Este documento trata sobre la interpolación polinómica, un método de interpolación numérica que aproxima un conjunto de datos por un polinomio. Explica que dado un número de puntos muestrales, se busca un polinomio que pase por todos los puntos. Describe formas de representar el polinomio de interpolación, incluyendo la forma de Lagrange que utiliza coeficientes de Lagrange.

1. Capítulo 8
Interpolación
Polinómica

2. REGRESION INTERPOLACION
Los Métodos Numéricos
Métodos mas utilizados
Ajuste de Curvas y Modelamiento

3. INTRODUCCIÓN
 La finalidad del cálculo de las funciones de
interpolación se centra en la necesidad de obtener
valores intermedios (INTERPOLACIÓN) o de
valores fuera del intervalo para el que se dispone
de datos (EXTRAPOLACIÓN).
 Como es difícil encontrar la función representativa
de un conjunto de datos, es mejor aproximarlo a
una forma polinómica.

4. Interpolación polinómica
 En análisis numérico, la interpolación polinomial es una técnica de
interpolación de un conjunto de datos o de una función por un
polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por
muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un
polinomio que pase por todos los puntos.
X Y
-----------------------
X1 Y1
X2 Y2
X3 Y3
X 4 Y4
…… ……
Xn Yn

5. Interpolación lineal
x=[0 1 2 3 4 5 6];
Y=[0 0.9 1 0.2 -0.9 -1 -0.3];
Encontrar Y(1.5)

6. Interpolación Numérica
Interpolación
 Sustitución de una función (conocida o
tabulada) por otra más simple
 Interpolante como combinación de la base de
un espacio funcional:
Funciones base: polinómicas, trigonométricas, …
 Función interpolante “coincide” con la inicial
 Lagrange: valor de la función en algunos puntos
 Taylor: valor de las derivadas en un punto
 Hermite: valor de la función y la derivada
   
0
n
i i
i
x x
  

 

7. Interpolación Numérica
Objetivos de la Interpolación
 Plantear las condiciones de existencia y unicidad de solución
del problema general de interpolación
 Saber que el problema de Lagrange tiene un único polinomio
de interpolación de grado mínimo
 Conocer las diferentes formas de representar dicho polinomio
 Conocer las ventajas e inconvenientes de las formas de
Lagrange y de Newton
 Comprender la relación entre diferencias divididas y expansión
en serie de Taylor y su uso para acotar el error
 Comprender las limitaciones e incertidumbres de la
extrapolación
 Valorar las ventajas e inconvenientes de los diferentes
interpolantes segmentarios

8. Introducción:
Se trata de obtener un polinomio (polinomio de interpolación) que
cumpla:
f(x )≈ p(x).
en una serie de n puntos x0, x1, …, xn .

9. Interpolación con polinomios MUESTRAS
PEQUEÑAS
 se utiliza una función interpoladora de tipo
polinómico de grado no mayor que n, siendo n el
número de puntos conocidos menos uno


10. Interpolación lineal
Encontrar P(13) a través
de los puntos
(x0,y0)=(12,18),
(x1,y1)=(14,21)
5 10 15 20
5
10
15
20
25
Hora
Grados







1
1
1
0
0
0
1
0
y
x
a
a
y
x
a
a







21
a
14
a
18
a
12
a
1
0
1
0
x
a
a
)
x
(
P 1
0
1 


11. La solución de estas 2 ecuaciones, nos da los
valores de ao , a1
A=[1 12 18;1 14 21];
Sol=rref(A)
Ejecutando
Sol =[1.00 0.00 0.00
0.00 1.00 1.50]
Equivale ao =0, a1=1.5
Y=0 +1.5x
Y(13)=1.5(13)=19.5

12. Interpolación lineal
x0 x x1
f(x0)
f1(x)
f(x1)
f(x)
Utilizando triángulos semejantes
       
0
1
0
1
0
0
1
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f





Reordenando
        
0
0
1
0
1
0
1 x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f 





13. Interpolación con ajuste
cuadrático
Expresión del polinomio
Condiciones de interpol
El polinomio puede ser
P(x)=a+bx + cx2,
entonces 5 10 15 20
5
10
15
20
25
Hora
Grados
Polinomio de grado2
















2
2
2
2
2
1
0
1
2
1
2
1
1
0
0
2
0
2
0
1
0
y
x
a
x
a
a
y
x
a
x
a
a
y
x
a
x
a
a
2
2
1
0
2 x
a
x
a
a
)
x
(
P 



14. Ej1.- Dados (1,1), (3,6), (5,1). Hallar f(4)
X=[1, 3, 5]; Y=[1, 6, 1];plot(X,Y);grid;
P(x)=a+bx + cx2
a +b + c = 1
a +3b+9c=6
a+5b+25c=1
A=[1 1 1 1;1 3 9 6;1 5 25 1];abc=rref(A)
Ejecutando en octave, se obtiene
abc = 1.00 0.00 0.00 -5.25
0.00 1.00 0.00 7.50
0.00 0.00 1.00 -1.25
Es decir: a=-5.25; b=7.5; c=-1.25;
Y(4) = y4=a+b*4+c*16
y4 = 4.75

15. Expresión
Determinación































n
2
1
0
n
n
n
2
n
2
n
1
0
n
2
n
2
2
2
2
1
0
n
1
n
2
1
2
1
1
0
n
0
n
2
0
2
0
1
0
y
y
y
y
x
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
a










n
n
2
2
1
0
n x
a
x
a
x
a
a
)
x
(
P 



 
Forma normal del polinomio
de interpolación

16. Ej2. Interpolación polinomial
Dados x=[0 1 2 3 4 5 6];
Y=[0 0.9 1 0.2 -0.9 -1 -0.3];
x1=1.5
Encontrar y(1.5)
Podemos utilizar diferentes
Alternativas: segmentario lineal entre (1,0.9)y (2,1), y(1.5)=0.95
Segmentario parabólico entre (1,0.9),(2,1),(3,0.2):P(x)=a+bx+cx2
a+b+c =0.9
a+2b+4c=1
a+3b+9c=0.2
P=1.06

17. Contin. Ej.2. Forma cuadrática
x=[0 1 2 3 4 5 6];
Y=[0 0.9 1 0.2 -0.9 -1 -0.3];
a=0
a+b+c =0.9
a+2b+4c=1
a+3b+9c=0.2
b+c =0.9
b+2c =0.5 -- > c=-0.4
bc=[1 1 0.9;1 2 0.5];bc=rref(bc)
b+c =0.9
b+3c =0.2/3=0.066 -- > 2c=-0.83 -- > c=-0.415
c =-0.41, b=1.31
x=1.5;P=1.31*x-0.41*x^2
y(1.5)=1.04; y(0.5)=0.55

18. Ej3.Interpolación forma cúbica
x=[0 1 2 3 4 5 6];
Y=[0 0.9 1 0.2 -0.9 -1 -0.3];
Encontrar y(4.5), y(5.5)
P(x) =a+bx + cx2 + dx3
Escogemos
x=[1 2 5 6];
Y=[0.9 1 -1 -0.3];
a+b+c+d=0.9
a+2b+4c+8d=1
a+5b+25c+125d=-1
a+6b+36c+216d=-0.3

19. Cont Ej3.Interpolación polinomial
a+b+c+d=0.9
a+2b+4c+8d=1
a+5b+25c+125d=-1
a+6b+36c+216d=-0.3
A=[1 1 1 1 0.9; 1 2 4 8 1;1 5 25 125 -1;1 6 36 216 -0.3];
A=rref(A)
A =
1.00 0.00 0.00 0.00 -0.65
0.00 1.00 0.00 0.00 2.49
0.00 0.00 1.00 0.00 -1.04
0.00 0.00 0.00 1.00 0.11
>> x=4.5;y=-0.65+2.49*x-1.04*x*x+0.11*x^3
y = -0.48

20. Forma de Lagrange del
polinomio de interpolación
Polinomios de Lagrange
Polinomio de interpolación
n
,
,
2
,
1
,
0
i
para
)
x
x
(
)
x
x
)(
x
x
(
)
x
x
(
)
x
x
(
)
x
x
)(
x
x
(
)
x
x
(
)
x
(
n
i
1
i
i
1
i
i
0
i
n
1
i
1
i
0
in



















L
(x)
y
···
(x)
y
(x)
y
(x)
y
(x)
P n
n
2
2
1
1
0
0
n L
L
L
L 





21. Polinomio de interpolación de Lagrange
Sea una función f(x), de tal manera que conozcamos su valor en cada uno de
n+1 puntos: f(x0), f(x1), …, f(xn).
1º. Obtenemos los “multiplicadores o coeficientes de Lagrange”):
0 1 1 1
0 1 1 1
( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( )
( )
( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( )
k k n
k
k k k k k k k n
x x x x x x x x x x
L x
x x x x x x x x x x
 
 
          

          
Son n+1 coeficientes: conk=0, 1, 2, …, n .
0
( )
( )
( )
n
i
k
i k i
i k
x x
L x
x x






i = 0, 1, 2, …, n
k = 0, 1, 2, …, n

22. Propiedad de los coeficientes Lk(x):
El coeficiente Lk(x) se anula en cada punto xi, excepto en el xk que tiene el
valor 1 (valor máximo).
Ejemplo: Supongamos como soporte los seis puntos siguientes,
x0 = 1, x1 = 3, x2 = 4, x3 = 6, x4 = 8, x5 = 9.
3
( 1) ( 3) ( 4) ( 8) ( 9)
( )
(6 1) (6 3) (6 4) (6 8) (6 9)
x x x x x
L x
        

        

23. El polinomio de interpolación deLagrange se
obtiene:
0
( ) ( ) ( )
n
k k
k
p x f x L x

 

24. EJEMPLO: Si los valores de la función en los cuatro puntos:
x0=2, x1=2.5, x2=3, x3=4,
es:
f(x0) = 7.3890, f(x1) = 12.1825, f(x2) = 20.0855, f(x3) = 54.5980
Hallemos el polinomio de interpolación de Lagrange:
3 2
0
3 2
1
3 2
2
3
( 2.5)( 3)( 4)
( ) 9.5 29.5 30
(2 2.5)(2 3)(2 4)
( 2)( 3)( 4)
( ) 2.66667 24 69.3333 64
(2.5 2)(2.5 3)(2.5 4)
( 2)( 2.5)( 4)
( ) 2 17 46 40
(3 2)(3 2.5)(3 4)
( 2)( 2
( )
x x x
L x x x x
x x x
L x x x x
x x x
L x x x x
x x
L x
  
     
  
  
    
  
  
     
  
 
 3 2
.5)( 3)
0.3333 3.5 6.16667 5
(4 2)(4 2.5)(4 3)
x
x x x

   
  

25. El polinomio de interpolación de Lagrange es:
p(x) = f(x0) L0(x) + f(x1) L1(x) + f(x2) L2(x) + f(x3) L3(x)
p(x) = 3.12601 x3 – 17.2259 x2 + 39.432 x – 27.5792

26. Ej. Dados x=[-3 0 1 4 6 ];y=[-8 5 -1 7 -3 ];xi=5 encontrar y(5) con el
Algoritmo de Lagrange en Octave
 clc;clear;
 x=[-3 0 1 4 6 ];y=[-8 5 -1 7 -3 ];LS=0;xi=5;n=5;
 plot(x,y);grid;
 for i=1:n
 L=1;
 for j=1:n
 if i~=j
 L=L*(xi-x(j))/(x(i)-x(j));
 end
 end
 LS=LS+L*y(i);
 end
 sol=LS

27. Los resultados se verifican con los datos originales
como y(4)=7, y se corrigen y ajustan con la Gráfica
.
Y(5)= 8.8783, según Lagrange
Y(5)=4, valor corregido, suavisado y ajustado con la gráfica
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8

28. Ej. Encontrar y(5.5) mediante el algoritmo de Lagrange y
ayuda del Octave
x=[0 1 2 3 4 5 6];
Y=[0 0.9 1 0.2 -0.9 -1 -0.3];
Encontrar y(4.5), y(5.5)
P(x) =a+bx + cx2 + dx3
Escogemos
x=[1 2 5 6];y=[0.9 1 -1 -0.3];
Luego se ingresan estos datos en el Programa de Octave
Y obtenemos y(5.5)= -0.83 (Lagrange)

29. Interpolación Numérica
Otra Forma de Lagrange
Grado n y además
Ejemplo
   
0
:
n
n n k
k
i i k i
k i k
k i
x x
L x L x
x x




 


 
   
   
3 2
3
2
2 1 2 4 4
1 2 1 1 1 2 6
x x x x x x
L x
     
 
   
 
   
   
3 2
3
1
2 1 2 4 4
1 2 1 1 1 2 6
x x x x x x
L x
     
 
     
 
   
   
3 2
3
3
2 1 1 2 2
2 2 2 1 2 1 12
x x x x x x
L x
     
 
  
 
   
   
3 2
3
0
1 1 2 2 2
2 1 2 1 2 2 12
x x x x x x
L x
     
 
      
             
3 3 3 3 3
13 3
5 5
0 1 2 3
0
3 2 3 2 3 2 3 2
13 3
5 5
3 2
1 1 2
10 2 5
3 2
2 2 4 4 4 4 2 2
3 2
12 6 6 12
3
n
n i i
i
P x f x L x L x L x L x L x
x x x x x x x x x x x x
x x x

      
           
    
 
   

x F(x)
X0=-2 -13/5
X1=-1 -3
X2=1 -2
X3=2 3/5

30. Interpolación Numérica
Forma de Lagrange (II)
 Ventajas
 Fácil de calcular
 Independientes de la
función a interpolar
 Inconvenientes
 El interpolante puede ser
mucho más simple que
los polinomios de
Lagrange
 Si cambia el soporte los
polinomios obtenidos son
inútiles, es necesario
repetir todo el proceso
Función
{(-2,-5),(-1,-3),(1,1),(2,3)}
     
       
3
0
3 3 3 3
0 1 2 3
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2
5 3 1 3
2 2 4 4
5 3
12 6
4 4 2 2
1 3
6 12
0 0 2 1
n
n i i
i
P x f x L x
L x L x L x L x
x x x x x x
x x x x x x
x x x

 
     
     
   

     
 

   


31. Interpolación Numérica
Ejemplos
 Existencia y unicidad de
 F(-)=1,F(0)=0,F()=1
– Base polinómica: solución única
– {1,sen(x),sen(2x)}: sin solución
– {1,cos(x),cos(2x)}: solución múltiple
 F(x0)=y0,F(x1)=y1,F’(x2)=y2
– Base polinómica:
– Solución única si
     
     
1 1
2 2
1 1
2 2
1 cos 0 cos 2
0 1 cos cos 2
x x x
x x x




  
  
   
2 2
1
2 0 0
P x x x

  
 
1
0 1 2 0 1
2
x x x x x
   

32. Expresión
Pn(x) = c0 + c1(xx0) + c2(xx0)(xx1) +   
+ cn(xx0)(xx1)    (xxn1)
Determinación algebraica
Pn(x0) = y0 = c0
Pn(x1) = y1 = c0+ c1(x1x0)
Pn(x2) = y2 = c0+ c1(x2x0) + c2(x2x0)(x2x1)
Forma de Newton del
polinomio de interpolación

33. MÉTODO DE NEWTON
P2(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1)
Ej. Hallar f(4). Dados los puntos
1 3 5
1 4 1
P(x)= b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1)
P(x)=b0 + b1(x – 1) + b2(x – 1)(x – 3)
P(3)=1+ b1(3 – 1) =4 -- >b1 =3/2
b2=

34. Interpolación Numérica
Forma de Newton – Diferencias Divididas (I)
 Origen:
 Propiedades
 Simetría
 Cálculo
       
1 1
0 1
0 0
0 0
, ,
i i
n n
n i k i k
i i
k k
P x x x f x x x x x

 
 
 
   
 
 
       
     
1
1
0
1
1
0
n
n n n n k
k
n
n n n k
k
Q x P x P x x x
P x P x x x








   
  


 
 
 
 
      
0 1
0 0 0 1 1
0
, ,
k k
i i
k k
i i i i i i i i n
i j
j
j i
f x f x
f x x x
x x x x x x x x
x x
   


 
   

 

   
 
   
0 0
0 1 1 1 1
0 1 1
0
, , , ,
, , , k k k
k k
k
f x f x
f x x x f x x x
f x x x x
x x
 





Demo
Demo

35. Interpolación polinomial de Newton
Revisaremos solo algunos casos: lineal, de segundo grado y
de tercer grado.

36. Interpolación cuadrática y cúbico
Polinomio cuadrático
f2(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1) (1)
f3(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1)+ b3(x – x0)(x – x1)(x – x2)
f2(x) = b0 + b1x – b1x0 + b2x2 + b2x0 x1 – b2xx0 – b2xx1
Podemos escribirlo como
f2(x) = a0 + a1x + a2x2
Donde
a0 = b0 – b1x0 + b2x0 x1, a1 = b1 – b2x0 – b2x1, a2=b2
Podemos evaluar b0, b1 y b2 sustituyendo x0, x1 y x2 en la ecuación (1), se obtiene
b0 = f(x0)
   
0
1
0
1
1
x
x
x
f
x
f
b



       
0
2
0
1
0
1
1
2
1
2
2
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
b








37. Ejemplo 2
Calculemos ln 2 con ln 4 y ln 6, los punto que se conocen son:
x0 = 1 f(x0) = 0
x1 = 4 f(x0) = 1.386294
x0 = 6 f(x0) = 1.791759
Aplicando las ecs. anteriores
b0 = 0
b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981
b2 = ((1.791759 – 1.386294)
/(6 – 4) – 0.4620981)/(6 – 1)
= – 0.0518731
El polinomio es
f2(x) = 0.4620981(x – 1) – 0.0518731(x – 1)(x – 4)
f2(2) = 0.5658444
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f(x) = ln x
Estimación cuadrática
Valor verdadero
Estimación lineal
Valor real ln 2 = 0.6931472
Error relativo porcentual = 18.4%

38. Interp. Diferencias divididas
.
Pn(x0) = ƒ(x0) = a0. Pn(x1)= a0 + a1(x1 – x0),
como Pn(x1)= ƒ(x1) y a0= ƒ(x0), entonces
reemplazando se tiene
ƒ(x1)=ƒ(x0) + a1(x1–x0), donde

39. Ejemplo : Halle el polinomio que interpola los datos:
.
Luego P3(x)=4 – 0.5(x - 1) + 0.5(x - 1)(x - 2) – 0.1(x - 1)(x - 2)(x - 3)
P(4)=4-0.5(3)+0.5(3)(2)-0.1(3)(2)(1)
P(4)=4-1.5+3-0.6 = 4.9
X 1 2 3 5
f(x) 4 3.5 4 5.6
xi f(xi)
1 4
-0.5
2 3.5 0.5
0.5 -0.1
3 4 0.1
0.8
5 5.6

40. Ej. Si x=[-3,0,1,4,6];y=[-8,5,-1, 7,-3]; encontrar y(3)
 clc;clear;x=[-3,0,1,4,6];y=[-8,5,-1, 7,-3];plot(x,y);grid;
 D(:,1)=y';xi=3;n=5;
 for j=2:n
 for k=j:n
 D(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1));
 end;
 end;
 P=D(1,1);
 for k=1:n-1
 F=1;
 for j=1:k
 F=F*(xi-x(j));
 end;
 P=P+F*D(k+1,k+1);
 end;
 fprintf('Pd=');disp(P);

41. Las diferencias finitas son:
-3 -8.00 0 0 0 0
0 5.00 4.33 0 0 0
1 -1.00 -6.00 -2.58 0 0
4 -7.00 -2.00 1.00 0.51 0
6 -3.00 2.00 0.80 -0.03 -0.06

42. La matriz de las diferencias divididas y el polinomio de Newton son como
sigue:
 -1 -8.00 0 0 0 0
 0 4.00 12.00 0 0 0
 2 -1.00 -2.50 -4.83 0 0
 4 -5.00 -2.00 0.13 0.99 0
 6 2.00 3.50 1.38 0.21 -0.11
P(x)=-8+12(x+1)-4.83(x+1)x+0.99(x+1)x(x-2)-0.11(x+1)x(x-2)(x-4)
P(3)=-4.7571

43. Interpolación Numérica
Forma de Newton – Diferencias Divididas (II)
Cálculo de la tabla de Diferencias divididas
x F(x)
x0=-2
x1=-1
x2=1
x3=2
          
     
0 0 1 0 0 1 2 0 1
0 1 0 1 1
, , ,
, ,
n
n n
P x f x f x x x x f x x x x x x x
f x x x x x x x x x 
      
  
  13
0 5
f x 

 
1 3
f x  
 
2 2
f x  
  3
3 5
f x 
 
       
   
13
0 1 5
0 1
0 1
3 2
,
2 1 5
f x f x
f x x
x x

 

   
   
 
       
   
1 2
1 2
1 2
3 2 1
,
1 1 2
f x f x
f x x
x x
   
  
  
 
       
   
3
2 3 5
2 3
2 3
2 13
,
2 1 5
f x f x
f x x
x x
 

  
 
 
   
0 1 1 2
0 1 2
0 2
, , 3
, ,
10
f x x f x x
f x x x
x x

 

 
   
1 2 2 3
1 2 3
1 3
, , 7
, ,
10
f x x f x x
f x x x
x x

 

 
   
0 1 2 1 2 3
0 1 2 3
0 3
, , , , 1
, , ,
10
f x x x f x x x
f x x x x
x x

 

          
        
13 3
2 1
5 5 10 10
3 13 7 1
5 5 10 10
2 2 1 2 1 1
2 2 1 2 1 1
n
P x x x x x x x
x x x x x x
 
         
         
  3 2
1 1 2
3 10 2 5 3
P x x x x
   

44. Interpolación Numérica
Problema de Hermite
 Existencia y unicidad asociadas al sistema
 Base polinónica: soporte sin puntos repetidos
 Base trigonométrica: soporte sin puntos repetidos y
comprendidos en [-  ,  ]
         
         
         
         
         
0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
0 1 1 2 1
0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 1
0 1 1 2 1 2 1
n n n
n n n
n n n n n n n n n
n n n n
n n n n n n n n n
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
     
     
     
     
     
 
 
 
  
  
 
 
 
 
 
 
 
    
 
 
 
     
 
 
 
 
 
 
0
1
0
n
n
f x
f x
f x
f x
f x
 

 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
  
 
 
 
 
 
  
  
   
   
   
2 1
0
: , 0,1,
n
k k
i i
i k k
x f x
x x k n
x f x

  






 

 




 
2 3 2 1
1, , , , n
x x x x 
       
 
1,sin ,cos , sin ,cos ,
x x kx kx

45. Interpolación Numérica
Problema de Taylor
 Existencia y unicidad asociados al sistema
 Series de potencias
– Criterios del cociente y de la raíz
– Si L=, converge en x=0, si L=0, converge x
– Sino converge para |x|<1/L
     
   
 
0
: , 0,1,
n
k k
i i
i
x x a f a k n
   

  

     
     
 
   
   
 
 
 
 
 
0 1 0
0 1 1
0 1 0
n
n
n n n n
n
n
a a a f a
a a a f a
a a a f a
   
   

  
   
 
   
 
   
   
  
   
 
   
 
   
 
   
 
¿ ?
0
converge
k
k
k
x x
 





1
lim lim
k k
k
k k
k
L L




 
  

46. Interpolación Numérica
Forma de Newton – Diferencias Divididas (III)
 Ventajas
 Los cálculos son muy
simples
 La tabla de
diferencias divididas
se simplifica cuando
el interpolante es de
menor grado
 Las operaciones se
pueden reutilizar al
añadir o eliminar
puntos
 Inconvenientes
 El cálculo depende de la
función
 Polinomio:y=2x-1
– {(-2,-5),(-1,-3),(1,1),(2,3)}
x F(x)
x0=-2 -5
x1=-1 -3 2
x2=1 1 2 0
x3=2 3 2 0 0

47. 0
0
0 y
]
x
[
f
=
c 
0
2
1
0
2
1
2
1
0
2
x
x
]
x
,
x
[
f
]
x
,
x
[
f
]
x
,
x
,
x
[
f
c




0
k
1
k
1
0
k
2
1
k
1
0
k
x
x
]
x
,
x
,
f[x
]
x
,
x
,
f[x
]
x
,
x
,
f[x
c



 



0
1
0
1
1
0
1
x
x
]
x
[
f
]
x
[
f
]
x
,
x
[
f
=
c



Diferencias divididas





48. ]
x
,
x
,
x
,
x
[
f
]
x
,
x
,
x
[
f
]
x
,
x
[
f
]
x
[
f
y
]
x
,
x
,
x
[
f
]
x
,
x
[
f
]
x
[
f
y
]
x
,
x
[
f
]
x
[
f
y
]
x
[
f
y
3
2
1
0
3
2
1
3
2
3
3
2
1
0
2
1
2
2
1
0
1
1
0
0




12 18
14 21 1.5000
10 12 2.2500 -0.3750
16 19 1.1667 -0.5417 -0.0417
Tabla de diferencias divididas
Ejemplo de las temperaturas

49. Evaluación de los polinomios
6 8 10 12 14 16 18 20
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
Grados 0 a 3

50. Interpolación Numérica
Forma de Newton – Diferencias Finitas
 Puntos equiespaciados xk=x0+k h
Progresivas
Regresivas
 Relaciones





    1 1
1 1
y n n n
k k k k k k
f f x f x f f f
 
 
      
    1 1
1 1
y n n n
k k k k k k
f f x f x f f f
 
 
      
1 y n n
k k k k n
f f f f
 
     
 
1
! , , ,
n n
k k k k n
f n h f x x x
 
 
 
0
1
n
n i
n
k k n i
i
n
f f
i

 

 
    
 

 
0
1
n
n i
n
k k i
i
n
f f
i



 
    
 

 
1
! , , ,
n n
k k n k k
f n h f x x x
 
 