El documento define un grafo como un par formado por un conjunto de vértices y aristas que los unen. Explica que un grafo es regular si todos los vértices tienen el mismo grado, bipartito si los vértices pueden dividirse en dos conjuntos sin aristas internas, y completo si tiene una arista entre cada par de vértices. También introduce la matriz de adyacencia para representar un grafo y define caminos eulerianos y hamiltonianos.

1. GRAFOS

2. GRAFOS Un grafo G es un par (V,E) donde V es un conjunto (llamado conjunto de vértices o nodos) y E un subconjunto de VxV (conjunto de aristas). Gráficamente representaremos los vértices por puntos y las aristas por líneas que los unen. Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente 2 vértices. Llamaremos orden de un grafo a su número de vértices, |V|. Si |V| es finito se dice que el grafo es finito. Toda arista une dos vértices distintos

3. EJEMPLOS DE GRAFOS Grafo regular : Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado es k lo llamaremos k-regular .

4. EJEMPLOS DE GRAFOS Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto

5. EJEMPLO DE GRAFOS Grafo completo : Aquel con una arista entre cada par de vértices. Un grafo completo con n vértices se denota Kn.

6. EJEMPLOS DE GRAFOS Todo grafo completo es regular porque cada vértice tiene grado |V|-1 al estar conectado con todos los otros vértices. Un grafo regular no tiene por qué ser completo Un grafo bipartido regular se denota K m,n donde m, n es el grado de cada conjunto disjunto de vértices. A continuación ponemos los dibujos de K 1,2 , K 3,3 , y K 2,5

7. MATRIZ DE ADYACENCIA La suma de los grados de los vértices es igual al doble del número de aristas Sea G un grafo de orden n. Llamaremos matriz de adyacencia de G a la matriz n x n que llamaremos A = (a ij ) donde a ij = 1 si {i,j}  A y aij = 0 en otro caso. La matriz de adyacencia siempre es simétrica porque a ij = a ji v1 v2 v3 v4 v5 v1 0 1 1 0 0 v2 1 0 1 1 0 v3 1 1 0 1 1 v4 0 1 1 0 0 v5 0 0 1 0 0

8. GRAFOS Sea G un grafo de n vértices con n > 1 y sea A su matriz de adyacencia. Se cumple que el valor del coeficiente a i,j de la matriz A k es igual al número de caminos de longitud k con extremos v i y v j Si existe un camino de longitud m (m  n) entre 2 vértices cualquiera, entonces existe un camino de longitud  n-1 entre esos dos vértices. Un grafo G se dice conexo si cada par de vértices está unido al menos por un camino. Una arista de un grafo G se dice de separación si G es conexo pero al suprimir la arista se divide en dos componentes conexos

9. GRAFOS Un método para comprobar si un grafo es conexo es el siguiente: Se halla la matriz de adyacencia y se eleva a la (n-1)-ésima potencia Se calcula la suma de las potencias de A hasta A n-1 Si todos sus elementos son  0, el grafo es conexo. Dados dos grafos G = (V, E) y G´ = (V´, E´), se denomina isomorfismo entre G y G´ a cualquier aplicación biyectiva f:G  G’ tal que si a, b  V, entonces {a,b}  E  {f(a),f(b)}  E´.

10. Grafos Eulerianos y Hamiltonianos Llamaremos c amino euleriano a un camino que contiene a todas las aristas del grafo, apareciendo cada una exactamente una vez. Un c iclo euleriano es un camino euleriano que comienza y acaba en el mismo vértice. Un grafo que admite un ciclo euleriano diremos que es un grafo euleriano.

11. Grafos Eulerrianos y Hamiltonianos Si un grafo está formado por dos subgrafos eulerianos unidos al menos por un vértice y sin aristas en común, entonces es euleriano. Un grafo conexo G=(V,A) es euleriano  todo vértice tiene grado par. Un grafo conexo tiene un camino abierto euleriano  tiene exactamente dos vértices de grado impar.

12. Caminos Hamiltonianos Un camino hamiltoniano es un camino que recorre todos los vértices de un grafo sin pasar dos veces por el mismo vértice. Si el camino es cerrado se dice un ciclo hamiltoniano Un grafo G se dice hamiltoniano si tiene un ciclo hamiltoniano. A diferencia de los grafos eulerianos, no hay una caracterización de cuando un grafo tiene un ciclo o un camino hamiltoniano. Si un grafo es conexo con |V|  3 y para cada par de vértices la suma de sus grados es mayor o igual que el número de vértices entonces es hamiltoniano.

13. ARBOLES Un grafo se dice un árbol si es conexo y no tiene ciclos. Los primeros dos grafos son árboles:

14. ARBOLES Por tanto, un grafo es un árbol  entre cada par de vértices existe un camino y sólo uno. Un grafo se dice un bosque si sus componentes conexas son árboles. Teorema.- Sea G(V,E) un grafo. Son equivalentes a) G es un árbol b) Cada par de vértices distintos de V esta conectado por un único camino. c) G es conexo y toda arista de G es de separación d) G no tiene ciclos y |V| = |E| + 1 e) G es conexo y |V| = |E| + 1 f) G no tiene ciclos pero al añadirle una arista a G se crea un único circuito

15. ARBOL GENERADOR Definición.- Sea G un grafo, un árbol generador de G es un subgrafo conexo de G que tiene los mismos vértices que G y no tiene circuitos.

16. ARBOL GENERADOR Supongamos que a cada arista se le asocia un número positivo (su peso). Un árbol generador se dice de peso mínimo si la suma de los pesos de las aristas que lo componen es lo menor posible Para calcular el árbol de peso mínimo existen 2 algoritmos: Kruskal: Se van escogiendo las aristas de menor peso hasta conseguir un árbol de peso mínimo Prim: Consiste en ir borrando las aristas de mayor peso posible y que no sean aristas de separación. Puede haber más de un árbol generador de peso mínimo, pero todos deben tener el mismo peso.