Este documento presenta ejercicios de integración múltiple resueltos por un estudiante. Incluye 6 ejercicios de cálculo de áreas bajo curvas y volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales iteradas e integrales múltiples. También explica brevemente la integración múltiple y su relación con las integrales iteradas.

1. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DEL GOLFO DE MÉXICO
Ciencia y Tecnología que Transforman”
Ingeniería en Automatización y Control Industrial.
CARRERA:
MATERIA:
Matemáticas para ingeniería I.
ALUMNO:
Bolón Aguilar Thomas Eduardo
FACILITADOR:
Dra. Gladys del Carmen Velázquez López
GRADO: GRUPO:
5° A
PARAÍSO, TABASCO. 9 de abril del 2020
“EJERCICIOS INTEGRACIÓN MÚLTIPLE.”

2. EJERCICIOS:
9 DE ABRIL.

3. 1. 𝟎
𝝅 𝟐
𝟎
𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝒓 𝒅𝒓𝒅𝜽
 = 0
𝜋 2 𝑟2
2
2 cos 𝜃
0
𝑑𝜃
 = 0
𝜋 2 (2 cos 𝜃)2
2
−
(0)2
2
𝑑𝜃
 = 0
𝜋 2 4 cos 𝜃2
2
𝑑𝜃
 = 0
𝜋 2
2 cos 𝜃2 𝑑𝜃
 = 2 0
𝜋 2 1 + cos 2𝜃
2
𝑑𝜃
 = 0
𝜋 2
1 + cos 𝜃 𝑑𝜃
 = 0
𝜋 2
1𝑑𝜃 + 0
𝜋 2
cos 2𝜃 𝑑𝜃
 = 𝜃 +
sin 2𝜃
2
𝜋 2
0
 =
𝜋
2
+
sin 2(
𝜋
2
)
2
− 0 +
sin 2(0)
2
 =
𝜋
2
0 0
En los ejercicios 1-3, calcular la integral
iterada.

4. 2. 𝟎
𝟏
𝟎
𝟐
𝒙 + 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙
 = 0
1
0
2
(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥
 = 0
1
0
2
𝑥𝑑𝑦 + 0
2
𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥
 = 0
1
𝑥𝑦 +
𝑦2
2
𝑑𝑥
 = 0
1
(𝑥𝑦 +
𝑦2
2
) 2
0
𝑑𝑥
 = 0
1
( 𝑥 2 +
2 2
2
− 𝑥 0 +
0 2
2
)𝑑𝑥
 = 0
1
2𝑥 + 2 𝑑𝑥
 = 0
1
2𝑥 𝑑𝑥+ 0
1
2 𝑑𝑥
 =(2
𝑥2
2
+ 2𝑥) 1
0
 =(𝑥2 + 2𝑥) 1
0
00
 =((1)2
+ 2 1 − (0)2
+ 2 0 )
 = 1 + 2
 = 3
0 0
0

5. 3. 𝟎
𝟏
𝒚
𝟐𝒚
𝟏 + 𝟐𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒚 𝟐
𝒅𝒙𝒅𝒚
 = 0
1
𝑦
2𝑦
1𝑑𝑥 + 𝑦
2𝑦
2𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑦
2𝑦
2𝑦2 𝑑𝑥 𝑑𝑦
 = 0
1
(𝑥 +
2𝑥3
3
+ 2𝑦2
𝑥) 2𝑦
𝑦
𝑑𝑥
 = 0
1
(2𝑦 +
2(2𝑦)3
3
+ 2𝑦2 2𝑦 − 𝑦 +
2(𝑦)3
3
+ 2𝑦2 𝑦 )𝑑𝑥
 = 0
1
(2𝑦 +
16(𝑦)3
3
+ 4𝑦3 − y +
8(𝑦)3
3
)𝑑𝑦
 = 0
1
(𝑦 +
20(𝑦)3
3
)𝑑𝑦
 = 0
1
𝑦 𝑑𝑦 + 0
1
(
20(𝑦)3
3
)𝑑𝑦
 =(
(𝑦)2
2
+
5(𝑦)4
3
) 1
0
 =
(1)2
2
+
5(1)4
3
−
(0)2
2
+
5(0)4
3
 =
1
2
+
5
3
 =
13
6
0 0

6. 4. 𝟎
𝟑
𝟎
𝟖
𝒅𝒙𝒅𝒚
 = 0
3
(𝑥) 8
0
𝑑𝑦
 = 0
3
8 − 0 𝑑𝑦
 = 0
3
8 𝑑𝑦
 = 8𝑦 3
0
 = 8 3 − 8 0
 = 24
(8,3)
8
3
𝑅 = 0 ≤ 𝑥 ≤ 8 , 0 ≤ 𝑦 ≤ 3
0
En los ejercicios 4.6, usar una integral
Iterada para hallar el área de la región.

7. 5. 𝟎
𝟐
𝟎
𝟒−𝒙 𝟐
𝒅𝒚𝒅𝒙
 = 0
2
(𝑦) 4−𝑥2
0
𝑑𝑥
 = 0
2
(4 − 𝑥2
− 0)𝑑𝑥
 = 0
2
4 − 𝑥2
𝑑𝑥
 = 0
2
4 𝑑𝑥 − 0
2
𝑥2
𝑑𝑥
 = 4𝑥 −
𝑥3
3
2
0
 = 4 2 −
(2)3
3
− 4 0 −
(0)3
3
 = 8 −
8
3
 =
16
3
2
4 𝑦 = 4 − 𝑥2
𝑅 = 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 , 0 ≤ 𝑦 ≤ 4 − 𝑥2
00

8. 6. −𝟐
𝟏
𝒙+𝟐
𝟒−𝒙 𝟐
𝒅𝒚𝒅𝒙
 = −2
1
((𝑦) 4−𝑥2
𝑥+2
) 𝑑𝑥
 = −2
1
(4 − 𝑥2 − 𝑥 + 2) 𝑑𝑥
 = −2
1
2 − 𝑥2 − 𝑥 𝑑𝑥
 = −2
1
2𝑑𝑥 − −2
1
𝑥2 𝑑𝑥 − −2
1
𝑥𝑑𝑥
 =(2𝑥 −
𝑥3
3
−
𝑥2
2
) 1
−2
2-2
2
𝑦 = 𝑥 + 2𝑦 = 4 − 𝑥2
𝑅 = −2 ≤ 𝑥 ≤ 1 , 𝑥 + 2 ≤ 𝑦 ≤ 4 − 𝑥2
 =2 1 −
1 3
3
−
1 2
2
− 2 −2 −
−2 3
3
−
−2 2
2
 =2 −
1
3
−
1
2
− (−4 +
8
3
−
4
2
)
 =2 −
1
3
−
1
2
 =
9
2
1

9. EJERCICIOS:
6 DE ABRIL

10. 1. 𝟎
𝟖
𝟎
𝟒 𝟏
𝟏𝟔
𝟔𝟒 − 𝟖𝒙 + 𝒚 𝟐
𝒅𝒙𝒅𝒚
 = 0
8 1
16
( 0
4
64𝑑𝑥 − 0
4
8𝑥𝑑𝑥 + 0
4
𝑦2 𝑑𝑥 𝑑𝑦
 = 0
8 1
16
(64𝑥 − 4𝑥2 + 𝑥𝑦2) 4
0
𝑑𝑦
 = 0
8
(4𝑥 −
1
4
𝑥2 +
1
16
𝑦2 𝑥) 4
0
𝑑𝑦
 = 0
8
4 4 −
1
4
4 2 +
1
16
𝑦 2 4 − 4 0 −
1
4
0 2 +
1
16
𝑦 2 0 𝑑𝑦
 = 0
8
12 +
1
4
𝑦2 𝑑𝑦
 = 0
8
12𝑑𝑦 + 0
8 1
4
𝑦2 𝑑𝑦
 = 12𝑦 +
𝑦3
12
8
0
 = 12 8 +
(8)3
12
− 12 0 +
(0)3
12
 =
416
3
0 0 0
0 0

11. DETERMINA EL VOLUMEN DEL SÓLIDO BAJO LA
SUPERFICIE 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦 SOBRE EL RECTÁNGULO.
𝑅 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2/0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 2
 𝑽 = 𝟐. 𝑹
𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 = 𝟎
𝟐
𝟎
𝟏
𝟒 − 𝒙 𝟐
− 𝒚𝒅𝒚𝒅𝒙
 = 0
2
0
1
4𝑑𝑦 − 0
1
𝑥2
𝑑𝑦 − 0
1
𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥
 = 0
2
(4𝑦 − 𝑥2
𝑦 −
𝑦2
2
) 1
0
𝑑𝑥
 = 0
2
( 4 1 − 𝑥 2
1 −
(1)2
2
− 4 0 − 𝑥 2
0 −
0 2
2
)𝑑𝑥
 = 0
2 7
2
− 𝑥2
𝑑𝑥
 = 0
2 7
2
𝑑𝑥 − 0
2
(𝑥)2
𝑑𝑥
 =
7
2
𝑥 −
𝑥 3
3
2
0
 =
7
2
(2) −
2 3
3
−
7
2
(0) −
0 3
3
 =
13
3
𝑧 = 4 − 𝑥2
− 𝑦
x y
0 0 0
0 0

12. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE.
La integración múltiple, es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de
una variable real, por ejemplo, f(x,y) o f(x,y,z).
Las integrales múltiples comparten muchas de las propiedades de las integrales
simples. Si f y g son funciones continuas en una región cerrada y acotada D en un
espacio ℝ 𝑛, c una constante con respecto a todas las variables involucrada.
Están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, las cuales son
necesarias para resolver las integrales múltiples. Donde su diferencia consiste en que
una se refiere al concepto matemático de integral aplicado a varias variables y otra al
procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple.