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Operaciones con polinomios, adicion, sustraccion
- 3. TOMA DE PERSPECTIVA. La toma de perspectiva es la capacidad de mirar más allá de tu propio punto de vista, para que puedas considerar cómo alguien más puede pensar o sentir acerca de algo. Para hacer esto con éxito, debes tener cierta comprensión de los pensamientos, sentimientos, motivaciones e intenciones de los demás. También debes tener información profunda sobre la otra persona o ser capaz de hacer algunas suposiciones inteligentes sobre sus antecedentes y/o cómo experimentan el mundo. Por ejemplo; Si eres un/a niño/a hablando con otro/a niño/a, puedes hablar fácilmente sobre muchos detalles en el último videojuego. Pero si tu eres un/a niño/a que habla con un adulto, es útil darte cuenta de que la mayoría de los adultos no tienen muchos videojuegos y es posible que no estén interesados en este tema o que no puedan seguir lo que está diciendo. Las 4 partes para una toma de perspectiva exitosa: • Deja de lado tus pensamientos, sentimientos, motivaciones e intenciones, momentáneamente • Considera los pensamientos, sentimientos, motivaciones e intenciones de los demás. • Determina si tu conducta debe cambiar o no en función de esa información. • Haz cualquier cambio que sea necesario.
- 4. ACTIVIDAD SOCIOEMOCIONAL. • Actividades: realiza la siguiente Actividad y móntala en la plataforma. Observas las imágenes y responde las siguientes 4 preguntas. 1. ¿Qué crees que le pasa al joven de la foto? ¿Qué crees que siente? ¿Qué crees que piensa? 2. ¿Por qué crees que le pasa eso? 3. Teniendo en cuenta la reflexión que hiciste sobre qué le pasa y por qué crees que le pasa eso a ese/a joven, ¿qué podrías hacer tú para ayudarlo? 4. ¿Qué crees que le pasaría si tú hicieras eso? ¿Qué sentiría, qué pensaría?
- 6. SABERES PREVIOS . El perímetro de una figura geométrica se calcula sumando las medidas de todos sus lados. Según lo anterior, ¿cual es el perímetro del rectángulo de la Figura?
- 7. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS. Adición de polinomios. Para sumar polinomios, se suman entre si los monomios semejantes. Si los monomios no son semejantes, la suma se deja indicada. Los polinomios se pueden adicionar como se explica a continuación: En forma horizontal En forma vertical • Se ordenan los polinomios en forma ascendente o descendente con respecto a una misma variable y se indica la operación. • Se eliminan paréntesis y se reducen los términos semejantes. Se ordenan los polinomios y se escriben uno debajo del otro, tal que los términos semejantes queden en la misma columna. • Se reducen términos semejantes y se obtiene la suma.
- 8. Ejemplo. Observa como se aplican los dos procesos en la siguiente suma de polinomios: 2𝑥3 + 5𝑥 + 3 + 2𝑥2 + (4𝑥 − 3𝑥2 + 𝑥3 − 5) En forma horizontal En forma vertical (2𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 + 3) + (𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 5) = 2𝑥3 + 𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥2 + 5𝑥 + 4𝑥 + 3 − 5 = 3𝑥3 − 𝑥2 + 9𝑥 − 2 2𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 + 3 𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 5 3𝑥3 − 𝑥2 + 9𝑥 − 2
- 9. Ejemplo Para hallar la expresión algebraica que representa el perímetro de la Figura. se puede proceder asi: En forma horizontal En forma vertical 𝑃 = 𝑥2 − 5𝑥 + 1 + 7𝑥 + 4 + 𝑥2 − 5𝑥 + 1 + (7𝑥 + 4) 𝑃 = 𝑥2 + 𝑥2 − 5𝑥 − 5𝑥 + 7𝑥 + 7𝑥 + 4 + 4 + 𝟏 + 𝟏 𝑃 = 2𝑥2 + 4𝑥 + 10 𝑥2 − 5𝑥 + 1 7𝑥 + 4 𝑥2 − 5𝑥 + 1 7𝑥 + 4 2𝑥2 + 4𝑥 + 10
- 10. • Ejemplo. • Adiciona 8𝑥𝑦 + 𝑥2 − 6𝑦2 con la expresión 𝑥2 − 3𝑦2 + 6𝑥𝑦. 8𝑥𝑦 + 6𝑥𝑦 + 𝑥2 + 𝑥2 − 6𝑦2 − 3𝑦2 = 14𝑥𝑦 + 2𝑥2 − 9𝑦2
- 11. SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Para sustraer polinomios, se restan los coeficientes de los términos semejantes y se deja indicada la sustracción de los términos no semejantes. Al hacer las sustracciones de polinomios, se utiliza el polinomio opuesto. Ejemplo. El polinomio opuesto de otro polinomio se halla estableciendo el opuesto de los coeficientes de sus términos. Luego, el opuesto del polinomio 1 2 𝑥𝑦3 − 3𝑥2 𝑦 + 2 es − 1 2 𝑥𝑦3 + 3𝑥2 𝑦 − 2, ya que los opuestos de los coeficientes 1 2 , −3 y 2 son: − 1 2 , 3 y −2, respectivamente.
- 12. Ejemplo. Restar 𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 + 7 menos 2𝑥3 − 4𝑥2 + 5, aplicando el concepto de polinomio opuesto. Solución: Horizontalmente: Se identifican tanto el minuendo como el sustraendo. 𝑀𝑖𝑛𝑢𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 + 7 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑒𝑛𝑑𝑜: 2𝑥3 − 4𝑥2 + 5 Se escribe el minuendo con su propio signo y, a continuación, el polinomio opuesto del sustraendo. 𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 + 7 − 2𝑥3 − 4𝑥2 + 5 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 + 7 − 2𝑥3 + 4𝑥2 − 5 Se reducen los términos semejantes. 𝑥3 − 2𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 7 − 5 = −𝑥3 + 7𝑥2 − 5𝑥 + 2 Verticalmente: Después de identificar el minuendo y el sustraendo, se busca el polinomio opuesto del sustraendo. Se ubican los términos del minuendo y, debajo, los términos del opuesto del sustraendo, teniendo en cuenta que cada término quede en la misma columna que su semejante Cuando hay términos que no tienen semejantes en el otro polinomio, se deja el espacio o se suma 0. 𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 + 7 −2𝑥3 + 4𝑥2 − 5 −𝑥3 + 7𝑥2 − 5𝑥 + 2
- 13. Ejemplo • Restar 𝑥2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 1 de −3𝑥2 𝑦 + 1 2 . −3𝑥2 𝑦 + 1 2 − 𝑥2 𝑦 + 2𝑥𝑦 − 1 −3𝑥2 𝑦 − 𝑥2 𝑦 + 1 2 − 1 + 2𝑥𝑦 −4𝑥2 𝑦 − 1 2 + 2𝑥𝑦 • Determina el área de la parte sombreada de la Figura, considerando que el área del cuadrado está dada por la expresión (8𝑎2 + 6𝑏2 ) y el área del sector circular es (5𝑎2 − 𝑏2 ). 8𝑎2 + 6𝑏2 − (5𝑎2 − 𝑏2 ) 8𝑎2 + 6𝑏2 − 5𝑎2 + 𝑏2 8𝑎2 − 5𝑎2 + 6𝑏2 + 𝑏2 3𝑎2 + 7𝑏2
- 14. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS En general, al multiplicar dos expresiones algebraicas, se aplica la propiedad de las potencias de igual base y la ley de los coeficientes. Multiplicación de monomios La multiplicación de monomios se realiza multiplicando los coeficientes de las expresiones algebraicas y aplicando la propiedad de las potencias de igual base. Ejemplo. Observa los productos de las siguientes multiplicaciones de monomios. 𝑎. 4𝑎𝑏2 𝑐3 5𝑎3 = 20𝑎4 𝑏2 𝑐3 𝑏. −5𝑥2 𝑦4 𝑧 5𝑧3 = −25𝑥2 𝑦4 𝑧4
- 15. Ejemplo. Realiza las multiplicaciones de monomios. 𝑎. 𝑚4 𝑛𝑧5 𝑛𝑧2 𝑏. (2𝑚3𝑦4)(−5𝑚𝑦4) 𝑐. 3 2 𝑎2 − 4 5 𝑎4
- 16. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIO POR POLINOMIO Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio. Es importante aplicar las reglas de multiplicación de signos. Al final, si resultan términos semejantes, se reducen. Regla de los signos • +∙+= + • +∙−= − • −∙+= − • −∙−= + Ejemplo. Efectúa la multiplicación 5𝑎3 𝑏 + 6𝑎𝑏2 − 4𝑎2 ∙ − 2 5 𝑎𝑏 5𝑎3 𝑏 ∙ − 2 5 𝑎𝑏 + 6𝑎𝑏2 ∙ − 2 5 𝑎𝑏 − 4𝑎2 ∙ − 2 5 𝑎𝑏 = −2𝑎4 𝑏2 − 12 5 𝑎2 𝑏3 + 8 5
- 17. Ejemplo. Realiza la multiplicación. 2 7 𝑥3𝑦2 − 4 9 𝑥2𝑦 + 7 8 𝑥𝑦 − 2 9 𝑥2𝑦 = 2 7 𝑥3𝑦2 ∙ − 2 9 𝑥2𝑦 − 4 9 𝑥2𝑦 ∙ − 2 9 𝑥2𝑦 + 7 8 𝑥𝑦 ∙ − 2 9 𝑥2𝑦 − 4 63 𝑥5𝑦3 + 8 81 𝑥4𝑦2 − 14 72 𝑥3𝑦2
- 18. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIO POR POLINOMIO La multiplicación de polinomios se basa en la propiedad distributiva. Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada uno de los términos del multiplicando por todos los términos del multiplicador y luego se suman los resultados. Ejemplo. Observa cada uno de los pasos para multiplicar. (3𝑥2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦)(𝑥𝑦 + 2𝑦) 3𝑥2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦 ∙ 𝑥𝑦 = 3𝑥2 𝑦 ∙ 𝑥𝑦 − 2𝑥𝑦 ∙ 𝑥𝑦 + 3𝑦 ∙ 𝑥𝑦 = 3𝑥3 𝑦2 − 2𝑥2 𝑦2 + 3𝑥𝑦2 → 𝑆𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑥𝑦 3𝑥2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦 ∙ 2𝑦 = 3𝑥2 𝑦 ∙ 2𝑦 − 2𝑥𝑦 ∙ 2𝑦 + 3𝑦 ∙ 2𝑦 = 6𝑥2 𝑦2 − 4𝑥𝑦2 + 6𝑦2 → 𝑆𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 2𝑦 3𝑥3 𝑦2 − 2𝑥2 𝑦2 + 3𝑥𝑦2 + 6𝑥2 𝑦2 − 4𝑥𝑦2 + 6𝑦2 → 𝑆𝑒 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎 = 3𝑥3 𝑦2 − 2𝑥2 𝑦2 + 6𝑥2 𝑦2 + 3𝑥𝑦2 − 4𝑥𝑦2 + 6𝑦2 = 3𝑥3 𝑦2 + 4𝑥2 𝑦2 − 𝑥𝑦2 + 6𝑦2
- 19. Ejemplo. Realiza las multiplicaciones. • 8𝑎2𝑏 − 4𝑏 + 6 ∙ 2𝑎𝑏 + 𝑐 • 𝑚2 + 𝑛3 + 𝑧4 ∙ 𝑝2 − 𝑞3
- 21. EJERCICIO 1 Considera los siguientes polinomios. 𝑃 𝑥 = −3𝑥3 + 8𝑥2 + 4𝑥 − 1 𝑄 𝑥 = 8𝑥4 + 5𝑥3 − 2𝑥2 − 4 𝑅 𝑥 = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 7𝑥 Resuelve. 𝑎. 𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 𝑏. 𝑃 𝑥 − 𝑅(𝑥) 𝑐. 𝑃 𝑥 − 𝑄 𝑥 + 𝑅 𝑥 𝑑. 𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 + 𝑅(𝑥)
- 22. EJERCICIO 2 Completa los términos de la operación. • 5𝑎2 + + 7𝑏2 − 30 • 5𝑎𝑏 − + • + 𝑎𝑏 − 36𝑏2 • −21𝑎2 − 8𝑎𝑏 + 2𝑏2 + 15
- 23. EJERCICIO 3 Un club vacacional está distribuido por zonas. La zona de deportes tiene un área de 3 2 𝑥5𝑦4 − 2 3 𝑥4𝑦5 , la zona verde un área de (7𝑥5𝑦4 + 10𝑥4𝑦5) y la zona de vivienda un área de 5 6 𝑥5 𝑦4 + 7 9 𝑥4 𝑦5 . Calcula el área total del club.
- 24. EJERCICIO 4 Alexandra lleno con (3𝑚𝑛 − 6𝑚2𝑛2 + 2𝑚3𝑛3) galones de gasolina el tanque de su carro, al iniciar la semana. Gasto 24𝑚2𝑛2 − 10𝑚3𝑛3 galones entre el lunes y el viernes y (−13 𝑚2𝑛2 − 2𝑚𝑛 + 3𝑚3𝑛3) el fin de semana. ¿Cuantos galones le quedan todavía en el tanque?
- 25. ¡ANIMO! Realiza los ejercicios de la guía