Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres y presentación de resultados. Explica conceptos como mediciones directas e indirectas, errores sistemáticos y aleatorios, y cómo estimar la incertidumbre total de una medición directa o indirecta mediante el cálculo de la desviación estándar y el uso de factores de cobertura.
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Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres y presentación de resultados. Explica conceptos como mediciones directas e indirectas, errores sistemáticos y aleatorios, y cómo estimar la incertidumbre total de una medición directa mediante la combinación de la incertidumbre de precisión y la incertidumbre aleatoria calculada a partir de la desviación estándar de varias mediciones. También cubre el cálculo de incertidumbres en mediciones indirectas que depend
El documento trata sobre el concepto de medición y cálculo de incertidumbres. Explica que una medida consta de un valor y una incertidumbre y presenta diferentes tipos de errores como sistemáticos y aleatorios. Asimismo, detalla cómo estimar la incertidumbre total de una medida directa a través de la combinación cuadrática de la incertidumbre de precisión y la incertidumbre aleatoria. Por último, aborda el cálculo de incertidumbres en medidas indirectas que dependen de otras mediante expresiones
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres y presentación de resultados. Explica conceptos como mediciones directas e indirectas, errores sistemáticos y aleatorios, y cómo estimar la incertidumbre total de una medición directa o indirecta mediante el cálculo de la desviación estándar y el uso de factores de cobertura.
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El documento trata sobre el concepto de medición y cálculo de incertidumbres. Explica que una medida consta de un valor y una incertidumbre y presenta diferentes tipos de errores como sistemáticos y aleatorios. Asimismo, detalla cómo estimar la incertidumbre total de una medida directa a través de la combinación cuadrática de la incertidumbre de precisión y la incertidumbre aleatoria. Por último, aborda el cálculo de incertidumbres en medidas indirectas que dependen de otras mediante expresiones
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres, presentación de resultados, media ponderada, regresión lineal e interpolación. Explica conceptos como error, incertidumbre, tipos de medidas y errores, así como cómo estimar resultados teniendo en cuenta errores sistemáticos y aleatorios.
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres, presentación de resultados, media ponderada, regresión lineal e interpolación. Explica conceptos como error e incertidumbre, tipos de medidas y errores, así como cómo estimar resultados teniendo en cuenta errores sistemáticos y aleatorios. Finalmente, ofrece ejemplos de cálculos de incertidumbres para medidas directas e indirectas.
Este documento explica cómo calcular e informar las incertidumbres en mediciones de laboratorio. Describe la diferencia entre error e incertidumbre, y cómo calcular la incertidumbre para mediciones directas usando la precisión del instrumento y repeticiones, y para mediciones indirectas usando derivadas parciales. Además, explica cómo redondear los resultados considerando solo las cifras significativas.
Este documento presenta los fundamentos teóricos y procedimientos prácticos para realizar mediciones directas e indirectas con precisión. Explica conceptos como medición, error, incertidumbre y cómo calcular el error absoluto y relativo de mediciones. Además, incluye ejemplos de cómo medir la talla, presión arterial, frecuencia cardíaca y masa corporal de estudiantes, y cómo registrar y analizar los datos obtenidos.
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos. Explica conceptos clave como medidas, unidades, cálculo de incertidumbres, presentación de resultados, media ponderada, regresión lineal e interpolación. El documento también incluye un índice de los temas que serán cubiertos.
Este documento proporciona información sobre el cálculo de errores en mediciones físicas. Explica que siempre hay un error asociado con las mediciones debido a factores como fluctuaciones y errores sistemáticos. Detalla los conceptos de valor verdadero, valor real y valor hallado de una magnitud, así como cómo calcular el error absoluto y relativo. Además, distingue entre mediciones directas e indirectas, y proporciona fórmulas para estimar los errores en cada caso. Finalmente, introduce conceptos como el redondeo de cifras signific
Este documento describe conceptos clave relacionados con el manejo de datos experimentales, incluyendo cifras significativas, mediciones directas e indirectas, error absoluto, error relativo, y reglas para redondear y realizar operaciones con cifras significativas. Las cifras significativas son aquellas que aparecen en mediciones directas o indirectas, y son el conjunto de cifras correctas y dudosas. Las mediciones directas se obtienen directamente de instrumentos, mientras que las indirectas resultan de combinar mediciones directas con fórmulas.
Este documento describe los conceptos de cifras significativas, mediciones directas e indirectas, error absoluto, error relativo, y reglas para redondear y realizar operaciones con cifras significativas. Las cifras significativas son aquellas que aparecen en mediciones directas o indirectas, y consisten en las cifras correctas más la cifra dudosa. Las mediciones directas se obtienen directamente de instrumentos, mientras que las mediciones indirectas resultan de combinar mediciones directas con fórmulas.
Este documento trata sobre errores, cifras significativas y redondeo en mediciones. Explica que existen dos tipos de errores: sistemáticos, que siempre ocurren de la misma manera, y aleatorios, que ocurren al azar. También describe cómo determinar el número de cifras significativas en una medición y las reglas para redondear y expresar la incertidumbre de una medición. Además, cubre cómo propagar errores en operaciones como suma, resta, multiplicación, división y potencias.
Este documento describe los conceptos de cifras significativas, mediciones directas e indirectas, errores absolutos y relativos. Las cifras significativas son los dígitos correctos y la cifra dudosa de una medición directa. Las mediciones directas se obtienen de instrumentos de medición, mientras que las indirectas resultan de combinar mediciones directas con fórmulas. El error absoluto es el intervalo de confianza de una medición y el error relativo es la relación entre el error absoluto y la medición.
Este documento resume los resultados de un experimento sobre incertidumbre en mediciones realizado en un laboratorio de física mecánica. Explica conceptos como valor más probable, error absoluto, error relativo y propagación de errores. Luego presenta los cálculos realizados para determinar estas medidas en diferentes ejercicios, como mediciones de tiempo, distancia, área y densidad, mostrando el valor más probable y la incertidumbre en cada caso.
El documento presenta información sobre la notación científica, incluyendo cómo escribir números usando potencias de diez, realizar operaciones matemáticas básicas con números en notación científica, y el concepto de cifras significativas. También cubre temas como la incertidumbre en las mediciones, precisión vs exactitud, y reglas para determinar el número correcto de cifras significativas.
El documento trata sobre la teoría de errores en mediciones. Explica conceptos como orden de magnitud, error absoluto, error relativo y error porcentual. También cubre temas como mediciones directas e indirectas, cálculo de error mediante estadística descriptiva y reglas para la presentación de resultados con su error asociado.
El documento describe los conceptos básicos de la teoría de errores, incluyendo las diferentes fuentes de error, los tipos de errores como errores sistemáticos y aleatorios, y cómo calcular y expresar errores como el error absoluto, error relativo y error estándar. También explica cómo propagar errores a través de cálculos y mediciones indirectas.
Laboratorio de física i mediciones y erroresgerson14-2
Este documento describe conceptos fundamentales sobre mediciones y errores. Explica que una medición implica comparar una magnitud desconocida con una unidad conocida, y que puede ser directa o indirecta. También describe tres tipos de errores: sistemáticos, aleatorios e instrumentales, y cómo cuantificar y expresar los errores en las mediciones directas e indirectas. Finalmente, detalla un procedimiento experimental para medir diversas magnitudes como diámetro, masa y tiempo, e identificar los errores cometidos.
Este documento describe conceptos clave relacionados con mediciones y errores. Explica que una medición implica comparar una cantidad desconocida con una unidad conocida. Luego describe los tipos de mediciones directas e indirectas, y los diferentes tipos de errores como sistemáticos, de instrumento y aleatorios. Finalmente, explica cómo calcular la precisión de las mediciones directas e indirectas teniendo en cuenta la propagación de errores.
Este documento contiene definiciones y ejercicios sobre conjuntos, números reales, desigualdades, valor absoluto y desigualdades con valor absoluto. Incluye ejemplos de cómo resolver problemas que involucran estas áreas matemáticas.
Este documento proporciona una guía sobre cómo realizar mediciones en el laboratorio y expresar los resultados de manera adecuada. Explica los conceptos de error, incertidumbre y cómo estimarla y combinarla cuando se realizan varias mediciones o cálculos. Recomienda expresar los resultados como el valor medido más o menos la incertidumbre combinada redondeada a la cifra significativa adecuada. También incluye ejemplos y ejercicios para que los estudiantes apliquen estos conceptos.
Este documento presenta un análisis de la teoría de mediciones. Explica que siempre habrá errores en las mediciones debido a factores como el instrumento de medición o las condiciones del laboratorio. Luego define mediciones directas e indirectas y describe los objetivos, marco teórico, materiales y procedimiento de un experimento para medir tiempo, longitud, masa y volumen con instrumentos como un cronómetro, regla y vernier. Finalmente, presenta ejercicios sobre cálculo de incertidumbre, precisión y exactitud de las mediciones
El documento habla sobre la medición y las cifras significativas. Explica que la medición cuantifica variables y que ninguna medida es perfecta, por lo que es importante indicar la incertidumbre. También cubre el uso de notación científica, unidades, y el Sistema Internacional de Unidades.
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres, presentación de resultados, media ponderada, regresión lineal e interpolación. Explica conceptos como error, incertidumbre, tipos de medidas y errores, así como cómo estimar resultados teniendo en cuenta errores sistemáticos y aleatorios.
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres, presentación de resultados, media ponderada, regresión lineal e interpolación. Explica conceptos como error e incertidumbre, tipos de medidas y errores, así como cómo estimar resultados teniendo en cuenta errores sistemáticos y aleatorios. Finalmente, ofrece ejemplos de cálculos de incertidumbres para medidas directas e indirectas.
Este documento explica cómo calcular e informar las incertidumbres en mediciones de laboratorio. Describe la diferencia entre error e incertidumbre, y cómo calcular la incertidumbre para mediciones directas usando la precisión del instrumento y repeticiones, y para mediciones indirectas usando derivadas parciales. Además, explica cómo redondear los resultados considerando solo las cifras significativas.
Este documento presenta los fundamentos teóricos y procedimientos prácticos para realizar mediciones directas e indirectas con precisión. Explica conceptos como medición, error, incertidumbre y cómo calcular el error absoluto y relativo de mediciones. Además, incluye ejemplos de cómo medir la talla, presión arterial, frecuencia cardíaca y masa corporal de estudiantes, y cómo registrar y analizar los datos obtenidos.
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos. Explica conceptos clave como medidas, unidades, cálculo de incertidumbres, presentación de resultados, media ponderada, regresión lineal e interpolación. El documento también incluye un índice de los temas que serán cubiertos.
Este documento proporciona información sobre el cálculo de errores en mediciones físicas. Explica que siempre hay un error asociado con las mediciones debido a factores como fluctuaciones y errores sistemáticos. Detalla los conceptos de valor verdadero, valor real y valor hallado de una magnitud, así como cómo calcular el error absoluto y relativo. Además, distingue entre mediciones directas e indirectas, y proporciona fórmulas para estimar los errores en cada caso. Finalmente, introduce conceptos como el redondeo de cifras signific
Este documento describe conceptos clave relacionados con el manejo de datos experimentales, incluyendo cifras significativas, mediciones directas e indirectas, error absoluto, error relativo, y reglas para redondear y realizar operaciones con cifras significativas. Las cifras significativas son aquellas que aparecen en mediciones directas o indirectas, y son el conjunto de cifras correctas y dudosas. Las mediciones directas se obtienen directamente de instrumentos, mientras que las indirectas resultan de combinar mediciones directas con fórmulas.
Este documento describe los conceptos de cifras significativas, mediciones directas e indirectas, error absoluto, error relativo, y reglas para redondear y realizar operaciones con cifras significativas. Las cifras significativas son aquellas que aparecen en mediciones directas o indirectas, y consisten en las cifras correctas más la cifra dudosa. Las mediciones directas se obtienen directamente de instrumentos, mientras que las mediciones indirectas resultan de combinar mediciones directas con fórmulas.
Este documento trata sobre errores, cifras significativas y redondeo en mediciones. Explica que existen dos tipos de errores: sistemáticos, que siempre ocurren de la misma manera, y aleatorios, que ocurren al azar. También describe cómo determinar el número de cifras significativas en una medición y las reglas para redondear y expresar la incertidumbre de una medición. Además, cubre cómo propagar errores en operaciones como suma, resta, multiplicación, división y potencias.
Este documento describe los conceptos de cifras significativas, mediciones directas e indirectas, errores absolutos y relativos. Las cifras significativas son los dígitos correctos y la cifra dudosa de una medición directa. Las mediciones directas se obtienen de instrumentos de medición, mientras que las indirectas resultan de combinar mediciones directas con fórmulas. El error absoluto es el intervalo de confianza de una medición y el error relativo es la relación entre el error absoluto y la medición.
Este documento resume los resultados de un experimento sobre incertidumbre en mediciones realizado en un laboratorio de física mecánica. Explica conceptos como valor más probable, error absoluto, error relativo y propagación de errores. Luego presenta los cálculos realizados para determinar estas medidas en diferentes ejercicios, como mediciones de tiempo, distancia, área y densidad, mostrando el valor más probable y la incertidumbre en cada caso.
El documento presenta información sobre la notación científica, incluyendo cómo escribir números usando potencias de diez, realizar operaciones matemáticas básicas con números en notación científica, y el concepto de cifras significativas. También cubre temas como la incertidumbre en las mediciones, precisión vs exactitud, y reglas para determinar el número correcto de cifras significativas.
El documento trata sobre la teoría de errores en mediciones. Explica conceptos como orden de magnitud, error absoluto, error relativo y error porcentual. También cubre temas como mediciones directas e indirectas, cálculo de error mediante estadística descriptiva y reglas para la presentación de resultados con su error asociado.
El documento describe los conceptos básicos de la teoría de errores, incluyendo las diferentes fuentes de error, los tipos de errores como errores sistemáticos y aleatorios, y cómo calcular y expresar errores como el error absoluto, error relativo y error estándar. También explica cómo propagar errores a través de cálculos y mediciones indirectas.
Laboratorio de física i mediciones y erroresgerson14-2
Este documento describe conceptos fundamentales sobre mediciones y errores. Explica que una medición implica comparar una magnitud desconocida con una unidad conocida, y que puede ser directa o indirecta. También describe tres tipos de errores: sistemáticos, aleatorios e instrumentales, y cómo cuantificar y expresar los errores en las mediciones directas e indirectas. Finalmente, detalla un procedimiento experimental para medir diversas magnitudes como diámetro, masa y tiempo, e identificar los errores cometidos.
Este documento describe conceptos clave relacionados con mediciones y errores. Explica que una medición implica comparar una cantidad desconocida con una unidad conocida. Luego describe los tipos de mediciones directas e indirectas, y los diferentes tipos de errores como sistemáticos, de instrumento y aleatorios. Finalmente, explica cómo calcular la precisión de las mediciones directas e indirectas teniendo en cuenta la propagación de errores.
Este documento contiene definiciones y ejercicios sobre conjuntos, números reales, desigualdades, valor absoluto y desigualdades con valor absoluto. Incluye ejemplos de cómo resolver problemas que involucran estas áreas matemáticas.
Este documento proporciona una guía sobre cómo realizar mediciones en el laboratorio y expresar los resultados de manera adecuada. Explica los conceptos de error, incertidumbre y cómo estimarla y combinarla cuando se realizan varias mediciones o cálculos. Recomienda expresar los resultados como el valor medido más o menos la incertidumbre combinada redondeada a la cifra significativa adecuada. También incluye ejemplos y ejercicios para que los estudiantes apliquen estos conceptos.
Este documento presenta un análisis de la teoría de mediciones. Explica que siempre habrá errores en las mediciones debido a factores como el instrumento de medición o las condiciones del laboratorio. Luego define mediciones directas e indirectas y describe los objetivos, marco teórico, materiales y procedimiento de un experimento para medir tiempo, longitud, masa y volumen con instrumentos como un cronómetro, regla y vernier. Finalmente, presenta ejercicios sobre cálculo de incertidumbre, precisión y exactitud de las mediciones
El documento habla sobre la medición y las cifras significativas. Explica que la medición cuantifica variables y que ninguna medida es perfecta, por lo que es importante indicar la incertidumbre. También cubre el uso de notación científica, unidades, y el Sistema Internacional de Unidades.
Yahoo! es una compañía tecnológica fundada en 1994 que comenzó como un directorio de sitios web y se convirtió en uno de los primeros motores de búsqueda y portales en Internet. Ofrecía servicios variados como correo electrónico, noticias, finanzas y entretenimiento, siendo una parte fundamental del crecimiento inicial de la web. A lo largo de su historia, Yahoo! ha evolucionado y enfrentado desafíos significativos, pero su legado incluye su contribución pionera a la accesibilidad y organización de la información en línea.
El Observatorio ciudadano Irapuato ¿Cómo vamos?, presenta el
Reporte hemerográfico al mes de mayo de 2024
Este reporte contiene información registrada por Irapuato ¿cómo vamos? analizando los medios de comunicación tanto impresos como digitales y algunas fuentes de información como la Secretaría de Seguridad ciudadana.
8. 8
Error e incertidumbre I
Muchas veces se cometen errores al medir.
Debemos corregirlos o al menos estimarlos
Xmedido
DX Xreal
DX
9. 9
Error e incertidumbre II
Xmedido
DX Xreal
DX
Error = Xreal –Xmedido
Xreal (Xmedido -DX, Xmedido +DX)
10. 10
Nivel de Confianza
DX depende de lo seguros que queramos estar
Nivel de confianza = fracción de las veces que
quiero acertar. 99%, 95%...
Xmedido
DX Xreal
DX
11. 11
Tipos de medidas
Medidas directas
Medidas indirectas
Las anoto de un instrumento
L1, L2
Provienen de aplicar
operaciones a medidas
directas
A = L1 x L2
L1
L2
12. 12
Tipos de errores
Medidas directas
Medidas indirectas
• Sistemáticos
• Aleatorios
• Derivados de los anteriores
13. 13
Errores sistemáticos
Errores sistemáticos
Limitaciones de los aparatos o métodos
• Precisión
• Calibración
73
1
0
72 Pesada inicial
Pesada en “vacio”
Recalibración
Pesada corregida
14. 14
Errores aleatorios I
Factores que perturban nuestra medida.
• Suma de muchas causas
• Tienden a ser simétricos.
• Se compensan parcialmente.
• Repetir las medidas.
• Estadística
medidas
Xreal
15. 15
Errores aleatorios II
Distribuciones
Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios.
Tienden a curvas típicas
Xreal
x x
x
x
x x
x
x
x
x
x x
17. 17
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor
±incertidumbre
Presentación
unidades
18. 18
Tipos de errores
Medidas directas
Medidas indirectas
• Sistemáticos
• Aleatorios
• Derivados de los anteriores
19. 19
Cómo estimar el resultado
Frente a errores sistemáticos.
Frente a errores aleatorios.
• Medir correctamente
• Calibrar los aparatos
• Se compensan repetir varias veces la medida
• La media es el valor más probable
n
i
i
n
X
X
1
20. 20
Ejemplo
Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
Día L M X J V
Masa
(kg)
73 72 74 72 73
kg
M 8
,
72
5
)
73
72
74
72
73
(
+
+
+
+
21. 21
Incertidumbre
Incertidumbre: Estimación del error no corregible
1. Incertidumbre factores sistemáticos: ES1,ES2...
Destaca la de precisión
2. Incertidumbre factores aleatorios: EA
1. Absoluta: DX
2. Relativa:
X r
X
E
X
D
% 100
X r
X
E en
X
D
Se suele descomponer para medidas directas en:
Se suele expresar como:
22. 22
1. Incertidumbre de precisión Es
En casos sencillos la estimaremos como:
La mitad de la (una) división menor de la escala
Ej: Balanza
No hay reglas sencillas para estimarla
Ej: Cronómetros
Incertidumbre en medidas directas
A veces depende del experimentador
No es fácil definir su intervalo de confianza
23. 23
Para n medidas
n
n
n
t
EA
1
1
-
-
s = Desviación
típica de las
medidas
Desviación típica
de la media
Factor de cobertura
t de Student
Incertidumbre en medidas directas
2. Incertidumbre Aleatoria EA
24. 24
(
( ( ( 1
2
2
1
3
4
5
4
4
4
3
1
2
2
2
1
2
2
1
2
-
-
+
-
+
-
-
-
-
n
x
x
s
n
i
i
n
3
2
3
5
4
3
-
+
-
+
-
x
x
x
s 0
3
)
5
(
)
4
(
)
3
(
-
+
-
+
-
x
x
x
s
( ( (
3
2
3
5
4
3
2
2
2
2
-
+
-
+
-
x
x
x
s
4
Xreal
3 5
4
X
¿Medir la separación con respecto al valor real ?
No conocemos el valor real
¿Medir la separación con respecto al valor medio ?
¿Cómo?
Incertidumbre en medidas directas
S: dispersión de los datos
2. Incertidumbre Aleatoria EA
25. 25
Es la distancia del valor real a la que estará más
probablemente un nuevo dato
cte
s n
Tiene las mismas unidades que el resultado
Incertidumbre en medidas directas
S: Propiedades
2. Incertidumbre Aleatoria EA
26. 26
SI hicieramos muchos grupos de n medidas...
La media es más precisa que cualquier dato, los errores
aleatorios se compensan
Pero despacio ....
Los errores de precisión no se compensan
n
s
sX
Incertidumbre en medidas directas
Dispersión de la media
2. Incertidumbre Aleatoria EA
27. 27
Si a es el nivel de confianza a 0,95
p=0.05.
Ya tenemos y pero el intervalo... es pequeño
y conlleva un nivel de confianza variable 4 multiplicamos por un
factor corrector.
X X
s X
s
X
D
n
t
1 1 1
(1 ) ( )
n n n
t t t p
a
- - -
-
Incertidumbre en medidas directas
Factor de cobertura: t de Student
2. Incertidumbre Aleatoria EA
Para pocas medidas s= n-1 se estima mal y el factor es mayor
para compensar.
¿Quien fue Student ?
29. 30
Día L M X J V
Masa (kg) 73 72 74 72 73
kg
M 8
,
72
( ( ( ( (
1
5
8
,
72
73
8
,
72
72
8
,
72
74
8
,
72
72
8
,
72
73
2
2
2
2
2
1
-
-
+
-
+
-
+
-
+
-
-
n
kg
n 837
,
0
1
-
78
,
2
4
1
- t
tn
1 1
4
0,837
2, 78 1, 04
5 5
n n
A n
E t t kg
n
- -
Incertidumbre en medidas directas
Ejemplo: Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
2. Incertidumbre Aleatoria EA
30. 31
Combinaremos las incertidumbres en cuadratura:
2
2
S
A E
E
X +
D
A
S
A
S
A
S
A
S
A
S
A
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
+
+
+
2
2
2
2
,
,
Incertidumbre en medidas directas
3. Incertidumbre Total
Propiedades
32. 33
Día L M X J V
Masa (kg) 73 72 74 72 73
kg
M 8
,
72
1,04
A
E kg
kg
ES 5
0,
2 2
1,04 0,5 1,154
M kg
D +
(
72,8 1,154
M kg
Presentación
incorrecta !
Resumen medidas directas
Ejemplo: Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
34. 35
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor
±incertidumbre
Presentación
unidades
35. 36
Tipos de medidas
Medidas directas
Medidas indirectas
Las anoto de un instrumento
L1, L2
Provienen de aplicar
operaciones a medidas
directas
A = L1 x L2
L1
L2
36. 37
Tipos de errores
Medidas directas
Medidas indirectas
• Sistemáticos
• Aleatorios
• Derivados de los anteriores
37. 38
Dependen de otras mediantes expresiones
matemáticas
Area de un cuadrado = (Lado)2
A = L2
L = 5 1 cm A 25 cm2 , DA ¿?
L
dL
dA
A
L
A
L
dL
dA
D
D
D
D
D
0
lim
Incertidumbre en medidas indirectas
1. Medidas indirectas
Recordando derivadas...
38. 39
Significado DA, DL
Válido si DL pequeño
L
L
A
L
dL
dA
D
D
2
2
DL
DL
L
L
Incertidumbre en medidas indirectas
2. Incertidumbres para 1 variable
Interpretación geométrica
39. 40
Area de un rectángulo
A = L1 x L2
L1 conocido perfectamente
2
1
1
2
L
L
A
L
dL
dA
D
D
DL2
DL2
L1
L2
L1
Incertidumbre en medidas indirectas
3. Incertidumbres para 2 variables
Y si L1, ,L2 inciertos ?
40. 41
Errores independientes se
compensan parcialmente
?
1
2
2
1 L
L
L
L
A D
+
D
D
DL1 x DL2
L1 x DL2
L2 x DL1
L2
L1
( ( 2
2
2
2
1 L
L
L
L
A D
+
D
D
Incertidumbre en medidas indirectas
3. Incertidumbres para 2 variables
41. 42
(
,
, 2
1 X
X
f
Y
+
D
+
D
D
2
2
2
2
1
1
X
X
Y
X
X
Y
Y
Derivada parcial de Y respecto a X1
Incertidumbre en medidas indirectas
4. Incertidumbres para varias variables
42. 43
1
X
Y
Como varía Y si varía sólo X1
(
,
, 2
1 X
X
f
Y
EJEMPLOS
z
x
y 4
3 +
3
2
z
x
y
V
M
h
r
V 2
Incertidumbre en medidas indirectas
5. Derivadas parciales
43. 44
2
1 X
X
Y
( ( 2
2
2
1 X
X
Y D
+
D
D
X
c
Y
X
c
Y D
D
2
1 X
X
Y
2
2
2
2
1
1
D
+
D
D
X
X
X
X
Y
Y
2
1
X
X
Y
n
X
Y X
X
n
Y
Y
D
D
Incertidumbre en medidas indirectas
5. Derivadas parciales: casos simples
44. 49
Ejemplo (casi) completo I
n0 1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
V
M
1
2
3
45. 50
g
E
E
M A
S 282
0
2
2
.
+
D
g
ES 05
.
0
g
g
EA 278
0
5
224
0
78
2 .
.
.
Ejemplo (casi) completo II
n0 1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1
Usando una balanza (con precisión de 50 mg) se mide 5
veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm.
Se pide calcular su densidad.
g
M 400
.
14
g
M 282
0
400
14 .
.
46. 51
Ejemplo (casi) completo III
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
3
3
4
r
V
r
r
r
r
V
V D
D
D 2
2
4
3
3
,
1
2
,
4 cm
V
0.3 3
V
V r
V r
D D
47. 52
Ejemplo (casi) completo IV
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
?
0335
,
1
4377
,
3 3
cm
g
V
M
2
2
D
+
D
D
V
V
M
M
48. 53
Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Redondeos.
Comparación de resultados.
Otras herramientas.
Ejercicios
49. 54
1. NO tengo tanta precisión en D como
pretendo
2. ¿ Si tengo una incertidumbre de
unidades...Por qué doy diezmilésimas en ?
Presentación de resultados
Los resultados se presentan redondeados
?
0335
,
1
4377
,
3 3
cm
g
3
)
0
,
1
4
,
3
(
cm
g
?
0
,
1
4377
,
3 3
cm
g
50. 55
Cifras significativas
Cifras significativas
Todas salvo los ceros a la izquierda
Sobreviven a un cambio de notación
Ejemplos:
c.s.
3
0,670
c.s
2
0,67
c.s.
3
670
c.s.
2
67
s.
c.
3
10
123
c.s.
3
0,123
c.s.
3
10
123
c.s.
3
123
3
-
3
51. 56
Reglas (arbitrarias) de Redondeo
La incertidumbre se expresa con 2 cifras significativas.
El valor se expresa con tantos decimales como la
incertidumbre.
Valor e incertidumbre se expresan con las mismas
unidades y potencia de 10.
Redondeamos al número más cercano
Intentamos que el valor sea un número sencillo,
normalmente entre 1 y 10
52. 57
Ejemplos de Redondeo I
( 1,2564 ± 0,1 ) m ( 1,3 ± 0,1 ) m
( 1,2438 ± 0,168 ) m ( 1,24 ± 0,17) m
( 1,52 108 ± 21,68 106 ) km (1,52 ± 0,22) 108 km
(1,52 ± 0,22) 1011 m
( 60506079 ± 89451 ) m ( 605,06 ± 0,89) 105 m
( 6,0506 ± 0,0089) 107 m
53. 58
Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Redondeos.
Comparación de resultados.
Otros tipos de medidas.
Ejercicios
55. 60
Comparación de resultados
Compatibilidad de medidas
Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan
( 100 ± 5 ) cm
( 90 ± 10 ) cm
Son compatibles ?
56. 61
Error relativo
Muy útil en comentarios
Muy útil para estimar si los resultados son coherentes
Definición:
Adimensional
2 cifras significativas
Ejemplo:
100 ± 25 → δ = 0.25 → incertidumbre del 25%
X
X
D
57. 62
Comparación de resultados
Resultados compatibles
Resultado más preciso.
Review of particle properties (PDG). Phys. Rev. D 45 Part II (1992) I.11
58. 63
Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados / comparación.
Otras herramientas.
Media ponderada.
Interpolación.
Herramientas de cálculo
Regresión lineal.
Ejercicios
59. 64
Media ponderada I
Varias medidas
Diferentes instrumentos y/o diferentes métodos
Errores aleatorios
2
2
1
1
X
X
X
X
D
D
( (
( ( 2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
X
X
X
X
X
X
Y
D
+
D
D
+
D
60. 65
Media ponderada II
( (
( ( 2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
X
X
X
X
X
X
Y
D
+
D
D
+
D
( ( 2
2
2
1
1
1
1
X
X
Y
D
+
D
D
Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan
( 100 ± 5 ) cm
( 90 ± 10 ) cm
¿ Cuanto mide ?
61. 66
Media ponderada III
Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan
( 100 ± 5 ) cm
( 90 ± 10 ) cm
L = (98,0 ± 4,5) cm
Es un valor intermedio
Más cerca del más preciso
Incertidumbre reducida
63. 68
Interpolación lineal I
Objetivo: obtener la
dependencia lineal
entre dos puntos de
valores conocidos.
Método:
Ecuación de la recta que
pasa por dos puntos
Incertidumbre asociada
64. 69
b
x
a
y +
b
x
a
y
b
x
a
y
n
n
n
n
+
+
+
+ 1
1 n
n
n
n
n
n
x
m
y
b
x
x
y
y
a
-
-
-
+
+
1
1
(
n
n x
x
a
y
y -
+
int
int int int
y a x
D D
Si despreciamos el error en los datos de la tabla ...
Interpolación lineal II
65. 70
Interpolación lineal III
4 3 0
15 10
15 10
1.2·
10 /
a g cm C
T T
-
-
-
-
( 3
12 10 12 10 0.99946 /
a T T g cm
+ -
4 3
12 12 1.2·
10 /
a T g cm
-
D D
Calcular la densidad del agua a (12 ± 1 ) °C
Densidad del agua destilada en función de la temperatura
T(º C) (g/cm3 )
0 0,9998
5 1,0000
10 0,9997
15 0,9991
20 0,9982
3
12 0.99946 0.00012 /
g cm
66. 71
Otras herramientas
Media ponderada
Interpolación lineal
Herramientas de cálculo:
Calculadora
Hojas de calculo: Excel, OpenOffice, etc.
Regresión lineal
72. 77
Objetivo: Suponiendo que dos variables siguen
una relación lineal: obtener parámetros de la recta
m y c que mejor la representan, y sus
incertidumbres Δm y Δc
Hipótesis:
Fijamos una variable y medimos otra “x” sin
incertidumbre, las incertidumbres de las “y” todas
iguales.
¿ Cuál es la mejor recta ? Mínimos cuadrados
Regresión Lineal III
74. 79
Hipótesis:
Existe una variable independiente (podemos darle los
valores que queramos), X y otra dependiente Y cuyo
valor nos da el experimento.
X sin incertidumbre, las incertidumbres de Y son
iguales en todas las medidas.
La relación entre X e Y es lineal o se puede hacer
lineal manipulando las fórmulas.
¿ Cuál es la mejor recta ? Mínimos cuadrados
Regresión Lineal II
75. 80
Mínimos cuadrados:
Para cada punto calculamos la distancia del punto a la recta en la
dirección del eje y di
Sumamos las distancias al cuadrado
La mejor recta es la que minimiza la suma S
Regresión Lineal III
(
)
( c
x
m
y
d i
i
i +
-
(
+
-
n
i
i
i
n
i
i c
x
m
y
d
S
1
2
1
2
)
(
77. 82
¿ Cómo minimizo la suma ?:
S depende de la pendiente y c.
En el cálculo en varias variables se verá que para que
S sea mínimo es necesario que:
Operando obtenemos las fórmulas del guión
Regresión Lineal V
(
c
m
S
S ,
0
0
c
S
m
S
78. 83
Pasos:
Identificar la variable independiente y la dependiente.
Linealizar la fórmula.
Transformar los datos
Aplicar las fórmulas y calcular m y c
Calcular las incertidumbres
Comprobar el coeficiente de correlación r
Regresión Lineal VI
79. 84
Métodos:
Fórmulas de apuntes
Calculadora (incertidumbres?)
Programas de ordenador: Excel…
Regresión Lineal IV
80. 85
Ejemplo
Un coche viaja de Madrid a Barcelona, cada cierto tiempo el
piloto mira el cuentakilómetros y apunta la lectura, obteniendo la
siguiente tabla. Calcúlese la velocidad media.
Tiempo (min) Posición
00 514
20 550
40 590
60 627
80 670
81. 86
Resolución
Y
X
n
Y
X
E i
n
i
i -
1
2
1
2
X
n
X
D
i
n
i
i -
7780
2
.
590
40
5
125820
-
E
4000
40
40
5
12000
-
D
min
945
.
1
4000
7780 km
D
E
m
83. 88
Resolución
X
m
Y
c -
km
c 512
40
945
.
1
2
.
590
-
( 2
1
2
2
233
.
4
3
7
.
12
2
1
km
c
mX
Y
n
s
n
i
i
i
res
-
-
-
2
2
2
min
001058
.
0
4000
233
.
4
km
D
s
s res
m
2
2
2
2
54
.
2
4000
40
*
40
5
1
233
.
4
1
km
D
X
n
s
s res
c
+
+
85. 90
Herramientas II: Hoja de cálculo
Práctica: Dejamos caer un cuerpo desde
una cierta altura y medimos la distancia
recorrida y el tiempo empleado.
2
2
1
gt
s