en un paréntesis y separados por una coma. El primer número es la
distancia de un punto hasta el eje x o abscisa del punto; el segundo número es la distancia del punto
hasta el eje y.: (x, y). Por ejemplo, el punto de coordenadas (2, 4) significa que ese punto está
localizado a 2 unidades del eje de abscisas x y a 4 unidades del eje de ordenadas y.
¿Para qué sirve el plano cartesiano?
El plano cartesiano nos permite:
Localizar las coordenadas de los puntos en un plano.
Determinar la línea recta que pasa por dos puntos.
Dibujar polígonos conociendo los puntos de sus vértices.
Representar gráficamente una función.
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¿Para qué sirve el plano cartesiano?
El plano cartesiano nos permite:
Localizar las coordenadas de los puntos en un plano. Determinar la línea recta que pasa por dos puntos.
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¿Cómo se hace un plano cartesiano?
Usando un papel cuadriculado o papel milimétrico, trazamos una línea horizontal que será el eje de las
abscisas (x); luego trazamos una línea vertical que será el eje de las ordenadas. El punto donde se
cortan o interceptan las dos rectas será nuestro punto de origen (0, 0). A seguir, marcamos las
divisiones o intervalos en cada recta, con la misma distancia en las dos rectas y los numeramos. Del
lado izquierdo del origen, colocaremos los números positivos para el eje x; del lado izquierdo se
colocan los valores negativos.
En el eje y, colocamos arriba del origen los números positivos y abajo del origen los números negativos.
Ejemplo plano cartesiano con coordenadas .
En el plano cartesiano abajo están localizados varios puntos, cuyas coordenadas cartesianas son:
Plano numérico
Plano numérico
punto A = (2,2) en el primer cuadrante;
punto B = (-7,4) en el segundo cuadrante;
punto C = (-7, -3) en el tercer cuadrante;
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punto E = (5, 4) en el primer cuadrante;
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punto G = (-3, -3) en el tercer cuadrante y punto H = (3, -
2) en el cuarto cuadrante.
Distancia.
Midiendo distancia en el plano.
Ejemplo: Encuentre la distancia entre los puntos A (-5, 4) y B (-1, 4) en el plano.
Para calcular la distancia horizontal entre A y B determinamos el valor absoluto de
la diferencia entre las coordenadas en x. d(A,B) = (−5) − (−1) d(A,B) = 4
Ejemplo: Encuentre la distancia entre los puntos A (3, 2) y B (3, -5) en el plano.
Para calcular la distancia vertical entre A y B determinamos el valor absoluto de la diferencia entre las
coordenadas en y
Midiendo distancia en el plano.
Formula de distancia.
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La fórmula de distancia entre dos puntos en el plano de puede determinar con la
fórmula:
Aplicando la formula de la distancia.
Ejemplo: Hallar d(A,B) en el plano si A(-3,6) y B(5,1).
Primero, localice los puntos A(-3,6) y B(5,1) en el plano.
Punto medio.
¿Qué es el punto medio de un segmento?
En matemáticas, el punto medio de un segmento es aquel punto que se encuentra a la misma distancia
de los extremos de un segmento. Por lo tanto, el punto medio divide el segmento en dos partes
iguales.
Además, el punto medio está justo en el centro del segmento, por lo que pertenece a la
mediatriz del segmento.
Por otro lado, el punto medio de un segmento también es un punto equidistante de dos
elementos geométricos: los dos extremos del segmento.
¿Cómo se calcula el puno medio de un segmento?
Dadas las coordenadas cartesianas de los puntos extremos de un segmento:
Las coordenadas del punto medio de dicho segmento corresponde a la
semisuma de las coordenadas de los puntos extremos:
(fórmula)
Veamos un ejemplo de cómo calcular las coordenadas del punto medio de un segmento:
Determina el punto medio del segmento que forman los siguientes puntos:
¿Cómo se calcula el puno medio de un segmento?
Para hallar el punto medio del segmento, lo único que debemos hacer es aplicar su fórmula:
Problema de practica
El punto A esta en (-6,8) y el punto B esta en (6,-7).
¿Cuál es el punto medio del segmento de recta
La coordenada ( x) del punto medio es el promedio de las coordenadas (x) de ( A y B).
Problema de practica
La coordenada ( y) del punto medio es el promedio de las coordenadas ( y) de ( A y B)
Problema de practica
El punto medio es (0,0.5).
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Circunferencia: Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto
cualquiera de dicha circunferencia al centro.
Ecuación analítica de la circunferencia:
Ecuación analítica de la circunferencia: si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas,
las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y
por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r 2 = x 2 + y 2 . Puesto que la distancia entre el
centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r
tendremos que: r 2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los
cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos. x 2 + y 2 – 2ax –2by – r2 = 0.
Ecuaciones y trazado de circunferencias.
 Ecuación analítica de la circunferencia: si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas,
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 Si reemplazamos – 2a = D; – 2b = E; F = a2 + b2 – r2 tendremos que:
 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 Ejemplo:
 Si tenemos la ecuación x 2 + y 2 + 6x – 8y – 11 = 0 Entonces tenemos que:
 D = 6 Þ 6 = – 2a Þ a = – 3 E = – 8 →
 – 8 = – 2b → b = 4 El centro de la circunferencia es (– 3, 4).
 Hallemos el radio F = (– 3)2 + 42 – r2 Þ – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 →
 r = 6
 La ecuación de la circunferencia queda:
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Ecuaciones y trazado de circunferencias.
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Parábola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco
y de una recta fija llamada directriz .
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Supongamos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y = – c, por lo tanto el
vértice está en su punto medio (0,0), si tomamos un punto cualquiera P = (x , y) de la parábola y un
punto Q = (x, – c) de la recta debe de cumplirse que: PF = PQ
parabolas.
parabolas.
Ecuación analítica de la parábola:
Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es
constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Ecuación analítica de la elipse:
Elipse.
para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el
eje de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0).
Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas
coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las
distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el
eje x. Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitágoras tenemos
que:
Elipse.
Elipse.
 Hipérbola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos
puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola .
Hipérbola.
 Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente podemos llegar a esta
expresión:
Hipérbola.
nuevamente a partir del dibujo y aplicando Pitágoras
podemos obtener que .
y por lo tanto la ecuación nos queda:
Dividiendo cada término por obtenemos:
Si la hipérbola estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería
de ser:
Hipérbola.
 Definición: Las cónicas son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un
plano. El ángulo que forman el plano y el eje del cono, comparado con el ángulo que forman el eje y
 la generatriz del cono determina las distintas clases de cónicas. Además son sección cónica (o
simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se
clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.
 Esquema de las cónicas.
Representar gráficamente las ecuaciones cónicas.
 Ecuaciones de las cónicas.
Representar gráficamente las ecuaciones cónicas.
 Ecuaciones de las cónicas.
Representar gráficamente las ecuaciones cónicas.
 Ecuaciones de las cónicas.
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 Clasificación de las cónicas.
Representar gráficamente las ecuaciones cónicas.
Planchart, E. (S.F). Guías de estudio para el curso audiovisual GEOMETRÍA MA1511.Disponible en:
http://gecousb.com.ve/guias/GECO/Geometr%C3%ADa%20(MA-
1511)/Gu%C3%ADas%20(MA-1511)/MA-1511%20Gu%C3%ADa%20del%20Prof.%20Planchart.pdf
[consultado 19 enero 2021]
Bíblico grafía.
Expresiones algebraicas.(2014). Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=GyUkFQXKj4E
[Consultado 19 enero 2021].
Fuentes, J. (2019). TODOS LOS CASOS DE FACTORIZACION . Disponible en :
https://www.youtube.com/watch?v=athYuPXPkeY [consultado 04 enero 2021]
Algebra y Geometría analítica. Disponible en:
https://aga.frba.utn.edu.ar/hiperbola/ [ Consultado 20 enero 2021]

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Plano numerico de joan cortez. unidad 2

  • 1. Gobierno Bolivariano de Venezuela República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder popular para la Educación superior Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara “Andrés Eloy Blanco”. Barquisimeto, Estado- Lara
  • 2. Integrante: Joan Cortez CI: 18.334.924 Unidad Curricular: Matemática Prof.: María Morales Trabajo de matemática investigación y presentación. Barquisimeto, Enero 28 /2021.
  • 3. Plano Numérico. Distancia. Punto medio. Ecuaciones y trazado de circunferencias. Parábolas. Elipses. Hipérbola. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas. contenido Unidad 2
  • 4. Plano cartesiano El plano cartesiano o sistema de ejes coordenados es la representación gráfica matemática donde dos líneas numeradas se interceptan. Recibe este nombre en honor al matemático y filósofo René Descartes (1596-1650). Características del plano cartesiano. Los ejes de coordenadas son perpendiculares entre sí. Las escalas de los ejes son iguales. Los números positivos están a la derecha del origen en el eje de las x y por arriba del origen en el eje de las y. Los puntos en los ejes no pertenecen a ningún cuadrante. Es bidimensional. Plano numérico
  • 5. Plano numérico Partes del plano cartesiano.
  • 6. Partes del plano cartesiano En el plano cartesiano se pueden identificar varios elementos: Los ejes de coordenadas: son dos líneas numeradas que se cruzan delimitando ángulos rectos entre sí. El origen: es el punto de intersección entre los dos ejes de coordenadas. El eje de abscisas o eje de las x: es la línea horizontal de los ejes de coordenadas. Hacia la derecha del origen se encuentran los valores positivos, hacia la izquierda, se encuentran los valores negativos. El eje de ordenadas o eje de las y: es la línea vertical de los ejes de coordenadas. Por arriba del origen se encuentran los valores positivos; por debajo, los valores negativos. Los cuadrantes del plano cartesiano: son las cuatros regiones en que se divide el plano por causa de los ejes x y y. En el primer cuadrante, los valores de x y y son positivos; en el segundo cuadrante, los valores de x son negativos y los de y son positivos; en el tercer cuadrante, tanto x como y son negativos; en el cuarto cuadrante, los valores de x son positivos y los de y son negativos.
  • 7. Plano numérico Abscisa y ordenada de un punto. La abscisa y la ordenada de un punto son las coordenadas cartesianas del punto. Se representa por un par de números encerrados en un paréntesis y separados por una coma. El primer número es la distancia de un punto hasta el eje x o abscisa del punto; el segundo número es la distancia del punto hasta el eje y.: (x, y). Por ejemplo, el punto de coordenadas (2, 4) significa que ese punto está localizado a 2 unidades del eje de abscisas x y a 4 unidades del eje de ordenadas y. ¿Para qué sirve el plano cartesiano? El plano cartesiano nos permite: Localizar las coordenadas de los puntos en un plano. Determinar la línea recta que pasa por dos puntos. Dibujar polígonos conociendo los puntos de sus vértices. Representar gráficamente una función.
  • 8. Plano numérico ¿Para qué sirve el plano cartesiano? El plano cartesiano nos permite: Localizar las coordenadas de los puntos en un plano. Determinar la línea recta que pasa por dos puntos. Dibujar polígonos conociendo los puntos de sus vértices. Representar gráficamente una función. ¿Cómo se hace un plano cartesiano? Usando un papel cuadriculado o papel milimétrico, trazamos una línea horizontal que será el eje de las abscisas (x); luego trazamos una línea vertical que será el eje de las ordenadas. El punto donde se cortan o interceptan las dos rectas será nuestro punto de origen (0, 0). A seguir, marcamos las divisiones o intervalos en cada recta, con la misma distancia en las dos rectas y los numeramos. Del lado izquierdo del origen, colocaremos los números positivos para el eje x; del lado izquierdo se colocan los valores negativos. En el eje y, colocamos arriba del origen los números positivos y abajo del origen los números negativos.
  • 9. Ejemplo plano cartesiano con coordenadas . En el plano cartesiano abajo están localizados varios puntos, cuyas coordenadas cartesianas son: Plano numérico
  • 10. Plano numérico punto A = (2,2) en el primer cuadrante; punto B = (-7,4) en el segundo cuadrante; punto C = (-7, -3) en el tercer cuadrante; punto D = (3, -5) en el cuarto cuadrante; punto E = (5, 4) en el primer cuadrante; punto F = (-2, 1) en el segundo cuadrante; punto G = (-3, -3) en el tercer cuadrante y punto H = (3, - 2) en el cuarto cuadrante.
  • 11. Distancia. Midiendo distancia en el plano. Ejemplo: Encuentre la distancia entre los puntos A (-5, 4) y B (-1, 4) en el plano. Para calcular la distancia horizontal entre A y B determinamos el valor absoluto de la diferencia entre las coordenadas en x. d(A,B) = (−5) − (−1) d(A,B) = 4
  • 12. Ejemplo: Encuentre la distancia entre los puntos A (3, 2) y B (3, -5) en el plano. Para calcular la distancia vertical entre A y B determinamos el valor absoluto de la diferencia entre las coordenadas en y Midiendo distancia en el plano.
  • 13. Formula de distancia. Sean P1 y P2 dos puntos en el plano, La fórmula de distancia entre dos puntos en el plano de puede determinar con la fórmula:
  • 14. Aplicando la formula de la distancia. Ejemplo: Hallar d(A,B) en el plano si A(-3,6) y B(5,1). Primero, localice los puntos A(-3,6) y B(5,1) en el plano.
  • 15. Punto medio. ¿Qué es el punto medio de un segmento? En matemáticas, el punto medio de un segmento es aquel punto que se encuentra a la misma distancia de los extremos de un segmento. Por lo tanto, el punto medio divide el segmento en dos partes iguales. Además, el punto medio está justo en el centro del segmento, por lo que pertenece a la mediatriz del segmento. Por otro lado, el punto medio de un segmento también es un punto equidistante de dos elementos geométricos: los dos extremos del segmento.
  • 16. ¿Cómo se calcula el puno medio de un segmento? Dadas las coordenadas cartesianas de los puntos extremos de un segmento: Las coordenadas del punto medio de dicho segmento corresponde a la semisuma de las coordenadas de los puntos extremos: (fórmula)
  • 17. Veamos un ejemplo de cómo calcular las coordenadas del punto medio de un segmento: Determina el punto medio del segmento que forman los siguientes puntos: ¿Cómo se calcula el puno medio de un segmento? Para hallar el punto medio del segmento, lo único que debemos hacer es aplicar su fórmula:
  • 18. Problema de practica El punto A esta en (-6,8) y el punto B esta en (6,-7). ¿Cuál es el punto medio del segmento de recta
  • 19. La coordenada ( x) del punto medio es el promedio de las coordenadas (x) de ( A y B). Problema de practica
  • 20. La coordenada ( y) del punto medio es el promedio de las coordenadas ( y) de ( A y B) Problema de practica
  • 21. El punto medio es (0,0.5). Problema de practica
  • 22. Circunferencia: Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro. Ecuación analítica de la circunferencia: Ecuación analítica de la circunferencia: si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r 2 = x 2 + y 2 . Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r 2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos. x 2 + y 2 – 2ax –2by – r2 = 0. Ecuaciones y trazado de circunferencias.
  • 23.  Ecuación analítica de la circunferencia: si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r 2 = x 2 + y 2 . Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r 2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos x 2 + y 2 – 2ax –2by – r2 = 0.  Si reemplazamos – 2a = D; – 2b = E; F = a2 + b2 – r2 tendremos que:  x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 Ejemplo:  Si tenemos la ecuación x 2 + y 2 + 6x – 8y – 11 = 0 Entonces tenemos que:  D = 6 Þ 6 = – 2a Þ a = – 3 E = – 8 →  – 8 = – 2b → b = 4 El centro de la circunferencia es (– 3, 4).  Hallemos el radio F = (– 3)2 + 42 – r2 Þ – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 →  r = 6  La ecuación de la circunferencia queda:  (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36 Ecuaciones y trazado de circunferencias.
  • 24. Ecuaciones y trazado de circunferencias.
  • 25. Parábola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz . Ecuación analítica de la parábola: Supongamos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y = – c, por lo tanto el vértice está en su punto medio (0,0), si tomamos un punto cualquiera P = (x , y) de la parábola y un punto Q = (x, – c) de la recta debe de cumplirse que: PF = PQ parabolas.
  • 27. Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. Ecuación analítica de la elipse: Elipse. para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitágoras tenemos que:
  • 30.  Hipérbola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola . Hipérbola.
  • 31.  Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente podemos llegar a esta expresión: Hipérbola. nuevamente a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que . y por lo tanto la ecuación nos queda: Dividiendo cada término por obtenemos: Si la hipérbola estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:
  • 33.  Definición: Las cónicas son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano. El ángulo que forman el plano y el eje del cono, comparado con el ángulo que forman el eje y  la generatriz del cono determina las distintas clases de cónicas. Además son sección cónica (o simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.  Esquema de las cónicas. Representar gráficamente las ecuaciones cónicas.
  • 34.  Ecuaciones de las cónicas. Representar gráficamente las ecuaciones cónicas.
  • 35.  Ecuaciones de las cónicas. Representar gráficamente las ecuaciones cónicas.
  • 36.  Ecuaciones de las cónicas. Representar gráficamente las ecuaciones cónicas.
  • 37.  Clasificación de las cónicas. Representar gráficamente las ecuaciones cónicas.
  • 38. Planchart, E. (S.F). Guías de estudio para el curso audiovisual GEOMETRÍA MA1511.Disponible en: http://gecousb.com.ve/guias/GECO/Geometr%C3%ADa%20(MA- 1511)/Gu%C3%ADas%20(MA-1511)/MA-1511%20Gu%C3%ADa%20del%20Prof.%20Planchart.pdf [consultado 19 enero 2021] Bíblico grafía. Expresiones algebraicas.(2014). Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=GyUkFQXKj4E [Consultado 19 enero 2021]. Fuentes, J. (2019). TODOS LOS CASOS DE FACTORIZACION . Disponible en : https://www.youtube.com/watch?v=athYuPXPkeY [consultado 04 enero 2021] Algebra y Geometría analítica. Disponible en: https://aga.frba.utn.edu.ar/hiperbola/ [ Consultado 20 enero 2021]