(1) El documento presenta un modelo sencillo de ingeniería financiera para cubrir el riesgo cambiario de una compañía estadounidense que necesita pagar 20 millones de euros en tres meses. (2) El modelo sugiere que la compañía compre opciones de cambio para fijar la tasa de cambio euro-dólar. (3) El modelo de Black-Scholes se usa para calcular el valor justo de las opciones en el presente basado en variables como la tasa de cambio spot, volatilidad y plazo.

1. Ingeniería Financiera: Una Breve Guía
FINANCIAL ENGINEERING: A BRIEF TUTORIAL
Ismael Torres-Pizarro, PE, Esq.
ABSTRACTO
Se trabaja un modelo sencillo pero con data real de ingeniería financiera en el mercado de
divisas internacional a modo de introducir el tema. El modelo concuerda muy bien con los
datos reales.
ABSTRACT
A simple international currency model with real data is detailed as a way to introduce the
field of financial engineering. The model‘s results agree with the actual data.
Introducción
Siempre he pensado que la mejor manera de entender un asunto muy complicado
teóricamente es haciendo ejemplos prácticos que demuestren lo que la teoría quiso
implicar. He querido hablar de un tema que me parece fascinante personalmente y está
muy al día: la aplicación de matemáticas avanzadas en los mercados financieros
internacionales también conocido como ingeniería financiera.
Pues como soy de los que dicen que voy a hacer y lo hago, empezaré por un
ejemplo. Supongamos que usted es el gerente de riesgo de una firma estadounidense con
negocios internacionales que ordenó la compra de una máquina de empaque alemana
que es manufacturada a la orden con un costo de €20,000,000.00 y estará lista para envío
en tres meses a partir de Junio 1, 2012. En septiembre 1, 2012 usted necesitará pagar esa
cantidad. De una simple búsqueda en internet (Yahoo finance, por ejemplo) podemos

2. encontrar que el “spot rate” era de 1.2419 $/€1
a las 19:30 horas del 1 de junio de 2012
(hora del este). El “spot rate” es la tasa de cambio inmediata; a esa hora, en ese instante
de tiempo, por cada euro que usted intercambiara por dólares recibiría 1.2419 USA
dólares. Esta cotización equivale a 0.8052 €/$. Si pudiera pagar su deuda en dólares en ese
mismo instante, necesitaría aproximadamente $24,838,000.00 (= €20, 000,000.00*1.2419
$/€) para saldar su equipo.
Lamentablemente no puede (ni debe) pagar por un equipo que ni siquiera está
disponible hoy y no sabe si estará en las condiciones adecuadas dentro de tres meses.
Suponga entonces que sí puede separar estos fondos ahora mismo en su firma, de modo
que al momento, saldar el compromiso no es problema; excepto que, ¿qué hago ahora
mismo con casi veinticinco millones de dólares o 20 millones de euros?
¿Qué tal si no hago nada y guardo el dinero en la caja fuerte de la firma? Pues si
las cosas no cambian, ok. En tres meses, usted va, entrega sus $24,838,000.00 en el
banco, a cambio le entregan €20,000,000.00, va y paga y ya. Pero eso, sabemos no es la
realidad.
Una posibilidad es que el dólar aprecie contra el euro y por cada dólar que usted
tiene le dan más euros en tres meses. Como el precio de venta (su necesidad de euros)
está fijo en €20,0000.00, si el dólar apreció, digamos a 1.200 $/€2
(equivale a 0.8333 €/$)
1
Los mercados financieros tienen sus reglas en cuanto a la forma de cotizar los productos financieros, forma
de los contratos y demás particularidades. La forma de cotizar varía de mercado en mercado.
2
Una firma estadounidense que tiene que pagar en euros, lo más probable es que tenga dólares disponibles
pero que necesite los euros; entonces, la tasa de cambio nueva sería para ellos el inverso de la dada
anteriormente, o sea, 0.8333 €/$. Esto es, por cada dólar que cambian le dan 0.833 euros ahora. Cuando la
tasa era de 1.2419 $/€, cuyo inverso es 0.8052 €/$; recibía menos euros por dólar que ahora (0.8052<

3. pues usted pagaría en septiembre solo $24 millones de dólares exactos (=
€20,000,000.00*1.200 $/€) y tiene un ahorro de $838 mil dólares. Pero si ocurre que
deprecia el dólar contra el euro (o sea, le dan menos euros por cada dólar); digamos a
1.2500 $/€3
(equivale a 0.8000 €/$), habría que buscar $162 mil dólares adicionales para
completar el pago (€20,0000.00*1.2500 $/€ = $25 millones de dólares exactos, pero yo
solo tengo $24,838,000.00). Es posible evaluar cada posibilidad utilizando cálculo
estocástico y técnicas de valor esperado; pero un gerente de riesgo de una firma de
manufactura está más concernido con mantener el riesgo a un mínimo y no con la
posibilidad de ganar dinero (especulando) en el mercado, por tanto el gerente tiende a
pensar en medidas de protección primordialmente.
Bueno, puede optar por comprar una opción financiera sobre euros para cubrir la
compra de euros. Esto es, guarda los dólares que va a necesitar para pagar y también
compra las opciones que le den derecho a comprar euros a cierta tasa de cambio por
dólares o vender dólares a cierta tasa de cambio por euros. En el mercado de divisas
internacional resulta que comprar una moneda X con otra Y, es lo mismo que vender la
divisa Y por X’s. Una rápida búsqueda en internet (Yahoo finance, por ejemplo) y
0.8333), de ahí que se diga que el dólar apreció en este ejemplo (compra mas “cosas” –i.e., “euros” - ahora
por dólar). Es equivalente decir que el dólar apreció (depreció) contra el euro que decir que el euro depreció
(apreció) con respecto al dólar.
3
De nuevo, lo más probable es que tengan dólares disponibles pero que necesiten los euros; entonces, la
tasa de cambio sería para ellos el inverso de la dada, 0.800 €/$. Esto es, por cada dólar que cambian le dan
0.8000 euros ahora. Cuando la tasa era de 1.2419 $/€, cuyo inverso es 0.8052 €/$, recibía más euros por
dólar que ahora (0.8052 > 0.8000), de ahí que se diga que el dólar depreció en este ejemplo (compra menos
“cosas” –i.e., “euros” - ahora por dólar).

4. obtenemos que podemos comprar4
en el “Philadelphia Stock Exchange” una opción de
“call5
” (derecho de comprar a precio cierto, llamado “strike price”- en este caso de 1.2700
$/€, o su equivalente ≈ 0.7874 €/$) por 0.0242€ cada una o una opción de “put6
” (derecho
de vender a precio cierto- en este caso de 1.2100 $/€, o su equivalente ≈ 0.8264 €/$) por
0.0870€ cada una dentro de tres meses (sept./1/2012)7
. Muy interesantemente resulta
ser en este caso que, el derecho de comprar (“call”) euros por $1.2700 dólares c/u, es lo
mismo que el derecho de vender dólares (“put”) a 0.7874€ c/u; este derecho me costaba
en ese momento, 0.0242€. Asimismo, el derecho de vender (“put”) euros a $1.2100
dólares, es lo mismo que el derecho de comprar dólares (“call”) a 0.8264€; este derecho
me costaba en ese momento, 0.0870€. Una opción “call” en una divisa es
simultáneamente una opción “put” en la otra. Como en este ejemplo estamos suponiendo
que la firma tiene dólares pero necesita euros, sólo nos fijaremos en la “versión” de
vender dólares a 0.7874€ c/u (cotizada como una opción “call” @ 0.7874€ c/u), que
además nos parece más intuitiva.
4
Usted puede vender o comprar un derecho; entonces hay cuatro posibilidades aquí: (1) compra el derecho
a comprar (compra un “call”) (2) vende el derecho a comprar (vende un “call”) (3) compra el derecho a
vender (compra un “put”) (4) vende el derecho a vender (vende un “put”). Esto es equivalente a: (1) compra
un “call”: si me conviene, hago efectivo mi derecho y quien me vendió ese derecho está obligado a
venderme al precio predeterminado – compro “calls” si entiendo que el objeto de mi interés va a subir de
precio y deseo comprarlo barato (2) vende un “call”: con el mero requerimiento de la contraparte, vengo
obligado a vender al precio predeterminado – vendo “calls” si entiendo que el objeto de mi interés NO va a
subir de precio y por tanto, lo que cobre por vender el derecho me lo gano limpio pues la contraparte no va a
ejercer tal derecho (3) compra un “put”: si me conviene, hago efectivo mi derecho y quien me vendió ese
derecho está obligado a comprarme al precio predeterminado – compro “puts” si entiendo que el objeto de
mi interés va a bajar de precio y deseo venderlo caro (4) vende un “put”: con el mero requerimiento de la
contraparte, vengo obligado a comprar al precio predeterminado - vendo “puts” si entiendo que el objeto de
mi interés NO va a bajar de precio y por tanto, lo que cobre por vender el derecho me lo gano limpio pues la
contraparte no va a ejercer tal derecho.
5
Hull (2011).
6
Hull (2011).
7
Hemos de notar que esta última es más cara pues me da el derecho a vender más caro, en el mismo
periodo de tiempo.

5. Si la opción solo se puede ejercer el día exacto del vencimiento se llama opción
Europea; si puede ejercerse en cualquier momento hasta ese día, se llama opción
Americana8
. Esos nombres nada tienen que ver con lugar alguno y tanto el “call” como el
“put” que fueron descritos aquí forman sus versiones más simples, llamadas “plain vanilla
options”9
.
Tenemos entonces que un “plain vanilla call option” Europea con precio de 0.0242
€ y vencimiento en tres meses y “strike price” de 1.2700 $/€ (equivalente ≈ 0.0.7874 €/$)
es el derecho de intercambiar cada euro por 1.2700 dólares el día del vencimiento y no
antes10
; derecho por el cual pago ahora 0.0870€ y que no tengo que ejercer si no me
conviene llegado el día. Si fuera Americana, podría intercambiar mis dólares en cualquier
momento que me conviniera hasta el día del vencimiento; es fácil ver, entonces que la
opción Americana vale más que la opción Europea pues el derecho que da es más amplio.
Ahora bien, una opción me puede dar el derecho de intercambio (compra o venta,
etc.) de más de una moneda a la vez; esto se llama el tamaño del contrato. Algunas
opciones están estandarizadas; por ejemplo, por cada opción de este ejemplo, puedo
intercambiar 10,000 euros11
. Por tanto, sólo necesitaría tener 2,000 opciones para los
propósitos de este ejemplo. Y, ¿cómo hago ahora? Bueno, veamos una tablita:
20,000,000.00 €
10,000.00 € /opción
8
Nefcti (2000).
9
Nefcti (2000).
10
Equivale, en el caso de la firma estadounidense, a fijar el intercambio a razón de ≈ 0.7874 euros por cada
dólar disponible. Esto implica que el pago por el equipo no será mayor de $25,400,000.00
(€20,0000.00*1.2700 $/€) más el costo de la opción.
11
Antes eran 62,500 euros por tamaño de contrato.

6. necesito= 2,000 opciones
HOY (Precio intercambio divisa)
1-Jun-12 1.2419 $/€ ≈0.8052€/$
OPCIÓN
“strike Price” en
3 meses
Costo/opción
Hoy
1-Sep-12 “call” 1.2700$/€ ≈0.7874€/$ 0.0242€
“put” 1.2100$/€ ≈0.8264€/$ 0.0870€
La tabla de la próxima página resume todo esto. El problema reside en que no
sabemos si el dólar va a apreciar o depreciar en el futuro y si el valor presente de esa
opción (digamos por ejemplo el precio del “call”, 0.0242€) es bueno o no. Existen dos
modelos que nos pueden dar una idea: si el tiempo es discreto, el modelo binomial nos da
una buena aproximación al valor presente de una opción Europea o Americana pero
requiere el uso de simulación de computadoras; si el tiempo es considerado una variable
continua12
, el modelo desarrollado por Black-Scholes resuelve la ecuación diferencial
estocástica resultante, pero está limitado a la opción Europea.
12
Esto es, “continuous compounding”

9. Black-Scholes
A modo de ejemplo, el modelo de Black-Scholes13
es como sigue:
donde,
S: valor “spot price” de la opción en tres meses
K: valor futuro “strike price” de la opción
N(d1): probabilidad bajo la distribución normal estándar asociada con S14
N(d2): probabilidad bajo la distribución normal estándar asociada con K
r: tasa de interés “libre de riesgo”
: tiempo transcurrido, en años
y,
Donde, en adición a las variables ya explicadas; aparece la variabilidad del precio
del activo a considerar (en este caso, el euro), Los valores de estas variables pueden ser
encontrados en los diversos sistemas de data financieros disponibles.
13
Hull (2011) & Necfti (2000).
14
N(d1) & N(d2) son las probabilidades de que la opción se ejerza (o sea, que el precio del mercado del euro
suba por encima del precio de “strike”); a esto le llaman que la opción esté “in the money” en
contraposición a que el precio nunca suba y se deje expirar la opción sin ejercer, o sea, la opción esté “out of
the money” (Hull, 2011). Ambas son probabilidades condicionales en el sentido de la teoría de la medición
estocástica (“stochastic measurement theory”). Como nota adicional, fíjese que d1 & d2 son valores “zetas”
de la distribución estándar.

10. Para seguir con el ejemplo, la opción de “call” está hoy valorizada en 0.0242€.
Suponiendo que tenemos la siguiente información: en tres meses la tasa de cambio
resulta ser 1.2500 $/€ (el “spot price” S, es ese momento futuro igual a 0.8000 euros por
dólar); tenemos fijado el valor de cambio a 1.2700 $/€ (el “strike price” K, es 0.7874 euros
por dólar). De Junio 1 a septiembre 1 hay exactamente 92 días (  = 92/365 ≈ 0.252054795
años). La tasa anual “libre de riesgo” puede ser aproximada (en la práctica, es lo típico)
por la tasa de cambio a tres meses de los eurodólares, digamos 1.71% según pudimos
obtener para la fecha y la volatilidad (i.e., variabilidad o desviación estándar) estimada
cerca del 9.0 % (obtenida del Federal Reserve Bank of New York; www.ny.frb.org).
Con dichos valores, resolvemos para d1 & d2
15
:
d1≈ {ln((1/1.2500)/(1/1.2700)*exp(-1.71%*0.252054795)}/{0.09*0.252054795^.5)
+.09*0.252054795^.5/2)
d2≈ d1 -0.09*0.252054795^.5
d1≈ 0.4693
N(d1)≈ 0.6806
d2≈ 0.4241
N(d2)≈ 0.6643
15
Notar que hay que usar los valores euros por dólares, pues la opción está cotizada en euros.

11. Por tanto, para obtener el valor presente del precio de la opción de “call”
sustituimos en:
16 17
(1/1.2500*0.6806)–(1/1.2700)*0.6643*exp(-1.71%*0.252054795) ≈ 0.0237€.
Teniendo en cuenta que el valor real del mercado es 0.0242€, entendemos que
tenemos una buena aproximación con este modelo.
Modelo binomial18
Como dice su nombre, este modelo trabaja con 2 estados futuros: “up (u) and
down” (d). Para cada uno las fórmulas son:
19
Donde sigma y t están definidas como antes pero el delta, , es la cantidad
de períodos que se van a dividir el tiempo (digamos que 1220
, entonces como t ≈
0.252054795 queda t/12 ≈ 0.0210) para evaluar los precios (“time steps”).
En este caso tenemos que:
16
Hull (2011) & Necfti (2000).
17
Notar que esto no es más que estimar el valor presente esperado de dicha opción, dado que es
el valor esperado del precio de los euros dado que dicho precio resulte por encima del “strike price” y
, no es otra cosa que el valor esperado al día de hoy (valor presente del valor esperado) del
costo de ejercer la opción dado que el precio de la misma precio resulte por encima del “strike price”. Otra
forma de decirlo sería, lo que vale la compra menos lo que me cuesta comprarla => es su ganancia (o
pérdida) neta; entonces, el precio de la opción al valor de hoy es siempre estimado para que sea un precio
justo.
18
Bjork (1999)
19
Hull (2011) & Necfti (2000).
20
Es un número arbitrario para propósitos de este ejemplo; en la práctica, la computadora puede
subdividirlo en miles si así se desea, pero los cálculos tardan mientras más divisiones se le den a veces sin
tener gran cambio en la aproximación.

12. u= 1+.09*(0.0210) ^.5 ≈ 1.0130
&
d= 1/u ≈ 1/1.0130 ≈ 0.9871
Ahora bien, empezando desde el momento cero, donde me dan 0.8000 euros por
dólar (=1/1.2500 $/€) este modelo postula que pueden pasar dos cosas en el próximo
momento 1; sube el precio a S(1)u≈ 0.8104€ (=S(0)*u ≈ 0.80*1.0130) o baja el precio a
S(1)d≈ 0.7897€ (=S(0)*d ≈ 0.80*0.9871). Del momento 1 al momento 2 pueden ocurrir
entonces 4 cosas, I) si subió a S(1)u≈ 0.8104€ puede volver a IA) subir a S(2)uu≈ 0.8210€
(=S(1)u*u ≈ 0.8104*1.0130) ó IB) puede bajar a S(2)ud≈ 0.8000€ (=S(1)u*d ≈
0.8104*0.9871); II) si bajó a S(1)d≈ 0.7897€ puede IIA) subir a S(2)du≈ 0.8000€ (=S(1)d*u ≈
0.7897*1.0130) 21
ó IIB) puede volver a bajar a S(2)dd≈ 0. 0.7795€ (=S(1)d*d ≈
0.7897*0.9871).
Entonces el estado 3, tendrá ocho posibilidades de las cuales sólo cuatro son
distintas etc. etc. y ese es el árbol binomial que se extiende por las 12 divisiones (estados
del sistema) del tiempo de duración de la opción de tres meses.
Una vez se llega al final de ese árbol; se procede desde ahí hacia el principio para
estimar el precio de la opción al día de hoy en la parte inferior de la tabla. Para ilustrar
esto, tomemos por ejemplo el último valor (momento 12) de los dólares; si hay una
corrida de 12 “ups” exactamente resulta en 0.9346€; como este valor es mayor que el
precio al que puedo comprar (recordar que estamos ilustrando con un “call option”), que
es de 0.7874€, pues compro a este precio menor y los vendo en el mercado al precio
21
Notar que Sdu= Sud.

13. mayor; obtengo una ganancia de la diferencia entre ellos; 0.9346€ - 0.7874€ ≈ 0.1472€;
este valor corresponde al valor de la opción en ese caso. Ahora bien, yo llegué a ese punto
desde el momento 11 donde hubo exactamente 11 “ups”; este es el punto donde los
dólares valían 0.9226€ pero pudieron ir abajo a 0.9107€ (esa corrida hubiera sido 11 “ups”
y un “down”; note que hay varias formas de llegar a ese punto). En ese otro punto, el valor
de la opción hubiera sido: 0.9107€ - 0.7874€ ≈ 0.1233€.
Como desde ese momento 11 había dos posibles valores futuros para la opción, el
valor para la opción en ese momento 11 es el promedio pesado del valor presente
(“weighted average present value”) de ambas posibilidades22
del momento 12.
Para estimar este valor, es necesario obtener la probabilidad de que suba
(llamemos, p) o baje (llamemos, q = 1-p; por ser el modelo binomial) y traerlo al valor
presente con una tasa de interés de descuento. Las fórmulas son23
:
Donde r’ es la tasa de descuento por periodo (r’= r *
0.00036). Tenemos entonces que la probabilidad estimada de que el precio suba en el
próximo periodo, p ≈ (exp(0.00036)- 0.9871)/( 1.0130-0.9871) ≈ 0.5106; por tanto q=1-p ≈
0.4894 es nuestro estimado de que el precio baje en el próximo período.
El vector de probabilidad P ≈ [0.5106, 0.4894] sopesará el valor presente de las dos
posibilidades en el próximo periodo, a saber:
22
Valor presente esperado.
23
Hull (2011) & Necfti (2000).

14. Valor de la opción “call” en el momento 11 con exactamente 11 “ups”≈
*[0.5106, 0.4894] ≈ 0.1355. De igual forma, el valor de la opción “call” en el
momento 11 con exactamente 10 “ups” y un “down” ≈ *[0.5106, 0.4894]
≈0.1119 y así sucesivamente en dirección hacia el momento cero (momento actual),
donde se encuentra entonces que el valor del “call option” ≈ 0.0239€. Comparándolo con
el valor real de 0.0242€, entendemos que tenemos otra muy buena aproximación con este
modelo.

17. CONCLUSIÓN:
El mercado valora el precio de las opciones a través del mecanismo de oferta y
demanda; los modelos binomial y de Black-Scholes son aproximaciones muy buenas para
determinar si le mercado ha estimado dicho precio correctamente. En este ejemplo, el
mercado valoriza el precio de la opción de “call” en 0.0242€ y ambos modelos dan unos
valores aproximados a ese precio muy cercanos (0.0237€ en el binomial y 0.0239€ con
Black-Schole); de ahí que concluíamos que concuerdan muy bien con los datos reales. El
mercado internacional de divisas requiere personas con entrenamiento matemático
intenso y extenso, el uso de computadoras así como práctica; la ingeniería financiera
provee un campo de trabajo muy cotizado hoy en día y nuestros profesionales de la
ingeniería tienen el entrenamiento clásico avanzando en matemáticas para obtener
mucha satisfacción desempeñándose exitosamente en la misma.
Referencias:
Bjork, T.: Arbitrage Theory in Continuous Time, 2nd edition, Oxford University Press, 1999
Hull, J. “Options, Futures, and Other Derivatives”. 8th ed. Prentice Hall, 2011.
Neftci. S. “Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives", 2nd ed. Academic
Press, 2000.

18. Sobre el autor:
ISMAEL TORRES-PIZARRO, PE, Esq.
642 Domingo Cruz, Villa Prades San Juan, PR USA 00924
Cel (787) 315-5636. E-Mail: ismaeltorres2002@yahoo.com
Mr. Torres-Pizarro is a professional engineering (PE) and a member in good
standing of the “Colegio de Ingenieros & Agrimensores de PR”. He has more than 15 years
of experience in the PR pharmaceutical industry as engineer and engineering manager.
The author is currently a lawyer practicing law as a solo practitioner and teaching
MBA finance courses while finishing the PhD in finance.
Solicitud de Publicación
Fecha: 4 de junio de 2012
Yo Ismael Torres-Pizarro, por la presente certifico:
1. Soy el autor del artículo técnico titulado: Ingeniería Financiera: Un Breve Tutorial
2. Tengo todos los derechos de autor de dicho artículo.
3. Por este medio solicito que el referido artículo sea publicado en la revista Dimensión del
Colegio de Ingenieros y Agrimensores de Puerto Rico.
Firmado:
ISMAEL TORRES-PIZARRO ___________________________________
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