Este documento explica cómo resolver inecuaciones de segundo grado. Primero define qué es una inecuación de segundo grado y luego muestra los pasos para resolverlas: 1) igualar a cero y encontrar las raíces, 2) representar las raíces en una línea numérica y evaluar el signo en cada intervalo, 3) la solución son los intervalos con el mismo signo que el polinomio. También da ejemplos para ilustrar el proceso.

1. Inecuaciones de segundo grado
Una inecuación de segundo grado con una incógnita es
cualquier desigualdad que, directamente o mediante
transformaciones de
equivalencia, se pueden expresar de una de las formas
siguientes:
ax2+bx+c>0; ax2+bx+c<0; ax2+bx+c ≥0 ó ax2+bx+c ≤0
con a, b y c reales y a≠0.

2. Ejemplo:
Consideremos la inecuación:
x2 − 6x + 8 > 0
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1º Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos
las raíces de la ecuación de segundo grado.
x2 − 6x + 8 = o

3. 2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un
punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada
intervalo:
P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0; no satisface la igualdad
P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

4. 3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo)
que tengan el mismo signo que el polinomio.
S = (-∞, 2) U (4, ∞)

5. Ejemplo:
x2 + 2x +1 ≥ 0
x2 + 2x +1 = 0
(x + 1)2 ≥ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre
positivo la solución es
Solución
x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0
x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0
x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x=−1
x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0

6. Ejemplo:
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 = 0
Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier
valor si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es .
El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene
solución.
Solución
x2 + x +1 ≥ 0
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 ≤ 0
x2 + x +1 < 0