Este documento trata sobre las aplicaciones de la derivada para estudiar el crecimiento y decrecimiento de funciones, encontrar sus máximos y mínimos, determinar la concavidad y convexidad, y localizar puntos de inflexión. Explica cómo usar el signo de la derivada primera para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, y el signo de la derivada segunda para estudiar la concavidad. También presenta criterios para identificar máximos, mínimos y puntos de inflexión utilizando las derivadas primera y segunda.
La función f(x)=x+√x-1 está definida en los intervalos (-∞,-1] y [1,∞). No corta los ejes x e y y tiene dos asintotas horizontales en y=0 y y=2x. Es creciente en su dominio y cóncava en los intervalos (-1,1).
Este documento presenta una guía sobre el trazado de gráficas de funciones utilizando las herramientas de la diferenciación, como criterios de primera y segunda derivada. Explica cómo obtener información de una función a partir de sus derivadas para determinar puntos críticos, intervalos de crecimiento, máximos, mínimos, puntos de inflexión, concavidad y trazar la gráfica. Incluye ejemplos resueltos y ejercicios propuestos para que los estudiantes apliquen los conceptos.
Este documento resume los conceptos de concavidad y punto de inflexión a través de un ejemplo con la función f(x) = 6(x+3)^2. Calcula la segunda derivada de la función, cuyos puntos donde es igual a cero (-1, 1) son los puntos de inflexión. Analiza la concavidad en tres intervalos (-∞, -1), (-1,1), (1,∞), determinando que es cóncava hacia arriba en los primeros y tercer intervalo, y hacia abajo en el segundo.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del cálculo diferencial incluyendo el teorema de Rolle, funciones crecientes y decrecientes, valores críticos, extremos relativos, concavidad, puntos de inflexión y cómo aplicar estas ideas para resolver problemas. También describe los criterios de evaluación y competencias específicas relacionadas con el análisis y aplicación de funciones mediante el cálculo diferencial.
Este documento resume las propiedades de la función f(x) = x3 - 3x + 2. El dominio es el conjunto de los números reales. Los puntos de corte con los ejes son (-2,0), (1,0) y (0,2). No hay asíntotas. Los puntos críticos son -1 y 1, siendo (-1,4) un máximo relativo y (1,0) un mínimo relativo. El punto de inflexión es (0,2).
Este documento trata sobre las aplicaciones de la derivada en diferentes conceptos matemáticos. Explica que una función es creciente o decreciente dependiendo del signo de su derivada. También cubre cómo determinar máximos, mínimos, concavidad, convexidad y cómo resolver problemas de optimización usando la derivada. Incluye ejemplos resueltos para ilustrar cada uno de estos conceptos.
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera:Ciencias de la Computación
Docente: Ing. Ricardo Blacio Maldonado
Ciclo: Segundo
Bimestre: Primero
Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logaritmicasCesar Danderfert
Este documento presenta ejercicios y problemas relacionados con funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Se piden representar gráficas de funciones, calcular operaciones entre funciones como suma, resta, multiplicación y división, hallar dominios y discontinuidades, y representar funciones inversas.
La función f(x)=x+√x-1 está definida en los intervalos (-∞,-1] y [1,∞). No corta los ejes x e y y tiene dos asintotas horizontales en y=0 y y=2x. Es creciente en su dominio y cóncava en los intervalos (-1,1).
Este documento presenta una guía sobre el trazado de gráficas de funciones utilizando las herramientas de la diferenciación, como criterios de primera y segunda derivada. Explica cómo obtener información de una función a partir de sus derivadas para determinar puntos críticos, intervalos de crecimiento, máximos, mínimos, puntos de inflexión, concavidad y trazar la gráfica. Incluye ejemplos resueltos y ejercicios propuestos para que los estudiantes apliquen los conceptos.
Este documento resume los conceptos de concavidad y punto de inflexión a través de un ejemplo con la función f(x) = 6(x+3)^2. Calcula la segunda derivada de la función, cuyos puntos donde es igual a cero (-1, 1) son los puntos de inflexión. Analiza la concavidad en tres intervalos (-∞, -1), (-1,1), (1,∞), determinando que es cóncava hacia arriba en los primeros y tercer intervalo, y hacia abajo en el segundo.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del cálculo diferencial incluyendo el teorema de Rolle, funciones crecientes y decrecientes, valores críticos, extremos relativos, concavidad, puntos de inflexión y cómo aplicar estas ideas para resolver problemas. También describe los criterios de evaluación y competencias específicas relacionadas con el análisis y aplicación de funciones mediante el cálculo diferencial.
Este documento resume las propiedades de la función f(x) = x3 - 3x + 2. El dominio es el conjunto de los números reales. Los puntos de corte con los ejes son (-2,0), (1,0) y (0,2). No hay asíntotas. Los puntos críticos son -1 y 1, siendo (-1,4) un máximo relativo y (1,0) un mínimo relativo. El punto de inflexión es (0,2).
Este documento trata sobre las aplicaciones de la derivada en diferentes conceptos matemáticos. Explica que una función es creciente o decreciente dependiendo del signo de su derivada. También cubre cómo determinar máximos, mínimos, concavidad, convexidad y cómo resolver problemas de optimización usando la derivada. Incluye ejemplos resueltos para ilustrar cada uno de estos conceptos.
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera:Ciencias de la Computación
Docente: Ing. Ricardo Blacio Maldonado
Ciclo: Segundo
Bimestre: Primero
Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logaritmicasCesar Danderfert
Este documento presenta ejercicios y problemas relacionados con funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Se piden representar gráficas de funciones, calcular operaciones entre funciones como suma, resta, multiplicación y división, hallar dominios y discontinuidades, y representar funciones inversas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre derivadas. Define la derivada como la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. Explica cómo calcular la pendiente de las rectas secante y tangente. Luego, presenta reglas para derivar funciones como constantes, potencias, sumas, productos y cocientes. Finalmente, aplica estas reglas a ejemplos numéricos.
El documento explica conceptos fundamentales sobre rectas tangentes y normales a curvas, incluyendo cómo calcular las ecuaciones de dichas rectas y determinar sus pendientes. También cubre temas como intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos locales, concavidad, convexidad y puntos de inflexión de funciones, así como la representación gráfica de estas.
El documento trata sobre temas adicionales de la derivada, incluyendo la monotonía, máximos y mínimos, concavidad, gráficas sofisticadas, y teoremas como el valor medio para derivadas, Rolle y L'Hôpital. Explica cómo usar la derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos, e intervalos de concavidad. También cubre conceptos como puntos críticos y cómo identificar máximos y mínimos locales.
El documento explica las funciones polinomiales, definidas como funciones cuya expresión contiene términos de potencias de la variable x. Se indica que una función polinomial de grado n contiene términos hasta xn. Se proveen ejemplos de funciones lineales, cuadráticas y cúbicas, así como funciones racionales y trascendentes. Además, se resuelven dos ejemplos completos que incluyen graficar funciones polinomiales dadas y determinar sus dominios e intersecciones con los ejes.
El documento trata sobre conceptos básicos de cálculo como derivadas, tangentes, normales, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión de funciones. Explica cómo calcular la ecuación de la recta tangente y normal en un punto, y cómo determinar intervalos donde una función es creciente, decreciente, cóncava o convexa. También cubre cómo encontrar máximos, mínimos y puntos de inflexión mediante el cálculo de derivadas.
Este documento describe la representación gráfica de funciones definidas a trozos. Analiza varias funciones compuestas de diferentes segmentos o "trozos", como líneas rectas, parábolas, hipérbolas y funciones exponenciales y racionales. Explica cómo delimitar las zonas de definición de cada trozo y dibujar la función resultante, mostrando puntos de discontinuidad y características como dominio, crecimiento y decrecimiento.
Este documento introduce el concepto de límite de forma intuitiva a través de ejemplos numéricos. Explica que un límite representa el valor al que se acerca una función cuando su variable independiente tiende a un valor particular. Muestra cómo calcular límites mediante tablas que ilustran cómo la función se aproxima a un valor conforme la variable se acerca a cierto número. También introduce los límites de sucesiones numéricas y explica cómo determinar el valor al que tienden mediante la eliminación de la periodicidad en las expresiones.
Este documento explica las funciones racionales. Define una función racional como una función cuya fórmula es una expresión racional (P(x)/Q(x)) cuyo dominio es el conjunto de valores que no anulan al denominador. Explica cómo simplificar, determinar el dominio, calcular ceros e intersecciones con los ejes, y trazar el gráfico de una función racional.
Este documento resume conceptos básicos sobre funciones polinómicas. Explica que una función polinómica es aquella donde hay varios términos con grados sumados o restados y una constante. También proporciona ejemplos de cómo escribir funciones polinómicas en forma estándar e identificar sus coeficientes. Finalmente, asigna ejercicios de práctica relacionados con funciones polinómicas.
1) Las aplicaciones de la derivada incluyen localizar extremos (máximos y mínimos) de una función, determinar la concavidad y convexidad, y representar gráficamente funciones.
2) Para localizar máximos y mínimos, se buscan los puntos donde la derivada es cero y se comprueba el signo de la segunda derivada.
3) Los problemas de extremos involucran maximizar o minimizar una función desconocida y se resuelven encontrando los puntos críticos donde la derivada es cero y satisface las condiciones
1) El documento presenta conceptos sobre límites y continuidad de funciones, incluyendo definiciones intuitivas y formales de límite de una función en un punto, límites laterales, y tipos de indeterminaciones. 2) Explica cómo determinar si una función tiene límite en un punto evaluando su comportamiento cuando la variable independiente se acerca al punto desde ambos lados. 3) Describe diferentes comportamientos de funciones al aproximarse a números o infinito, como límites finitos, infinitos o inexistentes.
Este documento trata sobre funciones polinomiales. Explica conceptos como división sintética, ceros reales y complejos, y gráficas de funciones polinomiales. Incluye ejemplos y ejercicios de práctica sobre cómo hallar ceros, analizar signos, y trazar gráficas aproximadas de funciones polinomiales.
Este documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas, incluyendo funciones polinómicas, potenciales, racionales, algebraicas, exponenciales y logarítmicas. Explica que una función asigna un único elemento de un conjunto de salida a cada elemento de un conjunto de entrada llamado dominio. Luego proporciona ejemplos gráficos de cada tipo de función y referencias sobre cálculo.
Aplicaciones de la primera y segunda derivada en las graficas de funcionesEliezer Montoya
1) El documento describe los pasos para representar gráficamente funciones utilizando la derivada. 2) Se detallan nueve pasos que incluyen determinar puntos críticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos máximos y mínimos, puntos de inflexión y concavidad. 3) Se provee un ejemplo completo de cómo graficar la función f(x)=x3-2x2-5x+6 aplicando los pasos descritos.
Este documento presenta información sobre funciones racionales. Introduce el concepto de función racional como una función que se expresa como el cociente de dos polinomios. Explica cómo graficar funciones racionales y determinar sus asíntotas. También cubre operaciones como suma, resta, multiplicación y división de funciones racionales. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar conceptos como evaluación, simplificación y operaciones con funciones racionales.
El documento describe las aplicaciones de las derivadas para analizar curvas y funciones. Explica cómo usar el signo de la derivada primera para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una curva, así como los máximos y mínimos. También cubre el uso de la derivada segunda para identificar la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de una curva. Proporciona ejemplos detallados de cómo aplicar estos conceptos para graficar funciones.
1) El documento introduce conceptos sobre límites de funciones como el significado intuitivo de límite y su definición matemática rigurosa. 2) Explica los tipos de límites como límites finitos e infinitos en puntos finitos y en el infinito. 3) Presenta reglas para calcular límites como el uso de límites laterales y resolución de indeterminaciones como el cociente de polinomios.
The document discusses characters from the Arthurian legend Sir Gawain and the Green Knight including Sir Gawain, King Arthur, The Host, The Host's Wife, and Morgan Le Faye. It also mentions the five virtues represented on Gawain's shield and poses questions about the moral or lesson of the story, whether Gawain values honor or life more, if Gawain is a static or dynamic character, and if he embodies all the virtues on his shield.
This document promotes a "Forced Income Dream Building Team" that claims to help people achieve a profitable lifestyle beyond belief for only $5. It directs interested people to a website (end.debt.today.com) and lists the sponsor as Mary Howard. The document provides an outline for describing a product or service by addressing its long-term goal, customer needs and wishes, how it fulfills those needs through its attributes, a cost analysis, strengths/advantages, and next steps of action.
Este documento presenta conceptos básicos sobre derivadas. Define la derivada como la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. Explica cómo calcular la pendiente de las rectas secante y tangente. Luego, presenta reglas para derivar funciones como constantes, potencias, sumas, productos y cocientes. Finalmente, aplica estas reglas a ejemplos numéricos.
El documento explica conceptos fundamentales sobre rectas tangentes y normales a curvas, incluyendo cómo calcular las ecuaciones de dichas rectas y determinar sus pendientes. También cubre temas como intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos locales, concavidad, convexidad y puntos de inflexión de funciones, así como la representación gráfica de estas.
El documento trata sobre temas adicionales de la derivada, incluyendo la monotonía, máximos y mínimos, concavidad, gráficas sofisticadas, y teoremas como el valor medio para derivadas, Rolle y L'Hôpital. Explica cómo usar la derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos, e intervalos de concavidad. También cubre conceptos como puntos críticos y cómo identificar máximos y mínimos locales.
El documento explica las funciones polinomiales, definidas como funciones cuya expresión contiene términos de potencias de la variable x. Se indica que una función polinomial de grado n contiene términos hasta xn. Se proveen ejemplos de funciones lineales, cuadráticas y cúbicas, así como funciones racionales y trascendentes. Además, se resuelven dos ejemplos completos que incluyen graficar funciones polinomiales dadas y determinar sus dominios e intersecciones con los ejes.
El documento trata sobre conceptos básicos de cálculo como derivadas, tangentes, normales, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión de funciones. Explica cómo calcular la ecuación de la recta tangente y normal en un punto, y cómo determinar intervalos donde una función es creciente, decreciente, cóncava o convexa. También cubre cómo encontrar máximos, mínimos y puntos de inflexión mediante el cálculo de derivadas.
Este documento describe la representación gráfica de funciones definidas a trozos. Analiza varias funciones compuestas de diferentes segmentos o "trozos", como líneas rectas, parábolas, hipérbolas y funciones exponenciales y racionales. Explica cómo delimitar las zonas de definición de cada trozo y dibujar la función resultante, mostrando puntos de discontinuidad y características como dominio, crecimiento y decrecimiento.
Este documento introduce el concepto de límite de forma intuitiva a través de ejemplos numéricos. Explica que un límite representa el valor al que se acerca una función cuando su variable independiente tiende a un valor particular. Muestra cómo calcular límites mediante tablas que ilustran cómo la función se aproxima a un valor conforme la variable se acerca a cierto número. También introduce los límites de sucesiones numéricas y explica cómo determinar el valor al que tienden mediante la eliminación de la periodicidad en las expresiones.
Este documento explica las funciones racionales. Define una función racional como una función cuya fórmula es una expresión racional (P(x)/Q(x)) cuyo dominio es el conjunto de valores que no anulan al denominador. Explica cómo simplificar, determinar el dominio, calcular ceros e intersecciones con los ejes, y trazar el gráfico de una función racional.
Este documento resume conceptos básicos sobre funciones polinómicas. Explica que una función polinómica es aquella donde hay varios términos con grados sumados o restados y una constante. También proporciona ejemplos de cómo escribir funciones polinómicas en forma estándar e identificar sus coeficientes. Finalmente, asigna ejercicios de práctica relacionados con funciones polinómicas.
1) Las aplicaciones de la derivada incluyen localizar extremos (máximos y mínimos) de una función, determinar la concavidad y convexidad, y representar gráficamente funciones.
2) Para localizar máximos y mínimos, se buscan los puntos donde la derivada es cero y se comprueba el signo de la segunda derivada.
3) Los problemas de extremos involucran maximizar o minimizar una función desconocida y se resuelven encontrando los puntos críticos donde la derivada es cero y satisface las condiciones
1) El documento presenta conceptos sobre límites y continuidad de funciones, incluyendo definiciones intuitivas y formales de límite de una función en un punto, límites laterales, y tipos de indeterminaciones. 2) Explica cómo determinar si una función tiene límite en un punto evaluando su comportamiento cuando la variable independiente se acerca al punto desde ambos lados. 3) Describe diferentes comportamientos de funciones al aproximarse a números o infinito, como límites finitos, infinitos o inexistentes.
Este documento trata sobre funciones polinomiales. Explica conceptos como división sintética, ceros reales y complejos, y gráficas de funciones polinomiales. Incluye ejemplos y ejercicios de práctica sobre cómo hallar ceros, analizar signos, y trazar gráficas aproximadas de funciones polinomiales.
Este documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas, incluyendo funciones polinómicas, potenciales, racionales, algebraicas, exponenciales y logarítmicas. Explica que una función asigna un único elemento de un conjunto de salida a cada elemento de un conjunto de entrada llamado dominio. Luego proporciona ejemplos gráficos de cada tipo de función y referencias sobre cálculo.
Aplicaciones de la primera y segunda derivada en las graficas de funcionesEliezer Montoya
1) El documento describe los pasos para representar gráficamente funciones utilizando la derivada. 2) Se detallan nueve pasos que incluyen determinar puntos críticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos máximos y mínimos, puntos de inflexión y concavidad. 3) Se provee un ejemplo completo de cómo graficar la función f(x)=x3-2x2-5x+6 aplicando los pasos descritos.
Este documento presenta información sobre funciones racionales. Introduce el concepto de función racional como una función que se expresa como el cociente de dos polinomios. Explica cómo graficar funciones racionales y determinar sus asíntotas. También cubre operaciones como suma, resta, multiplicación y división de funciones racionales. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar conceptos como evaluación, simplificación y operaciones con funciones racionales.
El documento describe las aplicaciones de las derivadas para analizar curvas y funciones. Explica cómo usar el signo de la derivada primera para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una curva, así como los máximos y mínimos. También cubre el uso de la derivada segunda para identificar la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de una curva. Proporciona ejemplos detallados de cómo aplicar estos conceptos para graficar funciones.
1) El documento introduce conceptos sobre límites de funciones como el significado intuitivo de límite y su definición matemática rigurosa. 2) Explica los tipos de límites como límites finitos e infinitos en puntos finitos y en el infinito. 3) Presenta reglas para calcular límites como el uso de límites laterales y resolución de indeterminaciones como el cociente de polinomios.
The document discusses characters from the Arthurian legend Sir Gawain and the Green Knight including Sir Gawain, King Arthur, The Host, The Host's Wife, and Morgan Le Faye. It also mentions the five virtues represented on Gawain's shield and poses questions about the moral or lesson of the story, whether Gawain values honor or life more, if Gawain is a static or dynamic character, and if he embodies all the virtues on his shield.
This document promotes a "Forced Income Dream Building Team" that claims to help people achieve a profitable lifestyle beyond belief for only $5. It directs interested people to a website (end.debt.today.com) and lists the sponsor as Mary Howard. The document provides an outline for describing a product or service by addressing its long-term goal, customer needs and wishes, how it fulfills those needs through its attributes, a cost analysis, strengths/advantages, and next steps of action.
George Orwell's short story "Shooting an Elephant" describes his experience as a British officer in Burma in the 1920s. As the British ruled Burma through oppressive colonialism for decades, it created anti-British sentiment among the native peoples. Orwell came to disagree with Britain's imperial policies after seeing their harmful effects on both the colonized and colonizers. The story reflects his view that colonialism was an evil system that damaged all parties involved.
El documento resume las aplicaciones de la derivada, incluyendo la monotonía, extremos relativos, optimización y curvatura de funciones. Explica cómo usar la primera y segunda derivada para determinar si una función es creciente o decreciente, si tiene máximos o mínimos relativos, y si es cóncava hacia arriba o abajo. También proporciona ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos conceptos para resolver problemas relacionados con la Prueba de Acceso a la Universidad.
1) El documento explica conceptos relacionados con derivadas como velocidad, aceleración, derivadas implícitas y de orden superior. 2) Incluye criterios para determinar si una función es creciente, decreciente, máximos y mínimos relativos y absolutos. 3) Aborda conceptos como puntos críticos, concavidad y la regla de L'Hopital para funciones indeterminadas.
El documento resume cuatro ejemplos de funciones, describiendo para cada una: su dominio, simetrías, puntos de corte con los ejes, asíntotas, puntos de máximos y mínimos, concavidad, y representación gráfica.
1) El documento explica cómo aplicar derivadas para calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta. 2) También cubre conceptos como derivadas implícitas, derivadas de orden superior, funciones crecientes y decrecientes, y cómo identificar máximos y mínimos. 3) Finalmente, discute temas como puntos críticos, concavidad, puntos de inflexión y cómo resolver problemas de máximos y mínimos.
Este documento describe las aplicaciones de las derivadas, incluyendo determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, encontrar extremos relativos (máximos y mínimos), y clasificar la curvatura de una función. Explica cómo usar la primera y segunda derivada para analizar el comportamiento de funciones y resolver problemas de optimización.
1) Las aplicaciones de la derivada incluyen localizar extremos (máximos y mínimos) de una función, determinar la concavidad y convexidad, y representar gráficamente funciones.
2) Para localizar máximos y mínimos, se buscan los puntos donde la derivada es cero y se comprueba el signo de la segunda derivada.
3) Los problemas de extremos involucran maximizar o minimizar una función desconocida y se resuelven encontrando los puntos críticos donde la derivada es cero y satisface las condiciones
1. La función describe las condiciones de curvatura y signo de la segunda derivada en diferentes intervalos. Es convexa cuando f''<0 y cóncava cuando f''>0.
2. Se pide dibujar una función que pase por tres puntos dados y cumpla ciertas condiciones de curvatura en diferentes intervalos.
3. Se calculan las rectas tangentes a una función en diferentes puntos.
Este documento trata sobre los conceptos básicos de límites y continuidad de funciones. Explica la definición intuitiva y formal de límite de una función en un punto, así como los límites laterales y los límites en el infinito. También cubre las propiedades de los límites, los diferentes tipos de indeterminaciones y cómo resolverlas.
1. La derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente a la curva gráfica de dicha función en un punto.
2. La primera derivada proporciona información sobre el crecimiento/decrecimiento de la función y la existencia de máximos y mínimos.
3. La segunda derivada indica si una función es cóncava o convexa, y permite identificar puntos de inflexión.
Este documento no contiene información relevante para resumir. Consiste únicamente en el nombre de una ciudad venezolana sin ningún otro detalle o contexto.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre derivadas, incluyendo la definición de derivada, reglas de derivación, derivadas laterales, derivadas de funciones compuestas, diferenciación implícita y ecuaciones de rectas tangente y normal.
Este documento trata sobre límites al infinito y algunos teoremas y propiedades relacionados con ellos. Explica qué es un límite al infinito y cómo se representa, y analiza casos como límites de funciones polinómicas, racionales y algunos ejemplos numéricos.
Este documento explica conceptos fundamentales sobre tangentes, normales, derivadas, extremos y representación gráfica de funciones. Define la pendiente de la recta tangente como la derivada de la función en un punto, y la recta normal como aquella con pendiente igual a la inversa de la derivada. Explica cómo calcular intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad mediante el estudio de las derivadas primera y segunda. También cubre el cálculo de máximos, mínimos y puntos de inflexión.
El documento presenta los pasos para estudiar y representar gráficamente una función real de variable real. Estos pasos incluyen determinar el dominio, estudiar la continuidad y derivabilidad, identificar simetrías y períodos, calcular puntos de corte con los ejes, y analizar crecimiento, extremos, concavidad, así como puntos de inflexión y asíntotas. Se aplican estos pasos al ejemplo de la función f(x)=x3/(x-1)2 para ilustrar el proceso de análisis y representación gráfica.
Este documento trata sobre los conceptos de límites y continuidad en matemáticas. Incluye ejercicios de cálculo de límites, funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta información sobre derivadas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, así como sobre asíntotas de funciones.
Este documento trata sobre el tema de las derivadas en cálculo diferencial. Explica la definición de derivada como el límite de la razón entre el incremento de la función y el incremento de la variable cuando este último tiende a cero. También describe la simbología utilizada para representar derivadas y presenta la regla de los cuatro pasos para calcular derivadas. Por último, introduce conceptos como la regla de la cadena y funciones implícitas.
Este documento presenta una tabla de derivadas de funciones comunes y propiedades de derivadas como la derivada de una suma, diferencia, producto y cociente. También incluye ejemplos de cálculo de derivadas de funciones compuestas utilizando las reglas presentadas. Finalmente, introduce algunas aplicaciones de las derivadas como determinar la monotonía de una función y localizar sus extremos relativos.
El documento resume los conceptos fundamentales de la derivada, incluyendo: 1) la tasa de variación media y cómo calcular la derivada de una función en un punto; 2) las reglas básicas para derivar funciones como polinomios, exponenciales, logaritmos y funciones compuestas; y 3) cómo derivar sumas, productos, cocientes y funciones potenciales. Explica estos conceptos a través de varios ejemplos numéricos.
Este documento trata sobre los conceptos de límites de funciones cuando la variable tiende al infinito o a un punto. Explica cómo calcular límites de funciones polinómicas y racionales cuando la variable tiende a infinito, así como límites laterales y continuidad de funciones en un punto. También introduce el concepto de asíntota horizontal y vertical y cómo representar gráficamente límites infinitos. El documento contiene varios ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
1. TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA
José Ángel López Martín Pág 1
1.- CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
Cuando la pendiente de la recta tangente es positiva la funcion es creciente y cuando la pendiente de la recta
tangente es negativa la función es decreciente. Por tanto:
Signo de la derivada primera:
Si f ´(a)>0 f(x) es creciente en x =a.
Si f ´(a)<0 f(x) es decreciente en x =a .
Ejemplo: Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 23
3)( xxxf
Calculamos sus puntos singulares
2
0
0)63(;063;63)´( 22
x
x
xxxxxxxf
Estudiamos el signo de f ´(x)
Creciente en (-∞, 0) Decreciente en (0, 2) Creciente en (2, +∞)
Ejemplo: Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
1
)( 2
x
x
xf
Dom f = R
Calculamos sus puntos singulares
22
2
22
2
1
1
1
2·1
)´(
x
x
x
xxx
xf
01
1;01
2
2
x
xx
Estudiamos el signo de f ´(x)
Decreciente en (-∞, -1) Creciente en (-1, 1) Dereciente en (1, +∞)
-1 1
y´<0 y´>0 y´<0
0 2
y´>0 y´<0 y´>0
2. TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA
José Ángel López Martín Pág 2
2.- MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS
Una función tiene un máximo relativo en un punto x=x1 si es creciente a su izquierda y decreciente a su
derecha.
Una función tiene un mínimo relativo en un punto x=x2 si es decreciente a su izquierda y creciente a su
derecha.
.
Criterio de variación de la derivada primera:
a) Si una función es derivable en un entorno de un punto y la derivada es positiva a su izquierda y negativa
a su derecha entonces alcanza un máximo relativo en dicho punto.
b) Si una función es derivable en un entorno de un punto y la derivada es negativa a su izquierda y positiva
a su derecha entonces alcanza un mínimo relativo en dicho punto
Ejemplo: Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = -x2
+ 4x. ¿Tiene máximo o mínimo?
Calculamos sus puntos singulares
f ´(x)=-2x+4 2x + 4 =0 x = 2.
Estudiamos el signo de f ´(x)
y´>0 y´<0
2
f creciente en el intervalo (-∞, 2) y decreciente en (2, +∞).
En x = 2 y=f(2)=4 hay un punto máximo
Ejemplo: Hallar los máximos y mínimos relativos de la función
2
3
1
)(
x
x
xf
Dom f = R-{1}
Calculamos sus puntos singulares
3
2
4
322
1
3
1
12·1·3
)´(
x
xx
x
xxxx
xf
1;01
3,0;03
2
xx
xxxx
Estudiamos el signo de f ´(x)
+ + - +
0 1 3
No tiene máximo relativo al no estar definida en x = 1
Minimo relativo en x = 3
4
27
y
3. TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA
José Ángel López Martín Pág 3
No siempre que f ´(x)=0 se tiene un máximo o un mínimo; ni siquiera esto es una condición necesaria.
Puede haber mínimo sin que f ´(x)=0. Así, la función f(x)=|x| tiene un mínimo en x = 0 y en ese
punto no es derivable la función.
Puede suceder que f ´(x)=0 y no haya mínimo ni máximo. Así pasa para la función f(x) = x3
en el
punto x = 0. Su derivada, f ´(x)=3x2
, se anula en x = 0, siendo positiva para x<0 y para x>0, por tanto
en dicho punto no hay máximo ni mínimo sino que es es creciente.
Estos puntos se llaman de puntos de inflexión con tangente horizontal.
Ejemplo: Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)=3x5
– 5x3
¿Tiene máximo o
mínimo?
Calculamos sus puntos singulares
f ´(x)= 15x4
-15x2
; x2
(15x-15) = 0 ; x=0 y x=1
Estudiamos el signo de f ´(x)
En x=0 y = 0 tiene un punto de inflexión con tangente horizontal
En x=1 y= f(1) = -2 tiene un mínimo relativo
Criterio de la derivada segunda:
Si las derivadas de una función en un punto son cero y la primara derivada no nula es de orden par entonces
la función alcanza un máximo relativo si esta es negativa y un mínimo relativo si es positiva
Ejemplo: Hallar los máximos y mínimos relativos de la función 168)( 24
xxxf
20;0)4(4;0164
164)´(
23
3
xxxxxx
xxxf
1612)´´( 2
xxf
f´´(-2) = 48-16>0 mínimo relativo en x =-2
f´´(0) = -16 máximo relativo en x =0
f´´(2)=48-16>0 mínimo relativo en x =-2
0 1
y´<0y´<0 y´>0
4. TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA
José Ángel López Martín Pág 4
3.- CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
Una función es cóncava hacia arriba o convexa si su gráfica está situada por encima de las rectas tangentes; y
es cóncava hacia abajo o cóncava si está situada por debajo de ellas
f cóncava hacia arriba ( convexa) f cóncava hacia abajo (concava)
Signo derivada segunda
Si f ´´(x0)>0 f(x) es cóncava hacia arriba (convexa) en x = x0.
Si f ´´(x0)<0 f(x) es cóncava hacia abajo (cóncava) en x = x0 .
Ejemplo: Halla los intervalos de concavidad y convexidad de la función f(x)= x3
-3x2
- x.+3 ¿Tiene puntos de
inflexión?
Calculamos los puntos f ´´(x)=0
f ´´(x)=6x - 6 = 0 x=1
Estudiamos el signo de f ´´(x)
Para los x < 1, f ´´(x) =-6x-6< 0 la función es cóncava.
Para los x > 2, f ´´(x) = 6x-6,>0 la función es convexa.
y´´<0 y´´>0
1
La función es cóncava en el intervalo (-∞, 1) y convexa en (1, +∞).
En x = 1 y= f(1)=0 hay un punto de inflexión..
Ejemplo: Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
1
)( 2
x
x
xf
Dom f = R
22
2
22
2
1
1
1
2·1
)´(
x
x
x
xxx
xf
42
3
42
332
42
2222
1
62
1
44221
1
212112
)´´(
x
xx
x
xxxxx
x
xxxxx
xf
Calculamos los puntos donde f´´(x)=0 o no existe f´´(x)
3,3,0;032
2
xxxxx
Estudiamos el signo de f´´(x)
- + - +
3
0
3
f es cóncava en (-, 3 ), convexa en ( 3 ),0), cóncava en (0, 3 ) y convexa en ( 3 ,+)
5. TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA
José Ángel López Martín Pág 5
3.- PUNTOS DE INFLEXION
El punto donde cambia la curvatura, y en el que la recta tangente atraviesa la gráfica, recibe el nombre de
punto de inflexión
Punto de inflexión
Criterio de variación de la derivada segunda:
Si la derivada segunda tiene distinto signo a la izquierda que a la derecha de un punto entonces dicho punto
es un punto de inflexión.
Ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de xxxxf 96)(
23
f´(x)= 3x2
- 12x + 9 f´´(x)=6x - 12
Calculamos los puntos f ´´(x)=0
6x - 12 = 0 x=2
Estudiamos el signo de f ´´(x)
y´´<0 y´´>0
2
La función es cóncava en el intervalo (-∞, 2) y convexa en (2, +∞).
En x = 2 y= f(2)=2 hay un punto de inflexión
Ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de la función
2
3
1
)(
x
x
xf
Dom f = R-{1}
3
23
4
322
1
3
1
12·1·3
)´(
x
xx
x
xxxx
xf
44
23223
6
22332
1
6
1
936363
1
133163
)´´(
x
x
x
xxxxxx
x
xxxxxx
xf
Estudiamos el signo de f´´(x)
- + +
0
1
Punto de inflexión x=0 y=0
Criterio de la derivada tercera:
Si a partir de la derivada segunda las derivadas de una función en un punto se anulan y la primera derivada
no nula en dicho punto es de orden impar entonces es un punto de inflexión.
Ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de xxxxf 96)( 23
f´(x)= 3x2
- 12x + 9 f´´(x)=6x – 12 f´´´(x)= 6
6x-12=0 ; x=2
F´´´(2)=6≠0 En x=2 y= f(2)=2 punto de inflexión.
6. TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA
José Ángel López Martín Pág 6
4 REPRESENTACION DE FUNCIONES POLINOMICAS
Ejemplo: Representar f(x) = x3
– 3x2
+ 4
a) Dominio de definición
Dom f = R
b) Corte con los ejes
x = 0 y= 4 (0, 4)
y=0 x3
– 3x2
+ 4 = 0
0,22;044
0,11
0441 2
2
xxx
x
xxx
x+1 1 -3 0 4
-1 -1 4 -4
1 -4 4 0
c) Asintotas: las funciones polinómicas de grado mayor que uno no tienen asintotas
d) Crecimiento y decrecimiento
f ´(x) = 3x2
-6x ; x(3x-6)=0 ; x=0 y x=2
y´>0 y ´<0 y ´>0
0 2
e) Máximos y mínimos relativos
x=0 y= 4 (0, 4) máximo relativo
x= 2 y = 8-12+4= 0 (2, 0) mínimo relativo
5 REPRESENTACION DE FUNCIONES RACIONALES
Ejemplo: Representar
2
3
( )
1
x
f x
x
a) Dominio de definición
Dom f = r – {-1}
b) Corte con los ejes
x=0 y= 3 (0,3)
y=0
2
23
0 3 0 3
1
x
x x
x
no corta
c) Asintotas
2
1
2
1
3 4
1 0
sin 1
3 4
1 0
x
x
x
Lim
x
A tota Vertical x
x
Lim
x
7. TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA
José Ángel López Martín Pág 7
x2
+ 3 x + 1
-x2
- x x - 1
-x + 3
x + 1
4
Asintota oblicua y= x - 1
d) Crecimiento y decrecimiento
2
2
2
2
1
32
1
3)1(2
)´(
x
xx
x
xxx
xf
1;01
31;0322
xx
xxxx
E) Máximos y mínimos relativos
x = -3 y = -6 (-3, -6) máximo
x =1 y = 2 (1, 2) mínimo
5 REPRESENTACION DE OTRAS FUNCIONES
Representar
x
x
xf
ln
)(
a) Dominio de definición
Dom f = (0,1)U(1,+)
b) Corte con los ejes
x=0 definidaestáno
0ln
0
y
y=0 cortaNoDomf0;0
ln
x
x
x
c) Asintotas
Verticales
0
0
ln
lim
0
x
x
x
No tiene Asintota vertical en x=0
1xverticalAsintota
0
1
ln
lim
0
1
ln
lim
1
1
x
x
x
x
x
x
Horizontales
enhorizontalasintotatieneno
ln
lim
x
x
x
-3 -1 1
y´>0 y´<0 y´<0 y´>0
8. TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA
José Ángel López Martín Pág 8
Oblicuas
enoblicuaasintotatieneNo0
ln
1
lim:
ln
lim
x
x
x
x
xx
d) Crecimiento y decrecimiento
x
x
x
x
xx
xf 22
ln
1ln
ln
1
·ln
)´(
y´<0 y´<0 y´>0
0 1 e
E) Máximos y mínimos relativos
x=e y=e mínimo relativo