Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres, presentación de resultados, media ponderada, regresión lineal e interpolación. Explica conceptos como error e incertidumbre, tipos de medidas y errores, así como cómo estimar resultados teniendo en cuenta errores sistemáticos y aleatorios. Finalmente, ofrece ejemplos de cálculos de incertidumbres para medidas directas e indirectas.
Este documento proporciona una guía sobre cómo realizar mediciones en el laboratorio y expresar los resultados de manera adecuada. Explica los conceptos de error, incertidumbre y cómo estimarla y combinarla cuando se realizan varias mediciones o cálculos. Recomienda expresar los resultados como el valor medido más o menos la incertidumbre combinada redondeada a la cifra significativa adecuada. También incluye ejemplos y ejercicios para que los estudiantes apliquen estos conceptos.
Este documento presenta una unidad didáctica sobre números decimales para estudiantes de grado 7°. La unidad incluye la introducción del tema, objetivos generales y específicos, justificación, metodología, estándares, competencias, desempeños e indicadores, contenidos y actividades. El tema se enfoca en conceptos como números decimales, operaciones, conversiones y el sistema métrico decimal.
Este documento describe un experimento para medir fuerzas aplicadas a resortes y verificar las condiciones de equilibrio. Los estudiantes midieron la elongación de varios resortes sujetos a diferentes pesos y calcularon las constantes elásticas. El resumen incluye mediciones de longitud, fuerza y elongación de resortes, así como cálculos estadísticos de los datos recolectados.
Este documento describe un método para resolver sistemas lineales singulares con más variables que ecuaciones. Explica cómo convertir el sistema en una forma escalonada que identifica las variables libres, las cuales pueden asignarse valores arbitrarios. Incluye un algoritmo de Gauss-Jordan para sistemas singulares y un ejemplo numérico para ilustrar el método.
Este documento presenta la teoría del álgebra de vectores utilizando ideogramas. Explica operaciones unitarias como el módulo y opuesto de un vector, y operaciones binarias como la suma, diferencia y producto de vectores. También presenta aplicaciones de vectores en física y ejercicios.
El documento describe la introducción de los conceptos de espacio vectorial y dependencia lineal por el matemático alemán Hermann Grassmann en 1844. Aunque su trabajo era difícil de entender, sentó las bases para estos conceptos fundamentales en álgebra lineal. El documento también presenta definiciones formales de espacio vectorial y subespacio vectorial, y ejemplos para ilustrar estas nociones.
De la Universidad jorge Basadre Grohman, con el aporte del Licenciado Afredo Chacaltana y el Licenciado Luís Alfaro Herrera (Tacna-Perú año 2002). FÍSICA PRINCIPIOS Y APLICACIONES
Este documento proporciona una guía sobre cómo realizar mediciones en el laboratorio y expresar los resultados de manera adecuada. Explica los conceptos de error, incertidumbre y cómo estimarla y combinarla cuando se realizan varias mediciones o cálculos. Recomienda expresar los resultados como el valor medido más o menos la incertidumbre combinada redondeada a la cifra significativa adecuada. También incluye ejemplos y ejercicios para que los estudiantes apliquen estos conceptos.
Este documento presenta una unidad didáctica sobre números decimales para estudiantes de grado 7°. La unidad incluye la introducción del tema, objetivos generales y específicos, justificación, metodología, estándares, competencias, desempeños e indicadores, contenidos y actividades. El tema se enfoca en conceptos como números decimales, operaciones, conversiones y el sistema métrico decimal.
Este documento describe un experimento para medir fuerzas aplicadas a resortes y verificar las condiciones de equilibrio. Los estudiantes midieron la elongación de varios resortes sujetos a diferentes pesos y calcularon las constantes elásticas. El resumen incluye mediciones de longitud, fuerza y elongación de resortes, así como cálculos estadísticos de los datos recolectados.
Este documento describe un método para resolver sistemas lineales singulares con más variables que ecuaciones. Explica cómo convertir el sistema en una forma escalonada que identifica las variables libres, las cuales pueden asignarse valores arbitrarios. Incluye un algoritmo de Gauss-Jordan para sistemas singulares y un ejemplo numérico para ilustrar el método.
Este documento presenta la teoría del álgebra de vectores utilizando ideogramas. Explica operaciones unitarias como el módulo y opuesto de un vector, y operaciones binarias como la suma, diferencia y producto de vectores. También presenta aplicaciones de vectores en física y ejercicios.
El documento describe la introducción de los conceptos de espacio vectorial y dependencia lineal por el matemático alemán Hermann Grassmann en 1844. Aunque su trabajo era difícil de entender, sentó las bases para estos conceptos fundamentales en álgebra lineal. El documento también presenta definiciones formales de espacio vectorial y subespacio vectorial, y ejemplos para ilustrar estas nociones.
De la Universidad jorge Basadre Grohman, con el aporte del Licenciado Afredo Chacaltana y el Licenciado Luís Alfaro Herrera (Tacna-Perú año 2002). FÍSICA PRINCIPIOS Y APLICACIONES
Este documento presenta conceptos fundamentales de estadística y métodos para organizar y resumir datos estadísticos, incluyendo tablas de frecuencia. Explica cómo construir tablas de frecuencia agrupando datos en intervalos de clases para facilitar el análisis. También cubre conceptos como población, muestra, variables discretas y continuas, y redondeo de datos. El objetivo es reconocer estas ideas básicas y aplicar métodos como tablas de frecuencia para organizar conjuntos de datos.
Este documento presenta varios ejercicios resueltos y propuestos sobre tests no paramétricos. En el primer ejercicio se aplica una prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrado para determinar si un conjunto de datos sigue una distribución normal. En el segundo ejercicio se utiliza también una prueba Chi-cuadrado para tablas de contingencia para analizar la independencia entre dos variables categóricas. El tercer ejercicio emplea la prueba de Wilcoxon para comparar dos muestras independientes. Finalmente, el cuarto
Ejercicios de Cálculo, conversión de unidades, múltiplosvoro2012
Este documento contiene 11 ejercicios de matemáticas básicas para primaria. Cada ejercicio consiste en 20 problemas de suma, resta, multiplicación y división que deben resolverse sin calculadora. Los ejercicios progresan en dificultad a lo largo de las páginas y el último ejercicio incluye conversiones de unidades como kilómetros a decímetros y gramos a miligramos.
El documento habla sobre la proporcionalidad en situaciones cotidianas. Explica que en un albergue de animales hay 16 perros adultos sin adoptar, y que cada perro consume 2 bolsas de comida al mes. Luego, realiza ejercicios para establecer la relación directamente proporcional entre el número de perros y la cantidad de bolsas de comida necesarias mensualmente.
El documento presenta los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, dimensión, clases (cuadradas, triangulares, diagonales, identidad), igualdad, y operaciones (suma, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices). El objetivo es que los estudiantes aprendan a definir, identificar, aplicar operaciones y determinar la inversa de las matrices.
Este documento presenta una serie de ecuaciones diferenciales lineales que deben resolverse usando series de potencias alrededor de puntos ordinarios y singulares. También incluye ejemplos de circuitos eléctricos que deben modelarse y resolverse usando este método. Finalmente, pide determinar los primeros términos de las series de potencias para la carga de un capacitor en un circuito dado.
Este documento reflexiona sobre la pregunta de qué quiere ser una persona. Cuando era niño, el autor respondía con una sola palabra sobre su futuro trabajo, pero ahora de adulto se da cuenta de que ha sido moldeado por la vida y las oportunidades. La pregunta cambia a qué puede ser para ayudar a otros como una voz serena, luz para los que están en las sombras, o mano amiga para los caídos. En resumen, se trata de aprovechar las oportunidades para servir a los demás.
El documento describe el proceso de la concepción humana, comenzando con la unión de un óvulo y un espermatozoide para formar un cigoto, el cual se divide y crece para convertirse en un embrión con rasgos humanos distinguibles.
Este documento presenta el misterio de María como Virgen y Madre de Dios y como Madre e imagen de la Iglesia. Describe cómo María, aunque humilde, puso su total confianza en Dios y aceptó su voluntad, dando a luz a Jesús. A lo largo de la vida de Jesús, María reflexionó sobre los misterios que presenció y conservó sus recuerdos en su corazón. Finalmente, el documento explica que María es la Madre de todos los creyentes y un modelo para la Iglesia.
Exercicio 6.2 - Plano de negócios sinergética estudos e projetosantenorjr
O documento apresenta 10 projetos de inovação tecnológica para a Sinergética Estudos e Projetos Ltda. visando aprimorar seu modelo de negócios. Os projetos abrangem a estruturação de uma equipe dedicada à inovação, mapeamento de segmentos de mercado, definição da proposta de valor, canais de comunicação, fontes de receita e estrutura de custos. O objetivo é nortear as próximas etapas da empresa com informações precisas para tomada de decisões estratégicas.
Este documento discute la autodeterminación axiológica y la libertad. Sostiene que la libertad es una autodeterminación axiológica en la que las personas actúan en función de los valores que captan. Explica que los niños son heterónomos e influenciados por estímulos, mientras que los adolescentes buscan independencia y los adultos pueden captar una amplia gama de valores. Finalmente, describe las características de la libertad como autodeterminación axiológica y las características de los valores.
The document provides information about the 30th Annual Delta Jubilee 5K Run/Walk and 1-Mile Fun Run taking place on Saturday, June 8, 2013 in Clarksdale, Mississippi. The events include a 5,000 meter run and walk and a 1,609 meter Fun Run. Registration and packet pickup begins at 7:15 AM with the 5K starting at 8 AM and awards ceremony at 9:30 AM. The course is located at the Coahoma County Expo Center and is relatively flat. The event will provide technical shirts, refreshments, and door prizes. Early registration fees are $15 for the 5K and $6 for the Fun Run with deadlines and late fees listed. Awards will
Dokumen tersebut membahas tentang etika kewarganegaraan digital (digital citizenship) yang mencakup pengertian, tujuan, dan komponen-komponen kewarganegaraan digital. Komponen-komponen tersebut dibagi menjadi 3 kategori yaitu lingkungan belajar dan akademis, lingkungan sekolah dan tingkah laku, serta kehidupan di luar lingkungan sekolah. Dokumen tersebut juga menjelaskan akronim T.H.I.N.K
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres y presentación de resultados. Explica conceptos como mediciones directas e indirectas, errores sistemáticos y aleatorios, y cómo estimar la incertidumbre total de una medición directa o indirecta mediante el cálculo de la desviación estándar y el uso de factores de cobertura.
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres y presentación de resultados. Explica conceptos como mediciones directas e indirectas, errores sistemáticos y aleatorios, y cómo estimar la incertidumbre total de una medición directa o indirecta mediante el cálculo de la desviación estándar y el uso de factores de cobertura.
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres y presentación de resultados. Explica conceptos como mediciones directas e indirectas, errores sistemáticos y aleatorios, y cómo estimar la incertidumbre total de una medición directa o indirecta mediante el cálculo de la desviación estándar y el uso de factores de cobertura.
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres y presentación de resultados. Explica conceptos como mediciones directas e indirectas, errores sistemáticos y aleatorios, y cómo estimar la incertidumbre total de una medición directa o indirecta mediante el cálculo de la desviación estándar y el uso de factores de cobertura.
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Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres y presentación de resultados. Explica conceptos como mediciones directas e indirectas, errores sistemáticos y aleatorios, y cómo estimar la incertidumbre total de una medición directa mediante la combinación de la incertidumbre de precisión y la incertidumbre aleatoria calculada a partir de la desviación estándar de varias mediciones. También cubre el cálculo de incertidumbres en mediciones indirectas que depend
Este documento presenta conceptos fundamentales de estadística y métodos para organizar y resumir datos estadísticos, incluyendo tablas de frecuencia. Explica cómo construir tablas de frecuencia agrupando datos en intervalos de clases para facilitar el análisis. También cubre conceptos como población, muestra, variables discretas y continuas, y redondeo de datos. El objetivo es reconocer estas ideas básicas y aplicar métodos como tablas de frecuencia para organizar conjuntos de datos.
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Ejercicios de Cálculo, conversión de unidades, múltiplosvoro2012
Este documento contiene 11 ejercicios de matemáticas básicas para primaria. Cada ejercicio consiste en 20 problemas de suma, resta, multiplicación y división que deben resolverse sin calculadora. Los ejercicios progresan en dificultad a lo largo de las páginas y el último ejercicio incluye conversiones de unidades como kilómetros a decímetros y gramos a miligramos.
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Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres y presentación de resultados. Explica conceptos como mediciones directas e indirectas, errores sistemáticos y aleatorios, y cómo estimar la incertidumbre total de una medición directa o indirecta mediante el cálculo de la desviación estándar y el uso de factores de cobertura.
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres y presentación de resultados. Explica conceptos como mediciones directas e indirectas, errores sistemáticos y aleatorios, y cómo estimar la incertidumbre total de una medición directa o indirecta mediante el cálculo de la desviación estándar y el uso de factores de cobertura.
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres y presentación de resultados. Explica conceptos como mediciones directas e indirectas, errores sistemáticos y aleatorios, y cómo estimar la incertidumbre total de una medición directa o indirecta mediante el cálculo de la desviación estándar y el uso de factores de cobertura.
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres y presentación de resultados. Explica conceptos como mediciones directas e indirectas, errores sistemáticos y aleatorios, y cómo estimar la incertidumbre total de una medición directa o indirecta mediante el cálculo de la desviación estándar y el uso de factores de cobertura.
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres y presentación de resultados. Explica conceptos como mediciones directas e indirectas, errores sistemáticos y aleatorios, y cómo estimar la incertidumbre total de una medición directa o indirecta mediante el cálculo de la desviación estándar y el uso de factores de cobertura.
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres y presentación de resultados. Explica conceptos como mediciones directas e indirectas, errores sistemáticos y aleatorios, y cómo estimar la incertidumbre total de una medición directa mediante la combinación de la incertidumbre de precisión y la incertidumbre aleatoria calculada a partir de la desviación estándar de varias mediciones. También cubre el cálculo de incertidumbres en mediciones indirectas que depend
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres y presentación de resultados. Explica conceptos como mediciones directas e indirectas, errores sistemáticos y aleatorios, y cómo estimar la incertidumbre total de una medición directa o indirecta mediante el cálculo de la desviación estándar y el uso de factores de cobertura.
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres y presentación de resultados. Explica conceptos como mediciones directas e indirectas, errores sistemáticos y aleatorios, y cómo estimar la incertidumbre total de una medición directa o indirecta mediante el cálculo de la desviación estándar y el uso de factores de cobertura.
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres y presentación de resultados. Explica conceptos como mediciones directas e indirectas, errores sistemáticos y aleatorios, y cómo estimar la incertidumbre total de una medición directa o indirecta mediante el cálculo de la desviación estándar y el uso de factores de cobertura.
Este documento presenta una introducción al tratamiento de datos, incluyendo medidas, unidades, cálculo de incertidumbres y presentación de resultados. Explica conceptos como mediciones directas e indirectas, errores sistemáticos y aleatorios, y cómo estimar la incertidumbre total de una medición directa o indirecta mediante el cálculo de la desviación estándar y el uso de factores de cobertura.
El documento trata sobre el concepto de medición y cálculo de incertidumbres. Explica que una medida consta de un valor y una incertidumbre y presenta diferentes tipos de errores como sistemáticos y aleatorios. Asimismo, detalla cómo estimar la incertidumbre total de una medida directa a través de la combinación cuadrática de la incertidumbre de precisión y la incertidumbre aleatoria. Por último, aborda el cálculo de incertidumbres en medidas indirectas que dependen de otras mediante expresiones
Este documento resume los resultados de un experimento sobre incertidumbre en mediciones realizado en un laboratorio de física mecánica. Explica conceptos como valor más probable, error absoluto, error relativo y propagación de errores. Luego presenta los cálculos realizados para determinar estas medidas en diferentes ejercicios, como mediciones de tiempo, distancia, área y densidad, mostrando el valor más probable y la incertidumbre en cada caso.
Este documento presenta el laboratorio de física mecánica de la Universidad Francisco de Paula Santander. Contiene catorce secciones que cubren diferentes temas de física mecánica como la incertidumbre de mediciones, interpretación de gráficas, medidas experimentales, movimiento rectilíneo, caída libre, movimiento de proyectiles, ley de Hooke, segunda ley de Newton, conservación de la energía mecánica y péndulo balístico. Cada sección incluye introducción, objetivos, marco teórico,
Es un recipiente ovalado que en un extremo tiene una boca estrecha cerrada po...evaristobrionesruiz
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de incertidumbres y la presentación de resultados en experimentos de física. Explica que toda medida está sujeta a incertidumbre y cómo evaluar la incertidumbre de medidas directas e indirectas. También cubre cómo redondear y presentar resultados de manera concisa incluyendo la incertidumbre.
Este documento presenta los fundamentos teóricos y procedimientos prácticos para realizar mediciones directas e indirectas con precisión. Explica conceptos como medición, error, incertidumbre y cómo calcular el error absoluto y relativo de mediciones. Además, incluye ejemplos de cómo medir la talla, presión arterial, frecuencia cardíaca y masa corporal de estudiantes, y cómo registrar y analizar los datos obtenidos.
Este documento explica cómo calcular e informar las incertidumbres en mediciones de laboratorio. Describe la diferencia entre error e incertidumbre, y cómo calcular la incertidumbre para mediciones directas usando la precisión del instrumento y repeticiones, y para mediciones indirectas usando derivadas parciales. Además, explica cómo redondear los resultados considerando solo las cifras significativas.
Este documento presenta conceptos fundamentales de medición en física como órdenes de magnitud, error experimental, cálculo de errores y ajuste lineal. También cubre magnitudes escalares y vectoriales. Los objetivos incluyen utilizar unidades del SI de forma correcta, determinar relaciones entre variables, identificar y reducir errores, y utilizar cálculo vectorial en dos dimensiones.
Este documento presenta un análisis de la teoría de mediciones. Explica que siempre habrá errores en las mediciones debido a factores como el instrumento de medición o las condiciones del laboratorio. Luego define mediciones directas e indirectas y describe los objetivos, marco teórico, materiales y procedimiento de un experimento para medir tiempo, longitud, masa y volumen con instrumentos como un cronómetro, regla y vernier. Finalmente, presenta ejercicios sobre cálculo de incertidumbre, precisión y exactitud de las mediciones
Este documento presenta un resumen de un proyecto de cálculo integral realizado por 5 estudiantes. El proyecto incluye introducciones sobre cálculo diferencial, aproximaciones, estimaciones de errores y conclusiones. Los estudiantes aplican estos conceptos a ejemplos numéricos para ilustrar su comprensión de los temas fundamentales del cálculo integral.
3. 3
Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Media ponderada.
Regresión lineal.
Interpolación.
Ejercicios
4. 4
Medir
Comparar una cantidad con su respectiva
unidad, con el fin de averiguar cuantas
veces la segunda está contenida en la
primera.
5. 5
Partes de una medida I
Si medimos el largo de una mesa ...
125,634
El resultado podría ser ?
125,634 cm
125,634 ± 17,287 cm
125 ± 17 cm
6. 6
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor
±incertidumbre
Presentación
unidades
7. 7
Error e incertidumbre I
Muchas veces se cometen errores al medir.
Debemos corregirlos o al menos estimarlos
Xmedido
∆X Xreal
∆X
8. 8
Error e incertidumbre II
Xmedido
∆X Xreal
∆X
Error = Xreal –Xmedido
Xreal ∈(Xmedido −∆X, Xmedido +∆X)
9. 9
Nivel de Confianza
∆X depende de lo seguros que queramos estar
Nivel de confianza = fracción de las veces que
quiero acertar. 99%, 95%...
Xmedido
∆X Xreal
∆X
10. 10
Tipos de medidas
Medidas directas
Medidas indirectas
Las anoto de un instrumento
L1, L2
Provienen de aplicar
operaciones a medidas
directas
A = L1 x L2
L1
L2
11. 11
Tipos de errores
Medidas directas
Medidas indirectas
• Sistemáticos
•Aleatorios
• Derivados de los anteriores
13. 13
Errores aleatorios I
Factores que perturban nuestra medida.
• Suma de muchas causas
• Tienden a ser simétricos.
• Se compensan parcialmente.
• Repetir las medidas.
• Estadística
medidas
Xreal
14. 14
Errores aleatorios II
Distribuciones
Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios.
Tienden a curvas típicas
Xreal
x x
x
xx x
x
x
x
x
x x
15. 15
Cómo estimar el resultado
Frente a errores sistemáticos.
Frente a errores aleatorios.
• Medir correctamente
• Calibrar los aparatos
• Se compensan repetir varias veces la medida
• La media es el valor más probable
∑=
=
n
i
i
n
X
X
1
16. 16
Ejemplo
Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
Día L M X J V
Masa
(kg)
73 72 74 72 73
kgM 8,72
5
)7372747273(
=
++++
=
17. 17
Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Media ponderada.
Regresión lineal.
Interpolación.
Ejercicios
18. 18
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor
±incertidumbre
Presentación
unidades
19. 19
Tipos de errores
Medidas directas
Medidas indirectas
• Sistemáticos
•Aleatorios
• Derivados de los anteriores
20. 20
Incertidumbre
Se suele expresar como:
Se suele descomponer en:
1. Incertidumbre factores sistemáticos:
ΕS1,ΕS2...
Destaca la de precisión
2. Incertidumbre factores aleatorios: ΕΑ
1. Absoluta: ∆X
2. Relativa:
X
X
Er
∆
=
X
X
enEr
∆
=100%
21. 21
Incertidumbre de precisión Es
En casos sencillos la estimaremos como:
A veces depende del experimentador
No es fácil definir su intervalo de confianza
La mitad (?) de la división menor de la escala
Ej: Balanza
No hay reglas sencillas para estimarla
Ej: Cronómetros
22. 22
Incertidumbre aleatoria EA
Para n medidas
n
n
n
tEA
1
1
−
−
=
σ s = Desviación
típica de las
medidas
Desviación típica
de la media
Factor de cobertura
t de Student
23. 23
( )
( ) ( ) ( ) 1
2
2
13
454443
1
222
1
2
2
1
2
==
−
−+−+−
=
−
−
==
∑=
−
n
xx
s
n
i
i
nσ
3
2
3
543
=
−+−+−
=
xxx
s 0
3
)5()4()3(
=
−+−+−
=
xxx
s
( ) ( ) ( )
3
2
3
543
222
2
=
−+−+−
=
xxx
s
s: la dispersión de los datos
4
Xreal
3 5
4=X
¿Μedir la separación con respecto al valor real ?
No conocemos el valor real
¿Μedir la separación con respecto al valor medio ?
¿Cómo?
24. 24
s: propiedades
Es la distancia del valor real a la que estará más
probablemente un nuevo dato
ctes n
→ ∞→
Tiene las mismas unidades que el resultado
25. 25
Dispersión de la media
SI hiceramos muchos grupos de n medidas...
La media es más precisa que cualquier dato, los
errores aleatorios se compensan
Pero despacio ....
Los errores de precisión no se compensan
n
s
sX
=
26. 26
t de Student
Ya tenemos y pero el intervalo... es pequeño y
conlleva un nivel de confianza variable multiplicamos por un factor
corrector.
Si α es el nivel de confianza α = 0,95 p=0.05.
Para pocas medidas s=σ n-1 se estima mal y el factor es mayor para
compensar.
¿Quien fue Student ?
X X
s X
sX =∆
nt
)()1( 444 pttt =−= α
28. 28
t de Student
Ya tenemos y pero el intervalo... es
pequeño y conlleva un nivel de confianza variable
multiplicamos por un factor corrector.
Si α es el nivel de confianza
α = 0,95 p=0.05.
Para pocas medidas s=σ n-1 se estima mal y el factor es
mayor para compensar.
¿Quien fue Student ?
X X
s X
sX =∆
nt )()1( 444 pttt =−= α
29. 29
Un poco de Historia:Student
Inglaterra - Irlanda
Control de calidad
industrial
Extraemos un número
pequeño de muestras de
un lote grande.
¿ Representan al producto ?
W. Gosset 1876-1937
30. 30
Ejemplo
Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
Día L M X J V
Masa
(kg)
73 72 74 72 73
kgM 8,72=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
15
8,72738,72728,72748,72728,7273
22222
1
−
−+−+−+−+−
=−nσ
kgn 837,01 =−σ
78,241 ==− ttn
kgtE n
A 041
5
8370
782
5
1
4 ,
,
, === −σ
31. 31
Incertidumbre total
Combinaremos las incertidumbres en cuadratura:
Propiedades
+++Ψ=∆ 2
2
2
1
2
θθX
22
SA EEX +=∆
ASASA
SASASA
EEEEE
EEEEEE
→+>>
+<+<
22
22
,
,
33. 33
Ejemplo
Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
Día L M X J V
Masa
(kg)
73 72 74 72 73
kgM 8,72=
kgEA 97,0=
kgES 50,=
kgM 091,15,097,0 22
=+=∆
( ) kgM 091,1800,72 ±=
Presentación
incorrecta !
34. 34
Medidas indirectas I
Dependen de otras mediantes expresiones
matemáticas
Ej: Area de un cuadrado = (Lado)2
A = L2
L = 5 ± 1 cm → Α = 25 cm2
, ∆Α= ¿?
Recordando derivadas...
L
dL
dA
A
L
A
LdL
dA
∆
≅∆⇒
∆
∆
→∆
=
0
lim
35. 35
Medidas indirectas II
Significado ∆Α, ∆L
Válido si ∆L pequeño
Interpretación geométrica
LLAL
dL
dA
∆=∆⇒= 22
∆L
∆L
L
L
36. 36
Medidas indirectas III
Area de un rectángulo
A = L1 x L2
L1 conocido perfectamente
Y si L1, ,L2 inciertos ?
211
2
LLAL
dL
dA
∆=∆⇒=
∆L2
∆L2
L1
L2
L1
37. 37
Medidas indirectas IV
Errores independiente se
compensan parcialmente
?1221 LLLLA ∆+∆=∆
∆L1 x ∆L2L1 x ∆L2
L2 x ∆L1
L2
L1
( ) ( )2
2
2
21 LLLLA ∆+∆=∆
38. 38
Medidas indirectas V
( ),, 21 XXfY =
+
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
=∆
2
2
2
2
1
1
X
X
Y
X
X
Y
Y
Derivada parcial de Y respecto a X1
40. 40
Casos simples
21 XXY ±= ( ) ( )2
2
2
1 XXY ∆+∆=∆
XcY ⋅= XcY ∆⋅=∆
21 XXY ⋅= 2
2
2
2
1
1
∆
+
∆
=∆
X
X
X
X
YY
2
1
X
X
Y =
n
XY = X
X
nYY
∆
⋅⋅=∆
41. 41
Ejemplo (casi) completo I
n0
1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 ±0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
V
M
=ρ
1
2
3
42. 42
gEEM AS 282022
.=+=∆
gES 05.0=
ggEA 2780
5
2240
782 .
.
. ==
Ejemplo (casi) completo II
n0
1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 ±0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
gM 400.14=
gM 282040014 .. ±=
43. 43
Ejemplo (casi) completo III
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 ±0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
3
3
4
rV π= rrr
r
V
V ∆=
∆
∂
∂
=∆ 2
2
4π
3
3,12,4 cmV ±=
r
r
V
V
E VR
∆
==
∆
= 33.0,
44. 44
Ejemplo (casi) completo IV
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 ±0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
?0335,14377,3 3
cm
g
±=ρ
V
M
=ρ
22
∆
+
∆
=∆
V
V
M
M
ρρ
45. 46
1. NO tengo tanta precisión en ∆ρ como
pretendo
2. ¿ Si tengo una incertidumbre de
unidades...Por qué doy diezmilésimas en ρ ?
Presentación de resultados
Los resultados se presentan redondeados
?0335,14377,3 3
cm
g
±=ρ
3
)0,14,3(
cm
g
±=ρ
?0,14377,3 3
cm
g
±=ρ
46. 47
Cifras significativas
Cifras significativas
Todas salvo los ceros a la izquierda
Sobreviven a un cambio de notación
Ejemplos:
c.s.30,670c.s20,67
c.s.3670c.s.267
s.c.310123c.s.30,123
c.s.310123c.s.3123
3-
3
→→
→→
→⋅→
→⋅→
47. 48
Reglas (arbitrarias) de Redondeo
La incertidumbre se expresa con 2 cifras significativas.
El valor se expresa con tantos decimales como la
incertidumbre.
Valor e incertidumbre se expresan con las mismas
unidades y potencia de 10.
48. 49
Comparación de resultados
Resultados compatibles
Resultado más preciso.
Review of particle porperties (PDG). Phys. Rev. D 45 Part II (1992) I.11