Integrales indefinidas

1. MATEMÁTICA 2: Horario 201
Semestre 2023 - 2
Semana 11
Integrales Indefinidas
Pontificia Universidad Católica del Perú
Estudios Generales Letras
2023 - 2
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2. Gráficos de funciones
Ejemplo
Bosqueje el gráfico de la función f (x) =
x2 − 4
x2 + 1
Considerando: Dominio, intersecciones con los ejes, ası́ntotas,
intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos,
intervalos de concavidad y puntos de inflexión.
Solución: Dom (f ) = R.
Intersecciones con los ejes
x = 0 ⇒ y = −4 ⇒ (0, −4)
y = 0 ⇒ x = ±2 ⇒ (2, 0) y (−2, 0)
Ası́ntota vertical: No tiene
Ası́ntota horizontal
lim
x→+∞
f (x) = lim
x→+∞
x2 − 4
x2 + 1
= lim
x→+∞
x2 1 − 4
x2
x2 1 + 1
x2
= 1
Análogamente cuando x → −∞. La ası́ntota horizontal es y = 1.
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3. Intervalos de crecimiento, de decrecimiento y extremos relativos
f ′
(x) = 10
x
(x2 + 1)2
f ′
(x) = 0 ⇒ x = 0
Signos de f ′
(x) ........ − .......0......... + ............
La función decrece en ]−∞, 0[ y crece en ]0, +∞[.
f (0) = −4 es un minimo relativo.
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4. f ′′
(x) =
10
(x2 + 1)3
1 − 3x2
.
f ′′
(x) = 0 ⇒ x = ±
√
3
3
.
Signos de f ′′ (x)
.......−...........−
√
3
3
.............+.............
√
3
3
...........−...............
El gráfico es cóncavo hacia abajo en
i
−∞, −
√
3
3
h
y en
i√
3
3 , +∞
h
.
El gráfico es cóncavo hacia arriba en
i
−
√
3
3 ,
√
3
3
h
.
−
√
3
3 , f
−
√
3
3
=
−
√
3
3 , −11
4
y
√
3
3 , f
√
3
3
=
√
3
3 , −11
4
son puntos de inflexión.
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5. −6 −4 −2 2 4 6
−6
−4
−2
2
4
6
y = 1
x
y
Gráfica de f (x)
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6. Ejemplo
Bosqueje el gráfico de la función
f (x) =
x4
8 − x3
Considerando: Dominio, intersecciones con los ejes, ası́ntotas,
intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos,
intervalos de concavidad y puntos de inflexión.
Solución:
Dom (f ) = R − {2}
Intersecciones con los ejes (0, 0).
Posible Ası́ntota Vertical: x = 2
lim
x→2+
x4
8 − x3
= −∞
lim
x→2−
x4
8 − x3
= +∞
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7. Ası́ntota Oblicua
y = mx + b
m = lim
x→+∞
f (x)
x
= lim
x→+∞
x4
8−x3
x
= lim
x→+∞
x4
8x − x4
= lim
x→+∞
x4
x4 8
x3 − 1
= −1
b = lim
x→+∞
(f (x) − mx) = lim
x→+∞
x4
8 − x3
+ x
= lim
x→+∞
8x
8 − x3
= lim
x→+∞
8
x2 8
x3 − 1
= 0
y = −x
Análogamente cuando x → −∞.
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8. f ′
(x) =
4x3 8 − x3
− x4 −3x2
(8 − x3)2
f ′
(x) =
x3 32 − 4x3 + 3x3
(8 − x3)2
f ′
(x) =
x3 32 − x3
(8 − x3)2
Puntos crı́ticos
f ′
(x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2
3
√
4
f ′
(x) ∄ ⇔ x = 2 /
∈ Dom (f )
f ′
(x) .........− ↘ .........0....+ ↗ ....2.....+ ↗ .....2
3
√
4........− ↘ .......
f (0) = 0 es mı́nimo relativo
f
2
3
√
4
=
64 3
√
4
−24
= −
8 3
√
4
3
es máximo relativo
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9. f ′′
(x) =
96x2 − 6x5
8 − x3
2
− 32x3 − x6
2 8 − x3
−3x2
(8 − x3)4
f ′′
(x) =
8 − x3
96x2 − 6x5
8 − x3
+ 6x2 32x3 − x6
(8 − x3)4
f ′′
(x) =
6x2
16 − x3
8 − x3
+ 32x3 − x6
(8 − x3)3
f ′′
(x) =
6x2
128 − 16x3 − 8x3 + 32x3
(8 − x3)3
f ′′
(x) =
48x2
x3 + 16
(8 − x3)3
9 / 21

10. f ′′
(x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = −2
3
√
2
f ′′
(x) ∄ ⇔ x = 2 /
∈ Dom (f )
f ′′
(x) ..... − .... − 2
3
√
2...... + .......0..... + ....2..... − .......
El gráfico de f es cóncavo hacia abajo en
i
−∞, −2
3
√
2
h
, ]2, +∞[
El gráfico de f es cóncavo hacia arriba en
i
−2
3
√
2, 2
h
P −2
3
√
2,
4 3
√
2
3
!
es punto de inflexión
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11. −8 −6 −4 −2 2 4 6 8
−8
−6
−4
−2
2
4
6
8
x = 2
x
y Gráfica de f (x)
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12. Integrales Indefinidas
Se sabe que si f es derivable en un intervalo I entonces
dy = f ′
(x) dx
Ejemplo
Si y = f (x) = x2, x ∈ R ⇒ dy = 2xdx, para todo x ∈ R
Ahora se quiere estudiar el proceso inverso al anterior
Ejemplo
Dado
dy = 3x2
dx, para todo x ∈ R, halle y = f (x) .
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13. En este caso
y = F1 (x) = x3
, x ∈ R
También
y = F2 (x) = x3
+ 5, x ∈ R
y = F3 (x) = x3
− 4, x ∈ R
En general
y = F (x) = x3
+ C, x ∈ R
cumplen la condición dada.
Las funciones F1 (x), F2 (x), F3 (x) y F (x) se llaman antiderivadas
de la función f (x) = 3x2 en R.
La función y = F (x) también se llama antiderivada general de f
en R.
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14. Definición
La integral indefinida de la función f (x) en el intervalo I se denota
por
R
f (x) dx y se define como la antiderivada general de f en I,
es decir
Z
f (x) dx = F (x) + C ⇔ F′
(x) = f (x) , para todo x ∈ I.
Ejemplo
Calcule Z
4x3
+ 2x − 1
dx
Solución:
Z
4x3
+ 2x − 1
dx = x4
+ x2
− x + C
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15. Integrales Elementales
1
R
dx = x + C
2
R
xndx =
xn+1
n + 1
+ C si n ̸= −1
3
R 1
x
dx = ln |x| + C
4
R
ex dx = ex + C
5
R
ax dx =
ax
ln (a)
+ C, a es constante positiva, a ̸= 1.
Ejemplo
Z
x
5
2 dx =
x
7
2
7
2
+ C =
2
7
x
7
2 + C
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16. Propiedades de las integrales indefinidas
Si f y g son funciones que admiten antiderivadas en un intervalo I
entonces
1 Z
(f (x) ± g (x)) dx =
Z
f (x) dx ±
Z
g (x) dx
2 Si K es una constante real, entonces
Z
Kf (x) dx = K
Z
f (x) dx
3 Si además f es derivable en un intervalo I, entonces
Z
f ′
(x) dx = f (x) + C
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17. Ejemplo
Calcule Z
x5
−
√
x + 2ex
dx
Solución:
Z
x5
−
√
x + 2ex
dx =
Z
x5
dx −
Z
x
1
2 dx + 2
Z
ex
dx
=
x6
6
−
x
3
2
3
2
+ 2ex
+ C
=
x6
6
−
2
3
x
3
2 + 2ex
+ C
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18. Ejemplo
Calcule Z
5u2
−
2
u
+ 1
du
Solución:
Z
5u2
−
2
u
+ 1
du = 5
Z
u2
du − 2
Z
1
u
du +
Z
du
= 5
u3
3
− 2 ln |u| + u + C
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19. Ejemplo
Calcule
Z
12x2
− 4x + 3
dx
Solución:
Z
12x2
− 4x + 3
dx =
Z
12x2
dx −
Z
4xdx +
Z
3dx
= 12
Z
x2
dx − 4
Z
xdx + 3
Z
dx
= 12
x3
3
− 4
x2
2
+ 3x + C = 4x3
− 2x2
+ 3x + C
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20. Ejemplo
Calcule Z
√
x
x +
1
x
+ 2
dx
Solución:
Z
√
x
x +
1
x
+ 2
dx =
Z
x
3
2 + x−1
2 + 2x
1
2
dx
=
x
5
2
5
2
+
x
1
2
1
2
+ 2
x
3
2
3
2
+ C
=
2
5
x
5
2 + 2x
1
2 +
4
3
x
3
2 + C
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21. Ejemplo
Calcule Z
(2x − 3)3
x
dx
Solución:
Z
(2x + 1)3
x
dx =
Z
8x3 − 36x2 + 54x − 27
x
dx
=
Z
8x2
− 36x + 54 −
27
x
dx
= 8
Z
x2
dx − 36
Z
xdx + 54
Z
dx − 27
Z
1
x
dx
= 8
x3
3
− 18x2
+ 54x − 27 ln |x| + C
21 / 21