El documento define los conceptos básicos de grafos, incluyendo vértices, aristas, grafos nulos, completos y complementarios. Luego introduce conceptos como incidencia, adyacencia, grado de un vértice, subgrafos y grafos isomorfos. Finalmente, explica cómo calcular el número de aristas de un grafo a través de la suma de los grados de sus vértices.

1. 1
Grafos
Un grafo es un diagrama geométrico que representa alguna situación en particular. Los grafos se
simbolizan por medio de una letra G. Los puntos A, B, C, D, E, F,… se llaman vértices. Los segmentos o
líneas (que pueden ser líneas) que conectan entre sí los vértices a los vértices se llaman aristas.
Por ejemplo:
Definiciones básicas:
Grafo Nulo o Vacío: es un grafo donde no hay ninguna conexión entre vértices. Se los suele notar como 𝑁 𝑚
donde 𝑚 representa la cantidad de vértices.
Grafo Completo: un grafo se dice completo si tiene todos sus pares de vértices conectados entre sí por una
arista. A este tipo de grafos se lo simboliza 𝐾 𝑚 donde 𝑚 representa la cantidad de vértices.
Observación: A los grafos completos se los suele dibujar como un polígono regular con todas sus diagonales.
𝑁1 𝑁2 𝑁4𝑁3

2. 2
Grafo complementario: si se considera un grafo en el que no todos los vértices se hallan conectados entre sí,
siempre resulta posible complementarlo. Es decir, se pueden trazar las aristas que faltan para hacerlo
completo; al grafo que completó al original se lo llama COMPLEMENTO del anterior. Es decir,
“si G es un grafo de n vértices que no es completo, denominaremos complemento de G o grafo
complementario de G, al grafo G’ que tiene los mismos n vértices de G, pero cuyas aristas son las que le
faltan a G para que sea completo”.
Por ejemplo, si G es el siguiente grafo
Su grafo complementario G’ es:
Observación: G∪G’=𝐾 𝑚
Definición formal:
“Se denomina grafo G a una terna (V, A, f), en la que V es un conjunto finito de puntos
(vértices), A es un conjunto finito de segmentos o líneas no necesariamente rectas (aristas) y f
es una relación tal que a un par de puntos de V le hace corresponder un elemento de A”.
Definiciones:
 Incidencia: un vértice y una arista son incidentes si el vértice es uno de los extremos de la arista.
 Adyacencia de vértices: dos vértices son adyacentes si son extremos de una misma arista.
𝐾6

3. 3
 Adyacencia de aristas: dos aristas son adyacentes si tienen un vértice es común.
 Grado de un vértice: se denomina grado de un vértice al número de aristas que inciden en él. Se
simboliza g(A), g(B),…. Según que los vértices sean A, B,….
 Vértice aislado: un vértice es aislado cuando su grado es 0. En un grafo nulo todos los vértices son
aislados.
 Vértice pendiente. Un vértice es pendiente cuando su grado es 1.
 Aristas múltiples: si un mismo par de vértices están unidos por más de una arista, a las aristas que
unen ese par de vértices se las denomina aristas múltiples.
 Lazo, rulo o bucle: es aquella arista que comienza y termina en el mismo vértice; luego los extremos
de la arista que forma lazo coinciden.
 Grafo k-regular: es aquel grafo en el que todos sus vértices son de grado k. Todo grafo completo de n
vértices es (n-1)-regular, donde n-1 es el grado de cada vértice.
 Grafo sencillo: se denomina así a los grafos que no tienen lazos ni aristas múltiples.
De aquí en más, salvo especificaciones, nos referimos por grafos a grafos sencillos.
Matrices asociadas a grafos:
Matriz de incidencia:
Representación matricial mencionando las incidencias que las aristas tienen sobre los vértices.
Vértices/Aristas 1 2 3 4 5 6 7 8
A 1 0 0 0 0 0 0 1
B 1 1 0 1 0 0 0 0
C 0 1 1 0 1 0 0 0
D 0 0 1 0 0 0 0 0
E 0 0 0 1 0 1 0 0
F 0 0 0 0 1 1 1 0
G 0 0 0 0 0 0 1 1
Observación: contando las cruces en cada fila se obtiene el grado del vértice correspondiente a esa fila.
Matriz de adyacencia de aristas:
Se representan las aristas adyacentes, poniendo una cruz en caso de tratarse de aristas adyacentes, es
decir si comparten un extremo.
1
2
3
4
5
6
7
8

4. 4
Aristas 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 0 1 0 0 0 1
2 1 1 1 1 0 0 0
3 0 1 0 1 0 0 0
4 1 1 0 0 1 0 0
5 0 0 1 0 1 1 0
6 0 0 0 1 1 1 0
7 0 0 0 0 1 1 1
8 1 0 0 0 0 0 1
Matriz de adyacencia de vértices:
Se representan los vértices adyacentes, es decir aquellos que están conectados por una arista.
Vértices A B C D E F G
A 1 0 0 0 0 1
B 1 1 0 1 0 0
C 0 1 1 0 1 0
D 0 0 1 0 0 0
E 0 1 0 0 1 0
F 0 0 1 0 1 1
G 1 0 0 0 0 1
Importante: las matrices de incidencia y adyacencia de vértices brindan la misma información. El motivo
es que cuando una arista incide sobre un vértice, lo hace también en otro (una arista tiene dos extremos).
Que es equivalente a que esos vértices sean equivalentes.
Subgrafos:
Si 𝐺 = (𝑉, 𝐴, 𝑓) es un grafo de 𝑣 vértices y 𝑎 aristas, el grafo 𝐺’ = (𝑉’, 𝐴’, 𝑔) de 𝑤 vértices y 𝑏 aristas es un
subgrafo de g, si:
i. ∅ ≠ 𝑉′ ⊂ 𝑉
ii. 𝐴′ ⊂ 𝐴
iii. 𝑔 es la restricción de 𝑓 en 𝐴′.
Un ejemplo particular de este concepto es el subgrafo restante respecto de un vértice v, es subgrafo
restante respecto de la arista a se obtiene del grafo G omitiendo dicha arista. El subgrafo generado por un
subconjunto de vértices llamado V’, es el grafo que tiene a V’ como conjunto de vértices y cuyo conjunto de
aristas A’ está formado por todas las aristas del grafo original G que tiene ambos extremos en V’.
Grafo G Grafo G1

5. 5
Grafo G2 Grafo G3
G1 es subgrafo maximal de G. 𝑉 = 𝑉′.
G2 es subgrafo de G. 𝑉 ⊂ 𝑉′
G3 no es subgrafo de G (pues la arista BD ∉ G)
En consecuencia, para que un grafo no vacío H sea subgrafo de otro G, debe tener H vértices que sean de G
y sus aristas deben también ser aristas de G.
Grafos isomorfos:
Dos grafos G1 y G2 son isomorfos si existen correspondencias biunívocas entre sus vértices (vértices de G1
con vértices de G2) o entre vértices de uno y las regiones limitadas por aristas adyacentes en el otro y para
cada par de vértices de G1, digamos A y B, conectados por una arista, resulta que los correspondientes
vértices A’ y B’, de G2 también están conectados por una arista.
Consecuencias de la definición:
1. Dos grafos isomorfos tienen el mismo número de aristas, pero no es cierto que dos grafos que
tengan el mismo número de aristas sean isomorfos aunque tengan igual cantidad de vértices.
2. Si dos grafos son isomorfos, entonces en ambos se mantienen las relaciones de adyacencia e
incidencia entre aristas y vértices.
3. Como consecuencia de 2, grafos isomorfos son aquellos que conservan el mismo grado de relaciones
entre vértices y aristas, aunque geométricamente se expresen en diagramas diferentes.
4. En grafos isomorfos ambas matrices de adyacencia y la de incidencia son equivalentes.
Ejemplos:
1. Consideremos la siguiente relación entre los vértices A, B, C y D y las aristas 1, 2, 3, 4 y 5.
 A está conectado con B mediante la arista 1; con C mediante 4 y con D mediante 5.
 B está conectado con D mediante 2.
 C está conectado con D mediante 3.
a. Es posible construir varios grafos isomorfos con los mismos requisitos, aunque visualmente son
diferentes.

6. 6
b. Comprobemos que todos los grafos tienen la misma matriz de incidencia y de adyacencia de
aristas.
2.
G1 G2
En G1 tenemos 7 aristas y 6 vértices, al igual que en G2. Por lo tanto podemos analizar si son isomorfos.
Como en G1 g(A)=2 y ese vértice no es adyacente con ningún otro de grado 2, el correspondiente de G2
deberá cumplir con ambas condiciones. Entonces tenemos dos opciones, D' o F', que son los únicos de grado
2 que no tienen vértices adyacentes de grado 2. Elegimos arbitrariamente a F' como correspondiente de A;
si esa elección no nos conduce a un isomorfismo habría que probar con D'.
Continuamos con el mismo procedimiento con los vértices restantes de G1: B es el adyacente de A, luego los
posibles correspondientes de G2 son C' o E' (adyacentes a F', que habíamos elegido como correspondiente de
A). Elegimos C', en su defecto deberíamos elegir E'.
Con este recurso de considerar vértices adyacentes de G1 y elegir los correspondientes de G2, de acuerdo a
adyacencias y grados, se obtiene la siguiente correspondencia entre vértices de G1 y de G2:
Incidencia
Vértices /Aristas
1 2 3 4 5
A 1 0 0 1 1
B 1 1 0 0 0
C 0 0 1 1 0
D 0 1 1 0 1
Adyacencia de Aristas 1 2 3 4 5
1 1 0 1 1
2 1 1 0 1
3 0 1 0 1
4 1 0 1 1
5 1 1 1 1

7. 7
A→ F' B→ C' C→ D' D→ E' E→ A' F→ B'
Hacemos la comprobación de la equivalencia de las matrices de incidencia:
Para G1
Vértices/Aristas 1 2 3 4 5 6 7
A 1 0 0 1 0 0 0
B 1 1 0 0 0 0 1
C 0 1 1 0 0 0 0
D 0 0 1 1 1 0 0
E 0 0 0 0 1 1 0
F 0 0 0 0 0 1 1
Para G2
Efectivamente son equivalentes, por lo tanto son isomorfos.
Nota: no resulta necesario verificar la equivalencia de las matrices de incidencia y de adyacencia de
aristas; basta con que las de incidencia entre un grafo y el otro sean equivalentes para que ya podamos
afirmar que los grafos sean isomorfos.
3. Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
Vértices/Aristas 7' 3' 4' 6' 5' 1' 2'
F' 1 0 0 1 0 0 0
C' 1 1 0 0 0 0 1
D' 0 1 1 0 0 0 0
E' 0 0 1 1 1 0 0
A' 0 0 0 0 1 1 0
B' 0 0 0 0 0 1 1
No son isomorfos ya que tienen distinta
cantidad de vértices.
Si bien estos grafos tienen la misma
cantidad de vértices, difieren en la
cantidad de aristas. Entonces no
pueden ser isomorfos.

8. 8
Los vértices A, B, C y D del primer grafo (que son todos de grado 2), están conectados entre sí; obviamente
tendría que ocurrir lo mismo con sus correspondientes del segundo grafo, que son A', B', C' y D', situación
imposible aunque cambiemos los nombres de los vértices o la ordenación de ellos, porque A' con las aristas
que están marcadas nunca se podrá conectar con otro vértice de grado 2.
En general no es fácil decidir si dos grafos son isomorfos o no son isomorfos, fundamentalmente si tienen el
mismo número de aristas e igual cantidad de vértices; por lo cual conviene seguir los pasos señalados en el
segundo ejemplo de grafos isomorfos. Si alguno de esos pasos no se cumple los grafos son no isomorfos.
Número de aristas de un grafo:
Una manera de calcular la cantidad de aristas de un grafo (además de la habitual de contarlas), es detectar
el número de aristas que inciden en un vértice, grado del vértice, y sumar todos esos grados. Obtendríamos
así el doble del número total de aristas bastaría con dividir por dos al valor calculado al sumar los grados
de todos los vértices. Entonces, si designamos por 𝑎 el número de aristas de un grafo G y por 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴 𝑛
los 𝑛 vértices de este grafo, resulta:
𝑎 =
1
2
∑ 𝑔(𝐴𝑖)
𝑛
𝑖=1
2𝑎 = ∑ 𝑔(𝐴𝑖)
𝑛
𝑖=1
Lema del apretón de manos:
La suma de los grados en cualquier grafo es un número par.
Más específicamente el doble del número de aristas. Se puede simbolizar:
∑ 𝑔(𝐴𝑖)
𝑛
𝑖=1
= 2𝑎
Si 𝐺 = (𝑉, 𝐴, 𝑓) es un grafo k-regular de n vértices y a aristas entonces k.n=2.a
Vértices pares e impares:
Se dice que un vértice es par si su grado es un número par; de la misma forma un vértice es impar si su
grado es un número impar.
Teorema:
En todo grafo hay un número par de vértices impares.
Demostración:
Sea un grafo de 𝑛 vértices 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴 𝑛, luego se cumple el Lema del apretón de manos, es decir:
∑ 𝑔(𝐴𝑖)
𝑛
𝑖=1
= 2𝑎

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De esos vértices habrá algún vértice (ninguno, uno, varios o todos) que es par.
Si no hay vértices pares entonces todos los vértices deben ser impares luego la suma de los grados de de
dichos vértices es un número impar. La única manera de que la suma de números impares sea par es que
tengamos una cantidad par de dichos números. Luego hay un número par de vértices impares.
Supongamos que 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴 𝑘; 𝑘 ≤ 𝑛 son vértices pares. Entonces es un número par, luego la
suma de los grados de los vértices impares puede ser expresada de la siguiente forma:
∑ 𝑔(𝐴𝑖)
𝑛
𝑖=𝑘
= 2𝑎 − ∑ 𝑔(𝐴𝑖)
𝑘
𝑖=1
el miembro de la derecha, claramente es un número par. Mientras que el de la izquierda es la suma de los
grados de los vértices impares. Entonces dicha suma da como resultado un número par, por lo cual
debemos tener una cantidad par de vértices impares. ∎
Grafos conexos:
Para entender la idea de grafo conexo conviene clarificar previamente sobre los nombres y significados de
algunos conceptos.
 Camino: es una secuencia alternada de vértices y aristas, que comienza y termina en vértices.
Puede comenzar y terminar en el mismo.
 Cadena: es un camino abierto cuyas aristas no se repiten. Si recorre todas las aristas del grafo se le
llama cadena euleriana.
 Cadena simple: es aquella cadena en que los vértices no se repiten.
 Ciclo: es una cadena cuyo primer elemento y último coinciden. Si la cadena es euleriana se llama
ciclo euleriano.
 Ciclo simple: es aquel ciclo en el cual no se repiten vértices, salvo el vértice origen que también es
final.
 Longitud: es el número de aristas que componen un camino, cadena o ciclo.
Notación: se indican los caminos, cadenas y ciclos anotando consecutivamente la secuencia de los
vértices del primero al último.
Concepto Aristas repetidas Vértices repetidos Abierto Cerrado
Camino Si Si Si Si
Cadena No Si Si No
Cadena Simple No No Si No
Ciclo No Si No Si
Ciclo Simple No No No Si
Consideremos el siguiente grafo y analicemos caminos, cadenas y ciclos.
Sucesión de
vértices
Camino Cadena Cadena
Simple
Ciclo Ciclo
Simple
∑ 𝑔(𝐴𝑖)
𝑘
𝑖=1

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ABDCBA Si No No No No
FEBDCBA Si Si No No No
FEBD Si Si Si No No
BFEBDCB Si Si No Si No
EFBE Si Si No Si Si
Este grafo no tiene ni cadenas ni ciclos eulerianos.
Definición: Un grafo se dice conexo si existe una cadena simple entre cualquier par de vértices del grafo.
Luego, si un grafo es conexo desde cualquier vértice se puede llegar a otro mediante una cadena simple.
Vértice alcanzable: se dice que un vértice A es alcanzable desde otro B, si existe al menos una cadena
simple que una A con B.
Lema del vértice alcanzable: Un grafo es conexo si todos los vértices son alcanzables desde los restantes.
Conjunto desconectante: es un conjunto de aristas cuya remoción desconecta una grafo conexo.
Conjunto de corte: es una conjunto desconectante que no contiene ningún subconjunto desconectante
propio.
Istmo: conjunto de corte que consta de una sola arista.
Ejemplo:
Conjunto desconectante pero no de corte {(𝐵; 𝐶), (𝐵; 𝐸), (𝐸; 𝐹)}
Desconecta al grafo {(𝐵; 𝐶), (𝐸; 𝐹)}
Grafos eulerianos:
Un grafo es euleriano si existe al menos un ciclo euleriano (cadena cuyo primer y último elemento
coinciden) que recorre todas las aristas del grafo sin repetirlas.
G1 G2 G3

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G4 G5
G1 y G2 conexos no eulerianos. Observar que en el caso de G3 y G4, que no son conexos, contienen subgrafos
conexos. En el caso de G3 un subgrafo conexo (porque evidentemente hay otros) es el polígono
BCDEFGHIJKLM, resultante de no considerar los vértices aislados A y N. en G4 hay, entre otros, dos
subgrafos conexos ABCD y EFG.
G5 es una grafo euleriano pues contiene un ciclo euleriano ABCEDCFA que recorre todas sus aristas sin
repetirlas, no así el ciclo ABCFA.
Propiedades:
1. Si G es un grafo conexo y todos sus vértices son de grado par, entonces G posee un ciclo euleriano.
Esta propiedad es conocida como el Teorema de Euler.
2. Si G es un grafo sin vértices aislados, entonces es posible construir una cadena euleriana, si y sólo si
G es conexo y tiene exactamente dos vértices de grado impar.
Grafos Hamiltonianos:
Cadena Hamiltoniana: se denomina cadena de Hamilton, en un grafo G que no tiene vértices aislados, a
toda cadena simple que recorre todos los vértices de G.
Ciclo Hamiltoniano: se denomina así, a todo ciclo, en un grafo G, que recorre todos los vértices de G (sin
repetirlos).
Grafo Hamiltoniano: son aquellos grafos que contienen un ciclo hamiltoniano.
 Es un grafo Hamiltoniano ya que el ciclo ABCDA recorre
todos sus vértices.
 No es un grafo Euleriano ya que no es posible construir una
cadena Euleriana.
Propiedades:
1. Si G es un grafo sencillo de 𝑛 vértices, con 𝑛 ≥ 2 y el grado de cada vértice es mayor o igual que
, entonces G tiene una cadena Hamiltoniana.
2. Si G es un grafo sencillo de 𝑛 vértices, con 𝑛 ≥ 3 y el grado de cada vértice es mayor o igual a ,
entonces G es un grafo Hamiltoniano.
Grafos dirigidos o digrafos:
𝑛 − 1
2
𝑛
2

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Se denominan grafos dirigidos o dígrafos a aquellos grafos en que las aristas tienen un orientación
determinada.
En general las propiedades relativas a grafos son equivalentes en los dígrafos; es decir que todas las
características de los grafos se mantienen en dígrafos.