Este documento resume conceptos clave sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales. Explica que una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que pueden incluir números, letras y operaciones, y que una solución de una ecuación es un valor que hace que la igualdad sea cierta. También describe los diferentes tipos de ecuaciones como polinómicas, radicales, logarítmicas y exponenciales. Finalmente, introduce los conceptos de sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos, como el método de Gauss.

1. Tema 3
Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones lineales

2. Ecuaciones
• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que aparecen
números y letras ligados por operaciones. Las letras representan cantidades
indeterminadas, y se llaman incógnitas.
• Una igualdad que es cierta para cualquier valor de las variables es una
identidad.
3x2
– 18x + 19 = 12x – 29
Incógnita Igualdad
1er
miembro 2o
miembro

3. x+2 = 3x = 7 es solución de ya que 7+2 = 3
x+2 = 3x = 1 no es solución de ya que 1+2 ≠3
¿Qué es una solución de una ecuación?

4. Ecuaciones polinómicas:



2x3
+5x =
5
2 grado 3: una incógnita
x+5 = x+7 grado 1: una incógnita
Ecuaciones radicales:
Ecuaciones logarítmicas:
Ecuaciones exponenciales:


 2x3
+5x = 3
x+5 = x+7


2 + log x = 5
log x2
+ log x = 6


2x
= 8
3x
+ 6 15
xx
= 27
Ecuaciones con una incógnita

5. ¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación?
Ecuaciones sin solución incompatibles
Ecuaciones con solución compatibles
Ecuaciones con las mismas soluciones equivalentes

6. ax2
+ bx+ c = 0
ax2
+ bx+ c = 0 con a ≠ 0
Se multiplica por 4a:
4a2
x2
+4abx+4ac = 0
Se suma b2
: 4a2
x2
+4abx+4ac = 0
4a4a 4a
+ b2 + b2
4a2
x2
+4abx+4ac + b2
= b2
Se resta 4ac:
4a2
x2
+4abx+ b2
= b2
– 4ac
Se factoriza: (2ax + b)2
= b2
– 4ac
Ecuaciones de segundo grado (I)

7. Se despeja la incógnita:









2ax+b = b2
– 4ac
2ax+b = – b2
– 4ac
⇔














x =
–b + b2
– 4ac
2a
x =
–b – b2
– 4ac
2a
⇔ x =
–b ±b2
– 4ac
2a
Ecuaciones de segundo grado (II)

8. Interpretación geométrica de las soluciones de una ecuación de 2º grado
• Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, también llamadas cuadráticas, son
equivalentes a ecuaciones de la forma ax2
+ bx + c = 0 con a ≠ 0
Soluciones: estas ecuaciones pueden tener dos, una o ninguna solución.
Interpretación geométrica: un polinomio de segundo grado está representado por una
parábola. Según la parábola corte al eje X en dos, uno o ningún punto la ecuación
cuadrática tendrá dos, una o ninguna solución.
x2
+ 1 = 0 tiene dos
soluciones complejas: ±i.
No tiene soluciones
reales: la parábola no
corta al eje x
y = x2
+1 y = (x +2)2
(x + 2)2
= 0 tiene una
solución doble: –2. El
polinomio tiene una raíz
real doble. La parábola
corta al eje x en un punto
x2
–2 = 0 tiene dos soluciones.
El polinomio tiene dos raíces
reales distintas. La parábola
corta al eje x en dos puntos
X
Y
y = x2
– 2

9. Resolución de ecuaciones por factorización
Para encontrar las soluciones de x(x2
+ x – 2) = 5 (x2
+ x – 2)
Se escribe en la forma P(x) = 0
Se factoriza P = R .
S
Se buscan las raíces de R y de S
Las soluciones de la ecuación
son las raíces de R y las de S
x(x2
+ x – 2) – 5 (x2
+ x – 2) = 0
(x2
+ x – 2) .
( x – 5) = 0
x2
+ x – 2 = 0 ⇔ x = 1, x = –2
x – 5 = 0 ⇔ x = 5
Las soluciones de la ecuación
son x = 1, x = –2 y x = 5

10. Resolver a ecuación x3
– 3x + 2 = 0
• Posibles raíces enteras: {1, –1, 2, –2}
• Probamos para x = 1: 13
–3.1+2 = 0 ⇒ es solución
• Dividimos el polinomio por x–1, y factorizamos:
x3
– 3x + 2 = (x–1) (x2
+x–2)
• Resolvemos la ecuación x2
+x–2 = 0
• Obtenemos x=1; x = –2
Por tanto las soluciones de la ecuación son: x = 1, x = 1, x = –2
Ecuaciones polinómicas con una raíz entera

11. Resolución de ecuaciones por sustitución
Para encontrar las soluciones de 4x4
– 5x2
+ 1 = 0
Se sustituye la parte que se repite por t
Se resuelve la ecuación en t
Se deshace el cambio
Las soluciones de la ecuación son
4t2
– 5t + 1 = 0
t = 1, t = 1/4
x2
=1 ⇔ x = 1, x = – 1
x2
= 1/4 ⇔ x = 1/2, x = – 1/2
x = 1, x = – 1, x = 1/2, x = – 1/2

12. Ecuaciones con radicales
Para encontrar las soluciones de
Se aísla una de las raíces
Se eleva al cuadrado
Se aísla la raíz que queda
Se eleva al cuadro y se
resuelve la ecuación
(x + 3)2
= 16 x
Soluciones: x = 1; x = 9
2x + 7 – x = 2
2x + 7 = 2 + x
2x + 7 = 4 + 4 x + x
4 x = x + 3
Se comprueba si son
soluciones
En este caso x=1; x = 9 son
soluciones de la ecuación

13. • Buscamos potencias de igual base
• 2x + 1
= 8 = 23
• Igualamos exponentes: x + 1 = 3
• Resolvemos la ecuación: x = 2
Resolver 2x + 1
= 8
Ecuaciones exponenciales

14. • Agrupamos logaritmos:
• log x3
= log 6 + log x2
• log x3
= log (6 . x2
)
• x3
= 6 . x2
• Resolvemos la ecuación x3
– 6x2
= 0
• Obtenemos x=0; x = 6
• Probamos las soluciones: sólo es válida x = 6
log x3
= log 6 + 2 log x
Ecuaciones logarítmicas

15. Sistemas de ecuaciones. Solución de un sistema
5x + y = 13
x + y = 1
Una solución de este sistema: x = 3; y = –2.
En este caso es única
X
Y
Interpretación geométrica:
• Cada igualdad del sistema representa
una recta en el plano cartesiano.
• Una solución de este sistema es un
punto común a ambas rectas
5x+y=13
x+y=1
(3, –2)

16. Se pueden aplicar a un sistema las mismas transformaciones que a una
ecuación:
• Si se suma o se resta el mismo número a los dos miembros de una ecuación de
un sistema, se obtiene un sistema equivalente
• Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema
por un mismo número distinto de cero, se obtiene un sistema equivalente
Sistemas equivalentes. Sistemas lineales y no lineales
Sistemas equivalentes:
Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas
soluciones
Sistemas lineales y no lineales:
• Si en un sistema todas la ecuaciones son polinómicas de grado 1,
se dice que es un sistema de ecuaciones lineales.
• En caso contrario se dice que el sistema es no lineal.

17. Número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales
5x + y = 13
x + y = 1
Es un sistema con solución única.
x + y = 1
x + y = 2
Es un sistema sin solución.
2x + 2y = 2
x + y = 1 Es un sistema con infinitas soluciones.
X
Y
x + y = 1
5x + y = 13
X
Y
x + y = 1 x + y = 2
X
Y
x + y = 1
2x + 2y = 2

18. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: método de Gauss
x + y - 2z = 9
2x - y + 4z = 4
2x - y + 6z = -1
⇔
x + y - 2z = 9
- 3y + 8z = -14
- 3y + 10z = -19
⇔
x + y - 2z = 9
- 3y + 8z = -14
2z = -5
⇔
(1ª ec) (–2) + 2ª ec
(1ª ec) (–2) + 3ª ec
(2ª ec) (–1) + 3ª ec
x = 9+2-5 = 6
y =
20 -14
-3
= -2
z =
-5
2
⇔
x = 6
y = -2
z =
-5
2
Se despejan
incógnitas hacia
arriba
x + y - 2z = 9
- 3y + 8z = -14
z =
-5
2
⇔⇔

19. Un sistema de ecuaciones lineales sin solución
x + y - 2z = 9
2x - y + 4z = 4
2x - y + 4z = -1
⇔
x + y - 2z = 9
- 3y + 8z = -14
- 3y + 8z = -19
⇔
x + y - 2z = 9
- 3y + 8z = -14
0 = -5
(1ª ec) (–2) + 2ª ec
(1ª ec) (–2) + 3ª ec
(2ª ec) (–1) + 3ª ec
La ecuación 0 = – 5 no puede satisfacerse y el sistema al que se ha
llegado no tiene solución. Como el sistema original es equivalente,
tampoco tiene solución.

20. Un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones
x + y - 2z = 9
2x - y + 4z = 4
2x - y + 4z = 4
⇔
x + y - 2z = 9
- 3y + 8z = -14
0 = 0
⇔
x + y - 2z = 9
- 3y + 8z = -14
(1ª ec) (–2) + 2ª ec
(1ª ec) (–2) + 3ª ec
• La ecuación 0 = 0 es siempre cierta y puede ser eliminada,
obteniéndose con ello un sistema equivalente al original. Al darle a z
un valor cualquiera (por ejemplo z = –1), podemos obtener las otras
incógnitas por sustitución hacia arriba: y =2, x = 5. Ya tenemos una
solución: x= 5, y = 2, z = –1
• Como a z se le puede dar cualquier valor concluimos que el sistema
tiene infinitas soluciones

21. Sistemas de ecuaciones no lineales
• No hay un método general que permita resolver todos los sistema de ecuaciones no
lineales.
• Pueden tener cualquier número de soluciones, en número finito o infinito.
• Las ecuaciones del sistema pueden representar rectas o curvas: resolverlo es
encontrar todos los puntos en común a las rectas – curvas que forman el sistema
X
Y
•
•
El sistema tiene dos soluciones:
• x = 3, y = 4
• x = 4, y = 3
Estas soluciones corresponden a las coordenadas de los dos
puntos en común que tienen la circunferencia x2
+ y2
= 25, y la
recta x + y = 7
x2
+ y2
= 25
x + y = 7
Ejemplo
• Se despeja y de la segunda ecuación y
se sustituye en la primera.
• Se obtiene: x2
– 7x + 12 = 0
• Al resolver: x=3, x = 4
• Sustituimos estos valores de x en la
segunda ecuación y se obtiene: y = 4, y
= 3

22. uaci
one
s
• Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones en la que
aparecen números y letras ligados por operaciones. Las desigualdades
pueden ser de cualquiera de los tipos: >, <, ≤, o ≥
• Las letras representan cantidades indeterminadas, y se llaman incógnitas.
• Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las
incógnitas de manera que, al sustituirlos en la inecuación, la desigualdad
sea cierta .
3x2
– 18x + 19 > 12x – 29
Incógnita Desigualdad
1er
miembro 2o
miembro

23. Inecuaciones equivalentes
• Dos inecuaciones son equivalentes si tienen la mismas soluciones.
• Transformaciones que conservan las soluciones de una inecuación.
 Si se suma o resta el mismo número a los dos miembros de una
inecuación se obtiene una inecuación equivalente.
 Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por
un mismo número positivo se obtiene una inecuación equivalente.
 Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por
un mismo número negativo y se invierte la desigualdad se obtiene
una inecuación equivalente.
Ejemplos:
• La inecuación 3x2
– 18x + 19 > 12x – 29 tiene una solución para x = 1.
• x = 2 no es solución de la inecuación anterior.
• Una inecuación equivalente a la anterior es x2
– 10 x + 16 > 0

24. Inecuaciones de primer grado
• Una desigualdad entre polinomios de primer grado es una inecuación de
primer grado.
• Puede ocurrir que:
 Se satisfagan para cualquier valor de la variable.
 No tengan solución.
 Las que no están en ninguno de los casos anteriores son
equivalentes a inecuaciones de la forma: x < a, x > a, x ≤ a, o x ≥ a
Ejemplos:
2x + 3 < 5x + 2 ⇔ x > 1/3
1/3
Soluciones: (1/3,+∞)
3 – 2x < 5 – 2x ⇔ 0 < 2
Como esto es siempre cierto, son son solución todos
los números reales. Soluciones: (–∞ ,+∞)
5 – 3x ≤ 2 – 3x ⇔ 3 ≤ 0 Como esto es siempre falso, la inecuación no tiene solución

25. Inecuaciones polinómicas
• Para resolverlas primero se transforma en una inecuación en la que un
miembro es 0
• Después se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del
miembro no nulo que dependerá del signo de los factores.
Ejemplo: 2x2
– 2x + 1 ≥ x2
+ 2x – 2 ⇔ x2
– 4x + 3 ≥ 0 ⇔ (x– 1) .
(x – 3) ≥ 0
x – 1
x – 3
(x – 1)(x – 3)
–
–
+
+
–
–
+
+
+
Soluciones: (–∞, –1] ∪ [1, + ∞)
31
Los puntos que son solución aparecen de color azul.

26. Inecuaciones racionales
• Para resolverlas primero se transforma en una inecuación en la que un
miembro es 0
• Después se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del
miembro no nulo que dependerá del signo de los factores.
• Los ceros de los polinomios denominador no son soluciones porque no es
posible la división por 0.
Ejemplo:
x – 4
x + 3 ≥0
4–3
x – 4
x + 3
(x – 4)/(x +3)
–
–
+
–
+
–
+
+
+
Los puntos que son solución aparecen de color azul.
Soluciones: (–∞, –3) ∪ [4, + ∞)