1. El documento habla sobre la teoría de grafos, que surgió del problema de los siete puentes de Königsberg estudiado por Euler. 2. Define conceptos básicos de grafos como nodos, aristas, dirigidos/no dirigidos, y métodos para representar y analizar grafos. 3. Explica algoritmos comunes para encontrar caminos y árboles de costo mínimo en grafos.

1. Teoría de GRAFOS Adaptado y Modificado Ing. LEONARDO BERNAL ZAMORA Universidad de Boyacá

2. CONTENIDO INTRODUCCIÓN QUE ES UN GRAFO? CONCEPTOS IMPORTANTES GRAFOS DIRIGIDOS GRAFOS NO DIRIGIDOS METODOS DE BUSQUEDA BIBLIOGRAFIA GRAFOS

4. La Teoria de Grafos nace del análisis sobre una inquietud presentada en la isla Kueiphof en Koenigsberg (Pomerania - hoy Kaliningrado, Alemania) ya que el río que la rodea se divide en dos brazos. Sobre los brazos estaban construidos siete puentes y para los habitantes era motivo de distracción descubrir un itinerario de manera que pudieran regresar al punto de partida, después de haber cruzado por los siete puentes pero pasando sólo una vez por cada uno de ellos.

5. Leonardo Euler estudió el asunto, representó las distintas zonas A, B, C y D por medio de puntos, mientras que los puentes estaban representados por líneas que unían estos puntos. A la figura la llamó grafo, a los puntos los llamó vértices y a las líneas las denominó aristas. Estudió si una figura lineal se podía dibujar con un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por la misma arista.

6. Un GRAFO es una estructura de datos dinámica que permite representar diferentes tipos de relaciones entre objetos de manera gráfica. Da lugar a una representación, en donde cada vértice es un punto del plano, y cada arista es una línea que une a sus dos vértices. GRAFOS NODOS O VERTICES ARCOS O ARISTAS INFORMACION Relaciones

7. GRAFOS Bogotá Brasilia Lima Santiago Buenos Aires Montevideo 1.500 800 900 2.000 G = (V, A) V(G) = nodos o vértices (ciudades) A(G) = arcos o aristas (medio de conexión)

9. Grado de un nodo Lazo o bucle Camino Grafo conexo Grafo completo Nodo Aislado Multigrafo GRAFOS

10. Los nodos c y e tienen grado 4, el nodo d tiene grado 6 y los demás nodos tiene grado 5 Existe un lazo o bucle en el nodo d Es multigrafo ya que existen dos aristas que unen los vértices a y b Existen varios caminos que unen el nodo a y el nodo d Ej. a-b-c-d-a, a-e-d , a-d o a-c-d El camino a-c-d-a es un camino cerrado o circuito ( Cuando los dos extremos de un camino son iguales ) El camino a-c-d-a es un camino simple ( vértices no se repiten) , mientras que a-c-b-d-c no lo es. (Es no simple) El camino simple a-c-d-a es también un camino cíclico Es un Grafo conexo ya que todos los nodos tiene al menos un camino a otro nodo Es un Grafo completo ya que todos los nodos se conectan con los demás El nodo f es un nodo aislado a b c d e f GRAFOS

12. GRAFOS NO DIRIGIDOS a NO DIRIGIDOS: son aquellos en los cuales los lados no están orientados (No son flechas). Cada lado se representa entre paréntesis, separando sus vértices por comas, y teniendo en cuenta (Vi,Vj)=(Vj,Vi) . GRAFOS u v GRAFO G = (V,A) Si a es una arista no dirigida: (u,v) = (v,u)

13. DIRIGIDOS: son aquellos en los cuales los lados están orientados (flechas). Cada lado se representa entre ángulos, separando sus vértices por comas y teniendo en cuenta <Vi ,Vj>!=<Vj ,Vi>. En grafos dirigidos, para cada lado <A,B>, A, el cual es el vértice origen, se conoce como la cola del lado y B, el cual es el vértice destino, se conoce como cabeza del lado Conjunto de vértices = V {A,B,C,D,E} Conjunto de Arcos o Aristas = A{A-B,A-D,B-C,B-D,B-E,C-E,E-D,D-E} GRAFOS u v DIGRAFO a

14. Grafos Dirigidos y No Dirigidos REPRESENTACION Matriz de Adyacencia Listas de Adyacencia OBTENCIÓN DE CAMINOS

15. Matriz de Adyacencia Booleana Orden arbitrario a los vértices Filas y columnas el mismo orden Ventaja: tiempo de acceso Desventaja: espacio de almacenamiento Se puede determinar si existe un camino entre dos nodos GRAFOS a b c d a a b b c c d d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0

16. Cual es la Matriz de Adyacencia para:

17. Matriz de Adyacencia

18. Listas de Adyacencia Lista ordenada de vértices adyacentes a uno dado Se puede representar mediante un arreglo Espacio de almacenamiento NV + NA Ventaja: espacio de almacenamiento Desventaja: tiempo de búsqueda de las aristas GRAFOS a b c d a b c d b c a d b arreglo

19. Cual es la Lista de Adyacencia para:

20. Listas de Adyacencia

21. Representación de un grafo no-dirigido con peso asignado en sus aristas

22. Representación de un grafo no-dirigido con peso asignado en sus aristas

23. Obtención de Caminos Llegar desde un vértice origen a un destino recorriendo la menor distancia posible o con el menor costo. Los algoritmos más usados para este fin son: DIJSKSTRA FLOYD WARSHALL GRAFOS

24. Árbol abarcador de costo mínimo Es un árbol libre que conecta todos los vértices de V, se construye con las aristas de menor costo. Los algoritmos más usados para este fin son: PRIM KRUSKAL GRAFOS

25. Recorrido de un Grafo Se caracterizan por el orden en el cual se expanden los nodos. Los dos métodos más utilizados son: Recorrido en anchura Recorrido en profundidad GRAFOS

26. Grafos CAMINO SIMPLE: Un grafo a dígrafo tiene un camino simple si partiendo de cualquier vértice podemos recorrer la estructura sin repetir ningún vértice ningún arco o arista

27. Grafos PLANO: un grafo plano (o planar según referencias) es un grafo que puede ser dibujado sin que ninguna arista se interseque (una definición más formal puede ser que este grafo pueda ser &quot;embebido&quot; en un plano). Fórmula de Euler La fórmula de Euler enuncia que si un grafo conexo, plano es dibujado sobre un plano sin intersección de aristas, y siendo V el número de vértices, A el de aristas y C la cantidad de caras (regiones conectadas por aristas, incluyendo la región externa e infinita), entonces: V − A + C = 2 6 − 7 + 3 = 2

28. GRAFOS EULERIANOS: Si partiendo de cualquier vértice, podemos recorre todos los arcos llegando de nuevo al vértice origen. Se pueden visitar los vértices cuantas veces sea necesario pero los arcos se pueden recorre solamente una vez.

29. GRAFO HAMILTONIANO: Si partiendo de cualquier vértice, podemos recorre todos los vértices sin repetir ninguno y finalmente podemos llegar al vértice origen.

30. MULTIGRAFO: Un Multigrafo es una estructura donde dos vértices están unidos por mas de un arco o arista.

31. GRAFO COMPLETO: Un grafo es completo si cada vértice tiene un grado igual a n-1, donde n es el numero de vértices que componen el grafo.

32. Visualización de código HTML como un grafo Frente a una visualización estructurada en forma de árbol de etiquetas HTML, con el applet disponible en www.aharef.info/static/htmlgraph/ podemos, de un vistazo, ver la complejidad de componentes y anidaciones jerárquicas de los mismos. Simplemente hay que introducir la URL hasta la página deseada y comenzará una animación que irá formando el grafo acíclico:

36. Cairó - Guardati, Estructuras de Datos Joyanes Aguilar Luis, Estructuras de Datos (Libro de Problemas) http://bochica.udea.edu.co/~rflorez/ed1/grafos/grafos01.html Bibliografía GRAFOS