El documento describe los pasos para representar una función. Estos incluyen calcular el dominio, estudiar la simetría y periodicidad, calcular los puntos de corte con los ejes, estudiar el signo, calcular las asintotas, estudiar el crecimiento y decrecimiento, calcular los extremos relativos, estudiar la curvatura y calcular los puntos de inflexión. Se proveen dos ejemplos detallados de aplicar estos pasos.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con la representación de funciones. Incluye ejercicios para determinar el dominio, simetrías, periodicidades y asintotas de diferentes funciones. También presenta ejercicios para identificar puntos singulares como máximos, mínimos y puntos de inflexión al analizar las derivadas de primer y segundo orden de funciones dadas.
Este documento presenta soluciones detalladas para el análisis de diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones logarítmicas, racionales y polinómicas. Se proporciona un formulario con 10 apartados para completar el análisis de cada función, incluyendo su dominio, continuidad, simetrías, asíntotas, cortes con los ejes, máximos y mínimos, puntos de inflexión, monotonía y recorrido. Se analizan ejemplos específicos de funciones para ilustrar cómo completar correct
Este documento describe los pasos para estudiar una función, incluyendo determinar su dominio, continuidad, paridad, intersecciones con los ejes, límites, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos, e intervalos de concavidad y puntos de inflexión. Aplica estos pasos para estudiar la función f(x) = 36x/(x^2 - 1).
El documento explica las funciones cúbicas, que son funciones polinómicas definidas por una ecuación de la forma f(x)=ax3+bx2+cx+d. Describe cómo representar gráficamente estas funciones, incluyendo el cálculo de puntos de corte con los ejes y el análisis del signo de la función en diferentes intervalos. También proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Introducción alicaciones de la derivada pptNoelBologna
Este documento trata sobre la aplicación de la derivada para resolver problemas de optimización. Explica conceptos clave como extremos locales y números críticos. Luego, presenta el criterio de la derivada primera para determinar extremos locales de una función, así como la estrategia para hallar los extremos absolutos en un intervalo determinado evaluando la función en los números críticos y extremos del intervalo.
Este documento describe la función cuadrática f(x)=ax^2+bx+c. Explica que la función cuadrática general se representa como una parábola y que el caso particular de f(x)=x^2 solo ocurre cuando a=1, b=c=0. También describe las características comunes de todas las funciones cuadráticas como ser simétricas con respecto a un eje vertical y tener un vértice que representa el valor máximo o mínimo. Finalmente, muestra cómo graficar una función cuadrática y hallar sus soluciones, vértice
1. La función describe las condiciones de curvatura y signo de la segunda derivada en diferentes intervalos. Es convexa cuando f''<0 y cóncava cuando f''>0.
2. Se pide dibujar una función que pase por tres puntos dados y cumpla ciertas condiciones de curvatura en diferentes intervalos.
3. Se calculan las rectas tangentes a una función en diferentes puntos.
1. La función presenta un punto de inflexión único en x = 1, donde cambia de convexa a cóncava.
2. Es creciente para x < 0 y x > 2, y decreciente para 0 < x < 1 y 1 < x < 2.
3. No es continua en x = 1, donde presenta una discontinuidad.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con la representación de funciones. Incluye ejercicios para determinar el dominio, simetrías, periodicidades y asintotas de diferentes funciones. También presenta ejercicios para identificar puntos singulares como máximos, mínimos y puntos de inflexión al analizar las derivadas de primer y segundo orden de funciones dadas.
Este documento presenta soluciones detalladas para el análisis de diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones logarítmicas, racionales y polinómicas. Se proporciona un formulario con 10 apartados para completar el análisis de cada función, incluyendo su dominio, continuidad, simetrías, asíntotas, cortes con los ejes, máximos y mínimos, puntos de inflexión, monotonía y recorrido. Se analizan ejemplos específicos de funciones para ilustrar cómo completar correct
Este documento describe los pasos para estudiar una función, incluyendo determinar su dominio, continuidad, paridad, intersecciones con los ejes, límites, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos, e intervalos de concavidad y puntos de inflexión. Aplica estos pasos para estudiar la función f(x) = 36x/(x^2 - 1).
El documento explica las funciones cúbicas, que son funciones polinómicas definidas por una ecuación de la forma f(x)=ax3+bx2+cx+d. Describe cómo representar gráficamente estas funciones, incluyendo el cálculo de puntos de corte con los ejes y el análisis del signo de la función en diferentes intervalos. También proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Introducción alicaciones de la derivada pptNoelBologna
Este documento trata sobre la aplicación de la derivada para resolver problemas de optimización. Explica conceptos clave como extremos locales y números críticos. Luego, presenta el criterio de la derivada primera para determinar extremos locales de una función, así como la estrategia para hallar los extremos absolutos en un intervalo determinado evaluando la función en los números críticos y extremos del intervalo.
Este documento describe la función cuadrática f(x)=ax^2+bx+c. Explica que la función cuadrática general se representa como una parábola y que el caso particular de f(x)=x^2 solo ocurre cuando a=1, b=c=0. También describe las características comunes de todas las funciones cuadráticas como ser simétricas con respecto a un eje vertical y tener un vértice que representa el valor máximo o mínimo. Finalmente, muestra cómo graficar una función cuadrática y hallar sus soluciones, vértice
1. La función describe las condiciones de curvatura y signo de la segunda derivada en diferentes intervalos. Es convexa cuando f''<0 y cóncava cuando f''>0.
2. Se pide dibujar una función que pase por tres puntos dados y cumpla ciertas condiciones de curvatura en diferentes intervalos.
3. Se calculan las rectas tangentes a una función en diferentes puntos.
1. La función presenta un punto de inflexión único en x = 1, donde cambia de convexa a cóncava.
2. Es creciente para x < 0 y x > 2, y decreciente para 0 < x < 1 y 1 < x < 2.
3. No es continua en x = 1, donde presenta una discontinuidad.
Este documento describe los pasos para resolver un problema de optimización mediante el cálculo de derivadas. El problema involucra determinar las dimensiones de un tablero rectangular que maximicen su área dada una restricción en su perímetro. Se define una función de área, se deriva, se encuentra un punto crítico en x=1 y se concluye que la dimensión óptima es un cuadrado de lado 1 metro.
Este documento resume conceptos clave sobre el dominio, rango, simetría y puntos de corte de funciones. Explica que el dominio son los valores de x para los que la función está definida, y que el rango son los posibles valores de y. También describe cómo identificar si una función es par, impar o ninguna de las dos, y cómo calcular sus puntos de corte con los ejes x e y. Finalmente, resume las propiedades de funciones afines y cuadráticas. El documento incluye ejercicios de aplicación de estos conceptos.
Este documento presenta conceptos clave sobre funciones y gráficas. Explica qué es una función, cómo se representa gráficamente y cómo se determinan el dominio y el recorrido. Además, introduce conceptos como la continuidad, las funciones periódicas y las simetrías. El objetivo es que el estudiante aprenda a reconocer e interpretar las características principales de las funciones y sus representaciones gráficas.
Power Point: Graficas de las funciones basicasCrisalys
Este documento resume las características principales de varias funciones básicas, incluyendo su dominio, rango y gráficas. Explica funciones como la identidad, cuadrática, cúbica, valor absoluto, recíproca, raíz cuadrada, exponencial, logaritmo natural, seno y coseno. Luego proporciona ejercicios prácticos para identificar el dominio, rango y representar gráficamente funciones.
Este documento resume las características de diferentes tipos de funciones elementales como polinómicas, racionales, irracionales, logarítmicas, exponenciales y funciones definidas a trozos. Describe las expresiones generales, dominios, comportamientos, así como las transformaciones de estas funciones.
Este documento presenta varios temas relacionados con funciones:
1) Define la función valor absoluto y muestra ejemplos de cómo expresarla como función a trozos.
2) Explica el concepto de composición de funciones mediante diagramas y ejemplos.
3) Introduce el concepto de función inversa y cómo calcularla e ilustrarla gráficamente a partir de una función dada.
Este documento explica la función raíz cuadrada, incluyendo su ecuación general, cómo expresarla como f(x), y cómo graficarla. Muestra ejemplos de funciones raíz cuadrada específicas, y cómo trasladar o reflejar sus gráficas mediante desplazamientos o reflexiones. Finalmente, proporciona ejercicios para graficar funciones raíz cuadrada dadas y determinar sus dominios y rangos.
Este documento introduce las funciones exponenciales, definidas como f(x) = bx donde b es una constante positiva distinta de 1. Explica que estas funciones tienen dominio en los números reales y rango en los números reales positivos. Muestra ejemplos de gráficas de funciones exponenciales y cómo se pueden transformar mediante traslaciones, reflexiones y estiramientos/contracciones. Finalmente, explica cómo resolver ecuaciones exponenciales igualando las bases.
El documento describe las funciones exponenciales y logarítmicas. Explica que una función exponencial toma la forma f(x)=bx, donde b es la base y x es la variable independiente. Muestra ejemplos de funciones exponenciales como f(x)=2x y cómo se grafican. También introduce conceptos como crecimiento y decaimiento exponencial.
El documento trata sobre el cálculo de derivadas. Explica que la derivada de una función es otra función que mide la tasa de cambio de la primera función y provee fórmulas para calcular derivadas de funciones simples como polinomios, exponenciales y logaritmos. También cubre reglas para derivar sumas, productos y cocientes de funciones.
Este documento trata sobre los conceptos de límites y continuidad en matemáticas. Incluye ejercicios de cálculo de límites, funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta información sobre derivadas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, así como sobre asíntotas de funciones.
El documento describe las propiedades de dominio y recorrido de varias funciones reales, incluyendo sus gráficas, máximos y mínimos relativos, y continuidad. Se analizan las propiedades de 12 funciones a través de actividades que describen el dominio, recorrido, puntos de corte, y otros detalles.
Este documento presenta una introducción teórica a las funciones, incluyendo definiciones de dominio, recorrido, crecimiento, funciones polinómicas y otros tipos de funciones. Luego, proporciona ejercicios resueltos sobre cómo hallar el dominio de funciones, calcular la inversa de funciones y otros conceptos. El objetivo es ayudar a los estudiantes a comprender y aplicar conceptos básicos sobre funciones a través de ejemplos y problemas resueltos paso a paso.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las funciones cuadráticas. Explica que una función cuadrática puede escribirse como f(x)=ax2+bx+c y tiene la forma de una parábola. Describe cómo encontrar el vértice, eje de simetría, ceros y raíces de una función cuadrática. Además, explica cómo graficar funciones cuadráticas y resolver ecuaciones cuadráticas mediante la factorización y el método de completar el cuadrado.
La función I(x) está definida por trazos en diferentes intervalos. Tiene dominio en todo R excepto en x = -5, -2, 0, 6. Los valores máximos son I(3) = 2 y mínimos son I(7) = 0. Tiene discontinuidades en x = -5, -2, 0, 6, 8.
La función P(x) también está definida por trazos. Su dominio es todo R excepto en x = -8, -3, 3, 5. Los valores máximos son P(4) = 5 y mínimos son P(-5.5) =
El documento explica las funciones polinomiales, definidas como funciones cuya expresión contiene términos de potencias de la variable x. Se indica que una función polinomial de grado n contiene términos hasta xn. Se proveen ejemplos de funciones lineales, cuadráticas y cúbicas, así como funciones racionales y trascendentes. Además, se resuelven dos ejemplos completos que incluyen graficar funciones polinomiales dadas y determinar sus dominios e intersecciones con los ejes.
Este documento trata sobre la función raíz cuadrada. Explica que la función raíz cuadrada es f(x)=√x y describe su dominio y rango. También explica cómo graficar esta función y aplicar traslaciones y reflexiones para graficar variaciones de la función. Finalmente, incluye ejercicios para practicar el graficado de funciones raíz cuadrada.
Este documento resume las propiedades de la función f(x) = x3 - 3x + 2. El dominio es el conjunto de los números reales. Los puntos de corte con los ejes son (-2,0), (1,0) y (0,2). No hay asíntotas. Los puntos críticos son -1 y 1, siendo (-1,4) un máximo relativo y (1,0) un mínimo relativo. El punto de inflexión es (0,2).
Este documento presenta un resumen de las principales características de las funciones reales que se estudiarán en la quincena. En la primera sección se define el concepto de función y se explican elementos como el dominio, el recorrido y las funciones definidas a trozos. La segunda sección trata sobre las propiedades de continuidad, periodicidad y simetría de las funciones. Por último, la tercera sección aborda la tasa de variación y el crecimiento de las funciones, así como la determinación de máximos, mínimos, puntos de
Este documento presenta un resumen de las principales características de las funciones reales que se estudiarán en la quincena. En la primera sección se define el concepto de función y se explican elementos como el dominio, el recorrido y las funciones definidas a trozos. La segunda sección trata sobre las propiedades de continuidad, periodicidad y simetría de las funciones. Por último, la tercera sección aborda la tasa de variación y el crecimiento de las funciones, así como la determinación de máximos, mínimos, puntos de
Este documento trata sobre las funciones reales. Explica conceptos como el dominio, el recorrido y las gráficas de funciones. También cubre temas como la continuidad, periodicidad, simetrías, tasa de variación y crecimiento de funciones. El objetivo es que los estudiantes aprendan a interpretar y analizar funciones y sus gráficas.
Este documento trata sobre funciones y gráficas. Explica conceptos como funciones reales, dominio y recorrido, funciones definidas a trozos, propiedades de las funciones como continuidad y periodicidad, y tasa de variación y crecimiento. Contiene ejemplos y ejercicios resueltos para practicar estos conceptos.
Este documento describe los pasos para resolver un problema de optimización mediante el cálculo de derivadas. El problema involucra determinar las dimensiones de un tablero rectangular que maximicen su área dada una restricción en su perímetro. Se define una función de área, se deriva, se encuentra un punto crítico en x=1 y se concluye que la dimensión óptima es un cuadrado de lado 1 metro.
Este documento resume conceptos clave sobre el dominio, rango, simetría y puntos de corte de funciones. Explica que el dominio son los valores de x para los que la función está definida, y que el rango son los posibles valores de y. También describe cómo identificar si una función es par, impar o ninguna de las dos, y cómo calcular sus puntos de corte con los ejes x e y. Finalmente, resume las propiedades de funciones afines y cuadráticas. El documento incluye ejercicios de aplicación de estos conceptos.
Este documento presenta conceptos clave sobre funciones y gráficas. Explica qué es una función, cómo se representa gráficamente y cómo se determinan el dominio y el recorrido. Además, introduce conceptos como la continuidad, las funciones periódicas y las simetrías. El objetivo es que el estudiante aprenda a reconocer e interpretar las características principales de las funciones y sus representaciones gráficas.
Power Point: Graficas de las funciones basicasCrisalys
Este documento resume las características principales de varias funciones básicas, incluyendo su dominio, rango y gráficas. Explica funciones como la identidad, cuadrática, cúbica, valor absoluto, recíproca, raíz cuadrada, exponencial, logaritmo natural, seno y coseno. Luego proporciona ejercicios prácticos para identificar el dominio, rango y representar gráficamente funciones.
Este documento resume las características de diferentes tipos de funciones elementales como polinómicas, racionales, irracionales, logarítmicas, exponenciales y funciones definidas a trozos. Describe las expresiones generales, dominios, comportamientos, así como las transformaciones de estas funciones.
Este documento presenta varios temas relacionados con funciones:
1) Define la función valor absoluto y muestra ejemplos de cómo expresarla como función a trozos.
2) Explica el concepto de composición de funciones mediante diagramas y ejemplos.
3) Introduce el concepto de función inversa y cómo calcularla e ilustrarla gráficamente a partir de una función dada.
Este documento explica la función raíz cuadrada, incluyendo su ecuación general, cómo expresarla como f(x), y cómo graficarla. Muestra ejemplos de funciones raíz cuadrada específicas, y cómo trasladar o reflejar sus gráficas mediante desplazamientos o reflexiones. Finalmente, proporciona ejercicios para graficar funciones raíz cuadrada dadas y determinar sus dominios y rangos.
Este documento introduce las funciones exponenciales, definidas como f(x) = bx donde b es una constante positiva distinta de 1. Explica que estas funciones tienen dominio en los números reales y rango en los números reales positivos. Muestra ejemplos de gráficas de funciones exponenciales y cómo se pueden transformar mediante traslaciones, reflexiones y estiramientos/contracciones. Finalmente, explica cómo resolver ecuaciones exponenciales igualando las bases.
El documento describe las funciones exponenciales y logarítmicas. Explica que una función exponencial toma la forma f(x)=bx, donde b es la base y x es la variable independiente. Muestra ejemplos de funciones exponenciales como f(x)=2x y cómo se grafican. También introduce conceptos como crecimiento y decaimiento exponencial.
El documento trata sobre el cálculo de derivadas. Explica que la derivada de una función es otra función que mide la tasa de cambio de la primera función y provee fórmulas para calcular derivadas de funciones simples como polinomios, exponenciales y logaritmos. También cubre reglas para derivar sumas, productos y cocientes de funciones.
Este documento trata sobre los conceptos de límites y continuidad en matemáticas. Incluye ejercicios de cálculo de límites, funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta información sobre derivadas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, así como sobre asíntotas de funciones.
El documento describe las propiedades de dominio y recorrido de varias funciones reales, incluyendo sus gráficas, máximos y mínimos relativos, y continuidad. Se analizan las propiedades de 12 funciones a través de actividades que describen el dominio, recorrido, puntos de corte, y otros detalles.
Este documento presenta una introducción teórica a las funciones, incluyendo definiciones de dominio, recorrido, crecimiento, funciones polinómicas y otros tipos de funciones. Luego, proporciona ejercicios resueltos sobre cómo hallar el dominio de funciones, calcular la inversa de funciones y otros conceptos. El objetivo es ayudar a los estudiantes a comprender y aplicar conceptos básicos sobre funciones a través de ejemplos y problemas resueltos paso a paso.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las funciones cuadráticas. Explica que una función cuadrática puede escribirse como f(x)=ax2+bx+c y tiene la forma de una parábola. Describe cómo encontrar el vértice, eje de simetría, ceros y raíces de una función cuadrática. Además, explica cómo graficar funciones cuadráticas y resolver ecuaciones cuadráticas mediante la factorización y el método de completar el cuadrado.
La función I(x) está definida por trazos en diferentes intervalos. Tiene dominio en todo R excepto en x = -5, -2, 0, 6. Los valores máximos son I(3) = 2 y mínimos son I(7) = 0. Tiene discontinuidades en x = -5, -2, 0, 6, 8.
La función P(x) también está definida por trazos. Su dominio es todo R excepto en x = -8, -3, 3, 5. Los valores máximos son P(4) = 5 y mínimos son P(-5.5) =
El documento explica las funciones polinomiales, definidas como funciones cuya expresión contiene términos de potencias de la variable x. Se indica que una función polinomial de grado n contiene términos hasta xn. Se proveen ejemplos de funciones lineales, cuadráticas y cúbicas, así como funciones racionales y trascendentes. Además, se resuelven dos ejemplos completos que incluyen graficar funciones polinomiales dadas y determinar sus dominios e intersecciones con los ejes.
Este documento trata sobre la función raíz cuadrada. Explica que la función raíz cuadrada es f(x)=√x y describe su dominio y rango. También explica cómo graficar esta función y aplicar traslaciones y reflexiones para graficar variaciones de la función. Finalmente, incluye ejercicios para practicar el graficado de funciones raíz cuadrada.
Este documento resume las propiedades de la función f(x) = x3 - 3x + 2. El dominio es el conjunto de los números reales. Los puntos de corte con los ejes son (-2,0), (1,0) y (0,2). No hay asíntotas. Los puntos críticos son -1 y 1, siendo (-1,4) un máximo relativo y (1,0) un mínimo relativo. El punto de inflexión es (0,2).
Este documento presenta un resumen de las principales características de las funciones reales que se estudiarán en la quincena. En la primera sección se define el concepto de función y se explican elementos como el dominio, el recorrido y las funciones definidas a trozos. La segunda sección trata sobre las propiedades de continuidad, periodicidad y simetría de las funciones. Por último, la tercera sección aborda la tasa de variación y el crecimiento de las funciones, así como la determinación de máximos, mínimos, puntos de
Este documento presenta un resumen de las principales características de las funciones reales que se estudiarán en la quincena. En la primera sección se define el concepto de función y se explican elementos como el dominio, el recorrido y las funciones definidas a trozos. La segunda sección trata sobre las propiedades de continuidad, periodicidad y simetría de las funciones. Por último, la tercera sección aborda la tasa de variación y el crecimiento de las funciones, así como la determinación de máximos, mínimos, puntos de
Este documento trata sobre las funciones reales. Explica conceptos como el dominio, el recorrido y las gráficas de funciones. También cubre temas como la continuidad, periodicidad, simetrías, tasa de variación y crecimiento de funciones. El objetivo es que los estudiantes aprendan a interpretar y analizar funciones y sus gráficas.
Este documento trata sobre funciones y gráficas. Explica conceptos como funciones reales, dominio y recorrido, funciones definidas a trozos, propiedades de las funciones como continuidad y periodicidad, y tasa de variación y crecimiento. Contiene ejemplos y ejercicios resueltos para practicar estos conceptos.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con las derivadas y sus aplicaciones. En la primera sección, se pide analizar las condiciones de crecimiento y decrecimiento de una función basadas en el signo de su primera y segunda derivada. Luego, se pide graficar una función con ciertas condiciones dadas en sus intervalos. En la segunda sección, se piden hallar ecuaciones de rectas tangentes a curvas en puntos específicos.
Este documento presenta las funciones elementales más comunes y describe sus características principales. Se dividen en polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, funciones arco, funciones definidas a trozos, función valor absoluto, función parte entera y función parte decimal. Para cada tipo de función se explica su dominio, recorrido, gráfica, simetría y monotonía. Se incluyen ejemplos detallados de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logar
Este documento describe diferentes tipos de funciones especiales, incluidas funciones definidas por tramos o funciones troceadas. Las funciones troceadas presentan diferentes expresiones analíticas o gráficas en diferentes intervalos de su dominio. El documento proporciona ejemplos de funciones troceadas y explica cómo representarlas gráficamente.
Este documento presenta las funciones exponenciales y logarítmicas. Resume que:
1) Las funciones exponenciales tienen la forma f(x)=ax, donde a es la base. Si a>1 la función es creciente, si 0<a<1 es decreciente.
2) Las funciones logarítmicas tienen la forma f(x)=loga(x). Si a>1 son crecientes, si 0<a<1 son decrecientes.
3) Se explican aplicaciones como el interés compuesto, crecimiento de poblaciones y desintegración
Este documento presenta información sobre derivadas y sus aplicaciones. Explica cómo la primera derivada indica si una función está creciendo o decreciendo y cómo la segunda derivada indica si una función es convexa o cóncava. También incluye ejemplos de cómo resolver problemas de optimización usando derivadas para encontrar máximos, mínimos y puntos estacionarios.
1. El documento presenta ejercicios sobre límites de funciones, continuidad y ramas infinitas. Incluye aproximaciones sucesivas para calcular límites, determinar la continuidad de funciones y el tipo de discontinuidad, calcular límites cuando la variable tiende a números reales o infinito, y representar gráficamente las ramas de funciones.
2. Se piden cálculos de límites, determinar intervalos de continuidad y tipos de discontinuidad, hallar asíntotas verticales u horizontales, y representar gráficamente las
El documento explica las funciones cuadráticas y cúbicas. Las funciones cuadráticas se expresan como f(x)=ax^2+bx+c y forman una parábola. Para graficar una parábola se necesitan conocer el vértice, los cortes con los ejes y el eje de simetría. Las funciones cúbicas se expresan como f(x)=ax^3+bx^2+cx+d y forman una curva en forma de S. El documento también cubre las funciones de proporcionalidad inversa, que forman una
Este documento describe diferentes funciones exponenciales y logarítmicas. Explica que las funciones exponenciales de la forma f(x)=ax son siempre crecientes para a>0 y cortan el eje y en (0,1). También describe las propiedades de las funciones logarítmicas como que su dominio es R+ y su recorrido es R.
Este documento describe los pasos para representar gráficamente una función racional. Explica cómo determinar el dominio, puntos de corte, máximos y mínimos, crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión, concavidad y convexidad, así como las asíntotas. Finalmente, detalla el orden para dibujar la representación gráfica de la función.
Este documento describe los diferentes tipos de asíntotas de funciones: verticales, horizontales y oblicuas. Explica que una asíntota es una recta a la que se acerca el gráfico de una función cuando el dominio tiende a cierto valor. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular cada tipo de asíntota para funciones racionales.
El documento analiza el comportamiento gráfico y analítico de las funciones lineales, potencia, exponencial y logarítmica. Explica que las funciones lineales pueden ser crecientes, decrecientes o constantes dependiendo de su pendiente, y muestra ejemplos de cómo graficar cada tipo. Luego, define las funciones potencia, exponencial y logarítmica, y explica sus dominios, recorridos y comportamientos de crecimiento y decrecimiento.
Este documento presenta una guía sobre el trazado de gráficas de funciones utilizando las herramientas de la diferenciación, como criterios de primera y segunda derivada. Explica cómo obtener información de una función a partir de sus derivadas para determinar puntos críticos, intervalos de crecimiento, máximos, mínimos, puntos de inflexión, concavidad y trazar la gráfica. Incluye ejemplos resueltos y ejercicios propuestos para que los estudiantes apliquen los conceptos.
El documento define una función como una relación entre dos variables donde a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente. Explica que una función requiere un dominio, un rango y una regla de correspondencia, y describe características como el dominio, rango, ceros, máximos y mínimos. Además, clasifica funciones en algebraica, polinomial, racional, irracional, trascendente y logarítmica, e ilustra ejemplos de funciones lineales, cuadráticas y exponenciales.
Este documento trata sobre las aplicaciones de la derivada para estudiar el crecimiento y decrecimiento de funciones, encontrar sus máximos y mínimos, determinar la concavidad y convexidad, y localizar puntos de inflexión. Explica cómo usar el signo de la derivada primera para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, y el signo de la derivada segunda para estudiar la concavidad. También presenta criterios para identificar máximos, mínimos y puntos de inflexión utilizando las derivadas primera y segunda.
El documento trata sobre conceptos básicos de cálculo como derivadas, tangentes, normales, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión de funciones. Explica cómo calcular la ecuación de la recta tangente y normal en un punto, y cómo determinar intervalos donde una función es creciente, decreciente, cóncava o convexa. También cubre cómo encontrar máximos, mínimos y puntos de inflexión mediante el cálculo de derivadas.
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José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
4. Introducci´on
Para representar una funci´on hay que realizar los siguientes pasos:
1. C´alculo del dominio de definici´on de la funci´on.
3
5. Introducci´on
Para representar una funci´on hay que realizar los siguientes pasos:
1. C´alculo del dominio de definici´on de la funci´on.
2. Estudio de la simetr´ıa y la periodicidad.
3
6. Introducci´on
Para representar una funci´on hay que realizar los siguientes pasos:
1. C´alculo del dominio de definici´on de la funci´on.
2. Estudio de la simetr´ıa y la periodicidad.
3. C´alculo de los puntos de corte de la funci´on con los ejes.
3
7. Introducci´on
Para representar una funci´on hay que realizar los siguientes pasos:
1. C´alculo del dominio de definici´on de la funci´on.
2. Estudio de la simetr´ıa y la periodicidad.
3. C´alculo de los puntos de corte de la funci´on con los ejes.
4. Estudio del signo de la funci´on.
3
8. Introducci´on
Para representar una funci´on hay que realizar los siguientes pasos:
1. C´alculo del dominio de definici´on de la funci´on.
2. Estudio de la simetr´ıa y la periodicidad.
3. C´alculo de los puntos de corte de la funci´on con los ejes.
4. Estudio del signo de la funci´on.
5. C´alculo de las as´ıntotas.
3
9. Introducci´on
Para representar una funci´on hay que realizar los siguientes pasos:
1. C´alculo del dominio de definici´on de la funci´on.
2. Estudio de la simetr´ıa y la periodicidad.
3. C´alculo de los puntos de corte de la funci´on con los ejes.
4. Estudio del signo de la funci´on.
5. C´alculo de las as´ıntotas.
6. Estudio del crecimiento y decrecimiento de la funci´on.
3
10. Introducci´on
Para representar una funci´on hay que realizar los siguientes pasos:
1. C´alculo del dominio de definici´on de la funci´on.
2. Estudio de la simetr´ıa y la periodicidad.
3. C´alculo de los puntos de corte de la funci´on con los ejes.
4. Estudio del signo de la funci´on.
5. C´alculo de las as´ıntotas.
6. Estudio del crecimiento y decrecimiento de la funci´on.
7. C´alculo de los extremos relativos.
3
11. Introducci´on
Para representar una funci´on hay que realizar los siguientes pasos:
1. C´alculo del dominio de definici´on de la funci´on.
2. Estudio de la simetr´ıa y la periodicidad.
3. C´alculo de los puntos de corte de la funci´on con los ejes.
4. Estudio del signo de la funci´on.
5. C´alculo de las as´ıntotas.
6. Estudio del crecimiento y decrecimiento de la funci´on.
7. C´alculo de los extremos relativos.
8. Estudio de la curvatura de la funci´on .
3
12. Introducci´on
Para representar una funci´on hay que realizar los siguientes pasos:
1. C´alculo del dominio de definici´on de la funci´on.
2. Estudio de la simetr´ıa y la periodicidad.
3. C´alculo de los puntos de corte de la funci´on con los ejes.
4. Estudio del signo de la funci´on.
5. C´alculo de las as´ıntotas.
6. Estudio del crecimiento y decrecimiento de la funci´on.
7. C´alculo de los extremos relativos.
8. Estudio de la curvatura de la funci´on .
9. C´alculo de los puntos de inflexi´on.
3
14. f (x) = x3
− 3x + 2
Estudiar y representar la funci´on: f (x) = x3 − 3x + 2
4
15. f (x) = x3
− 3x + 2
Estudiar y representar la funci´on: f (x) = x3 − 3x + 2
• Dominio:
Como es una funci´on polin´omica el dominio son todos los
n´umeros reales: Domf = R
4
16. f (x) = x3
− 3x + 2
Estudiar y representar la funci´on: f (x) = x3 − 3x + 2
• Dominio:
Como es una funci´on polin´omica el dominio son todos los
n´umeros reales: Domf = R
• Simetr´ıa y periodicidad:
No tiene simetr´ıas ni es peri´odica.
4
17. f (x) = x3
− 3x + 2
Estudiar y representar la funci´on: f (x) = x3 − 3x + 2
• Dominio:
Como es una funci´on polin´omica el dominio son todos los
n´umeros reales: Domf = R
• Simetr´ıa y periodicidad:
No tiene simetr´ıas ni es peri´odica.
• Cortes con los ejes:
4
18. f (x) = x3
− 3x + 2
Estudiar y representar la funci´on: f (x) = x3 − 3x + 2
• Dominio:
Como es una funci´on polin´omica el dominio son todos los
n´umeros reales: Domf = R
• Simetr´ıa y periodicidad:
No tiene simetr´ıas ni es peri´odica.
• Cortes con los ejes:
• Eje OX:
f (x) = 0 ⇒ x3
−3x+2 = 0 ⇒
x = −2
x = 1
(−2, 0) (1, 0)
4
19. f (x) = x3
− 3x + 2
Estudiar y representar la funci´on: f (x) = x3 − 3x + 2
• Dominio:
Como es una funci´on polin´omica el dominio son todos los
n´umeros reales: Domf = R
• Simetr´ıa y periodicidad:
No tiene simetr´ıas ni es peri´odica.
• Cortes con los ejes:
• Eje OX:
f (x) = 0 ⇒ x3
−3x+2 = 0 ⇒
x = −2
x = 1
(−2, 0) (1, 0)
• Eje OY: x = 0 ⇒ f (0) = 2 (0, 2)
4
21. f (x) = x3
− 3x + 2
• Signo de la funci´on:
Para calcular el signo tomamos los puntos de corte con el eje
OX
Intervalo (−∞, −2) (−2, 1) (1, +∞)
Signo(f (x)) negativo positivo positivo
5
22. f (x) = x3
− 3x + 2
• Signo de la funci´on:
Para calcular el signo tomamos los puntos de corte con el eje
OX
Intervalo (−∞, −2) (−2, 1) (1, +∞)
Signo(f (x)) negativo positivo positivo
• As´ıntotas:
No tiene por ser una funci´on polin´omica.
5
23. • Crecimiento y decrecimiento:
Hallamos la derivada de la funci´on y la igualamos a cero.
f (x) = 3x2 − 3 ⇒ 3x2 − 3 = 0 ⇒
x = −1
x = 1
6
24. • Crecimiento y decrecimiento:
Hallamos la derivada de la funci´on y la igualamos a cero.
f (x) = 3x2 − 3 ⇒ 3x2 − 3 = 0 ⇒
x = −1
x = 1
Intervalo (−∞, −1) (−1, 1) (1, +∞)
Signo(f (x)) + − +
f (x) creciente decreciente creciente
6
25. • Crecimiento y decrecimiento:
Hallamos la derivada de la funci´on y la igualamos a cero.
f (x) = 3x2 − 3 ⇒ 3x2 − 3 = 0 ⇒
x = −1
x = 1
Intervalo (−∞, −1) (−1, 1) (1, +∞)
Signo(f (x)) + − +
f (x) creciente decreciente creciente
• Extremos relativos:
Con la tabla anterior hallamos los m´aximos y los m´ınimos
locales.
M´aximo (−1, 4)
m´ınimo (1, 0)
6
27. f (x) = x3
− 3x + 2
• Curvatura:
Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.
f (x) = 6x ⇒ 6x = 0 ⇒ x = 0
7
28. f (x) = x3
− 3x + 2
• Curvatura:
Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.
f (x) = 6x ⇒ 6x = 0 ⇒ x = 0
Intervalo (−∞, 0) (0, +∞)
Signo(f (x)) − +
f (x) convexa concava
7
29. f (x) = x3
− 3x + 2
• Curvatura:
Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.
f (x) = 6x ⇒ 6x = 0 ⇒ x = 0
Intervalo (−∞, 0) (0, +∞)
Signo(f (x)) − +
f (x) convexa concava
• Puntos de inflexi´on:
Con la tabla anterior hallamos los puntos de inflexi´on:
Punto de inflexi´on: (0, 2)
7
30. f (x) = x3
− 3x + 2
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
8
31. f (x) = x3
− 3x + 2
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
32. f (x) = x3
− 3x + 2
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
33. f (x) = x3
− 3x + 2
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
M
m
P.I.
34. f (x) = x3
− 3x + 2
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
M
m
P.I.
35. f (x) = x3
− 3x + 2
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
M
m
P.I.
36. f (x) = x3
− 3x + 2
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
M
m
P.I.
8
37. f (x) =
x2
x2 − 4
Estudiar y representar la funci´on: f (x) =
x2
x2 − 4
9
38. f (x) =
x2
x2 − 4
Estudiar y representar la funci´on: f (x) =
x2
x2 − 4
• Dominio: como es una funci´on racional no existir´a en los
puntos donde el denominador sea cero.
x2 − 4 = 0 ⇒
x = −2
x = 2
.
Luego, Domf = R − {−2, 2}
9
39. f (x) =
x2
x2 − 4
Estudiar y representar la funci´on: f (x) =
x2
x2 − 4
• Dominio: como es una funci´on racional no existir´a en los
puntos donde el denominador sea cero.
x2 − 4 = 0 ⇒
x = −2
x = 2
.
Luego, Domf = R − {−2, 2}
• Simetr´ıa y periodicidad:
Hallamos f (−x) =
(−x)2
(−x)2 − 4
=
x2
x2 − 4
= f (x).
Luego la funci´on es par, es sim´etrica respecto al eje OY
No es peri´odica.
9
41. f (x) =
x2
x2 − 4
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒
x2
x2 − 4
⇒ x2
= 0 ⇒ x = 0 (0, 0)
10
42. f (x) =
x2
x2 − 4
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒
x2
x2 − 4
⇒ x2
= 0 ⇒ x = 0 (0, 0)
• Eje OY: x = 0 ⇒ f (0) = 0 (0, 0)
10
43. f (x) =
x2
x2 − 4
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒
x2
x2 − 4
⇒ x2
= 0 ⇒ x = 0 (0, 0)
• Eje OY: x = 0 ⇒ f (0) = 0 (0, 0)
• Signo de la funci´on:
Para calcular el signo tomamos los puntos de corte con el eje
OX y los puntos de discontinuidad.
10
44. f (x) =
x2
x2 − 4
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒
x2
x2 − 4
⇒ x2
= 0 ⇒ x = 0 (0, 0)
• Eje OY: x = 0 ⇒ f (0) = 0 (0, 0)
• Signo de la funci´on:
Para calcular el signo tomamos los puntos de corte con el eje
OX y los puntos de discontinuidad.
Intervalo (−∞, −2) (−2, 0) (0, 2) (2, +∞)
Signo(f (x)) positivo negativo negativo positivo
10
50. f (x) =
x2
x2 − 4
• Crecimiento y decrecimiento:
Hallamos la derivada de la funci´on y la igualamos a cero.
f (x) =
2x · (x2 − 4) − x2 · 2x
(x2 − 4)2
=
−8x
(x2 − 4)2
−8x
(x2 − 4)2
= 0 ⇒ −8x = 0 ⇒ x = 0
Tomamos este valor y los puntos de discontinuidad:
12
51. f (x) =
x2
x2 − 4
• Crecimiento y decrecimiento:
Hallamos la derivada de la funci´on y la igualamos a cero.
f (x) =
2x · (x2 − 4) − x2 · 2x
(x2 − 4)2
=
−8x
(x2 − 4)2
−8x
(x2 − 4)2
= 0 ⇒ −8x = 0 ⇒ x = 0
Tomamos este valor y los puntos de discontinuidad:
Intervalo (−∞, −2) (−2, 0) (0, 2) (2, +∞)
Signo(f (x)) + + − −
f (x) creciente creciente decreciente decreciente
12
52. f (x) =
x2
x2 − 4
• Crecimiento y decrecimiento:
Hallamos la derivada de la funci´on y la igualamos a cero.
f (x) =
2x · (x2 − 4) − x2 · 2x
(x2 − 4)2
=
−8x
(x2 − 4)2
−8x
(x2 − 4)2
= 0 ⇒ −8x = 0 ⇒ x = 0
Tomamos este valor y los puntos de discontinuidad:
Intervalo (−∞, −2) (−2, 0) (0, 2) (2, +∞)
Signo(f (x)) + + − −
f (x) creciente creciente decreciente decreciente
• Extremos relativos:
Con la tabla anterior hallamos los m´aximos y los m´ınimos
locales.
M´aximo(0, 0)
12
54. f (x) =
x2
x2 − 4
• Curvatura:
Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.
f (x) =
−8 · (x2 − 4)2 − (−8x) · 2(x2 − 4) · 2x
(x2 − 4)4
=
(x2 − 4)(−8 · (x2 − 4) + 8x · 4x)
(x2 − 4)4
=
16x2 + 32
(x2 − 4)3
Igualamos a cero:
16x2 + 32
(x2 − 4)3
= 0 ⇒ 16x2 + 32 = 0 ⇒ No hay soluci´on.
Tomamos los puntos de discontinuidad:
13
55. f (x) =
x2
x2 − 4
• Curvatura:
Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.
f (x) =
−8 · (x2 − 4)2 − (−8x) · 2(x2 − 4) · 2x
(x2 − 4)4
=
(x2 − 4)(−8 · (x2 − 4) + 8x · 4x)
(x2 − 4)4
=
16x2 + 32
(x2 − 4)3
Igualamos a cero:
16x2 + 32
(x2 − 4)3
= 0 ⇒ 16x2 + 32 = 0 ⇒ No hay soluci´on.
Tomamos los puntos de discontinuidad:
Intervalo (−∞, −2) (−2, 2) (2, +∞)
Signo(f (x)) + − +
f (x) concava convexa concava
13
56. f (x) =
x2
x2 − 4
• Curvatura:
Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.
f (x) =
−8 · (x2 − 4)2 − (−8x) · 2(x2 − 4) · 2x
(x2 − 4)4
=
(x2 − 4)(−8 · (x2 − 4) + 8x · 4x)
(x2 − 4)4
=
16x2 + 32
(x2 − 4)3
Igualamos a cero:
16x2 + 32
(x2 − 4)3
= 0 ⇒ 16x2 + 32 = 0 ⇒ No hay soluci´on.
Tomamos los puntos de discontinuidad:
Intervalo (−∞, −2) (−2, 2) (2, +∞)
Signo(f (x)) + − +
f (x) concava convexa concava
• Puntos de inflexi´on:
Con la tabla anterior hallamos los puntos de inflexi´on:
No hay puntos de inflexi´on 13
57. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
58. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
59. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
60. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
61. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
62. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
M
63. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
M
64. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
M
65. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
M
66. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
M
14
67. f (x) = x +
1
x
Estudiar y representar la funci´on: f (x) = x +
1
x
15
68. f (x) = x +
1
x
Estudiar y representar la funci´on: f (x) = x +
1
x
• Dominio: como es una funci´on racional no existir´a en los
puntos donde el denominador sea cero.
x = 0.
Luego, Domf = R − {0}
15
69. f (x) = x +
1
x
Estudiar y representar la funci´on: f (x) = x +
1
x
• Dominio: como es una funci´on racional no existir´a en los
puntos donde el denominador sea cero.
x = 0.
Luego, Domf = R − {0}
• Simetr´ıa y periodicidad:
Hallamos f (−x) = (−x) +
1
(−x)
= −x −
1
x
= −f (x).
Luego la funci´on es impar, es sim´etrica respecto al origen.
No es peri´odica.
15
71. f (x) = x +
1
x
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒ x +
1
x
= 0 ⇒ x = −
1
x
⇒ x2
= −1. No
hay corte con el eje OX
16
72. f (x) = x +
1
x
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒ x +
1
x
= 0 ⇒ x = −
1
x
⇒ x2
= −1. No
hay corte con el eje OX
• Eje OY: x = 0 La funci´on no existe, luego, no hay corte con el
eje OY
16
73. f (x) = x +
1
x
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒ x +
1
x
= 0 ⇒ x = −
1
x
⇒ x2
= −1. No
hay corte con el eje OX
• Eje OY: x = 0 La funci´on no existe, luego, no hay corte con el
eje OY
• Signo de la funci´on:
Para calcular el signo tomamos los puntos de corte con el eje
OX y los puntos de discontinuidad.
16
74. f (x) = x +
1
x
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒ x +
1
x
= 0 ⇒ x = −
1
x
⇒ x2
= −1. No
hay corte con el eje OX
• Eje OY: x = 0 La funci´on no existe, luego, no hay corte con el
eje OY
• Signo de la funci´on:
Para calcular el signo tomamos los puntos de corte con el eje
OX y los puntos de discontinuidad.
Intervalo (−∞, 0) (0, +∞)
Signo(f (x)) negativo positivo
16
77. f (x) = x +
1
x
• As´ıntotas:
• Verticales:
lim
x→0
x +
1
x
= ∞
Luego tiene una as´ıntota vertical: x = 0
17
78. f (x) = x +
1
x
• As´ıntotas:
• Verticales:
lim
x→0
x +
1
x
= ∞
Luego tiene una as´ıntota vertical: x = 0
• Horizontales:
lim
x→±∞
x +
1
x
= ∞
No hay as´ıntota horizontal.
17
79. f (x) = x +
1
x
• As´ıntotas:
• Verticales:
lim
x→0
x +
1
x
= ∞
Luego tiene una as´ıntota vertical: x = 0
• Horizontales:
lim
x→±∞
x +
1
x
= ∞
No hay as´ıntota horizontal.
• Oblicua:
m = lim
x→±∞
x +
1
x
x
= lim
x→±∞
1 +
1
x2
= 1
n = lim
x→±∞
x +
1
x
− x = lim
x→±∞
1
x
= 0
As´ıntota horizontal: y = x
17
81. f (x) = x +
1
x
• Crecimiento y decrecimiento:
Hallamos la derivada de la funci´on y la igualamos a cero.
f (x) = 1 −
1
x2
1 −
1
x2
= 0 ⇒ 1 =
1
x2
⇒ x2 = 1
x = −1
x = 1
Tomamos estos valor y los puntos de discontinuidad:
18
82. f (x) = x +
1
x
• Crecimiento y decrecimiento:
Hallamos la derivada de la funci´on y la igualamos a cero.
f (x) = 1 −
1
x2
1 −
1
x2
= 0 ⇒ 1 =
1
x2
⇒ x2 = 1
x = −1
x = 1
Tomamos estos valor y los puntos de discontinuidad:
Intervalo (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, +∞)
Signo(f (x)) + − − +
f (x) creciente decreciente decreciente creciente
18
83. f (x) = x +
1
x
• Crecimiento y decrecimiento:
Hallamos la derivada de la funci´on y la igualamos a cero.
f (x) = 1 −
1
x2
1 −
1
x2
= 0 ⇒ 1 =
1
x2
⇒ x2 = 1
x = −1
x = 1
Tomamos estos valor y los puntos de discontinuidad:
Intervalo (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, +∞)
Signo(f (x)) + − − +
f (x) creciente decreciente decreciente creciente
• Extremos relativos:
Con la tabla anterior hallamos los m´aximos y los m´ınimos
locales.
M´aximo(−1, −2) M´ınimo(1, 2) 18
85. f (x) = x +
1
x
• Curvatura:
Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.
f (x) =
2
x3
Igualamos a cero:
2
x3
= 0 ⇒ No hay soluci´on.
Tomamos los puntos de discontinuidad:
19
86. f (x) = x +
1
x
• Curvatura:
Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.
f (x) =
2
x3
Igualamos a cero:
2
x3
= 0 ⇒ No hay soluci´on.
Tomamos los puntos de discontinuidad:
Intervalo (−∞, 0) (0, +∞)
Signo(f (x)) − +
f (x) convexa concava
19
87. f (x) = x +
1
x
• Curvatura:
Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.
f (x) =
2
x3
Igualamos a cero:
2
x3
= 0 ⇒ No hay soluci´on.
Tomamos los puntos de discontinuidad:
Intervalo (−∞, 0) (0, +∞)
Signo(f (x)) − +
f (x) convexa concava
• Puntos de inflexi´on:
Con la tabla anterior hallamos los puntos de inflexi´on:
No hay puntos de inflexi´on
19
88. f (x) = x +
1
x
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
89. f (x) = x +
1
x
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
90. f (x) = x +
1
x
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
91. f (x) = x +
1
x
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
M
m
92. f (x) = x +
1
x
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
M
m
93. f (x) = x +
1
x
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
M
m
20
94. f (x) = ln
2x
2 − x
Representar la funci´on f (x) = ln
2x
2 − x
21
95. f (x) = ln
2x
2 − x
Representar la funci´on f (x) = ln
2x
2 − x
• Dominio: Un logaritmo s´olo existe cuando el argumento es
positivo. En este caso,
2x
2 − x
> 0
Resolvemos esta inecuaci´on mirando el signo del numerador y
denominador:
21
96. f (x) = ln
2x
2 − x
Representar la funci´on f (x) = ln
2x
2 − x
• Dominio: Un logaritmo s´olo existe cuando el argumento es
positivo. En este caso,
2x
2 − x
> 0
Resolvemos esta inecuaci´on mirando el signo del numerador y
denominador:
Intervalo (−∞, 0) (0, 2) (2, +∞)
2x − + +
2 − x + + −
2x
2 − x
− + −
21
97. f (x) = ln
2x
2 − x
Representar la funci´on f (x) = ln
2x
2 − x
• Dominio: Un logaritmo s´olo existe cuando el argumento es
positivo. En este caso,
2x
2 − x
> 0
Resolvemos esta inecuaci´on mirando el signo del numerador y
denominador:
Intervalo (−∞, 0) (0, 2) (2, +∞)
2x − + +
2 − x + + −
2x
2 − x
− + −
Luego Domf = (0, 2)
• Simetr´ıa y periodicidad:
No tiene simetr´ıas ni es peri´odica.
21
99. f (x) = ln
2x
2 − x
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒ ln
2x
2 − x
⇒
2x
2 − x
= 1 ⇒
⇒ 2x = 2 − x ⇒ 3x = 2 ⇒ x =
2
3
2
3
, 0
22
100. f (x) = ln
2x
2 − x
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒ ln
2x
2 − x
⇒
2x
2 − x
= 1 ⇒
⇒ 2x = 2 − x ⇒ 3x = 2 ⇒ x =
2
3
2
3
, 0
• Eje OY: x = 0. No existe f (0) ⇒ no hay corte con este eje
• Signo de la funci´on:
Estudiamos el signo de la funci´on dentro de su dominio
tomando los puntos de corte con el eje OX .
22
101. f (x) = ln
2x
2 − x
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒ ln
2x
2 − x
⇒
2x
2 − x
= 1 ⇒
⇒ 2x = 2 − x ⇒ 3x = 2 ⇒ x =
2
3
2
3
, 0
• Eje OY: x = 0. No existe f (0) ⇒ no hay corte con este eje
• Signo de la funci´on:
Estudiamos el signo de la funci´on dentro de su dominio
tomando los puntos de corte con el eje OX .
Intervalo (0, 2/3) (2/3, 2)
Signo(f (x)) negativo positivo
22
102. f (x) = ln
2x
2 − x
• As´ıntotas
• Verticales:
23
103. f (x) = ln
2x
2 − x
• As´ıntotas
• Verticales: Teniendo en cuenta que ln 0 → −∞ y ln ∞ → ∞,
calculamos:
23
104. f (x) = ln
2x
2 − x
• As´ıntotas
• Verticales: Teniendo en cuenta que ln 0 → −∞ y ln ∞ → ∞,
calculamos: lim
x→0
ln
2x
2 − x
= −∞
lim
x→2
ln
2x
2 − x
= ∞
23
105. f (x) = ln
2x
2 − x
• As´ıntotas
• Verticales: Teniendo en cuenta que ln 0 → −∞ y ln ∞ → ∞,
calculamos: lim
x→0
ln
2x
2 − x
= −∞
lim
x→2
ln
2x
2 − x
= ∞ Por lo tanto, hay dos as´ıntotas
verticales:x = 0 x = 2
23
106. f (x) = ln
2x
2 − x
• As´ıntotas
• Verticales: Teniendo en cuenta que ln 0 → −∞ y ln ∞ → ∞,
calculamos: lim
x→0
ln
2x
2 − x
= −∞
lim
x→2
ln
2x
2 − x
= ∞ Por lo tanto, hay dos as´ıntotas
verticales:x = 0 x = 2
• Horizontales:
23
107. f (x) = ln
2x
2 − x
• As´ıntotas
• Verticales: Teniendo en cuenta que ln 0 → −∞ y ln ∞ → ∞,
calculamos: lim
x→0
ln
2x
2 − x
= −∞
lim
x→2
ln
2x
2 − x
= ∞ Por lo tanto, hay dos as´ıntotas
verticales:x = 0 x = 2
• Horizontales:no podemos calcular el l´ımite cuando x → ±∞
ya que no esta dentro del dominio, por lo tanto, no hay
as´ıntotas horizontales.
23
108. f (x) = ln
2x
2 − x
• Crecimiento y decrecimiento:
24
109. f (x) = ln
2x
2 − x
• Crecimiento y decrecimiento: Caculamos la derivada de la
funci´on:
f (x) =
1
2x
2 − x
2(2 − x) − 2x(−1)
(2 − x)2
=
2 − x
2x
4
(2 − x)2
=
2
x(2 − x)
24
110. f (x) = ln
2x
2 − x
• Crecimiento y decrecimiento: Caculamos la derivada de la
funci´on:
f (x) =
1
2x
2 − x
2(2 − x) − 2x(−1)
(2 − x)2
=
2 − x
2x
4
(2 − x)2
=
2
x(2 − x)
Esta derivada nunca es cero, por lo tanto, la funci´on
es creciente o decreciente en su dominio.
24
111. f (x) = ln
2x
2 − x
• Crecimiento y decrecimiento: Caculamos la derivada de la
funci´on:
f (x) =
1
2x
2 − x
2(2 − x) − 2x(−1)
(2 − x)2
=
2 − x
2x
4
(2 − x)2
=
2
x(2 − x)
Esta derivada nunca es cero, por lo tanto, la funci´on
es creciente o decreciente en su dominio. Estudiando el signo
vemos que la derivada es siempre positiva, luego la funci´on es
creciente en todo su dominio
• Extremos relativos:
24
112. f (x) = ln
2x
2 − x
• Crecimiento y decrecimiento: Caculamos la derivada de la
funci´on:
f (x) =
1
2x
2 − x
2(2 − x) − 2x(−1)
(2 − x)2
=
2 − x
2x
4
(2 − x)2
=
2
x(2 − x)
Esta derivada nunca es cero, por lo tanto, la funci´on
es creciente o decreciente en su dominio. Estudiando el signo
vemos que la derivada es siempre positiva, luego la funci´on es
creciente en todo su dominio
• Extremos relativos: La funci´on no tiene extremos relativos
por ser siempre creciente.
24
114. f (x) = ln
2x
2 − x
• Curvatura: Hallamos la segunda derivada:
f (x) = −
(2 − x) + x(−1)
(x(2 − x))2
=
2x − 2
(x(2 − x))2
La igualmos a cero:
2x − 2
(x(2 − x))2
= 0 ⇒ 2x − 2 = 0 ⇒ x = 1
Estudiamos el signo de la derivada segunda dentro del
dominio.
25
115. f (x) = ln
2x
2 − x
• Curvatura: Hallamos la segunda derivada:
f (x) = −
(2 − x) + x(−1)
(x(2 − x))2
=
2x − 2
(x(2 − x))2
La igualmos a cero:
2x − 2
(x(2 − x))2
= 0 ⇒ 2x − 2 = 0 ⇒ x = 1
Estudiamos el signo de la derivada segunda dentro del
dominio.
Intervalo (0, 1) (1, 2)
Signo(f (x)) − +
f (x) convexa concava
25
116. f (x) = ln
2x
2 − x
• Curvatura: Hallamos la segunda derivada:
f (x) = −
(2 − x) + x(−1)
(x(2 − x))2
=
2x − 2
(x(2 − x))2
La igualmos a cero:
2x − 2
(x(2 − x))2
= 0 ⇒ 2x − 2 = 0 ⇒ x = 1
Estudiamos el signo de la derivada segunda dentro del
dominio.
Intervalo (0, 1) (1, 2)
Signo(f (x)) − +
f (x) convexa concava
• Puntos de inflexi´on:
Con la tabla anterior hallamos los puntos de inflexi´on:
Punto inflexi´on: (1, ln 2)
25
117. f (x) = ln
2x
2 − x
Hacemos la gr´afica de la funci´on:
x
y
−1 0 1 2 3
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
118. f (x) = ln
2x
2 − x
Hacemos la gr´afica de la funci´on:
x
y
−1 0 1 2 3
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
119. f (x) = ln
2x
2 − x
Hacemos la gr´afica de la funci´on:
x
y
−1 0 1 2 3
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
120. f (x) = ln
2x
2 − x
Hacemos la gr´afica de la funci´on:
x
y
−1 0 1 2 3
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
121. f (x) = ln
2x
2 − x
Hacemos la gr´afica de la funci´on:
x
y
−1 0 1 2 3
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
PI
122. f (x) = ln
2x
2 − x
Hacemos la gr´afica de la funci´on:
x
y
−1 0 1 2 3
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
PI
26