Este documento trata sobre el cálculo de integrales dobles sobre regiones generales. Explica cómo calcular estas integrales utilizando integrales iteradas y el teorema de Fubini. También cubre cómo cambiar el orden de integración cuando es necesario para simplificar el cálculo, asegurándose de que los límites internos dependan de la variable de integración externa. Finalmente, presenta ejemplos resueltos de diferentes integrales dobles sobre regiones generales.
Hola amigos! :-)
Saludos!
Adjunto un documento educativo de matemática, donde resuelvo ejercicios diversos de Cálculo diferencial e integral. <<cjag>>
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Derivadas por método de:
cuatro pasos
fórmula UV o U/V
ecuaciones implícitas por fórmula.
Derivadas de segundo orden de ecuaciones implícitas.
derivadas de orden superior
Primer y segundo teorema fundamental del cálculo, incluye teoría y ejercicios resueltos para un mejor entendimiento. Información básica para estudiantes de ingenieria.
D17_INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES.pdfahhsbabsa
En general el término cálculo (del latín calculus, piedrecita, usado para contar o como ayuda al calcular)1 hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.
En general el término cálculo (del latín calculus, piedrecita, usado para contar o como ayuda al calcular)1 hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.
En general el término cálculo (del latín calculus, piedrecita, usado para contar o como ayuda al calcular)1 hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.
En general el término cálculo (del latín calculus, piedrecita, usado para contar o como ayuda al calcular)1 hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.
D10_DERIVADAS DIRECCIONALES Y GRADIENTE.pdfahhsbabsa
En general el término cálculo (del latín calculus, piedrecita, usado para contar o como ayuda al calcular)1 hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.
D14_EXTREMOS DE FUNCIONES VARIAS VARIABLES.pdfahhsbabsa
En general el término cálculo (del latín calculus, piedrecita, usado para contar o como ayuda al calcular)1 hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.
D11_DERIVADAS PARCIALES ORDEN SUPERIOR.pdfahhsbabsa
En general el término cálculo (del latín calculus, piedrecita, usado para contar o como ayuda al calcular)1 hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.
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a polarización fija es una técnica de polarización simple y económica, adecuada para aplicaciones donde la estabilidad del punto de operación no es crítica. Sin embargo, debido a su alta sensibilidad a las variaciones de
𝛽
β y temperatura, su uso en aplicaciones prácticas suele ser limitado. Para mayor estabilidad, se prefieren configuraciones como la polarización con divisor de tensión o la polarización por retroalimentación.
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Criterios de la primera y segunda derivadaYoverOlivares
Criterios de la primera derivada.
Criterios de la segunda derivada.
Función creciente y decreciente.
Puntos máximos y mínimos.
Puntos de inflexión.
3 Ejemplos para graficar funciones utilizando los criterios de la primera y segunda derivada.
2. Objetivo
Calcular la integral doble sobre regiones generales, por
medio de integrales iteradas y el teorema de Fubini.
Resolver adecuadamente diferentes integrales dobles en
los cuales deba realizar un cambio en el orden de
integración para obtener una integral más sencilla de
realizar.
4. REGIONES DE INTEGRACIÓN
REGIONES DE TIPO (II)
𝐷2 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2
/𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝜓1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝜓2(𝑦)
REGIONES DE TIPO (I)
𝐷1 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2
/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝜙1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝜙2(𝑥)
5. TEOREMA DE FUBINI PARA REGIONES DE
INTEGRACIÓN
Supongamos que 𝑓 es continua en 𝐷.
ඵ
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = න
𝑐
𝑑
න
𝜓1(𝑦)
𝜓2(𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
ඵ
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = න
𝑎
𝑏
න
𝜙1(𝑥)
𝜙2(𝑥)
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
11. CAMBIO EN EL ORDEN DE INTEGRACIÓN
Como se vio en temas anteriores para regiones rectangulares al cambiar el orden de
integración, los límites de las integrales por ser constantes se mantienen iguales.
𝑅
𝑥2
𝑦𝑒𝑥𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦=0
1
0
2
𝑥2
𝑦𝑒𝑥𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0
2
0
1
𝑥2
𝑦𝑒𝑥𝑦
𝑑𝑥 𝑑𝑦
Sin embargo cuando tenemos regiones generales, éstas no siempre se pueden
resolver fácilmente con cualquier orden de integración.
න
0
2
න
𝑥
2
𝑒−𝑦2
𝑑𝑦𝑑𝑥
Es decir que cuando la región es de forma general en algunos casos existe un orden de
integración mas conveniente que otros y es importante identificarlo para facilitar el
cálculo de la integral.
12. CAMBIO EN EL ORDEN DE INTEGRACIÓN
Al hacer el cambio de orden de integración se debe tener en cuenta que los límites
variables sólo pueden estar presentes en la integral interna y éstos deben estar en
función del diferencial externo; los limites de la integral externa serán valores
constantes.
0
2
𝑦2
6−𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥 Los límites externos son constantes, pero los límites
internos NO son función del diferencial externo
1
𝑦
1+𝑥
4−𝑥2
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥 Los límites internos son función del diferencial externo,
pero los límites externos NO son constantes.
3
4
3−𝑥
𝑥2−2
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥 Los límites internos son función del diferencial externo
y los límites externos son constantes.
13. Ejemplos: En las siguientes integrales cambiar el orden de integración
y evaluar la integral resultante
•
1.
0
2
𝑦
2
1
𝑒𝑥2
𝑑𝑥𝑑𝑦
Solución:
De la integral doble tenemos:
0 ≤ 𝑦 ≤ 2 ;
𝑦
2
≤ 𝑥 ≤ 1
Con lo que hacemos el gráfico.
Luego en el gráfico observamos:
0 ≤ 𝑥 ≤ 1 ; 0 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑥
14. Planteando la integral doble como una región tipo I
න
0
1
න
0
2𝑥
𝑒𝑥2
𝑑𝑦𝑑𝑥 = න
0
1
𝑒𝑥2
න
0
2𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑥
=
0
1
𝑒𝑥2
𝑦 𝑦=0
𝑦=2𝑥
𝑑𝑥
=
0
1
𝑒𝑥2
2𝑥 𝑑𝑥
=
1
2
𝑒𝑥2
0
1
න
0
1
න
0
2𝑥
𝑒𝑥2
𝑑𝑦𝑑𝑥 =
1
2
𝑒 − 1