El documento define los conceptos básicos de grafos, incluyendo vértices, aristas, grafos nulos, completos y complementarios. Luego introduce conceptos como incidencia, adyacencia, grado de un vértice, subgrafos y grafos isomorfos. Finalmente, explica cómo calcular el número de aristas de un grafo a través de la suma de los grados de sus vértices.
El documento define un grafo como un par formado por un conjunto de vértices y aristas que los unen. Explica que un grafo es regular si todos los vértices tienen el mismo grado, bipartito si los vértices pueden dividirse en dos conjuntos sin aristas internas, y completo si tiene una arista entre cada par de vértices. También introduce la matriz de adyacencia para representar un grafo y define caminos eulerianos y hamiltonianos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica que los grafos se utilizan para modelar situaciones mediante una representación simplificada que considera solo las características relevantes. Define formal e informalmente los conceptos de vértices, aristas y grafos. Luego introduce otras definiciones como vértices adyacentes, grado de un vértice y representaciones matriciales de grafos. Finalmente, aborda conceptos como caminos, ciclos, grafos regulares e isomorfismos.
El documento presenta un resumen de los capítulos 1 y 2 de un libro sobre teoría de grafos algorítmica. Introduce conceptos básicos como qué es un grafo, tipos de grafos, y operaciones como unión e intersección. También explica el algoritmo de búsqueda en anchura para encontrar la distancia entre vértices en un grafo conectado.
Este documento trata sobre la teoría de grafos. Explica las representaciones de grafos mediante matrices de adyacencia y de incidencia, así como el concepto de isomorfismo de grafos. También define qué son grafos planos y explica teoremas como el de Euler y el de Kuratowski para determinar si un grafo es plano o no.
Este documento describe los conceptos básicos de los grafos y sus aplicaciones. Los grafos permiten modelar relaciones entre elementos que interactúan. Se definen grafos como conjuntos de nodos y aristas, y se explican conceptos como caminos, ciclos, grado de nodos, y diferentes tipos de grafos como grafos dirigidos, ponderados y bipartitos. También se introducen teoremas importantes como los de Euler y Hamilton para encontrar caminos y ciclos especiales en grafos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica conceptos básicos como vértices, aristas, tipos de grafos (dirigidos, no dirigidos, ponderados, etc.), grados de vértices, caminos, ciclos, algoritmos como el de Dijkstra. Finalmente, muestra algunas aplicaciones de los grafos en proyectos, sistemas de transporte y contabilidad.
Un grafo es una estructura de datos que representa información de manera no lineal mediante vértices conectados por aristas. Un grafo dirigido consiste en un conjunto de vértices y un conjunto de arcos dirigidos que van de un vértice inicial a uno terminal. Existen diferentes tipos de grafos como grafos regulares, bipartitos, completos y nulos.
La teoría de grafos estudia las propiedades de los grafos, que constan de vértices y aristas. Un grafo se define como un conjunto de vértices y aristas asociadas a pares de vértices. La teoría de grafos se puede aplicar para modelar mapas conceptuales, redes sociales, arquitecturas de redes y más.
El documento define un grafo como un par formado por un conjunto de vértices y aristas que los unen. Explica que un grafo es regular si todos los vértices tienen el mismo grado, bipartito si los vértices pueden dividirse en dos conjuntos sin aristas internas, y completo si tiene una arista entre cada par de vértices. También introduce la matriz de adyacencia para representar un grafo y define caminos eulerianos y hamiltonianos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica que los grafos se utilizan para modelar situaciones mediante una representación simplificada que considera solo las características relevantes. Define formal e informalmente los conceptos de vértices, aristas y grafos. Luego introduce otras definiciones como vértices adyacentes, grado de un vértice y representaciones matriciales de grafos. Finalmente, aborda conceptos como caminos, ciclos, grafos regulares e isomorfismos.
El documento presenta un resumen de los capítulos 1 y 2 de un libro sobre teoría de grafos algorítmica. Introduce conceptos básicos como qué es un grafo, tipos de grafos, y operaciones como unión e intersección. También explica el algoritmo de búsqueda en anchura para encontrar la distancia entre vértices en un grafo conectado.
Este documento trata sobre la teoría de grafos. Explica las representaciones de grafos mediante matrices de adyacencia y de incidencia, así como el concepto de isomorfismo de grafos. También define qué son grafos planos y explica teoremas como el de Euler y el de Kuratowski para determinar si un grafo es plano o no.
Este documento describe los conceptos básicos de los grafos y sus aplicaciones. Los grafos permiten modelar relaciones entre elementos que interactúan. Se definen grafos como conjuntos de nodos y aristas, y se explican conceptos como caminos, ciclos, grado de nodos, y diferentes tipos de grafos como grafos dirigidos, ponderados y bipartitos. También se introducen teoremas importantes como los de Euler y Hamilton para encontrar caminos y ciclos especiales en grafos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica conceptos básicos como vértices, aristas, tipos de grafos (dirigidos, no dirigidos, ponderados, etc.), grados de vértices, caminos, ciclos, algoritmos como el de Dijkstra. Finalmente, muestra algunas aplicaciones de los grafos en proyectos, sistemas de transporte y contabilidad.
Un grafo es una estructura de datos que representa información de manera no lineal mediante vértices conectados por aristas. Un grafo dirigido consiste en un conjunto de vértices y un conjunto de arcos dirigidos que van de un vértice inicial a uno terminal. Existen diferentes tipos de grafos como grafos regulares, bipartitos, completos y nulos.
La teoría de grafos estudia las propiedades de los grafos, que constan de vértices y aristas. Un grafo se define como un conjunto de vértices y aristas asociadas a pares de vértices. La teoría de grafos se puede aplicar para modelar mapas conceptuales, redes sociales, arquitecturas de redes y más.
Este documento describe el problema clásico de los siete puentes de Königsberg, que dio origen a la teoría de grafos. El problema consistía en determinar si era posible recorrer todos los puentes de la ciudad pasando una sola vez por cada uno. Euler resolvió el problema mediante la abstracción de los detalles de la ciudad en una representación gráfica, donde los vértices representaban las tierras y las aristas los puentes. Determinó que no era posible realizar el recorrido debido a que los vértices tenían grados impares. Est
Este documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Define conceptos fundamentales como grafos, vértices, aristas, grado de vértices, caminos y ciclos. Explica diferentes tipos de grafos como grafos simples, multigrafos, dirigidos y etiquetados. También introduce conceptos como representaciones de grafos mediante matrices de incidencia y adyacencia, e isomorfismo de grafos.
El documento presenta información sobre la teoría de grafos. Introduce los objetivos de estudiar grafos, incluyendo definir y reconocer diferentes tipos de caminos, circuitos, y árboles. Explica el problema histórico de los siete puentes de Königsberg que inspiró el desarrollo de la teoría de grafos. Define los conceptos básicos de un grafo, incluyendo vértices, aristas, grafos dirigidos y no dirigidos.
Este documento presenta las soluciones a un ejercicio propuesto sobre grafos. Incluye determinar la matriz de adyacencia y de incidencia de un grafo, y si es conexo, simple, regular, completo, hamiltoniano o euleriano. También incluye demostrar cadenas, ciclos, árbol generador y subgrafo parcial del grafo dado.
Este documento define lo que son los grafos y describe algunos tipos de grafos como los grafos dirigidos, no dirigidos, eulerianos y hamiltonianos. También cubre representaciones de grafos como matrices de adyacencia y de incidencia, y aplicaciones de grafos como modelado de redes de transporte y proyectos.
Este documento describe los conceptos básicos de los grafos conexos. Un grafo conexo es un grafo en el que existe un camino entre cualquier par de vértices. Esto significa que todos los vértices están relacionados de alguna manera. El documento proporciona ejemplos de grafos conexos, como un sistema de transporte público donde cada parada está conectada a través de rutas. También explica que la conectividad define una relación de equivalencia entre los vértices de un grafo.
Este documento describe los elementos básicos de la teoría de grafos, incluyendo vértices, aristas, tipos de grafos (completos, bipartitos, planos, conexos, ponderados), representaciones de grafos, y algoritmos de recorrido y búsqueda como el camino más corto, búsqueda en anchura y profundidad. También cubre árboles, incluyendo sus componentes, propiedades, clasificaciones, recorridos de árboles, y redes.
El documento presenta una introducción a la teoría de grafos, incluyendo definiciones básicas como vértices, aristas, grafos dirigidos y no dirigidos, así como aplicaciones como rutas entre ciudades. Explica el problema original planteado por Euler sobre los puentes de Königsberg y cómo lo resolvió usando un grafo. También describe algoritmos comunes como el de Floyd-Warshall para encontrar caminos mínimos.
Este documento define y explica los conceptos básicos de los grafos, incluyendo vértices, aristas, caminos, ciclos, árboles y diferentes tipos de grafos. Describe las representaciones matriciales de grafos como la matriz de incidencia y la matriz de adyacencia. También cubre temas como grafos dirigidos, lazos, grafos ponderados y multígrafos.
Este documento trata sobre grafos y conceptos relacionados. Define tipos de grafos como no dirigidos, dirigidos y valorados. Explica conceptos básicos como vértices adyacentes, grado de un vértice y representaciones como matrices y listas de adyacencia. También cubre subgrafos, grafos complementarios, caminos, componentes conexas, grafos bipartitos, recorridos eulerianos y hamiltonianos e isomorfismo de grafos.
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de grafos, incluyendo definiciones de grafos, vértices, aristas y tipos de grafos. Explica el problema histórico de los siete puentes de Königsberg y cómo se resolvió utilizando la teoría de grafos. También cubre temas como matrices de adyacencia e incidencia, isomorfismo de grafos, ciclos de Euler y Hamilton. Finalmente, incluye ejercicios para identificar elementos en grafos.
Este documento describe los conceptos básicos de los grafos, incluyendo aristas, vértices, caminos, clasificaciones de grafos como dirigidos y no dirigidos, grafos Eulerianos, conexos, árboles y bosques. También cubre la representación de grafos en programas, dígrafos, grados, ciclos y aplicaciones de los grafos.
1) El documento presenta una serie de ejercicios sobre grafos, incluyendo dibujar grafos y sus matrices de adyacencia, encontrar caminos y circuitos en grafos, y determinar si grafos cumplen propiedades como ser eulerianos o hamiltonianos.
2) También incluye ejercicios sobre grafos dirigidos, ponderados y completos, y sobre aplicar el algoritmo de Dijkstra para encontrar el camino más corto en un grafo.
3) El último ejercicio pide explicar para qué sirve el algoritmo de Dijkstra y cómo funcion
Este documento resume diferentes conceptos relacionados con grafos, incluyendo definiciones de grafos dirigidos y no dirigidos, representaciones de grafos como lista de adyacencia y matriz de adyacencia, y tipos de grafos como grafos regulares, bipartitos, completos y conexos. También explica operaciones básicas como insertar y eliminar vértices y aristas, y presenta pseudocódigo para los algoritmos de Floyd-Warshall y Dijkstra.
El documento trata sobre conceptos básicos de teoría de grafos como rutas, ciclos, grafos y vértices. Explica el problema de los puentes de Königsberg y cómo se puede modelar con un grafo. También presenta teoremas sobre la existencia de ciclos y rutas de Euler y Hamilton en función del grado de los vértices de un grafo. Finalmente, propone algunos ejercicios prácticos para determinar si es posible realizar ciertos recorridos pasando una sola vez por cada puerta o vértice.
Este documento trata sobre la teoría de grafos. Define un grafo como un conjunto de vértices y aristas que los conectan. Explica conceptos básicos como vértices, aristas, grado de un vértice, subgrafos y más. También cubre clasificaciones de grafos como dirigidos, no dirigidos, pesados y otros. Finalmente, introduce algoritmos como búsqueda en profundidad y anchura.
Este documento presenta información sobre grafos y sus propiedades. Explica que un grafo es hamiltoniano si contiene un ciclo que visita cada vértice exactamente una vez. También define lo que es un ciclo euleriano y un grafo bipartito. Resuelve varios ejercicios aplicando estas definiciones y propiedades de los grafos.
Introducción a la_teoría_de_grafos2014para_imprimir (2)Federico Dauria
Este documento introduce conceptos básicos de la teoría de grafos, incluyendo definiciones de grafos y digrafos, representaciones gráficas y matriciales, y conceptos como grados de vértices, caminos, conectividad e isomorfismo. Explica que un grafo consta de un conjunto de vértices y aristas y puede representarse mediante diagramas, y un digrafo agrega sentido a las aristas. Luego profundiza en propiedades como grados, caminos, componentes conexas y condiciones para que dos grafos sean isom
Este documento define y explica los conceptos básicos de grafos. Un grafo consiste en un conjunto de vértices y aristas que conectan pares de vértices. Los grafos pueden ser dirigidos o no dirigidos, dependiendo de si las aristas tienen una dirección o no. Un grafo no dirigido tiene aristas simétricas, mientras que un grafo dirigido tiene aristas unidireccionales, llamadas también dígrafos.
Este documento presenta información sobre grafos. Define conceptos clave como vértices, aristas, grado de un vértice, caminos, ciclos y más. También describe tres estructuras de datos comúnmente usadas para representar grafos: lista de aristas, lista de adyacencia y matriz de adyacencia. Explica las operaciones básicas de cada una y su complejidad temporal.
Este documento introduce la teoría de grafos. Explica que un grafo consiste en un conjunto de vértices y aristas que los conectan. Describe los diferentes tipos de grafos como dirigidos, no dirigidos, simples y multigrafos. También introduce conceptos clave como el grado de un vértice, las matrices de adyacencia e incidencia, y el isomorfismo entre grafos.
El documento introduce la teoría de grafos y sus conceptos fundamentales. Explica que un grafo consiste en un conjunto de nodos unidos por aristas o segmentos. Presenta diferentes tipos de grafos como grafos dirigidos, no dirigidos, regulares, bipartitos, conexos y árboles. También define conceptos clave como camino, valencia, lazo y ramas paralelas. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de los grafos como la modelización de circuitos y rutas de transporte público.
Este documento describe el problema clásico de los siete puentes de Königsberg, que dio origen a la teoría de grafos. El problema consistía en determinar si era posible recorrer todos los puentes de la ciudad pasando una sola vez por cada uno. Euler resolvió el problema mediante la abstracción de los detalles de la ciudad en una representación gráfica, donde los vértices representaban las tierras y las aristas los puentes. Determinó que no era posible realizar el recorrido debido a que los vértices tenían grados impares. Est
Este documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Define conceptos fundamentales como grafos, vértices, aristas, grado de vértices, caminos y ciclos. Explica diferentes tipos de grafos como grafos simples, multigrafos, dirigidos y etiquetados. También introduce conceptos como representaciones de grafos mediante matrices de incidencia y adyacencia, e isomorfismo de grafos.
El documento presenta información sobre la teoría de grafos. Introduce los objetivos de estudiar grafos, incluyendo definir y reconocer diferentes tipos de caminos, circuitos, y árboles. Explica el problema histórico de los siete puentes de Königsberg que inspiró el desarrollo de la teoría de grafos. Define los conceptos básicos de un grafo, incluyendo vértices, aristas, grafos dirigidos y no dirigidos.
Este documento presenta las soluciones a un ejercicio propuesto sobre grafos. Incluye determinar la matriz de adyacencia y de incidencia de un grafo, y si es conexo, simple, regular, completo, hamiltoniano o euleriano. También incluye demostrar cadenas, ciclos, árbol generador y subgrafo parcial del grafo dado.
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Este documento describe los conceptos básicos de los grafos conexos. Un grafo conexo es un grafo en el que existe un camino entre cualquier par de vértices. Esto significa que todos los vértices están relacionados de alguna manera. El documento proporciona ejemplos de grafos conexos, como un sistema de transporte público donde cada parada está conectada a través de rutas. También explica que la conectividad define una relación de equivalencia entre los vértices de un grafo.
Este documento describe los elementos básicos de la teoría de grafos, incluyendo vértices, aristas, tipos de grafos (completos, bipartitos, planos, conexos, ponderados), representaciones de grafos, y algoritmos de recorrido y búsqueda como el camino más corto, búsqueda en anchura y profundidad. También cubre árboles, incluyendo sus componentes, propiedades, clasificaciones, recorridos de árboles, y redes.
El documento presenta una introducción a la teoría de grafos, incluyendo definiciones básicas como vértices, aristas, grafos dirigidos y no dirigidos, así como aplicaciones como rutas entre ciudades. Explica el problema original planteado por Euler sobre los puentes de Königsberg y cómo lo resolvió usando un grafo. También describe algoritmos comunes como el de Floyd-Warshall para encontrar caminos mínimos.
Este documento define y explica los conceptos básicos de los grafos, incluyendo vértices, aristas, caminos, ciclos, árboles y diferentes tipos de grafos. Describe las representaciones matriciales de grafos como la matriz de incidencia y la matriz de adyacencia. También cubre temas como grafos dirigidos, lazos, grafos ponderados y multígrafos.
Este documento trata sobre grafos y conceptos relacionados. Define tipos de grafos como no dirigidos, dirigidos y valorados. Explica conceptos básicos como vértices adyacentes, grado de un vértice y representaciones como matrices y listas de adyacencia. También cubre subgrafos, grafos complementarios, caminos, componentes conexas, grafos bipartitos, recorridos eulerianos y hamiltonianos e isomorfismo de grafos.
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de grafos, incluyendo definiciones de grafos, vértices, aristas y tipos de grafos. Explica el problema histórico de los siete puentes de Königsberg y cómo se resolvió utilizando la teoría de grafos. También cubre temas como matrices de adyacencia e incidencia, isomorfismo de grafos, ciclos de Euler y Hamilton. Finalmente, incluye ejercicios para identificar elementos en grafos.
Este documento describe los conceptos básicos de los grafos, incluyendo aristas, vértices, caminos, clasificaciones de grafos como dirigidos y no dirigidos, grafos Eulerianos, conexos, árboles y bosques. También cubre la representación de grafos en programas, dígrafos, grados, ciclos y aplicaciones de los grafos.
1) El documento presenta una serie de ejercicios sobre grafos, incluyendo dibujar grafos y sus matrices de adyacencia, encontrar caminos y circuitos en grafos, y determinar si grafos cumplen propiedades como ser eulerianos o hamiltonianos.
2) También incluye ejercicios sobre grafos dirigidos, ponderados y completos, y sobre aplicar el algoritmo de Dijkstra para encontrar el camino más corto en un grafo.
3) El último ejercicio pide explicar para qué sirve el algoritmo de Dijkstra y cómo funcion
Este documento resume diferentes conceptos relacionados con grafos, incluyendo definiciones de grafos dirigidos y no dirigidos, representaciones de grafos como lista de adyacencia y matriz de adyacencia, y tipos de grafos como grafos regulares, bipartitos, completos y conexos. También explica operaciones básicas como insertar y eliminar vértices y aristas, y presenta pseudocódigo para los algoritmos de Floyd-Warshall y Dijkstra.
El documento trata sobre conceptos básicos de teoría de grafos como rutas, ciclos, grafos y vértices. Explica el problema de los puentes de Königsberg y cómo se puede modelar con un grafo. También presenta teoremas sobre la existencia de ciclos y rutas de Euler y Hamilton en función del grado de los vértices de un grafo. Finalmente, propone algunos ejercicios prácticos para determinar si es posible realizar ciertos recorridos pasando una sola vez por cada puerta o vértice.
Este documento trata sobre la teoría de grafos. Define un grafo como un conjunto de vértices y aristas que los conectan. Explica conceptos básicos como vértices, aristas, grado de un vértice, subgrafos y más. También cubre clasificaciones de grafos como dirigidos, no dirigidos, pesados y otros. Finalmente, introduce algoritmos como búsqueda en profundidad y anchura.
Este documento presenta información sobre grafos y sus propiedades. Explica que un grafo es hamiltoniano si contiene un ciclo que visita cada vértice exactamente una vez. También define lo que es un ciclo euleriano y un grafo bipartito. Resuelve varios ejercicios aplicando estas definiciones y propiedades de los grafos.
Introducción a la_teoría_de_grafos2014para_imprimir (2)Federico Dauria
Este documento introduce conceptos básicos de la teoría de grafos, incluyendo definiciones de grafos y digrafos, representaciones gráficas y matriciales, y conceptos como grados de vértices, caminos, conectividad e isomorfismo. Explica que un grafo consta de un conjunto de vértices y aristas y puede representarse mediante diagramas, y un digrafo agrega sentido a las aristas. Luego profundiza en propiedades como grados, caminos, componentes conexas y condiciones para que dos grafos sean isom
Este documento define y explica los conceptos básicos de grafos. Un grafo consiste en un conjunto de vértices y aristas que conectan pares de vértices. Los grafos pueden ser dirigidos o no dirigidos, dependiendo de si las aristas tienen una dirección o no. Un grafo no dirigido tiene aristas simétricas, mientras que un grafo dirigido tiene aristas unidireccionales, llamadas también dígrafos.
Este documento presenta información sobre grafos. Define conceptos clave como vértices, aristas, grado de un vértice, caminos, ciclos y más. También describe tres estructuras de datos comúnmente usadas para representar grafos: lista de aristas, lista de adyacencia y matriz de adyacencia. Explica las operaciones básicas de cada una y su complejidad temporal.
Este documento introduce la teoría de grafos. Explica que un grafo consiste en un conjunto de vértices y aristas que los conectan. Describe los diferentes tipos de grafos como dirigidos, no dirigidos, simples y multigrafos. También introduce conceptos clave como el grado de un vértice, las matrices de adyacencia e incidencia, y el isomorfismo entre grafos.
El documento introduce la teoría de grafos y sus conceptos fundamentales. Explica que un grafo consiste en un conjunto de nodos unidos por aristas o segmentos. Presenta diferentes tipos de grafos como grafos dirigidos, no dirigidos, regulares, bipartitos, conexos y árboles. También define conceptos clave como camino, valencia, lazo y ramas paralelas. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de los grafos como la modelización de circuitos y rutas de transporte público.
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Este documento presenta una introducción al estudio de grafos. Define un grafo como una estructura de datos no lineal compuesta por nodos y aristas que conectan los nodos. Explica conceptos básicos como grado de un vértice, lazos, caminos y ciclos. También describe formas comunes de representar grafos como listas y matrices de adyacencia y presenta el algoritmo de Dijkstra para encontrar el camino más corto en un grafo etiquetado.
El documento describe los conceptos básicos de los grafos. Define un grafo como un conjunto de vértices unidos por aristas que representan relaciones binarias. Explica que un grafo se representa gráficamente como puntos unidos por líneas y consta de un conjunto de vértices y otro de aristas. Además, introduce conceptos como caminos, circuitos, grado de un vértice y valencia de un grafo.
El documento define conceptos básicos sobre grafos como nodos, aristas, grafos dirigidos, multígrafos, grafos simples e isomorfismo de grafos. También explica las matrices de adyacencia e incidencia, así como conceptos de caminos, ciclos, grafos conexos, grafos eulerianos y hamiltonianos. Por último, introduce grafos etiquetados y describe el algoritmo de Dijkstra para encontrar el camino más corto en un grafo.
Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas (edges en inglés) que pueden ser orientados o no.
Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas (edges en inglés) que pueden ser orientados o no.
Este documento contiene información sobre árboles y grafos. Define conceptos como grafo, subgrafo, grado de un vértice, y tipos de grafos como grafos simples, conexos, dirigidos y no dirigidos. También define árboles, árboles de expansión mínimos, y formas de realizar recorridos en árboles como preorden, posorden e inorden. Finalmente, incluye tareas relacionadas con grafos y árboles como determinar caminos, circuitos de Euler, matrices de adyacencia e inc
Teoria sobre arboles y grafos, presentacion clave sobre las bases de la intel...BasterLyEsupian
Cuando hablamos de arboles nos referimos a un objeto que comienza con una raíz y se extiende en varias ramificaciones o líneas, cada una de las cuales pueden extenderse en ramificaciones hasta terminar, finalmente en una hoja.
Esta es una presentacion sobre la teoria de los grafos y como aplicarla en la ciencia
Este documento presenta información sobre grafos isomorfos y árboles. Define grafos isomorfos como aquellos que tienen la misma estructura de conexión entre vértices a pesar de posibles diferencias en la posición de los vértices. También define árboles como un tipo especial de grafo no dirigido sin ciclos.
1. El documento presenta 30 preguntas sobre conceptos básicos de teoría de grafos como coloreo, caminos, circuitos, isomorfismo, grafos completos y bipartitos. Cada pregunta tiene 3 opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta.
El documento explica qué son los grafos. Los grafos son estructuras matemáticas que representan relaciones binarias entre objetos mediante nodos (vértices) y líneas (aristas) que los conectan. Se utilizan para modelar diversos problemas como redes de transporte, organización de tareas, y relaciones sociales. Existen diferentes tipos de grafos como dirigidos, no dirigidos, ponderados y etiquetados.
Un grafo es una estructura de datos que representa información de manera no lineal mediante vértices conectados por aristas. Un grafo dirigido consiste en un conjunto de vértices y un conjunto de aristas dirigidas que conectan pares ordenados de vértices. Existen diferentes tipos de grafos como grafos regulares, bipartitos, completos y nulos.
Un grafo es una estructura de datos que representa información de manera no lineal mediante vértices conectados por aristas. Un grafo puede ser dirigido o no dirigido, y existen diferentes tipos como grafos regulares, bipartitos, completos o nulos. Las matrices de adyacencia representan un grafo mediante una matriz booleana que indica las conexiones entre vértices.
Este documento presenta información sobre teoría de grafos y relaciones binarias. Introduce conceptos clave como grafos, vértices, aristas y diferentes tipos de grafos. Explica representaciones de relaciones como pares ordenados, matrices de adyacencia y de incidencia. Luego cubre temas como relaciones binarias, producto cartesiano, propiedades de relaciones como reflexiva y transitiva, y funciones como inyectiva y biyectiva. El objetivo es mostrar estas ideas matemáticas fundamentales de una manera visual y práctica.
Este documento presenta información sobre teoría de grafos y relaciones binarias. Introduce conceptos clave como grafos, vértices, aristas y diferentes tipos de grafos. Explica representaciones de relaciones como pares ordenados, matrices de adyacencia y matrices de incidencia. También cubre temas como relaciones binarias, producto cartesiano, propiedades de relaciones como reflexiva y transitiva, y funciones como inyectiva y biyectiva. El objetivo es mostrar estas ideas matemáticas fundamentales de una manera visual y práctica.
Este documento describe los conceptos básicos de los grafos, incluyendo vértices, aristas, caminos, ciclos, grafos conexos, árboles y matrices de adyacencia. Explica que un grafo representa información de manera no lineal a través de vértices y aristas, y define varios tipos de grafos como regulares, bipartitos, completos y nulos.
La teoría de grafos estudia los grafos, que están compuestos de vértices y aristas. Existen diferentes tipos de grafos como los grafos simples sin lazos ni aristas paralelas, los grafos completos donde cada vértice está conectado a todos los demás, y los grafos bipartitos formados por dos conjuntos de vértices conectados entre sí pero no dentro de cada conjunto.
El documento trata sobre la teoría de grafos y árboles. Explica que los grafos son estructuras discretas que se usan para modelar relaciones entre objetos en diversas disciplinas. Luego describe algunas aplicaciones de los grafos como las redes de comunicaciones, algoritmos, redes sociales y más. Finalmente, define conceptos básicos de los grafos como vértices, aristas, grado y diferentes tipos de grafos como dirigidos, no dirigidos, simples y más.
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Grafos teoria
1. 1
Grafos
Un grafo es un diagrama geométrico que representa alguna situación en particular. Los grafos se
simbolizan por medio de una letra G. Los puntos A, B, C, D, E, F,… se llaman vértices. Los segmentos o
líneas (que pueden ser líneas) que conectan entre sí los vértices a los vértices se llaman aristas.
Por ejemplo:
Definiciones básicas:
Grafo Nulo o Vacío: es un grafo donde no hay ninguna conexión entre vértices. Se los suele notar como 𝑁 𝑚
donde 𝑚 representa la cantidad de vértices.
Grafo Completo: un grafo se dice completo si tiene todos sus pares de vértices conectados entre sí por una
arista. A este tipo de grafos se lo simboliza 𝐾 𝑚 donde 𝑚 representa la cantidad de vértices.
Observación: A los grafos completos se los suele dibujar como un polígono regular con todas sus diagonales.
𝑁1 𝑁2 𝑁4𝑁3
2. 2
Grafo complementario: si se considera un grafo en el que no todos los vértices se hallan conectados entre sí,
siempre resulta posible complementarlo. Es decir, se pueden trazar las aristas que faltan para hacerlo
completo; al grafo que completó al original se lo llama COMPLEMENTO del anterior. Es decir,
“si G es un grafo de n vértices que no es completo, denominaremos complemento de G o grafo
complementario de G, al grafo G’ que tiene los mismos n vértices de G, pero cuyas aristas son las que le
faltan a G para que sea completo”.
Por ejemplo, si G es el siguiente grafo
Su grafo complementario G’ es:
Observación: G∪G’=𝐾 𝑚
Definición formal:
“Se denomina grafo G a una terna (V, A, f), en la que V es un conjunto finito de puntos
(vértices), A es un conjunto finito de segmentos o líneas no necesariamente rectas (aristas) y f
es una relación tal que a un par de puntos de V le hace corresponder un elemento de A”.
Definiciones:
Incidencia: un vértice y una arista son incidentes si el vértice es uno de los extremos de la arista.
Adyacencia de vértices: dos vértices son adyacentes si son extremos de una misma arista.
𝐾6
3. 3
Adyacencia de aristas: dos aristas son adyacentes si tienen un vértice es común.
Grado de un vértice: se denomina grado de un vértice al número de aristas que inciden en él. Se
simboliza g(A), g(B),…. Según que los vértices sean A, B,….
Vértice aislado: un vértice es aislado cuando su grado es 0. En un grafo nulo todos los vértices son
aislados.
Vértice pendiente. Un vértice es pendiente cuando su grado es 1.
Aristas múltiples: si un mismo par de vértices están unidos por más de una arista, a las aristas que
unen ese par de vértices se las denomina aristas múltiples.
Lazo, rulo o bucle: es aquella arista que comienza y termina en el mismo vértice; luego los extremos
de la arista que forma lazo coinciden.
Grafo k-regular: es aquel grafo en el que todos sus vértices son de grado k. Todo grafo completo de n
vértices es (n-1)-regular, donde n-1 es el grado de cada vértice.
Grafo sencillo: se denomina así a los grafos que no tienen lazos ni aristas múltiples.
De aquí en más, salvo especificaciones, nos referimos por grafos a grafos sencillos.
Matrices asociadas a grafos:
Matriz de incidencia:
Representación matricial mencionando las incidencias que las aristas tienen sobre los vértices.
Vértices/Aristas 1 2 3 4 5 6 7 8
A 1 0 0 0 0 0 0 1
B 1 1 0 1 0 0 0 0
C 0 1 1 0 1 0 0 0
D 0 0 1 0 0 0 0 0
E 0 0 0 1 0 1 0 0
F 0 0 0 0 1 1 1 0
G 0 0 0 0 0 0 1 1
Observación: contando las cruces en cada fila se obtiene el grado del vértice correspondiente a esa fila.
Matriz de adyacencia de aristas:
Se representan las aristas adyacentes, poniendo una cruz en caso de tratarse de aristas adyacentes, es
decir si comparten un extremo.
1
2
3
4
5
6
7
8
4. 4
Aristas 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 0 1 0 0 0 1
2 1 1 1 1 0 0 0
3 0 1 0 1 0 0 0
4 1 1 0 0 1 0 0
5 0 0 1 0 1 1 0
6 0 0 0 1 1 1 0
7 0 0 0 0 1 1 1
8 1 0 0 0 0 0 1
Matriz de adyacencia de vértices:
Se representan los vértices adyacentes, es decir aquellos que están conectados por una arista.
Vértices A B C D E F G
A 1 0 0 0 0 1
B 1 1 0 1 0 0
C 0 1 1 0 1 0
D 0 0 1 0 0 0
E 0 1 0 0 1 0
F 0 0 1 0 1 1
G 1 0 0 0 0 1
Importante: las matrices de incidencia y adyacencia de vértices brindan la misma información. El motivo
es que cuando una arista incide sobre un vértice, lo hace también en otro (una arista tiene dos extremos).
Que es equivalente a que esos vértices sean equivalentes.
Subgrafos:
Si 𝐺 = (𝑉, 𝐴, 𝑓) es un grafo de 𝑣 vértices y 𝑎 aristas, el grafo 𝐺’ = (𝑉’, 𝐴’, 𝑔) de 𝑤 vértices y 𝑏 aristas es un
subgrafo de g, si:
i. ∅ ≠ 𝑉′ ⊂ 𝑉
ii. 𝐴′ ⊂ 𝐴
iii. 𝑔 es la restricción de 𝑓 en 𝐴′.
Un ejemplo particular de este concepto es el subgrafo restante respecto de un vértice v, es subgrafo
restante respecto de la arista a se obtiene del grafo G omitiendo dicha arista. El subgrafo generado por un
subconjunto de vértices llamado V’, es el grafo que tiene a V’ como conjunto de vértices y cuyo conjunto de
aristas A’ está formado por todas las aristas del grafo original G que tiene ambos extremos en V’.
Grafo G Grafo G1
5. 5
Grafo G2 Grafo G3
G1 es subgrafo maximal de G. 𝑉 = 𝑉′.
G2 es subgrafo de G. 𝑉 ⊂ 𝑉′
G3 no es subgrafo de G (pues la arista BD ∉ G)
En consecuencia, para que un grafo no vacío H sea subgrafo de otro G, debe tener H vértices que sean de G
y sus aristas deben también ser aristas de G.
Grafos isomorfos:
Dos grafos G1 y G2 son isomorfos si existen correspondencias biunívocas entre sus vértices (vértices de G1
con vértices de G2) o entre vértices de uno y las regiones limitadas por aristas adyacentes en el otro y para
cada par de vértices de G1, digamos A y B, conectados por una arista, resulta que los correspondientes
vértices A’ y B’, de G2 también están conectados por una arista.
Consecuencias de la definición:
1. Dos grafos isomorfos tienen el mismo número de aristas, pero no es cierto que dos grafos que
tengan el mismo número de aristas sean isomorfos aunque tengan igual cantidad de vértices.
2. Si dos grafos son isomorfos, entonces en ambos se mantienen las relaciones de adyacencia e
incidencia entre aristas y vértices.
3. Como consecuencia de 2, grafos isomorfos son aquellos que conservan el mismo grado de relaciones
entre vértices y aristas, aunque geométricamente se expresen en diagramas diferentes.
4. En grafos isomorfos ambas matrices de adyacencia y la de incidencia son equivalentes.
Ejemplos:
1. Consideremos la siguiente relación entre los vértices A, B, C y D y las aristas 1, 2, 3, 4 y 5.
A está conectado con B mediante la arista 1; con C mediante 4 y con D mediante 5.
B está conectado con D mediante 2.
C está conectado con D mediante 3.
a. Es posible construir varios grafos isomorfos con los mismos requisitos, aunque visualmente son
diferentes.
6. 6
b. Comprobemos que todos los grafos tienen la misma matriz de incidencia y de adyacencia de
aristas.
2.
G1 G2
En G1 tenemos 7 aristas y 6 vértices, al igual que en G2. Por lo tanto podemos analizar si son isomorfos.
Como en G1 g(A)=2 y ese vértice no es adyacente con ningún otro de grado 2, el correspondiente de G2
deberá cumplir con ambas condiciones. Entonces tenemos dos opciones, D' o F', que son los únicos de grado
2 que no tienen vértices adyacentes de grado 2. Elegimos arbitrariamente a F' como correspondiente de A;
si esa elección no nos conduce a un isomorfismo habría que probar con D'.
Continuamos con el mismo procedimiento con los vértices restantes de G1: B es el adyacente de A, luego los
posibles correspondientes de G2 son C' o E' (adyacentes a F', que habíamos elegido como correspondiente de
A). Elegimos C', en su defecto deberíamos elegir E'.
Con este recurso de considerar vértices adyacentes de G1 y elegir los correspondientes de G2, de acuerdo a
adyacencias y grados, se obtiene la siguiente correspondencia entre vértices de G1 y de G2:
Incidencia
Vértices /Aristas
1 2 3 4 5
A 1 0 0 1 1
B 1 1 0 0 0
C 0 0 1 1 0
D 0 1 1 0 1
Adyacencia de Aristas 1 2 3 4 5
1 1 0 1 1
2 1 1 0 1
3 0 1 0 1
4 1 0 1 1
5 1 1 1 1
7. 7
A→ F' B→ C' C→ D' D→ E' E→ A' F→ B'
Hacemos la comprobación de la equivalencia de las matrices de incidencia:
Para G1
Vértices/Aristas 1 2 3 4 5 6 7
A 1 0 0 1 0 0 0
B 1 1 0 0 0 0 1
C 0 1 1 0 0 0 0
D 0 0 1 1 1 0 0
E 0 0 0 0 1 1 0
F 0 0 0 0 0 1 1
Para G2
Efectivamente son equivalentes, por lo tanto son isomorfos.
Nota: no resulta necesario verificar la equivalencia de las matrices de incidencia y de adyacencia de
aristas; basta con que las de incidencia entre un grafo y el otro sean equivalentes para que ya podamos
afirmar que los grafos sean isomorfos.
3. Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
Vértices/Aristas 7' 3' 4' 6' 5' 1' 2'
F' 1 0 0 1 0 0 0
C' 1 1 0 0 0 0 1
D' 0 1 1 0 0 0 0
E' 0 0 1 1 1 0 0
A' 0 0 0 0 1 1 0
B' 0 0 0 0 0 1 1
No son isomorfos ya que tienen distinta
cantidad de vértices.
Si bien estos grafos tienen la misma
cantidad de vértices, difieren en la
cantidad de aristas. Entonces no
pueden ser isomorfos.
8. 8
Los vértices A, B, C y D del primer grafo (que son todos de grado 2), están conectados entre sí; obviamente
tendría que ocurrir lo mismo con sus correspondientes del segundo grafo, que son A', B', C' y D', situación
imposible aunque cambiemos los nombres de los vértices o la ordenación de ellos, porque A' con las aristas
que están marcadas nunca se podrá conectar con otro vértice de grado 2.
En general no es fácil decidir si dos grafos son isomorfos o no son isomorfos, fundamentalmente si tienen el
mismo número de aristas e igual cantidad de vértices; por lo cual conviene seguir los pasos señalados en el
segundo ejemplo de grafos isomorfos. Si alguno de esos pasos no se cumple los grafos son no isomorfos.
Número de aristas de un grafo:
Una manera de calcular la cantidad de aristas de un grafo (además de la habitual de contarlas), es detectar
el número de aristas que inciden en un vértice, grado del vértice, y sumar todos esos grados. Obtendríamos
así el doble del número total de aristas bastaría con dividir por dos al valor calculado al sumar los grados
de todos los vértices. Entonces, si designamos por 𝑎 el número de aristas de un grafo G y por 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴 𝑛
los 𝑛 vértices de este grafo, resulta:
𝑎 =
1
2
∑ 𝑔(𝐴𝑖)
𝑛
𝑖=1
2𝑎 = ∑ 𝑔(𝐴𝑖)
𝑛
𝑖=1
Lema del apretón de manos:
La suma de los grados en cualquier grafo es un número par.
Más específicamente el doble del número de aristas. Se puede simbolizar:
∑ 𝑔(𝐴𝑖)
𝑛
𝑖=1
= 2𝑎
Si 𝐺 = (𝑉, 𝐴, 𝑓) es un grafo k-regular de n vértices y a aristas entonces k.n=2.a
Vértices pares e impares:
Se dice que un vértice es par si su grado es un número par; de la misma forma un vértice es impar si su
grado es un número impar.
Teorema:
En todo grafo hay un número par de vértices impares.
Demostración:
Sea un grafo de 𝑛 vértices 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴 𝑛, luego se cumple el Lema del apretón de manos, es decir:
∑ 𝑔(𝐴𝑖)
𝑛
𝑖=1
= 2𝑎
9. 9
De esos vértices habrá algún vértice (ninguno, uno, varios o todos) que es par.
Si no hay vértices pares entonces todos los vértices deben ser impares luego la suma de los grados de de
dichos vértices es un número impar. La única manera de que la suma de números impares sea par es que
tengamos una cantidad par de dichos números. Luego hay un número par de vértices impares.
Supongamos que 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴 𝑘; 𝑘 ≤ 𝑛 son vértices pares. Entonces es un número par, luego la
suma de los grados de los vértices impares puede ser expresada de la siguiente forma:
∑ 𝑔(𝐴𝑖)
𝑛
𝑖=𝑘
= 2𝑎 − ∑ 𝑔(𝐴𝑖)
𝑘
𝑖=1
el miembro de la derecha, claramente es un número par. Mientras que el de la izquierda es la suma de los
grados de los vértices impares. Entonces dicha suma da como resultado un número par, por lo cual
debemos tener una cantidad par de vértices impares. ∎
Grafos conexos:
Para entender la idea de grafo conexo conviene clarificar previamente sobre los nombres y significados de
algunos conceptos.
Camino: es una secuencia alternada de vértices y aristas, que comienza y termina en vértices.
Puede comenzar y terminar en el mismo.
Cadena: es un camino abierto cuyas aristas no se repiten. Si recorre todas las aristas del grafo se le
llama cadena euleriana.
Cadena simple: es aquella cadena en que los vértices no se repiten.
Ciclo: es una cadena cuyo primer elemento y último coinciden. Si la cadena es euleriana se llama
ciclo euleriano.
Ciclo simple: es aquel ciclo en el cual no se repiten vértices, salvo el vértice origen que también es
final.
Longitud: es el número de aristas que componen un camino, cadena o ciclo.
Notación: se indican los caminos, cadenas y ciclos anotando consecutivamente la secuencia de los
vértices del primero al último.
Concepto Aristas repetidas Vértices repetidos Abierto Cerrado
Camino Si Si Si Si
Cadena No Si Si No
Cadena Simple No No Si No
Ciclo No Si No Si
Ciclo Simple No No No Si
Consideremos el siguiente grafo y analicemos caminos, cadenas y ciclos.
Sucesión de
vértices
Camino Cadena Cadena
Simple
Ciclo Ciclo
Simple
∑ 𝑔(𝐴𝑖)
𝑘
𝑖=1
10. 10
ABDCBA Si No No No No
FEBDCBA Si Si No No No
FEBD Si Si Si No No
BFEBDCB Si Si No Si No
EFBE Si Si No Si Si
Este grafo no tiene ni cadenas ni ciclos eulerianos.
Definición: Un grafo se dice conexo si existe una cadena simple entre cualquier par de vértices del grafo.
Luego, si un grafo es conexo desde cualquier vértice se puede llegar a otro mediante una cadena simple.
Vértice alcanzable: se dice que un vértice A es alcanzable desde otro B, si existe al menos una cadena
simple que una A con B.
Lema del vértice alcanzable: Un grafo es conexo si todos los vértices son alcanzables desde los restantes.
Conjunto desconectante: es un conjunto de aristas cuya remoción desconecta una grafo conexo.
Conjunto de corte: es una conjunto desconectante que no contiene ningún subconjunto desconectante
propio.
Istmo: conjunto de corte que consta de una sola arista.
Ejemplo:
Conjunto desconectante pero no de corte {(𝐵; 𝐶), (𝐵; 𝐸), (𝐸; 𝐹)}
Desconecta al grafo {(𝐵; 𝐶), (𝐸; 𝐹)}
Grafos eulerianos:
Un grafo es euleriano si existe al menos un ciclo euleriano (cadena cuyo primer y último elemento
coinciden) que recorre todas las aristas del grafo sin repetirlas.
G1 G2 G3
11. 11
G4 G5
G1 y G2 conexos no eulerianos. Observar que en el caso de G3 y G4, que no son conexos, contienen subgrafos
conexos. En el caso de G3 un subgrafo conexo (porque evidentemente hay otros) es el polígono
BCDEFGHIJKLM, resultante de no considerar los vértices aislados A y N. en G4 hay, entre otros, dos
subgrafos conexos ABCD y EFG.
G5 es una grafo euleriano pues contiene un ciclo euleriano ABCEDCFA que recorre todas sus aristas sin
repetirlas, no así el ciclo ABCFA.
Propiedades:
1. Si G es un grafo conexo y todos sus vértices son de grado par, entonces G posee un ciclo euleriano.
Esta propiedad es conocida como el Teorema de Euler.
2. Si G es un grafo sin vértices aislados, entonces es posible construir una cadena euleriana, si y sólo si
G es conexo y tiene exactamente dos vértices de grado impar.
Grafos Hamiltonianos:
Cadena Hamiltoniana: se denomina cadena de Hamilton, en un grafo G que no tiene vértices aislados, a
toda cadena simple que recorre todos los vértices de G.
Ciclo Hamiltoniano: se denomina así, a todo ciclo, en un grafo G, que recorre todos los vértices de G (sin
repetirlos).
Grafo Hamiltoniano: son aquellos grafos que contienen un ciclo hamiltoniano.
Es un grafo Hamiltoniano ya que el ciclo ABCDA recorre
todos sus vértices.
No es un grafo Euleriano ya que no es posible construir una
cadena Euleriana.
Propiedades:
1. Si G es un grafo sencillo de 𝑛 vértices, con 𝑛 ≥ 2 y el grado de cada vértice es mayor o igual que
, entonces G tiene una cadena Hamiltoniana.
2. Si G es un grafo sencillo de 𝑛 vértices, con 𝑛 ≥ 3 y el grado de cada vértice es mayor o igual a ,
entonces G es un grafo Hamiltoniano.
Grafos dirigidos o digrafos:
𝑛 − 1
2
𝑛
2
12. 12
Se denominan grafos dirigidos o dígrafos a aquellos grafos en que las aristas tienen un orientación
determinada.
En general las propiedades relativas a grafos son equivalentes en los dígrafos; es decir que todas las
características de los grafos se mantienen en dígrafos.