modelos de programacion lineal para minimizar o maximizar costos

1. 1.3. Modelo de programación lineal
general.
El modelo de PL es una representación simbólica (abstracción) de la realidad que se
estudia, se forma con expresiones lógicas matemáticas conteniendo términos que significan
contribuciones: a la utilidad (con máximo), al costo (con mínimo), al consumo de recurso
(disponible con desigualdad <=), al recurso requerido (con desigualdad >=), recurso
especificado (con igual = ). Contiene las siguientes cuatro partes:
1a parte
Definición con el significado cuantitativo de las variables de decisión
(controlables).
2a parte
Función económica u objetivo a optimizar (máximo o bien mínimo):
3a parte
Sujeta a restricciones:
4a parte
Condición de no negativo a variables:
PROPIEDADES DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Para que un modelo de PL sea válido, debe cumplir las propiedades siguientes:
I. Proporcionalidad.-Significa que la contribución al valor de la función objetivo y el
consumo o requerimiento de los recursos utilizados, son proporcionales al valor de

2. cada variable de decisión. Así el término 4X1 es proporcional, porque contribuye al
valor de la función Z con 4, 8, 12, etc. para los valores 1, 2, 3, etc., respectivamente,
de X1. Se puede observar el aumento constante y proporcional de 4 conforme crece
el valor de X1. En contraste, el término no lineal 4X1
2, contribuye con 4, 16, 36, etc.,
para los mismos valores 1, 2, 3, etc., respectivamente, de la variable X1; Aquí se
observa que el aumento en la contribución no es constante y por lo tanto no hay
proporcionalidad.
II. Aditividad.- Significa que se puede valorar la función objetivo Z, así como también
los recursos utilizados, sumando las contribuciones de cada uno de los términos que
intervienen en la función Z y en las restricciones.
III. Divisibilidad.- Significa que las variables de decisión son continuas y por lo tanto
son aceptados valores no enteros para ellas. La hipótesis de divisibilidad más la
restricción de no negatividad, significa que las variables de decisión pueden tener
cualquier valor que sea positivo o por lo menos igual a cero.
IV. Certidumbre.- Significa que los parámetros o constantes son estimados con
certeza, o sea, no interviene una función de probabilidad para obtenerlos
El modelo de programación lineal es un caso especial de la programación matemática, pues
debe cumplir que, tanto la función objetivo como todas las funciones de restricción, sean
lineales.
APLICACIONES TÍPICAS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL
Aparentemente, las estructuras de organización complejas propias de la sociedad moderna
han reconocido interesantes problemas de optimización tales como la manera más eficiente
de manejar la economía de un país o también la mezcla de ingredientes de un fertilizante
para satisfacer las especificaciones agrícolas a costo mínimo. Ambos problemas utilizan el
modelo de programación lineal (PL), para optimizar una función lineal condicionada a
restricciones lineales, que es sencillo en su estructura matemática, pero poderoso por su
gran adaptación a una amplia variedad de problemas.
La programación lineal es una técnica matemática de resolución de problemas, su
desarrollo representa una ayuda a los administradores para tomar decisiones en la
asignación de recursos. A continuación aparecen algunas aplicaciones típicas de la PL:
1. Un fabricante desea desarrollar un programa de asignación en producción y una
política de inventario que satisfagan la demanda de ventas de periodos futuros. Así
se podría cumplir la demanda con mínimo costo total de producción y de
inventario.
2. Un analista financiero debe seleccionar una cartera de inversiones a partir de una
diversidad de alternativas en acciones y bonos. Se debe establecer la cartera que
maximice el rendimiento sobre la inversión asignada.
3. Un administrador de mercadotecnia desea determinar la mejor manera de asignar
un presupuesto de publicidad como radio, televisión, periódicos y revistas. Al
gerente le gustaría determinar la combinación de medios que maximice la
efectividad de la publicidad.

3. 4. Una empresa tiene almacenes en varias. ubicaciones en todo el país. Para un
conjunto de demandas de sus productos por parte de sus clientes, la empresa
desearía determinar cuánto debe asignar en embarques a cada uno de los almacenes
y a cada cliente, de manera que los costos totales de transporte resulten mínimos.
Estas aplicaciones representan unas cuantas situaciones en las que se ha utilizado con éxito
la programación lineal, pero ilustran su potencial en la solución de problemas. Un estudio
detallado revela las características comunes de ellas. En el ejemplo 1, el fabricante desea
minimizar costos; en el 2, el analista financiero desea maximizar el rendimiento sobre la
inversión; en el 3, el gerente de mercadotecnia desea maximizar la efectividad de la
publicidad, y en el ejemplo 4, la empresa desea minimizar los costos totales de transporte.
En todos los problemas de programación lineal, el objetivo es el máximo o bien el
mínimo de alguna cantidad en la acción de asignar recursos.
Los problemas de programación lineal se caracterizan, además, por las condiciones
impuestas o restricciones de recursos, que limitan el grado en que se puede cumplir algún
objetivo. En el ejemplo 1, el fabricante está limitado por restricciones que requieren que la
demanda de producto quede satisfecha y por restricciones respecto a la capacidad de
producción. El problema de la cartera del analista financiero está limitado por la cantidad
total de fondos de inversión disponibles y las cantidades máximas que se pueden invertir en
cada acción o bono. La decisión en la selección de medios del gerente de mercadotecnia,
está restringida por un presupuesto de publicidad fijo y por la disponibilidad de los varios
medios. En el problema de transportación, el programa de embarques de costo mínimo está
restringido al suministro de productos disponibles en cada almacén. La diversidad de
condiciones mencionadas, es parte de lo que puede esperar aquel que decida enfrentar un
problema, pues las restricciones son otra característica general en todo problema de
programación lineal.