Me gustan las matemáticas, es como un jueguito. A veces, uno se pone a jugar y encuentra detalles que quisiera compartir. El cálculo de la cuota viudal usufructuaria es de interés, por las implicaciones tal vez importantes que pudiera tener. Supongamos a modo de limitar el estudio que el caso a estimar es una viuda de 68 años con 2 hijos del mismo matrimonio cuyo esposo al morir deja un caudal de $953,466.24. Existen calculadoras muy buenas que para algunos podrían ser un salvavidas casi irremplazable1. Para este ejemplito, la calculadora utiliza como aproximación la fórmula para el cálculo de valor presente:

1. 171 REV. COL. ABOG. PR VOL. 71 NÚMS. 1-2 (2010)
Introducción.
Me gustan las matemáticas, es como un jueguito. A veces, uno
se pone a jugar y encuentra detalles que quisiera compartir. El
cálculo de la cuota viudal usufructuaria es de interés, por las im-
plicaciones tal vez importantes que pudiera tener.
Supongamos a modo de limitar el estudio que el caso a estimar
es una viuda de 68 años con 2 hijos del mismo matrimonio cuyo
esposo al morir deja un caudal de $953,466.24.
Existen calculadoras muy buenas que para algunos podrían ser
un salvavidas casi irremplazable1
.
Para este ejemplito, la calculadora utiliza como aproximación
la fórmula para el cálculo de valor presente:
[El artículo incluye tres apendices: “Tabla de Expectativa de Vida 2004-2006”;
“Tabla de Factores 6%” y “Tabla de Factores 4.5%” que se pueden accesar en la
pagina http://www.hacienda.gobierno.pr/ ]. El Editor.
1
Yo personalmente uso la de la Asociación de Notarios (www.anotapr.org), que
encuentro muy, muy buena y para propósitos de este articulo será mi “bench-
mark”. Es importante notar que existe la misma página una advertencia de que
“La calculadora se ofrece para fines educativos y como ejemplos de los posibles
cálculos. Deberá usarse únicamente para fines ilustrativos, y bajo su propia re-
sponsabilidad”. Entonces, este artículo es precisamente uno al que podemos
usarla sin tener mayores preocupaciones. Además, sabido es que el notario no
puede renunciar a la responsabilidad de su trabajo.
Lcdo. Ismael
Torres-Pizarro
Apuntes sobre cuota
viudal usufructuaria
, ,
Nota: La tabla de
expectativa de vida
se puede accesar
en el portal de la Asociación de Notarios;
las tablas del 6% & 4.5% no; pero se pueden
buscar en cualquier texto de finanzas
básicas, ver referencias.
VER NOTA ARRIBA

2. 2
Ismael Torres-Pizarro
Valor Presente=anualidad*{1/i-1/(i*(1+i)^n )}
Donde i = 6%2
, y n es el número de pagos (años) que habría
que pagar dicha anualidad. Como tratamos aquí con la intención
de conseguir cual es el equivalente matemático al día de hoy de
dicha serie de pagos; resulta que es un problema realmente esto-
cástico en naturaleza, pues no sabemos a ciencia cierta cuando la
viuda va a morir. Para estimar esto, tomamos en cuenta la esperan-
za de vida de la viuda (o viudo o persona designada como tal en
el testamento, según sea el caso). Para esto debemos suponer más
aun, que le viudo cuando nos dice la edad es como si la acabara
de cumplir hoy; entonces, se simplifica un poco el problema ma-
temático si utilizamos las tablas de esperanza de vida. Estas tablas
nos dicen cuanto, en promedio3
, le queda de vida a una persona
de determina rango de edades. La cosa no es tan simple como
parece, pues para hacer un buen estimado, las tablas solo nos dan
un rango. Para esto podemos refinar el mismo utilizando el proce-
dimiento matemático de la interpolación.
Aun así, y el mayor motivo para escribir este articulo es que…
bueno, cuando se usa una fórmula hay que saber usarla primero.
La fórmula para estimar el valor presente de una anualidad está
hecha bajo la suposición que el mal llamado numero de años, no
es tal sino es que eso el número de pagos. O sea, que n en esta
fórmula tiene que ser entero. Usar un número como por ejemplo
20.81 no está permitido en esta fórmula...pues no hay tal cosa
como 20.81 pagos. Usted, o paga o no paga, y eso es la realidad, es
un valor entero4
.
Por tanto, si utilizamos la fórmula con i=6% y n=20.81 (que es
2
El uso de esta tasa de interés fijo no tiene, en mi opinión, razón de ser alguna excepto
que es la que se usa porque es la que se ha usado siempre. Hasta donde he podido ave-
riguar, se fijó a 6% en Nilda Pinto Vda de Giol, un caso del 1969 donde el interés legal
era 6%. Queda pues, que en una rápida visita al portal del Comisionado de Instituciones
financieras, el nuevo interés a usar lo sería 4.25% hasta Junio 30 de 2012.
3
El concepto de promedio es bien conocido pero muy mal entendido.
4
La confusión ocurre por llamarle al número de pagos “años”, entonces se piensa que
se puede usar un número decimal; pero esto se aclara cuando recordamos que esta es la
fórmula es la que se usa para estimar el pago mensual de un préstamo hipotecario; en esa
otra aplicación de la misma fórmula...si el préstamo es a 30 años, se multiplica por 12 y
se usa para los cálculos 360 meses, que es en realidad el número de pagos.
,
,

3. 372 REV. COL. ABOG. PR VOL. 72 NÚMS. 2 (2011)
Apuntes sobre la cuota viudal usufructuaria
el valor de la “Tabla de Exoectativa de Vida 2004-2006” genero-
samente provista por la Asociación de Notarios de Puerto Rico,
incurrimos en un gran error de cálculo por la unión de todas estas
causas.
En este caso, la anualidad a pagar es estimada a base del 6%5
del valor que se saca al calcular6
y resulta en $211,881.39; valor del
cual al multiplicar por 6% nos queda la anualidad de $12,712.88.
La tabla de expectativa de vida media más reciente disponible nos
da para una mujer de 68 años, el rango de 65 a 70 años es una
expectativa de vida de 20.81 años.
Valor Presente=$12,712.88*{1/0.06-1/(0.06*(1+0.06)^20.81 )}
El valor entre corchetes es ≈ 11.70949803; al que le llama-
ríamos el factor de anualidad. Que nos daría el estimado de valor
presente ≈ $148,861.48 (≈$12,712.88* 11.70949803).
Tenemos, sin embargo, que:
a) El valor de 20.81 no se puede usar directamente pues no es
un número entero. El hecho que se pueda usar en la formula, no
es razón válida para usarlo. La formula también permite que usted
utilice, por ejemplo, n= -1 (o sea pagar ANTES DE MORIR) y
eso no tiene sentido.
b) De hecho, lo más correcto sería interpolar pues el valor que
se obtiene la la tabla es el valor para el comienzo del intervalo; esto
es, para el intervalo de edad 0 a 1 varones el número 74.05 indica
el valor media de vida para un recién nacido; el próximo intervalo,
1 a 5, con el valor de vida media de 73.77 indica el tiempo que en
promedio le queda a un bebe varón de un año recién cumplido.
c) El procedimiento se ilustra a continuación para el caso de la
viuda del ejemplo original. El valor del intervalo 65-70 es 20.81 y
corresponde al comienzo de ese intervalo, o sea está asociado con
5
De nuevo.
6
Los Art. Del CC: En una opinión totalmente non sequitur del tema; ya es
hora de que este cálculo totalmente arbitrario se elimine. Si los hijos tiene el
mismo “valor” porque es distinto cada vez la manera, dependiendo si son hijos
de otro matrimonio o no etc. etc.??? Me parece que eso es un rezago de aquella
época antigua. Sería, tal vez, más fácil declarar la viuda heredera forzosa que
concurre en igualdad de condiciones con los hijos del causante y ya está.

4. 4
Ismael Torres-Pizarro
el número de años = 65; el valor del intervalo 70-75 es 16.89 y
corresponde al comienzo de ese intervalo, o sea está asociado con
el número de años = 70. 68 está entre 65 y 70.
65 20.81
68 ?
70 16.89
68-65= 3 X?-20.81
70-65 5 -3.9216.89-20.81
x
3/5= 0.6 -3.92
6*(-3.92)= -2.352
x
Por tanto x= 2.352
x=? -20.81
por tanto ? = -2.352+20.81
?= 18.458
Lo que deja meridianamente claro que, no solo utilizar el valor
del intervalo esta incorrecto conceptualmente (por ser un número
no-entero); sino que además, es probable que sobreestime el nú-
mero de pagos.
En alguna otra ocasión podríamos discutir sobre como traba-
jar el peliagudo asunto de que el valor promedio de la vida no es un
número entero7
; por el momento me parece que un procedimiento
bastante aceptable lo seria utilizar las reglas básicas de redondeo.
O sea, el pago de 20.81 se redondearía a 21 y el pago de 18.458 se
redondea a 18.
Esto nos da que el número de pagos de la anualidad a una tasa
de 6% es 18 en este ejemplo y el factor a multiplicar la anualidad
es: 10.82760348
El valor presente de la cuota viudal usufructuaria≈ $137,650.06
Esto implica que los cálculos que hacemos hoy en día darían
un sobrepago de $11,211.42
7
Habrá que ir a la distribución de donde los estiman; sabiendo de antemano que es co-
rrecto que el tiempo es una variable continua (o sea, una variable que se mide como tam-
bién lo son la temperatura, la presión, etc.) y por tanto un valor de, por ejemplo, 20.81
es un valor correcto y nuestro error consiste en que lo estamos utilizando para calcular el
número de pagos que se van a hacer, que es, claro está, una variable discreta!!! (o sea una
variable que se cuenta como por ejemplo el número de sillas en un salón, el número de
personas que atiendo en una hora, etc.).

5. 572 REV. COL. ABOG. PR VOL. 72 NÚMS. 2 (2011)
Apuntes sobre la cuota viudal usufructuaria
El otro problema es de más fácil solución; perpetuamos el uso
del 6% tal cual fuera un número mágico; si mas correctamente
(desde el punto de vista de negocios) utilizáramos la tasa de inte-
rés que el Comisionado de Instituciones Financieras estima para
el interés legal (hasta Junio 30,2012 es de 4.5%) obtendríamos
que la anualidad a pagar es mucho menor8
, (4.5% de $211,881.39
≈) $9,534.66 y el factor asociado a ese interés para 18 años es
12.15999; resultando un valor presente de $115,941.42 (esto es,
un sobrepago de $32,920.06�.
Conclusión.
Para aplicar el derecho correctamente es importante conocer
el cómo y porque de algunas fórmulas matemáticas que a veces,
complicadas y oscuras pueden traer que se perpetúen situaciones a
través de los años que no sean justas para las partes.
Referencias.
Blank, L. & Tarquin, A. (2002). “Engineering Economy”. 5 Ed. McGraw-
Hill. NY, NY
Brigham E. F. (2010). “Financial Management: Theory & Practice”. 13h
Ed. South-Western College Publishing. Forth-Worth TX.
Muñiz Belbrú, Juan. (1997). “Herencia: El Usufructo Viudal (Determina-
ción & Liquidación)”. Ponce PR
González Tejera, Efraín. (2001). “Derecho De Sucesiones”. Editorial Uni-
versidad de Puerto Rico. San Juan PR.
Silva-Ruiz, Pedro F. (1992).“Derecho de Sucesiones”. LEXIS Law Publis-
hing Charlottesville, Virginia.
Vázquez González Ángel A. (1988). “Como se hereda en Puerto Rico:
Orientación Practica”. San Juan PR.
Vélez Torres, José Ramón (1997). “Curos de Derecho Civil: Derecho de
Sucesiones”. Tomo IV Vol. III. (Primera re-impresión). Universidad Interame-
ricana de Puerto Rico, Facultad de Derecho. San Juan PR.
8
Que, dicho sea de paso...me parece es otro error conceptual utilizar el concepto de
costo capitalizado aquí…pues implica que la anualidad se paga hasta el infinito.

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Ismael Torres-Pizarro

7. 772 REV. COL. ABOG. PR VOL. 72 NÚMS. 2 (2011)
Apuntes sobre la cuota viudal usufructuaria

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Ismael Torres-Pizarro
Solicitud de Publicación
Fecha: 5 de junio de 2012
Yo Ismael Torres-Pizarro, por la presente certifico: