guía deducción de modelos matematicos

1. CÁLCULO 3
UNIDAD I: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
SESIÓN 02: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. MODELOS MATEMÁTICOS
NIVEL I:
1. Se va a construir un conducto para agua que va del punto P al punto S y que debe atravesar
por regiones donde los costos de construcción difieren. Si el costo por kilometro en dólares es
3k de P a Q. 2k de Q a R y k de R a S. Determinar la función de costo total.
2. Mostrar que la función de producción de Cobb-Douglas z  Cx a y 1a puede reescribirse
z
y
x
y
como ln( )  ln C  a ln( )
3. Un fabricante está planeando vender un nuevo producto al precio de A dólares por unidad y
estima que si x miles de dólares se gastan en su perfeccionamiento y y dólares en su
promoción, los consumidores compraran aproximadamente
320 y 160 x

unidades del
y2 x4
producto. Si los costos de fabricación son de 50 dólares por unidad, exprese la utilidad en
términos de x e y .
4. Una ventana de perímetro p dado tiene la forma de la figura.
La parte rectangular es de cristal transparente y la semicircular de cristal coloreado. Esta
ultima permite pasar por m 2 de superficie, solo la mitad de la luz que permite la parte
rectangular. Bajo estas condiciones determine la iluminación total
NIVEL II:
1. Una compañía fabrica una caja rectangular cerrada de modo que su volumen sea de 36 m 3 .el
material para la base y la tapa cuesta $12 el m 2 ; para los lados de frente y de atrás $10 el
m 2 ; y los otros lados $8 el m 2 Determine el costo total de la caja.
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2. 2. Si T ( x, y) es la temperatura en un punto ( x, y ) de una placa de metal ligero en el plano XY
entonces a las curvas de nivel de T se les llama curvas isotérmicas. Todos los puntos de una
de estas curvas están a la misma temperatura. Suponga que una placa ocupa el primer
cuadrante y que T ( x, y)  xy . Una hormiga que parte del punto (1,4) quiere caminar sobre
la placa de modo que la temperatura en su trayectoria permanezca constante ¿Cuál debe ser
la trayectoria de la hormiga?
3. Se fabrica un recipiente sin tapa que tiene la forma de un tronco de cono circular con base
una semiesfera, tal como se muestra en la figura adjunta. Si las dimensiones del recipiente
son R y r Estime el volumen aproximado del recipiente.
4. Un filtro cónico de 18 cm de profundidad y 6 cm de radio en la parte superior, se encuentra
llena de una solución. La solución va pasando a un vaso cilíndrico de 3 cm de radio. Halle la
altura de la solución en el vaso cilíndrico.
5. Un fabricante que posee derechos exclusivos sobre una nueva y completa maquinaria
industrial planea vender una cantidad limitada de las máquinas tanto a empresas nacionales
como extranjeras. El precio que el fabricante espera fijar a las máquinas dependerá del
número de máquinas disponibles. (Por ejemplo, si sólo unas cuantas máquinas se ponen en
el mercado, las ofertas de los compradores potenciales que compiten entre sí tenderán a
subir el precio). Se calcula que si el fabricante suministra x máquinas al mercado nacional
e y máquinas al mercado extranjero, éstas se venderán 60 
una en el mercado local y a 70 
x
y

miles de dólares cada
10 20
y x

miles de dólares en el exterior. Si el fabricante
5 20
puede producir las máquinas a un costo de US$ 20000 cada una. Indique cual es la utilidad
que obtendrá este empresario según los datos presentados.
6. Un corredor va por una pista circular de r metros de radio. En el centro
de ésta hay una luz, la sombra del corredor se proyecta sobre un muro recto tangente a la
pista en el punto de partida. Determine el espacio recorrido en función a la sombra del
atleta.
NIVEL III:
1. Se construye un tanque que tiene la forma de un paralelepípedo rectangular abierto de modo
que albergue 1000 metros cúbicos de agua. Los costos de los materiales son: SI. 20 el metro
cuadrado de la base y de SI. 10 el metro aladrado para las paredes verticales.
a) Determine el costo total C de construir el tanque como función de las dimensiones de la
base del tanque,
b) Calcule el costo total de construir un tanque cuyas dimensiones de la base son: largo 50
metros y ancho 30 metros.
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3. 2. Una fábrica de pinturas vende dos marcas de pintura. Las cifras de venta indican que si la
primera marca se vende a x nuevos soles por galón y la segunda a y nuevos soles por galón,
la demanda de la primera marca será D1 ( x, y)  200  10 x  20 y ; galones por mes y la
demanda de la segunda marca será D2 ( x, y)  100  5x  10 y ; galones por mes.
a) Exprese el ingreso total mensual de la fábrica de pinturas, obtenido de la venta de la
pintura, como una función de los precios x e y.
b) Calcule el ingreso de la fábrica si la primera marca se vende a S/. 20 el galón y la segunda a
S/. 15 el galón.
3. Una tapa cónica descansa sobre la parte superior de un cilindro circular recto, como se
muestra en la figura adjunta.
Si la altura de la tapa es dos tercios de la altura de! cilindro, exprese el volumen del solido
como función de las variables indicadas.
4. Dos tanques A y B situados entre sí a una distancia de d Km. se encuentran ubicados
a un mismo lado de la orilla rectilínea de un río y a una distancia de éste de a Km y b Km
respectivamente como se puede observar en la figura:
m
k
Se desea ubicar sobre la orilla una bomba para alimentar de agua a los tanques mediante
tuberías rectilíneas PA y PB.
Calcula la longitud total de la tubería que permite unir A y B en función de a, k,m y b.
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Bibliografía:
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[1]
[2]
[3]
CÓDIGO-L
515 THOM
2007
515 CLA PITA
2009
515 LARS
2008
AUTOR
TÍTULO
PÁGINAS
Calculo en Varias Variables
973-974
CLAUDIO PITA.
Cálculo Vectorial
111-112
LARSON, RON
Cálculo II
895-896
THOMAS
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JUAN CARLOS BRONCANO TORRES