Este documento introduce las integrales dobles, que permiten calcular el volumen bajo una superficie bidimensional. Explica que una integral doble consiste en realizar dos integrales simultáneas, una respecto a cada variable. También cubre las propiedades de linealidad, monotonía y cómo intercambiar los límites de integración. Por último, presenta las integrales dobles de tipo II, donde el área se encuentra entre las gráficas de dos funciones.

1. INTEGRALES
DOBLES
J H O N A L E J A N D R O A B O N I A
J U A N M A N U E L S E G U R A
N E L S O N E N R I Q U E M O N T E A L E G R E

2. INTEGRALES DOBLES SENCILLAS
• Son una manera de integrar sobre una región bidimensional. Entre otras cosas, nos
permiten calcular el volumen bajo una superficie.
• También vamos a considerar la integral de una función de varias variables sobre una
curva en el plano o el espacio, y sobre una superficie en el espacio. Estas integrales se
conocen como integrales de lınea e integrales de superficie, respectivamente

3. DEFINICION DE INTEGRALES DOBLES
Sea f(x,y) una función continua para los valores de x,y que pertenecen a R. Para un y fijo
obtenemos la función F(x)=f(x,y) que también es continua y por tanto integrable en [a,b],
por tanto:
• La función obtenida, G(y), es continua y por tanto integrable en [c,d] de tal forma que
podemos definir la integral doble de la función f(x,y) el rectángulo R=[a,b]x[c,d] como:

4. • Es decir, realizar una integral doble consiste en
realizar dos integrales simultáneas, una en primer
lugar en función de x, considerando que la y es una
constante; y en segundo lugar en función de y (en
este caso ya no habrá ningún término con x).

5. PROPIEDADES
• 1. Se cumple la propiedad de linealidad:
– Si hay un escalar multiplicando dentro de la integral se puede sacar factor común:
– La integral de la suma de dos funciones dobles f(x,y) + g(x,y) es igual a la suma de la
integral doble de cada una de ellas:

6. 2. Cumplen la propiedad de la monotonía:
• Si f(x,y)≤g(x,y) para todos los valores de (x,y) pertenecientes a R, entonces ∫∫f(x,y)dxdy ≤
∫∫g(x,y)dxdy.
3. Si el recinto R se puede dividir en dos recintos disjuntos R1 y R2, es decir, tal que R1 U
R2 = R y cuya intersección sea vacía o lo que es lo mismo que R1∩R2 no tenga área,
entonces:
4. El área del recinto R=[a,b]x[c,d] se puede calcular mediante la siguiente integral:

7. • 5. Podemos intercambiar los límites de integración siempre y cuando cambiamos
también el orden de las variables respecto a las que estamos integrando
6. La función del valor absoluto, |f(x,y)| también es integrable y verifica que:

8. • Ejemplo: Calcular la integral doble ∫∫xy dxdy en el rectángulo R= [0,1]x[0,2].
En primer lugar escribimos la integral que nos piden, colocando en su lugar los límites
respecto a los cuales tenemos que integrar:
Resolvemos la integral que está en el paréntesis, es decir, la integral respecto de x
y es una constante:

9. • Por último, el resultado anterior lo integramos respecto de y.

10. INTEGRALES DOBLES DE TIPO II
Se denomina tipo II cuando el área a evaluar se encuentra entre la gráfica de dos
funciones continuas de la variable Y
ꭍ tipo II= {(x, y):C≤y≤d; h1(y)≤ x ≤h2(y)}, donde h1 y h2 son funciones continuas en
(c, d)
Entonces:
ꭍ tipo II f (x, y) dA = ꭍc
d ꭍ h1(y)
h2(y) f (x, y) dx dy

11. Ejemplo: Hallar el área limitada por las siguientes curvas
Y= 2 + 2x2; y= 5 – x2
Hallamos los límites de integración de la variable x
2+2x2 = 5-x2
2x2+x2 = 5-2
3x2
= 3
X2=1
X= ±√1
X= ± 1
Los límites de integración de la variable y ya los
conocemos, que serian las 2 funciones iniciales,
entonces la integral quedaría así:
A = ∫1
-1 ∫5-x2
2+2x2 (5-x2) -(2+2x2) dy dx = ∫1
-1 {∫5-x2
2+2x2
(5-x2) -(2+2x2) dy} dx
= ∫1
-1 ∫5-x2
2+2x2 (5-x2) -(2+2x2) dx

12. Al escribir la integral se pone la función mayor menos la
menor o en nuestro caso se pone (5-x2) -(2+2x2), luego
se integra con respecto a dy, pero al no haber ningún
término “Y” quedaría igual la integral y ahora se integra
con respecto a dx.
= ∫1
-1 5-x2 -2-2x2) dx = ∫1
-1 3-3x2 dx = {3x
3𝑥3
3
-} |1
-1 =
{3(1)
3(1)3
3
} - {3(-1)
3(−1)3
3
}
Se reemplaza las variables por los límites de integración
y se hace la operación correspondiente.
= (3-1) -(-3+1) = 6-2 = 4u2