Guìa grado 9 periodo matematica periodo 1 2024.pdf

INSTITUCIÓN EDUCATIVA TECNICA FRANCISCO
JOSE DE CALDAS DE NATAGAIMA
Resolución de Aprobación 6525 del 04 de octubre de 2018 Resolución de Asociación
Educ. 1213 de octubre 3 de 2002 Autorización de Media Técnica Resolución No. 0866 de
septiembre 24 de 2003 Emanadas de la Gobernación del Tolima
Nit: 890-706-334-5 Registro Dane: 173483-000016 Registro Secretaría
Educación: 134009- 134
1
DOCENTES ASESORES CONTACTO
ÁREA Matemáticas
ECUACIÓN DE LINEAL CON UNA VARIABLE
OBJETIVO: Identificar ecuaciones lineales con una variable, empelar métodos para
solucionarlas y aplicarlas en la solución de situaciones problema.
DEFINICIÓN: La ecuación con una variable es aquella igualdad que tiene uno o más términos
desconocidos representados por una variable cuyo exponente es uno (1). Algunos ejemplos de ellas
son:
• 𝑥 + 10 = 20
• 3𝑎 = 5
• 2𝑥 + 6 = 8
•
3
4
𝑦 − 5 = 2
•
5𝑚+2
2
= 10
• 7𝑥 +
1
2
=
3𝑥+5
3
La ecuación con una variable cumple la ley de simetría de la igualdad, es decir, al intercambiar lo
miembros de dicha igualdad no se altera, es decir que la expresión 3𝑥 + 5 = 8𝑥 + 10 es igual a
decir que 8𝑥 + 10 = 3𝑥 + 5.
Las ecuaciones lineales cumplen con los siguientes criterios:
1. ADITIVO: cuando el termino constante, es decir, cambia de miembro de la igualdad, por su
opuesto. Son expresiones de tipo aditivo: 𝑥 + 5 = 8 o 12 = 𝑦 + 12.
Para resolverlas, se traspone la constante, es decir, cambia de miembro en la igualdad, por su
opuesto (cambio de signo).
Ejemplo:
𝑥 + 5 = 20
𝑥 = 20 − 5 Se traspone 5 por su opuesto
𝑥 = 15 Se resuelve la operación
2. MULTIPLICATIVO: cuando el termino constante multiplica o divide a la variable. Son
expresiones de tipo multiplicativo las siguientes: 5𝑥 = 8 o
𝑥
9
= 13
Para resolverlas, se traspone el termino por su reciproco, es decir, cambian los componentes
de las constantes
Ejemplo:
2𝑥 = 20
𝑥 =
20
2
Se traspone 2 por su reciproco
1
2
78
ANIBAL BONILLA CARDENAS 3172842371
GUÍA I PERIODO I - 2024 ESTUDIANTE:
GRADO: NOVENO JORNADA: J.M. / J.T. SEDE: Principal

2
𝑥 = 10 Se resuelve la operación
3. ADICTIVAS Y MULTIPLICATIVAS: cuando los términos constantes suman o restan y
multiplican o dividen. Algunas expresiones Que cumplen con las características de este
numeral Son las siguientes. 3𝑥 − 10 = 5,
2
5
𝑥 − 4 = 5
Para su para solucionarlas, Primero se transponen los términos aditivos y luego los
multiplicativos.
Ejemplo:
2𝑥 + 5 = 9
2𝑥 = 9 − 5 Se traspone 5 por su opuesto
2𝑥 = 4 Se resuelve la operación
𝑥 =
4
2
Se multiplica por el inverso de 2 que es
1
2
x=2 Se resuelve la operación
ACTIVIDAD 1
Resuelve las siguientes ecuaciones lineales e identifica si es una expresión aditiva, multiplicativa o
ambas.
1. 2𝑥 + 5 = 15
2. 3𝑦 − 10 = 20
3.
2
5
𝑚 + 4 = 10
4. −10 =
3
7
𝑎 − 20
5. 𝑥 + 20 = 50
6.
𝑥
3
− 2 = 2
7. 𝑚 − 15 = 12
8. 3𝑎 = 21
9. 20 = 5𝑦
10.
2
3
=
𝑥
2
+
5
6
11.𝑥 −
1
3
= 5
12.
3
5
𝑦 = 27
13.
𝑚
3
= 10
14.20 = 𝑧 − 10
15.
2
5
=
𝑎
2
16.
2
7
=
4
5
𝑥
17.−5 = 8 + 𝑚
18.−
7
8
𝑎 = −35
19.8𝑎 −
1
2
= −5
20.3𝑦 − 2 = 28
Existen otro tipo de ecuaciones lineales con una variable, donde, esta se halla en ambos miembros
de la igualdad, la solución para estos casos se obtiene trasponiendo los términos de tal manera, que
la variable quede en un miembro de la igualdad (no importa en cual) y las constantes en el otro
miembro de la ecuación. Luego, se efectúan las operaciones correspondientes para dar solución a la
ecuación.
Ejemplo:
𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟑𝒙 − 𝟕
5𝑥 − 3𝑥 = −7 − 10 Se trasponen los termino
2𝑥 = −17 Se realizan las operaciones
𝑥 = −
17
2
Se multiplica por el inverso de 2 que es
1
2
𝟑𝒂 + 𝟓
𝟐
=
𝟐𝒂 + 𝟏𝟎
𝟑
3(3𝑎 + 5) = 2(2𝑎 + 10) Se multiplica por el inverso de
1
2
y
1
3
9𝑎 + 15 = 4𝑎 + 20 Se efectúan las operaciones
9𝑎 − 4𝑎 = 20 − 15 Se trasponen los términos
79

3
5𝑎 = 5 Se efectúan las operaciones
𝑎 =
5
5
= 1 Se multiplica por el inverso de 5
ACTIVIDAD 2
Resuelve las siguientes ecuaciones lineales
1. 8𝑥 − 5 = 3𝑥 + 5
2. 7𝑚 + 30 = 9𝑚 + 20
3.
2(𝑥+3)
5
=
5
6
(𝑥 − 2)
4. 2𝑦 − 1 = 5𝑦 + 6
5.
3
4
(2𝑚 − 1) = 𝑚 + 3
6.
2𝑎
5
− 3 = 𝑎 +
1
2
7. 8(𝑥 − 2) = 2(3𝑥 + 5)
8.
3𝑥+5
2
= 𝑥 + 10
9.
2𝑥+3
3
=
𝑥+5
5
10. 3𝑚 −
1
2
= 2𝑚 +
3
4
APLICACIONES
Las aplicaciones lineales con una variable se aplican en la situación de numerosas situaciones
problema para ello se debe considerar el siguiente proceso:
1. Leer el problema e interpretarlo
2. Modelarla a través de la ecuación
3. Resolver la ecuación obtenida
4. Comprobar al reemplazar el valor obtenido de la variable en la ecuación
Ejemplo: María tiene cierto dinero y Carla tiene el doble de lo que posee María. sí entre las dos
tienen $7500 ¿cuánto dinero tiene cada una?
Solución: Vamos a asignar una variable al dinero de María y Carla, de tal manera que con ella nos
vamos a referir cuando establezcamos la ecuación, de modo que, el dinero de maría lo representaremos
mediante la expresión 𝑥 y el dinero de Carla mediante la expresión 2𝑥 (el doble), entonces, con estos
elementos podemos modelar la ecuación de la situación problema, que es sumar las variables que
representan el dinero de María y Carla e igualarlo a $7500 de la siguiente manera: $7500 = 𝑥 + 2𝑥,
luego procedemos a darle solución
𝑥 + 2𝑥 = $7500
3𝑥 = $7500
𝑥 =
$7500
3
= $2500
Luego, hemos encontrado el valor de 𝑥, que corresponde al dinero que posee María y con ello
podremos saber cuando es el dinero de Carla ya que es 2𝑥 = 2($2500) = 5000.
Al verificar en la ecuación vemos que $2500 + $5000 = $7500 la expresión es verdadera, por lo
tanto, María posee $2500 y Carla $5000.
ACTIVIDAD 3
Solucionar los siguientes problemas
80

4
1. En un juego de mesa Pedro y Luisa disponen de 40 fichas si el doble de las fichas de Luisa
equivale a las fichas de Pedro aumentadas en 5. ¿Cuántas fichas tiene cada uno?
2. Sí a los 3/4 de mi dinero le agrego $200, entonces, tengo la misma cantidad disminuido en
400. ¿cuánto dinero tengo?
3. En 3 jornadas un caminante recorre 21 km. Sí en cada jornada recorre el doble de kilómetros
que en la anterior. ¿Cuántos kilómetros recorre por jornada?
4. Dos grupos de un colegio siembran 45 árboles en una actividad ambiental, si el doble de los
árboles sembrados por el primer grupo equivale al triple de los sembrados por el otro grupo
aumentado en 5. ¿Cuántos árboles sembró cada grupo?
5. Una empresa fabricante de prendas de vestir elabora cierto número de pantalones, si se venden
100 de ellos y más tarde los 5/8 del resto y aún quedan por vender 150 pantalones. ¿Cuántos
pantalones fueron fabricados?
6. En 3 Corrales hay 70 vacas, en el primero hay 10 vacas menos que en el segundo y en el tercero
hay el doble de vacas que en el primero. ¿Cuántas vacas hay en cada corral?
7. Un granjero recolectó cierto número de huevos, vendió 290 y después 4/7 de los que le
quedaban. ¿Si le quedaron 90 huevos cuántos de ellos tenía al comienzo?
8. Una cancha de fútbol tiene un perímetro 280 metros, sí los 5/8 del largo disminuido en 10
metros equivalen al ancho. ¿Cuánto miden las dimensiones de la cancha?
9. Una carretera de 40 km separa a dos poblaciones y está pavimentada en ciertos tramos, si el
triple de la parte pavimentada disminuida en 5 km equivale a 4 veces la parte no pavimentada
aumentada en 10. ¿Cuántos kilómetros mide cada parte de la vía?
10. En una tienda deportiva exhiben 80 balones de futbol y microfútbol, si el 40% de los balones
de fútbol aumentado en 5 equivalen al 30% de los balones de microfútbol aumentado en dos.
¿Cuántos balones hay de cada clase?
11. En un pueblo de Colombia son vacunados contra el COVID-19 150 hombres y mujeres, si el
50% equivale a la tercera parte de las mujeres. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres han
vacunado?
ECUACIÓN LINEAL CON DOS VARIABLES
OBJETIVO: definir la ecuación lineal con dos variables, así como la forma de notarla y
representarla gráficamente.
DEFINICIÓN: Una ecuación lineal en dos variables es aquella que contiene dos variables con
exponente 1. Por ejemplo, las siguientes expresiones son ecuaciones lineales de dos variables: 3𝑥 +
2𝑦 = 10,
2
3
𝑎 + 5 =
5
4
𝑏 − 3.
Este tipo de ecuaciones se representan de 2 maneras:
1. informa general a través de la expresión 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, donde, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℛ (pertenecen a los
números reales), las siguientes expresiones están representadas en forma general: 2𝑥 + 5𝑦 =
10, −4𝑥 − 2𝑦 = 5.
En algunos casos, se requiere ordenar la ecuación a la forma general, aplicando los procesos
empleados en las ecuaciones lineales de una variable. Por ejemplo, para ordenar a la forma
general la expresión 5𝑥 + 2𝑦 = 3𝑥 − 5 se realizan los siguientes pasos:
5𝑥 + 2𝑦 = 3𝑥 − 5
5𝑥 − 3𝑥 + 2𝑦 = −5 Se traspone la expresión 3𝑥
2𝑥 + 2𝑦 = −5 Se resuelven las operaciones
81

5
2. En forma explícita, mediante la expresión 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 donde 𝑚, 𝑏 son números reales, 𝑦 =
3𝑥 + 5, 𝑦 = 3𝑥 − 5 son expresiones que tienen la forma explícita de la ecuación lineal.
Como en el caso anterior, una ecuación lineal en dos variables se puede llevar a la forma explícita
siguiendo los mismos procesos ya estudiados en la ecuación lineal. Por ejemplo, expresemos en
forma explícita la ecuación 3𝑥 − 2𝑦 = 6.
3𝑥 − 2𝑦 = 6
2𝑦 = 3𝑥 − 6 Trasponemos el termino 2𝑦 y 6
𝑦 =
3
2
𝑥 −
6
2
Multiplicamos por el inverso de 2
𝑦 =
3
2
𝑥 − 3 Simplificamos la expresión
ACTIVIDAD 4
Expresar en forma general las siguientes ecuaciones
1.
3𝑥−5
2
=
4𝑦+7
3
2.
2𝑥−5𝑦
2
= 3𝑥 + 5
3.
3
4
𝑥 −
5
6
𝑦 = 𝑥 + 𝑦 + 8
4.
2
3
𝑥 + 3𝑥 − 5 = 5𝑥 +
𝑥
2
+ 8
5. 12𝑥 − 15 = 3𝑥 + 2𝑦
6. 9𝑥 + 𝑦 = 𝑥 − 6𝑦 − 1
7. 4𝑥 − 3𝑦 + 2 = 𝑥 + 5𝑦 + 11
8. 2𝑥 − 10 = 𝑦 + 2
9. 4𝑥 − 5𝑦 + 8 = 2𝑥 + 𝑦 + 7
Expresar en forma explícita las siguientes ecuaciones
10. 2𝑥 − 3𝑦 = 5
11. 3𝑥 + 𝑦 = 10
12. 𝑥 + 𝑦 = 5
13. 7𝑥 − 5𝑦 = 2𝑦 + 14
14. 4𝑥 − 𝑦 = 2𝑦 − 3
15. 7𝑥 + 10𝑦 = 5𝑦 − 3
16. 2𝑥 − 3𝑦 = 1
17.
3
5
𝑥 −
2
3
𝑦 =
1
2
18. 7𝑥 −
𝑦
2
= 1
19.
2
3
𝑥 − 5 = 2𝑦 − 1
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA ECUACIÓN LINEAL
CON DOS VARIABLES
Al considerar la ecuación 𝑦 = 2𝑥 − 5, y darle valores a 𝑥, se tienen valores de 𝑦, los cuales
constituyen soluciones para la ecuación.
Ejemplo:
• Sí 𝑥 = 3, tenemos que, 𝑦 = 2(3) − 5, de donde obtenemos que 𝑦 = 1, luego, 𝑥 = 3 y 𝑦 = 1,
son soluciones de la ecuación 𝑦 = 2𝑥 − 5.
• Sí 𝑥 = 2, tenemos que, 𝑦 = 2(2) − 5, de donde obtenemos que 𝑦 = −1, luego, 𝑥 = 2 y 𝑦 =
−1, son soluciones de la ecuación 𝑦 = 2𝑥 − 5.
82

6
• Sí 𝑥 = 0, tenemos que, 𝑦 =
2(0) − 5, de donde obtenemos que 𝑦 =
−5, luego, 𝑥 = 3 y 𝑦 = −5, son
soluciones de la ecuación 𝑦 = 2𝑥 − 5.
Siguiendo el mismo proceso se obtienen
muchas soluciones, las cuales se notan
como parejas ordenadas (𝑥, 𝑦), para el caso dichas soluciones se tabulan
así:
Al graficar en el plano cartesiano dichas parejas, sub serva que cada pareja
tiene como gráfica un punto en el plano, además, los puntos son como
lineales, es decir están en la misma recta.
De ellas se concluye que una ecuación lineal de 2 variables tiene como
representación gráfica una recta, donde cada punto de dicha recta es una
solución de la ecuación, es decir existe una relación entre los puntos de la recta y las infinitas
soluciones de la ecuación que la representa.
Ejemplo: graficar la ecuación 𝑦 = −𝑥 + 3. Construimos la
tabla de valores dándole valores a 𝑥 de la siguiente manera
• Sí 𝑥 = −2, tenemos que, 𝑦 = −(−2) + 3 = 2 + 3 = 5
• Sí 𝑥 = 1, tenemos
que, 𝑦 = −(1) + 3 = 2
que, 𝑦 = −(3) + 3 = 0
que, 𝑦 = −(5) + 3 = −2
Tabulando las soluciones tenemos, los siguientes puntos (−2,5);
(1,2); (3,0); (5, −2)
ACTIVIDAD 5
Graficar las siguientes ecuaciones:
1. 𝑦 = −5𝑥 + 3
2. 𝑦 = 2𝑥 − 4
3. 𝑦 =
2
3
+ 5
4. 3𝑦 − 𝑥 = 2𝑦 + 5
5. 𝑦 =
𝑥−2
3
6. 𝑦 = 3𝑥 − 1
7. 𝑦 = −
𝑥
2
+ 4
8. 𝑦 = 7𝑥 − 2
9. 2𝑦 − 3 = 𝑦 + 5
10.
2𝑥+𝑦
3
= 2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
CON DOS VARIABLES
OBJETIVO: Identificar, resolver y aplicar los sistemas de ecuaciones lineales con dos variables
empleando método gráfico y algebraico.
x 0 2 3
y -5 -1 1
x -2 1 3 5
y 5 2 0 -2
83

7
DEFINICIÓN: un sistema de ecuaciones lineales con dos variables es un conjunto de 2
ecuaciones con dichas características, las siguientes expresiones son ejemplo de ello:
• {
2𝑥 + 3𝑦 = 5
−4𝑥 + 6𝑦 = 10
• {
𝑦 = 3𝑥 + 5
𝑦 = −2𝑥 − 7
• {
𝑥 + 2 = 𝑦 − 3
2𝑥 − 5 = 3𝑦 + 9
Las soluciones de un sistema de ecuaciones con dos variables puede ser gráfica o algebraica
SOLUCIÓN GRÁFICA: Se obtiene trazando la recta que representa a cada ecuación el punto de
intersección de las 2 rectas corresponde a la solución del sistema.
Ejemplo 1: hallar la ecuación la solución gráfica del sistema de
ecuaciones lineales:
{
𝑦 = 2𝑥 − 1
𝑦 = −2𝑥 + 7
Solución: Se codifican las ecuaciones ① y ② luego se hallan 3
soluciones para cada ecuación y con esa información se trazan las
rectas
{
𝑦 = 2𝑥 − 1 ①
𝑦 = −2𝑥 + 7 ②
Soluciones de la ecuación ①
x 1 2 3
y 1 3 5
Soluciones de la ecuación ②
x 1 2 3
y 5 3 1
Ejemplo 2: hallar la ecuación la solución gráfica del sistema de
ecuaciones lineales:
{
𝑦 = −𝑥 + 1
𝑦 = 𝑥 + 7
Solución: Se codifican las ecuaciones ① y ② luego se hallan 3
soluciones para cada ecuación y con esa información se trazan las
rectas
{
𝑦 = −𝑥 + 1 ①
𝑦 = 𝑥 + 7 ②
Sol. de la ecuación ①
x -3 -2 0
y 4 3 1
Sol. de la ecuación ②
x -5 -3 -1
y 2 4 6
Ejemplo 3: hallar la ecuación la solución gráfica del sistema de ecuaciones lineales:
{
3𝑥 + 𝑦 = 1 ①
4𝑥 + 3𝑦 = −2 ②
El sistema está en la forma general, entonces, transformamos cada ecuación en forma explícita:
De ① tenemos que:
3𝑥 + 𝑦 = 1
𝑦 = −3𝑥 + 1
De ② tenemos que:
4𝑥 + 3𝑦 = −2
𝑦 =
−4𝑥 − 2
3
Luego el sistema queda
así:
{
𝑦 = −3𝑥 + 1 ①
𝑦 =
−4𝑥 − 2
3
②
84

8
Recordemos como se hayan las soluciones de la ecuación ①
• Sí 𝑥 = −2, tenemos que, 𝑦 = −3(−2) + 1 = 6 + 1 = 7
• Sí 𝑥 = 0, tenemos que, 𝑦 = −3(0) + 1 = 0 + 1 = 1
• Sí 𝑥 = 1, tenemos que, 𝑦 = −3(1) + 1 = −3 + 1 = −2
Recordemos como se hayan las soluciones de la ecuación ②
• Sí 𝑥 = −2, tenemos que,
𝑦 =
−4(−2) + 2
3
=
8 − 2
3
=
6
3
= 2
• Sí 𝑥 = 1, tenemos que,
𝑦 =
−4(1) + 2
3
=
−4 − 2
3
=
−6
3
= −2
• Sí 𝑥 = 4, tenemos que,
𝑦 =
−4(4) + 2
3
=
−16 − 2
3
=
−18
3
= −6
Por tanto, tenemos que:
{
𝑦 = −3𝑥 + 1 ①
𝑦 = −
4
3
𝑥 −
2
3
②
Sol. de la ecuación ①
x -2 0 1
y 7 1 -2
Sol. de la ecuación ②
x -2 1 4
y -2 -6
ACTIVIDAD 6
Hallar la solución gráfica de los sistemas de ecuaciones indicados
1. {
𝑦 = 2𝑥 − 5
𝑦 = −𝑥 + 4
2. {
𝑦 = 𝑥 + 3
𝑦 = −𝑥 + 1
3. {
3𝑥 − 𝑦 = −2
2𝑥 + 𝑦 = −8
4. {
𝑥 + 𝑦 = −4
−2𝑥 + 𝑦 = 11
5. {
𝑦 =
𝑥
5
+ 3
𝑦 = 𝑥 − 7
6. {
𝑦 =
𝑥
2
+ 1
𝑦 = 2𝑥 − 2
7. {
−2𝑥 + 𝑦 = 4
3𝑥 + 𝑦 = −6
8. {
2𝑦 − 𝑥 = 𝑦 + 2 − 5
3𝑦 − 3𝑥 + 4 = 𝑥 + 2𝑦 − 4
∗
ordenar de manera explicita
SOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para la solución algebraica del sistema de ecuaciones lineales en dos
variables existen varios métodos para nuestro estudio se tratarán dos casos: El método de igualación
y El método de sustitución
MÉTODO DE IGUALACIÓN
Consiste en despejar la misma variable en cada ecuación, luego, igualar los valores hallados para
dicha variable y hallar el valor de la variable resultante, posteriormente se reemplaza este valor en
cualquiera de las 2 ecuaciones para así encontrar el valor de la otra variable.
Ejemplo 1: hallar la solución al sistema de ecuaciones a través del método de igualación:
{
𝑥 + 2𝑦 = 4 ①
2𝑥 − 𝑦 = 3 ②
Despejamos 𝑥 en las ecuaciones ① y ② de la siguiente manera
85

9
• De ①: 𝑥 + 2𝑦 = 4 ⇒ 𝑥 = 4 − 2𝑦
• De ②: 2𝑥 − 𝑦 = 3 ⇒ 𝑥 =
3+𝑦
2
Luego, se igualan las ecuaciones obtenidas en el paso anterior:
4 − 2𝑦 =
3 + 𝑦
2
Se igualan las ecuaciones
2(4 − 2𝑦) = 3 + 𝑦 Se multiplica por el inverso de
1
2
8 − 4𝑦 = 3 + 𝑦 Se resuelven las operaciones
−𝑦 − 4𝑦 = 3 − 8 Se trasponen los términos
−5𝑦 = −5 Se resuelven las operaciones
𝑦 =
−5
−5
= 1 Se multiplica por el inverso de −3
Luego de obtener el valor de una de las variables para este ejemplo 𝒚 = 𝟏, lo reemplazamos en una
de las dos ecuaciones, en este caso lo reemplazaremos en la ecuación ①, de la siguiente manera:
𝑥 + 2𝑦 = 4 ⇒ 𝑥 + 2(1) = 4 ⇒ 𝑥 = 4 − 2 ⇒ 𝒙 = 𝟐
Por lo tanto, concluimos que la solución al sistema es 𝑥 = 2 y 𝑦 = 1.
ACTIVIDAD 7
Solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación
1. {
𝑥 + 𝑦 = 20
𝑥 − 𝑦 = 4
2. {
3𝑥 − 𝑦 = 45
−2𝑥 + 𝑦 = −5
3. {
2(𝑥 + 𝑦) = 10
3(2𝑥 − 𝑦) = 12
4. {
5𝑥 − 2𝑦 = 9
4𝑥 − 3𝑦 = 3
5. {
𝑥+𝑦
3
= 3
2𝑥−5𝑦
5
= −2
6. {
−𝑥 + 2𝑦 = 4
−𝑥 − 3𝑦 = −16
7. {
7𝑥 − 𝑦 = 1
5𝑥 − 𝑦 = −1
8. {
8𝑥 − 7𝑦 = 6
−6𝑥 + 2𝑦 = 2
9. {
𝑥 + 𝑦 =
5
6
2𝑥 − 𝑦 = −2
10. {
5(𝑥 + 2) = 3(𝑦 + 1)
2(𝑥 − 1) = 𝑦 − 3
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Consiste en despejar cualquiera de las variables en una de las ecuaciones y reemplazar o sustituir en
la otra ecuación seleccionada los valores obtenidos de la variable escogida, luego, el proceso continúa
como en el caso anterior
Ejemplo 1: Hallar la solución al sistema de ecuaciones a través del método de sustitución:
86

10
{
2𝑥 + 𝑦 = 8 ①
−𝑥 + 2𝑦 = 1 ②
Despejamos 𝑥 en las ecuaciones ② de la siguiente manera:
• De la ecuación ② tenemos −𝑥 + 2𝑦 = 1 ⇒ 𝒙 = 𝟐𝒚 − 𝟏
Este valor de 𝑥, lo reemplazamos en la ecuación ① así:
• De la ecuación ① tenemos
2𝑥 + 𝑦 = 8
2(2𝑦 − 1) + 𝑦 = 8 Reemplazamos x en la ecuación
4𝑦 − 2 + 𝑦 = 8 Resolvemos operaciones
4𝑦 + 𝑦 = 8 + 2 Trasponemos en termino -2
5𝑦 = 10 Realizamos las operaciones
𝑦 =
10
5
= 2
Multiplicamos por el inverso de 5 y
simplificamos
Este valor (𝑦 = 2) lo reemplazamos en la ecuación ①,
2𝑥 + 𝑦 = 8 ⇒ 2𝑥 + 2 = 8 ⇒ 2𝑥 = 6 ⇒ 𝒙 = 𝟑
Por tanto, la solución del sistema es 𝑥 = 3 y 𝑦 = 2.
ACTIVIDAD 8
Solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución
1. {
𝑥 + 𝑦 = 50
𝑥 − 𝑦 = 10
2. {
3𝑥 − 2𝑦 = 8
4𝑥 − 3𝑦 = 11
3. {
6𝑥 + 10𝑦 = 10
8𝑥 − 3𝑦 = 5
4. {
2𝑥−𝑦
2
= 2
3𝑥−2𝑦
3
= 1
5. {
𝑥 + 5𝑦 = 92
−2𝑥 + 𝑦 = −8
6. {
9𝑚 − 7𝑛 = 105
−11𝑚 + 5𝑛 = −107
7. {
𝑚 + 𝑛 = 17
−5𝑚 + 4𝑛 = −53
8. {
5𝑥 − 4𝑦 = 2
𝑥
2
+
3𝑦
2
= 4
9. {
5(𝑥 + 𝑦) = 60
3(𝑥 − 𝑦) = 6
10. {
10𝑚 + 21𝑛 = 22
−5𝑚 + 7𝑛 = 4
EVALUACIÓN PARA EL ESTUDIANTE
Marque en las casillas con una X según
crea necesario.
Nada
Muy
poco
Medianamente Mucho
1. El desarrollo de esta guía me permitió
desarrollar nuevas habilidades.
87

11
2. Este ejercicio me permitió fortalecer
mis conocimientos previos y adquirir
otros nuevos.
3. Logré desarrollar esta guía con
facilidad. Las temáticas y ejercicios
propuestos fueron fáciles de entender.
4. Me sentí a gusto desarrollando el tema
sugerido.
5. En general, esta guía se relaciona con
mis propias experiencias de vida.
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