El documento trata sobre el concepto de medición y cálculo de incertidumbres. Explica que una medida consta de un valor y una incertidumbre y presenta diferentes tipos de errores como sistemáticos y aleatorios. Asimismo, detalla cómo estimar la incertidumbre total de una medida directa a través de la combinación cuadrática de la incertidumbre de precisión y la incertidumbre aleatoria. Por último, aborda el cálculo de incertidumbres en medidas indirectas que dependen de otras mediante expresiones

1. 1
Indice
 Medidas.
 Unidades.
 Cálculo de incertidumbres.
 Presentación de resultados.
 Otras herramientas.
 Ejercicios

2. 2
Medir
Comparar una cantidad con su respectiva
unidad, con el fin de averiguar cuantas
veces la segunda está contenida en la
primera.

3. 3
Partes de una medida I
Si medimos el largo de una mesa ...
125,434
El resultado podría ser ?
125,434 cm
125,434 ± 17,287 cm
125 ± 17 cm

4. 4
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor
±incertidumbre
Presentación
unidades

5. 5
Indice
 Medidas.
 Unidades.
 Cálculo de incertidumbres.
 Presentación de resultados.
 Otras herramientas.
 Ejercicios

6. 6
Error e incertidumbre I
Muchas veces se cometen errores al medir.
Debemos corregirlos o al menos estimarlos
Xmedido
DX Xreal
DX

7. 7
Error e incertidumbre II
Xmedido
DX Xreal
DX
Error = Xreal –Xmedido
Xreal (Xmedido -DX, Xmedido +DX)

8. 8
Nivel de Confianza
 DX depende de lo seguros que queramos estar
 Nivel de confianza = fracción de las veces que
quiero acertar. 99%, 95%...
Xmedido
DX Xreal
DX

9. 9
Tipos de medidas
 Medidas directas
 Medidas indirectas
Las anoto de un instrumento
L1, L2
Provienen de aplicar
operaciones a medidas
directas
A = L1 x L2
L1
L2

10. 10
Tipos de errores
 Medidas directas
 Medidas indirectas
• Sistemáticos
• Aleatorios
• Derivados de los anteriores

11. 11
Errores sistemáticos
 Errores sistemáticos
Limitaciones de los aparatos o métodos
• Precisión
• Calibración
73
1
0
72 Pesada inicial
Pesada en “vacio”
Recalibración
Pesada corregida

12. 12
Errores aleatorios I
 Factores que perturban nuestra medida.
• Suma de muchas causas
• Tienden a ser simétricos.
• Se compensan parcialmente.
• Repetir las medidas.
• Estadística
medidas
Xreal

13. 13
Errores aleatorios II
 Distribuciones
Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios.
 Tienden a curvas típicas
Xreal
x x
x
x
x x
x
x
x
x
x x

14. 14
Indice
 Medidas.
 Unidades.
 Cálculo de incertidumbres.
 Presentación de resultados.
 Otros tipos de medidas.
 Ejercicios

15. 15
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor
±incertidumbre
Presentación
unidades

16. 16
Tipos de errores
 Medidas directas
 Medidas indirectas
• Sistemáticos
• Aleatorios
• Derivados de los anteriores

17. 17
Cómo estimar el resultado
 Frente a errores sistemáticos.
 Frente a errores aleatorios.
• Medir correctamente
• Calibrar los aparatos
• Se compensan repetir varias veces la medida
• La media es el valor más probable



n
i
i
n
X
X
1

18. 18
Ejemplo
 Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
Día L M X J V
Masa
(kg)
73 72 74 72 73
kg
M 8
,
72
5
)
73
72
74
72
73
(

+
+
+
+


19. 19
Incertidumbre
 Incertidumbre: Estimación del error no corregible
1. Incertidumbre factores sistemáticos: ES1,ES2...
Destaca la de precisión
2. Incertidumbre factores aleatorios: EA
1. Absoluta: DX
2. Relativa:
X r
X
E
X

D
  % 100
X r
X
E en
X

D
 
 Se suele descomponer para medidas directas en:
 Se suele expresar como:

20. 20
1. Incertidumbre de precisión Es
 En casos sencillos la estimaremos como:
La mitad de la (una) división menor de la escala
Ej: Balanza
No hay reglas sencillas para estimarla
Ej: Cronómetros
Incertidumbre en medidas directas
 A veces depende del experimentador
 No es fácil definir su intervalo de confianza

21. 21
 Para n medidas
n
n
n
t
EA
1
1
-
-

 s = Desviación
típica de las
medidas
Desviación típica
de la media
Factor de cobertura
t de Student
Incertidumbre en medidas directas
2. Incertidumbre Aleatoria EA

22. 22
( 
(  (  (  1
2
2
1
3
4
5
4
4
4
3
1
2
2
2
1
2
2
1
2


-
-
+
-
+
-

-
-




-
n
x
x
s
n
i
i
n

3
2
3
5
4
3

-
+
-
+
-

x
x
x
s 0
3
)
5
(
)
4
(
)
3
(

-
+
-
+
-

x
x
x
s
(  (  ( 
3
2
3
5
4
3
2
2
2
2

-
+
-
+
-

x
x
x
s
4
Xreal
3 5
4

X
¿Medir la separación con respecto al valor real ?
No conocemos el valor real
¿Medir la separación con respecto al valor medio ?
¿Cómo?
Incertidumbre en medidas directas
 S: dispersión de los datos
2. Incertidumbre Aleatoria EA

23. 23
 Es la distancia del valor real a la que estará más
probablemente un nuevo dato
cte
s n

 
 

 Tiene las mismas unidades que el resultado
Incertidumbre en medidas directas
 S: Propiedades
2. Incertidumbre Aleatoria EA

24. 24
 SI hicieramos muchos grupos de n medidas...
 La media es más precisa que cualquier dato, los errores
aleatorios se compensan
 Pero despacio ....
 Los errores de precisión no se compensan
n
s
sX

Incertidumbre en medidas directas
 Dispersión de la media
2. Incertidumbre Aleatoria EA

25. 25
 Si a es el nivel de confianza a  0,95
p=0.05.
 Ya tenemos y pero el intervalo... es pequeño
y conlleva un nivel de confianza variable 4 multiplicamos por un
factor corrector.
X X
s X
s
X 
D
n
t
1 1 1
(1 ) ( )
n n n
t t t p
a
- - -
 - 
Incertidumbre en medidas directas
 Factor de cobertura: t de Student
2. Incertidumbre Aleatoria EA
 Para pocas medidas s= n-1 se estima mal y el factor es mayor
para compensar.
 ¿Quien fue Student ?

26. 26
M 1 2 3 4 5 10 20 40 
tm
P=0.1
6,31 2,92 2,35 2,13 2,01 1,81 1,72 1,68 1,64
tm
P=0.05
12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,23 2,08 2,02 1,96
tm
P=0.01
63,6 9,92 5,84 4,60 4,03 3,16 2,85 2,70 2,58
Incertidumbre en medidas directas
 Coeficientes tm (m grados de libertad)
2. Incertidumbre Aleatoria EA

27. 28
Día L M X J V
Masa (kg) 73 72 74 72 73
kg
M 8
,
72

(  (  (  (  ( 
1
5
8
,
72
73
8
,
72
72
8
,
72
74
8
,
72
72
8
,
72
73
2
2
2
2
2
1
-
-
+
-
+
-
+
-
+
-

-
n

kg
n 837
,
0
1 
-

78
,
2
4
1 

- t
tn
1 1
4
0,837
2,78 1,04
5 5
n n
A n
E t t kg
n
 
- -
   
Incertidumbre en medidas directas
 Ejemplo: Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
2. Incertidumbre Aleatoria EA

28. 29
 Combinaremos las incertidumbres en cuadratura:
2
2
S
A E
E
X +

D
A
S
A
S
A
S
A
S
A
S
A
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E

+

+

+

2
2
2
2
,
,
Incertidumbre en medidas directas
3. Incertidumbre Total
 Propiedades

29. 30
Resumen medidas directas
2
2
S
A
final E
E
X +

D
ES (Media) división
mínima
n
n
n
t
EA
1
1
-
-


X
X final 

30. 31
Día L M X J V
Masa (kg) 73 72 74 72 73
kg
M 8
,
72

1,04
A
E kg

kg
ES 5
0,

2 2
1,04 0,5 1,154
M kg
D  + 
( 
72,8 1,154
M kg
 
Presentación
incorrecta !
Resumen medidas directas
 Ejemplo: Me peso varios días seguidos en iguales condiciones

31. 32
Indice
 Medidas.
 Unidades.
 Cálculo de incertidumbres.
 Presentación de resultados.
 Otras herramientas.
 Ejercicios

32. 33
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor
±incertidumbre
Presentación
unidades

33. 34
Tipos de medidas
 Medidas directas
 Medidas indirectas
Las anoto de un instrumento
L1, L2
Provienen de aplicar
operaciones a medidas
directas
A = L1 x L2
L1
L2

34. 35
Tipos de errores
 Medidas directas
 Medidas indirectas
• Sistemáticos
• Aleatorios
• Derivados de los anteriores

35. 36
 Dependen de otras mediantes expresiones
matemáticas
Area de un cuadrado = (Lado)2
A = L2
L = 5  1 cm  A  25 cm2 , DA ¿?
L
dL
dA
A
L
A
L
dL
dA
D







D

D
D

D

0
lim
Incertidumbre en medidas indirectas
1. Medidas indirectas
 Recordando derivadas...

36. 37
 Significado DA, DL
 Válido si DL pequeño
L
L
A
L
dL
dA
D

D

 2
2
DL
DL
L
L
Incertidumbre en medidas indirectas
2. Incertidumbres para 1 variable
 Interpretación geométrica

37. 38
 Area de un rectángulo
A = L1 x L2
 L1 conocido perfectamente
2
1
1
2
L
L
A
L
dL
dA
D

D


DL2
DL2
L1
L2
L1
Incertidumbre en medidas indirectas
3. Incertidumbres para 2 variables
 Y si L1, ,L2 inciertos ?

38. 39
 Errores independientes se
compensan parcialmente
?
1
2
2
1 L
L
L
L
A D
+
D

D
DL1 x DL2
L1 x DL2
L2 x DL1
L2
L1
(  ( 2
2
2
2
1 L
L
L
L
A D
+
D

D
Incertidumbre en medidas indirectas
3. Incertidumbres para 2 variables

39. 40
( 

,
, 2
1 X
X
f
Y 

+








D


+








D



D
2
2
2
2
1
1
X
X
Y
X
X
Y
Y
Derivada parcial de Y respecto a X1
Incertidumbre en medidas indirectas
4. Incertidumbres para varias variables

40. 41
1
X
Y

 Como varía Y si varía sólo X1
( 

,
, 2
1 X
X
f
Y 
EJEMPLOS
z
x
y 4
3 +

3
2
z
x
y 
V
M


h
r
V 2


Incertidumbre en medidas indirectas
5. Derivadas parciales

41. 42
2
1 X
X
Y 
 (  ( 2
2
2
1 X
X
Y D
+
D

D
X
c
Y 
 X
c
Y D


D
2
1 X
X
Y 
 2
2
2
2
1
1







 D
+







 D

D
X
X
X
X
Y
Y
2
1
X
X
Y 
n
X
Y  X
X
n
Y
Y
D



D
Incertidumbre en medidas indirectas
5. Derivadas parciales: casos simples

42. 47
Ejemplo (casi) completo I
n0 1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
V
M


1
2
3

43. 48
g
E
E
M A
S 282
0
2
2
.

+

D
g
ES 05
.
0

g
g
EA 278
0
5
224
0
78
2 .
.
. 

Ejemplo (casi) completo II
n0 1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1
Usando una balanza (con precisión de 50 mg) se mide 5
veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm.
Se pide calcular su densidad.
g
M 400
.
14

g
M 282
0
400
14 .
. 


44. 49
Ejemplo (casi) completo III
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
3
3
4
r
V 
 r
r
r
r
V
V D







D



D 2
2
4
3
3
,
1
2
,
4 cm
V 

0.3 3
V
V r
V r

D D
  

45. 50
Ejemplo (casi) completo IV
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
?
0335
,
1
4377
,
3 3
cm
g



V
M


2
2





 D
+





 D

D
V
V
M
M



46. 51
Indice
 Medidas.
 Unidades.
 Cálculo de incertidumbres.
 Presentación de resultados.
 Redondeos.
 Comparación de resultados.
 Otras herramientas.
 Ejercicios

47. 52
1. NO tengo tanta precisión en D como
pretendo
2. ¿ Si tengo una incertidumbre de
unidades...Por qué doy diezmilésimas en  ?
Presentación de resultados
 Los resultados se presentan redondeados
?
0335
,
1
4377
,
3 3
cm
g



3
)
0
,
1
4
,
3
(
cm
g



?
0
,
1
4377
,
3 3
cm
g




48. 53
Cifras significativas
 Cifras significativas 
 Todas salvo los ceros a la izquierda
 Sobreviven a un cambio de notación
 Ejemplos:
c.s.
3
0,670
c.s
2
0,67
c.s.
3
670
c.s.
2
67
s.
c.
3
10
123
c.s.
3
0,123
c.s.
3
10
123
c.s.
3
123
3
-
3











49. 54
Reglas (arbitrarias) de Redondeo
 La incertidumbre se expresa con 2 cifras significativas.
 El valor se expresa con tantos decimales como la
incertidumbre.
 Valor e incertidumbre se expresan con las mismas
unidades y potencia de 10.
 Redondeamos al número más cercano
 Intentamos que el valor sea un número sencillo,
normalmente entre 1 y 10

50. 55
Ejemplos de Redondeo I
( 1,2564 ± 0,1 ) m  ( 1,3 ± 0,1 ) m
( 1,2438 ± 0,168 ) m  ( 1,24 ± 0,17) m
( 1,52 108 ± 21,68 106 ) km  (1,52 ± 0,22) 108 km
(1,52 ± 0,22) 1011 m
( 60506079 ± 89451 ) m  ( 605,06 ± 0,89) 105 m
( 6,0506 ± 0,0089) 107 m

51. 56
Indice
 Medidas.
 Unidades.
 Cálculo de incertidumbres.
 Presentación de resultados.
 Redondeos.
 Comparación de resultados.
 Otros tipos de medidas.
 Ejercicios

52. 57
Comparación de resultados
 Compatibilidad de medidas
 Precisión de medidas:
X1
X2
X
X
D


Xreal

53. 58
Comparación de resultados
 Compatibilidad de medidas
Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan
( 100 ± 5 ) cm
( 90 ± 10 ) cm
Son compatibles ?

54. 59
Error relativo
 Muy útil en comentarios
 Muy útil para estimar si los resultados son coherentes
 Definición:
 Adimensional
 2 cifras significativas
 Ejemplo:
100 ± 25 → δ = 0.25 → incertidumbre del 25%
X
X
D



55. 60
Comparación de resultados
 Resultados compatibles
 Resultado más preciso.
Review of particle properties (PDG). Phys. Rev. D 45 Part II (1992) I.11

56. 61
Indice
 Medidas.
 Unidades.
 Cálculo de incertidumbres.
 Presentación de resultados / comparación.
 Otras herramientas.
 Media ponderada.
 Interpolación.
 Herramientas de cálculo
 Regresión lineal.
 Ejercicios

57. 62
Media ponderada I
 Varias medidas
 Diferentes instrumentos y/o diferentes métodos
 Errores aleatorios
2
2
1
1
X
X
X
X
D

D
 (  ( 
(  ( 2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
X
X
X
X
X
X
Y
D
+
D
D
+
D


58. 63
Media ponderada II
(  ( 
(  ( 2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
X
X
X
X
X
X
Y
D
+
D
D
+
D

(  ( 2
2
2
1
1
1
1
X
X
Y
D
+
D

D
Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan
( 100 ± 5 ) cm
( 90 ± 10 ) cm
¿ Cuanto mide ?

59. 64
Media ponderada III
Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan
( 100 ± 5 ) cm
( 90 ± 10 ) cm
L = (98,0 ± 4,5) cm
 Es un valor intermedio
 Más cerca del más preciso
 Incertidumbre reducida

60. 65
Otras herramientas
 Media ponderada
 Interpolación lineal
 Herramientas de cálculo
 Regresión lineal

61. 66
Interpolación lineal I
 Objetivo: obtener la
dependencia lineal
entre dos puntos de
valores conocidos.
 Método:
 Ecuación de la recta que
pasa por dos puntos
 Incertidumbre asociada

62. 67
b
x
a
y +


b
x
a
y
b
x
a
y
n
n
n
n
+


+


+
+ 1
1 n
n
n
n
n
n
x
m
y
b
x
x
y
y
a

-

-
-

+
+
1
1
( 
n
n x
x
a
y
y -

+
 int
int int int
y a x
D  D
 Si despreciamos el error en los datos de la tabla ...
Interpolación lineal II

63. 68
Interpolación lineal III
4 3 0
15 10
15 10
1.2·
10 /
a g cm C
T T
  -
-
  -
-
(  3
12 10 12 10 0.99946 /
a T T g cm
 
 +  - 
4 3
12 12 1.2·
10 /
a T g cm
 -
D  D 
 Calcular la densidad del agua a (12 ± 1 ) °C
Densidad del agua destilada en función de la temperatura
T(º C)  (g/cm3 )
0 0,9998
5 1,0000
10 0,9997
15 0,9991
20 0,9982
3
12 0.99946 0.00012 /
g cm
  

64. 69
Otras herramientas
 Media ponderada
 Interpolación lineal
 Herramientas de cálculo:
 Calculadora
 Hojas de calculo: Excel, OpenOffice, etc.
 Regresión lineal

65. 70
Herramientas de cálculo I:
Calculadora

66. 71
Calculadoras
http://www.casio-europe.com/es/support/manuals/
• Usar las memorias.
• Modo estadístico.
• Media.
• Dispersión.
• Regresión

67. 72
Otras herramientas
 Media ponderada
 Regresión lineal
 Interpolación lineal
 Herramientas de cálculo

68. 73
 Unidades en los ejes
 Puntos CON incertidumbres
 NO se unen los puntos
 Representación de la recta ajustada
Gráficas I

69. 74
I(A)
V(10-4 V)
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
1 2 3 4 5
0.00
Gráficas II

70. 75
 Objetivo: Suponiendo que dos variables siguen
una relación lineal: obtener parámetros de la recta
m y c que mejor la representan, y sus
incertidumbres Δm y Δc
 Hipótesis:
 Fijamos una variable y medimos otra  “x” sin
incertidumbre, las incertidumbres de las “y” todas
iguales.
 ¿ Cuál es la mejor recta ?  Mínimos cuadrados
Regresión Lineal III

71. 76
I(A)
V(10-4 V)
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
1 2 3 4 5
m
0.00
c
y = m·x + c
Regresión Lineal II: gráficas

72. 77
 Hipótesis:
 Existe una variable independiente (podemos darle los
valores que queramos), X y otra dependiente Y cuyo
valor nos da el experimento.
 X sin incertidumbre, las incertidumbres de Y son
iguales en todas las medidas.
 La relación entre X e Y es lineal o se puede hacer
lineal manipulando las fórmulas.
 ¿ Cuál es la mejor recta ?  Mínimos cuadrados
Regresión Lineal II

73. 78
 Mínimos cuadrados:
 Para cada punto calculamos la distancia del punto a la recta en la
dirección del eje y  di
 Sumamos las distancias al cuadrado
 La mejor recta es la que minimiza la suma S
Regresión Lineal III
( 
)
( c
x
m
y
d i
i
i +

-

( 

 

+

-


n
i
i
i
n
i
i c
x
m
y
d
S
1
2
1
2
)
(

74. 79
I(A)
V(10-4 V)
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
1 2 3 4 5
m
0.00
c
y = m·x + c
Regresión Lineal : IV
d5
d2

75. 80
 ¿ Cómo minimizo la suma ?:
 S depende de la pendiente y c.
 En el cálculo en varias variables se verá que para que
S sea mínimo es necesario que:
 Operando obtenemos las fórmulas del guión
Regresión Lineal V
( 
c
m
S
S ,

0
0 





c
S
m
S

76. 81
 Pasos:
 Identificar la variable independiente y la dependiente.
 Linealizar la fórmula.
 Transformar los datos
 Aplicar las fórmulas y calcular m y c
 Calcular las incertidumbres
 Comprobar el coeficiente de correlación r
Regresión Lineal VI

77. 82
 Métodos:
 Fórmulas de apuntes
 Calculadora (incertidumbres?)
 Programas de ordenador: Excel…
Regresión Lineal IV

78. 83
Ejemplo
Un coche viaja de Madrid a Barcelona, cada cierto tiempo el
piloto mira el cuentakilómetros y apunta la lectura, obteniendo la
siguiente tabla. Calcúlese la velocidad media.
Tiempo (min) Posición
00 514
20 550
40 590
60 627
80 670

79. 84
Resolución
Y
X
n
Y
X
E i
n
i
i -






 
1
2
1
2
X
n
X
D
i
n
i
i -








 

7780
2
.
590
40
5
125820 


-

E
4000
40
40
5
12000 


-

D
min
945
.
1
4000
7780 km
D
E
m 



80. 85
Resolución
T (min) Pos T**2 T*Pos d d^2
0 514 0 514 1.6 2.56
20 550 400 550 -1.3 1.69
40 590 1600 590 -0.2 0.04
60 627 3600 627 -2.1 4.41
80 670 6400 670 2 4
200 2951 12000 125820 0 12.7
40 590.2 2400

81. 86
Resolución
X
m
Y
c -
 km
c 512
40
945
.
1
2
.
590 

-

(  2
1
2
2
233
.
4
3
7
.
12
2
1
km
c
mX
Y
n
s
n
i
i
i
res 

-
-
-
 

2
2
2
min
001058
.
0
4000
233
.
4









km
D
s
s res
m
2
2
2
2
54
.
2
4000
40
*
40
5
1
233
.
4
1
km
D
X
n
s
s res
c 






+









+


82. 87
Resolución
104
.
0
0325
.
0
1825
.
3
2
2 




D - m
n s
t
m
07
.
5
594
.
1
1825
.
3
2
2 




D - c
n s
t
c
min
10
.
0
95
.
1
km
m 
 km
c 1
.
5
2
.
512 


83. 88
Herramientas II: Hoja de cálculo
Práctica: Dejamos caer un cuerpo desde
una cierta altura y medimos la distancia
recorrida y el tiempo empleado.
2
2
1
gt
s 