Inecuaciones con valor absoluto

1. Objetivos de la Lección
• Mostrar ejemplos de inecuaciones con
valor absoluto
• Conocer las propiedades para resolver
inecuaciones con valor absoluto
• Demostrar el proceso para resolver
inecuaciones con valor absoluto
• Mostrar ejemplos de inecuaciones con
valor absoluto
• Conocer las propiedades para resolver
inecuaciones con valor absoluto
• Demostrar el proceso para resolver
inecuaciones con valor absoluto

2. Ejemplos de Inecuaciones con
Valor Absoluto
• | 2x + 1| > -2
• | 3x - 2 | ≤ 12
• 4 | x + 5 | ≥ 8
• | x - 8 | < 20
2
• Observa que la variable está dentro del
valor absoluto en un lado de la
inecuación y al otro lado hay una
constante, o sea, un número.
• Observa que la expresión utiliza los
símbolos de desigualdad: >, <, ≥, ≤
• | 2x + 1| > -2
• | 3x - 2 | ≤ 12
• 4 | x + 5 | ≥ 8
• | x - 8 | < 20
2
• Observa que la variable está dentro del
valor absoluto en un lado de la
inecuación y al otro lado hay una
constante, o sea, un número.
• Observa que la expresión utiliza los
símbolos de desigualdad: >, <, ≥, ≤

3. Explorar cómo sería la solución
| x | < 2
 ¿Qué valores de x harían cierta la
ecuación?
 x = 1, 0, -1, ¼, ½, ¾, -¼, -½, -¾, ...
 ¿Qué valores de x harían falsa la
ecuación?
 x = 3, 4, -3, -4, 2, -2, mayores que 2,
menores que -2
 ¿Cuál sería la solución gráfica?
| x | < 2
 ¿Qué valores de x harían cierta la
ecuación?
 x = 1, 0, -1, ¼, ½, ¾, -¼, -½, -¾, ...
 ¿Qué valores de x harían falsa la
ecuación?
 x = 3, 4, -3, -4, 2, -2, mayores que 2,
menores que -2
 ¿Cuál sería la solución gráfica?
-3 -2 -1 0 1 2 3

4. Explorar cómo sería la solución
| x | > 2
 ¿Qué valores de x harían cierta la
ecuación?
 x = 3, 4, -3, -4, …
 ¿Qué valores de x harían falsa la
ecuación?
 x = 1, 2, -1, -2, menores que 2,
mayores que -2
 ¿Cuál sería la solución gráfica?
| x | > 2
 ¿Qué valores de x harían cierta la
ecuación?
 x = 3, 4, -3, -4, …
 ¿Qué valores de x harían falsa la
ecuación?
 x = 1, 2, -1, -2, menores que 2,
mayores que -2
 ¿Cuál sería la solución gráfica?
-3 -2 -1 0 1 2 3

5. Propiedades
• Propiedad de Menor que:
Si | x | < a, y a es positivo, entonces:
-a < x < a
• Propiedad de Mayor que:
Si | x | > a, y a es positivo, entonces:
x < -a ó x > a
Observa que para poder aplicar la propiedad
tienen que darse los dos supuestos:
1. El valor absoluto tiene que estar despejado.
2. El número a al otro lado de la desigualdad
tiene que ser positivo.
• Propiedad de Menor que:
Si | x | < a, y a es positivo, entonces:
-a < x < a
• Propiedad de Mayor que:
Si | x | > a, y a es positivo, entonces:
x < -a ó x > a
Observa que para poder aplicar la propiedad
tienen que darse los dos supuestos:
1. El valor absoluto tiene que estar despejado.
2. El número a al otro lado de la desigualdad
tiene que ser positivo.

6. Resuelve:
| x | + 5 < 8
| x | < 8 - 5
| x | < 3
• Ahora se puede aplicar la propiedad y
tenemos que la solución es:
-3 < x < 3
| x | + 5 < 8
| x | < 8 - 5
| x | < 3
• Ahora se puede aplicar la propiedad y
tenemos que la solución es:
-3 < x < 3

7. ¿Qué hacer si después de despejar se
obtiene un número negativo?
• Habría que resolverlo por lógica (no por
cómputos, ni aplicando la propiedad)
• Tendríamos que hacernos las siguientes
preguntas:
– ¿Cuándo es un valor absoluto menor que un
número negativo?
NUNCA
Esto significa que no tiene solución.
– ¿Cuándo es un valor absoluto mayor que un
número negativo?
SIEMPRE
Esto significa que la solución es todos los
números Reales
• Habría que resolverlo por lógica (no por
cómputos, ni aplicando la propiedad)
• Tendríamos que hacernos las siguientes
preguntas:
– ¿Cuándo es un valor absoluto menor que un
número negativo?
NUNCA
Esto significa que no tiene solución.
– ¿Cuándo es un valor absoluto mayor que un
número negativo?
SIEMPRE
Esto significa que la solución es todos los
números Reales

8. Ejercicio 1
• Resuelve: | x + 5 | ≤ 10
-10 ≤ x + 5 ≤ 10
-10 + - 5 ≤ x ≤ 10 + – 5
- 15 ≤ x ≤ 5
• La solución gráfica sería:
• Resuelve: | x + 5 | ≤ 10
-10 ≤ x + 5 ≤ 10
-10 + - 5 ≤ x ≤ 10 + – 5
- 15 ≤ x ≤ 5
• La solución gráfica sería:
-15 -10 -5 0 5 10 15

9. Ejercicio 2
• Resuelve: | -3x + 6 | > 18
-3x + 6 < -18 ó -3x + 6 > 18
-3x < -24 -3x > 12
x > 8 x < -4
• La solución gráfica sería:
• Resuelve: | -3x + 6 | > 18
-3x + 6 < -18 ó -3x + 6 > 18
-3x < -24 -3x > 12
x > 8 x < -4
• La solución gráfica sería:
-4 -2 0 2 4 6 8

10. Ejercicio 3
• Resuelve: | 2x | - 5 < 11
| 2x | < 16
- 16 < 2x < 16
- 8 < x < 8
• La solución gráfica sería:
• Resuelve: | 2x | - 5 < 11
| 2x | < 16
- 16 < 2x < 16
- 8 < x < 8
• La solución gráfica sería:
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

11. Ejercicio 4
• Resuelve: | x - 3 | ≥ -2
• Como el valor absoluto está despejado y al
otro lado hay un número negativo, nos
preguntamos: ¿Cuándo es un valor absoluto
mayor que un número negativo?
• Como la contestación es siempre, sabemos
que la solución es: Todos los números
Reales
• La solución gráfica sería sombrear toda la
recta numérica.
• Resuelve: | x - 3 | ≥ -2
• Como el valor absoluto está despejado y al
otro lado hay un número negativo, nos
preguntamos: ¿Cuándo es un valor absoluto
mayor que un número negativo?
• Como la contestación es siempre, sabemos
que la solución es: Todos los números
Reales
• La solución gráfica sería sombrear toda la
recta numérica.

12. Instrucciones
• Copia en tu libreta los ejercicios que
aparecen en la próxima pantalla.
• Resuelve las inecuaciones y traza la
gráfica de la solución.
• Después de hacer la tarea, recuerda
que si tienes preguntas o dudas puedes
comunicarte con la profesora o
plantear las dudas en el foro que estará
disponible para estos propósitos.
• Copia en tu libreta los ejercicios que
aparecen en la próxima pantalla.
• Resuelve las inecuaciones y traza la
gráfica de la solución.
• Después de hacer la tarea, recuerda
que si tienes preguntas o dudas puedes
comunicarte con la profesora o
plantear las dudas en el foro que estará
disponible para estos propósitos.

13. Resuelve y Traza la gráfica de la
solución
• | x - 2 | ≥ 3
• < 4
• | -2x + 2 | - 1 > 5
• | x - 7 | ≤ 5
2
• | -3x + 6 | + 8 > 1
• | 2x | + 5 < 3
2
3
5 
x
• | x - 2 | ≥ 3
• < 4
• | -2x + 2 | - 1 > 5
• | x - 7 | ≤ 5
2
• | -3x + 6 | + 8 > 1
• | 2x | + 5 < 3
2
3
5 
x