Este documento presenta tres métodos para aproximar e interpolar funciones mediante polinomios: el método de interpolación de Lagrange, el método de diferencias divididas de Newton y el método de Neville. Describe cada método y muestra ejemplos del desarrollo de polinomios de diferentes grados usando cada uno.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
FRANCISCO DE MIRANDA
AREA DE TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA V
INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN POLINOMIAL
INTRODUCCIÓN EJEMPLOS
PROF. : ISAÍ YARÍ
Santa Ana de Coro, Marzo de 2014

2. INTRODUCCIÓN
Una de las funciones más útiles y de fácil manipulación
son los polinomios ya que estas son fáciles de derivar y de
integrar, además los resultados son también polinomios.
La expresión P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn con
an  0, representa un polinomio entero en x de grado
n(entero no negativo) y a0, a1, . . . ,an son constantes reales
o complejas.
Una razón de su importancia es que aproximan
uniformemente funciones continuas. Dada cualquier
función definida y continua en un intervalo cerrado, existe
un polinomio que se encuentra tan “cerca” de la función
como se desea.

3. Acá estudiaremos tres métodos numéricos para encontrar
polinomios que nos permitan aproximar e interpolar funciones
más complejas, además estos métodos nos permiten describir o
ajustar un polinomio a cierta serie de datos , estos son los
siguientes:
• Método de Interpolación de Lagrange.
• Método de las Diferencias divididas de Newton
• Método de Neville
INTRODUCCIÓN

4. MÉTODODE INTERPOLACIÓNDE LAGRANGE
Este método consiste en construir un polinomio interpolador de
grado n que pasa por los (n+1) puntos de la forma:
Éste polinomio está dado por:
Donde para cada k = 0,1,2,…, n
)
,
( i
i y
x



n
i
i
i x
f
x
L
x
Pn
0
)
(
)
(
)
(
)
(
*
)
(
...
)
(
*
)
(
)
(
*
)
(
)
( 1
1
0
0 k
k x
f
x
L
x
f
x
L
x
f
x
L
x
Pn 



)
(
*
)
(
*
...
*
)
(
*
)
(
)...
(
*
)
(
*
...
*
)
(
*
)
(
1
1
1
0
1
1
1
0














k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L

5. MÉTODODE INTERPOLACIÓNDE LAGRANGE
A continuación mostramos el desarrollo del polinomio de
Lagrange hasta el grado dos:
El polinomio de Lagrange de grado 1 representa la recta que pasa
por los puntos y tiene la forma
El polinomio de Lagrange de grado 2 representa la Parábola que
pasa por los puntos tiene la
forma
)
,
(
y
)
,
( 1
1
1
0
0
0 y
x
P
y
x
P
)
(
*
)
(
)
(
)
(
*
)
(
)
(
)
( 1
0
1
0
0
1
0
1
1 x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
P






)
,
(
y
)
,
(
,
)
,
( 2
2
2
1
1
1
0
0
0 y
x
P
y
x
P
y
x
P
)
(
*
)
)(
(
)
)(
(
)
(
*
)
)(
(
)
)(
(
)
(
*
)
)(
(
)
)(
(
)
( 2
1
2
0
2
1
0
1
2
1
0
1
2
0
0
2
0
1
0
2
1
2 x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P
















6. Método de diferencias divididas de newton
Suponga que Pn(x) es el n-ésimo del polinomio de Lagrange que
concuerda con la función f en los nodos , las
diferencias divididas se usan de f se usan para expresar Pn(x) en la
forma:
Donde son constantes.
Mostramos en seguida el desarrollo hasta el grado 3:
El polinomio de grado 1 representa la recta que pasa por los
puntos y tiene la forma
n
x
x
x ,...,
,
,
x 2
1
0
)
)...(
(
...
)
)(
(
)
(
)
( 1
0
1
0
2
0
1
0 









 n
n x
x
x
x
a
x
x
x
x
a
x
x
a
a
x
Pn
n
a
a
a ,...,
,
,
a 2
1
0
)
(
)
( 0
1
0
1 x
x
a
a
x
P 


)
,
(
y
)
,
( 1
1
1
0
0
0 y
x
P
y
x
P

7. Método de diferencias divididas de newton
El polinomio de grado 2 representa la Parábola que pasa por los
puntos tiene la forma
El polinomio de grado 3 representa la curva que pasa por los
puntos tiene la
forma
Mostraremos a continuación un procedimiento para determinar
los valores de cada constante en la siguiente diapositiva.
Considerando primero que
)
)(
(
)
(
)
( 1
0
2
0
1
0
2 x
x
x
x
a
x
x
a
a
x
P 





)
,
(
y
)
,
(
,
)
,
( 2
2
2
1
1
1
0
0
0 y
x
P
y
x
P
y
x
P
)
,
(
y
)
,
(
,
)
,
(
,
)
,
( 3
2
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0 y
x
P
y
x
P
y
x
P
y
x
P
)
)(
)(
(
)
)(
(
)
(
)
( 3
1
0
3
1
0
2
0
1
0 x
x
x
x
x
x
a
x
x
x
x
a
x
x
a
a
x
Pn 









)
( 0
0 x
f
a 

8. Método de diferencias divididas de newton
4
3
2
1
0
x
x
x
x
x
 
1
0 ,x
x
f
 
2
1,x
x
f
 
3
2 ,x
x
f
 
4
3,x
x
f
 
2
1
0 ,
, x
x
x
f
 
3
2
1 ,
, x
x
x
f
 
4
3
2 ,
, x
x
x
f
 
3
2
1
0 ,
,
, x
x
x
x
f
 
4
3
2
1 ,
,
, x
x
x
x
f
Primeras Diferencias
Divididas
Segundas Diferencias
Divididas
Terceras Diferencias
Divididas

9. Método de diferencias divididas de newton
Así tenemos que las fórmulas necesarias para encontrar el
polinomio hasta el grado 3 serán:
 
 
 
 
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
,
3
4
3
4
4
3
2
3
2
3
3
2
1
2
1
2
2
1
0
1
0
1
1
1
0
x
x
x
f
x
f
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
f
x
x
x
f
x
f
a
x
x
f













   
     
     
)
(
,
,
,
,
)
(
,
,
,
,
)
(
,
,
,
3
4
3
2
4
3
4
3
2
1
3
2
1
3
2
3
2
1
0
2
1
1
2
2
2
1
0
x
x
x
x
f
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
f
x
x
x
f
x
x
a
x
x
f
a
x
x
x
f










   
     
)
(
,
,
,
,
,
,
,
)
(
,
,
,
,
,
1
4
3
2
1
4
3
2
4
3
2
1
0
3
2
3
2
1
3
3
2
1
0
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
a
x
x
x
f
a
x
x
x
x
f







Primeras Diferencias
Divididas Segundas Diferencias
Divididas Terceras Diferencias
Divididas

10. MÉTODO DE Neville
Sea f una función definida en los nodos
Son nodos distintos de este conjunto, entonces,
Describe el polinomio de grado k de Lagrange que interpola la
función f en los nodos (k+1).
Mostraremos en seguida un método para encontrar el polinomio
hasta grado 3.
)
(
)
(
...,
)
(
)
(
)
( )
1
,
0
(
)...
1
),...(
1
(
),...,
1
,
0
(
,
j
i
i
j
j
j
j
i
x
x
j
i
Q
x
x
Q
x
x
x
Q





 

j
i
k x
x
x
x
x ,
y
,...,
,
,
x 2
1
0

11. MÉTODO DE Neville
)
0
,
4
(
4
4
)
0
,
3
(
3
3
)
0
,
2
(
2
2
)
0
,
1
(
1
1
)
0
,
0
(
0
0
Q
P
x
Q
P
x
Q
P
x
Q
P
x
Q
P
x










)
1
,
1
(
)
1
,
0
( Q
P 
  )
2
,
2
(
2
,
1
,
0 Q
P 
)
3
,
3
(
3
2
1
0 )
,
,
,
( Q
x
x
x
x
P 
)
1
,
2
(
)
2
,
1
( Q
P 
)
1
,
3
(
)
3
,
2
( Q
P 
)
1
,
4
(
)
4
,
3
( Q
P 
  )
2
,
3
(
3
,
2
,
1 Q
P 
  )
2
,
4
(
4
,
3
,
2 Q
P 
)
3
,
4
(
4
3
2
1 )
,
,
,
( Q
x
x
x
x
P 
Polinomio de grado 1
Polinomio de grado 2
Polinomio de grado 3

12. MÉTODO DE Neville
Así tenemos que las fórmulas necesarias para encontrar el
polinomio hasta el grado 3 serán:
 
 
 
 
3
4
)
0
,
3
(
4
)
0
,
4
(
3
)
1
,
4
(
2
3
)
0
,
2
(
3
)
0
,
3
(
2
)
1
,
3
(
1
2
)
0
,
1
(
2
)
0
,
2
(
1
)
1
,
2
(
0
1
)
0
,
0
(
0
)
0
,
1
(
0
)
1
,
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q




















 
 
 
2
4
)
1
,
3
(
4
)
1
,
4
(
2
)
2
,
4
(
1
3
)
1
,
2
(
3
)
1
,
3
(
1
)
2
,
3
(
0
2
)
1
,
1
(
2
)
1
,
2
(
0
)
2
,
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q















 
 
1
4
)
2
,
3
(
4
)
2
,
4
(
1
)
3
,
4
(
0
3
)
2
,
2
(
3
)
2
,
3
(
0
)
3
,
3
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q










Polinomio de grado 1
Polinomio de grado 2
Polinomio de grado 3

13. EJEMPLOS
Ejemplo 1: Encuentre un polinomio interpolante de grado 2 que
aproxime la función e interpole el valor para x = 3 en la
siguiente tabla de datos.
x
x
f
1
)
( 
Solución:
Aplicando el método de Interpolación de Lagrange para n =2 tenemos que
X 2 2,5 4
F(x) 1/2 1/2,5 1/4
)
(
*
)
)(
(
)
)(
(
)
(
*
)
)(
(
)
)(
(
)
(
*
)
)(
(
)
)(
(
)
( 2
1
2
0
2
1
0
1
2
1
0
1
2
0
0
2
0
1
0
2
1
2 x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P















12
)
5
,
2
)(
2
(
875
,
1
)
4
)(
2
(
2
)
4
)(
5
,
2
(
)
(
4
1
*
)
5
,
2
4
)(
2
4
(
)
5
,
2
)(
2
(
5
.
2
1
*
)
4
5
,
2
)(
2
5
,
2
(
)
4
)(
2
(
2
1
*
)
4
2
)(
5
,
2
2
(
)
4
)(
5
,
2
(
)
(
2
2











































x
x
x
x
x
x
x
P
x
x
x
x
x
x
x
P

14. EJEMPLOS
El polinomio anterior aproxima la función en los nodos dados. Ahora
sustituyamos el valor de interpolación solicitado, X = 3
Note que el valor arrojado está entre las imágenes de la tabla para x =2 y x = 3,
es decir,
Esto es indicativo de que el polinomio buscado realmente aproxima la función
dada y sirve para interpolar cualquier valor de x reflejados en la tabla.
Ahora veamos la grafica de la función original y la del polinomio dado para ver
que tal es la aproximación de las mismas graficamente.
x
x
f
1
)
( 
325
.
0
12
)
5
,
2
3
)(
2
3
(
875
,
1
)
4
3
)(
2
3
(
2
)
4
3
)(
5
,
2
3
(
)
3
(
2 










P
X 2 2,5 4
F(x) 0,5 0,4 0,25
3
0,325

15. EJEMPLOS
Graficamente también podemos observar que el polinomio
encontrado (en rojo) realmente aproxima la función original (en
azul) en el intervalo (2 , 4) de x estudiado.

16. EJEMPLOS
Finalmente vamos a calcular el error real para saber en términos
de error real que tan buena es la aproximación que hemos hecho:
Un error porcentual de 2,5 %, es una buena aproximación
considerando que la hemos hecho con un polinomio de grado 2.
Este hecho es de suma importancia pues tenemos una herramienta
poderosa para modelar datos de los cuales no conocemos la
ecuación de su grafica, ahora disponemos de una manera para
aproximarnos a su ecuación y estimar valores que nos interesen
conocer.
(2,5%)
025
,
0
3
1
325
.
0
3
1
real
valor
aproxinado
valor
-
real
Valor
real 



Error

17. EJEMPLOS
Veamos ahora que tal aproxima el método de diferencias divididas
de Newton para n = 2 en el mismo problema:
La ecuación de interpolación de Newton es:
El trabajo consiste en determinar el valor de cada una de las
constantes según las formulas desarrolladas anteriormente:
X 2 2,5 4
F(x) 0,5 0,4 0,25
)
)(
(
)
(
)
( 1
0
2
0
1
0
2 x
x
x
x
a
x
x
a
a
x
P 






18. EJEMPLOS
 
  1
,
0
)
5
,
2
4
(
)
4
,
0
25
,
0
(
)
(
)
(
)
(
,
2
,
0
)
2
5
,
2
(
)
5
,
0
4
,
0
(
)
(
)
(
)
(
,
1
2
1
2
2
1
0
1
0
1
1
0
1

















x
x
x
f
x
f
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
f
a
X 2 (x0) 2,5 (x1) 4 (x2)
F(x) 0,5 (f (x0)) 0,4 (f(x1)) 0,25 (f(x2))
    05
,
0
)
2
4
(
)
2
,
0
(
1
,
0
)
(
,
,
,
0
2
1
1
2
2
1
0
2 









x
x
a
x
x
f
x
x
x
f
a
Sustituyendo las constantes obtenidas en la ecuación del polinomio de
Newton grado 2 tenemos:
)
5
,
2
)(
2
(
05
,
0
)
2
(
2
,
0
5
,
0
)
(
2 




 x
x
x
x
P

19. EJEMPLOS
Este polinomio aproxima la función en el intervalo de x mostrado en
la tabla de datos.
Ahora evaluemos el polinomio encontrado en x = 3:
Notamos que hemos conseguido el mismo resultado que por l método de
Lagrange, por tanto tendremos el mismo error real de 2,5 % respecto a la
función original.
Veamos que tal es la grafica:
325
,
0
)
5
,
2
3
)(
2
3
(
05
,
0
)
2
3
(
2
,
0
5
,
0
)
(
2 






x
P
x
x
f
1
)
( 

20. EJEMPLOS
Vemos que la grafica del polinomio encontrado por el método de Newton es muy similar
a la encontrada por el método de Lagrange, como era de esperarse debido a los
resultados que arrojaron los cálculos.

21. Apliquemos ahora el método de Neville, partiendo de la tabla de
datos.
Definamos primeramente:
Y calculemos según las formulas desarrolladas anteriormente:
X 2 (x0) 2,5 (x1) 4 (x2)
F(x) 0,5 (f (x0)) 0,4 (f(x1)) 0,25 (f(x2))
25
,
0
)
(
4
,
0
)
(
5
,
0
)
( 2
)
0
,
2
(
1
)
0
,
1
(
0
)
0
,
0
( 




 x
f
Q
x
f
Q
x
f
Q
 
 
35
,
0
5
,
2
4
4
,
0
*
)
4
3
(
25
,
0
*
)
5
,
2
3
(
)
(
)
(
3
,
0
2
5
,
2
5
,
0
*
)
5
,
2
3
(
4
,
0
*
)
2
3
(
)
(
)
(
1
2
)
0
,
1
(
2
)
0
,
2
(
1
)
1
,
2
(
0
1
)
0
,
0
(
0
)
0
,
1
(
0
)
1
,
1
(






















x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q

22.  
325
,
0
2
4
3
,
0
*
)
4
3
(
35
,
0
*
)
2
3
(
)
(
)
(
0
2
)
1
,
1
(
2
)
1
,
2
(
0
)
2
,
2
( 










x
x
Q
x
x
Q
x
x
Q
Nótese que el valor anterior representa el valor del polinomio buscado en el
punto x = 3, puesto que se ha sustituido directamente en las fórmula la x por 3.
Vemos además que el resultado ha coincidido con los hallados anteriormente
por los métodos de Lagrange, y por diferencias divididas de Newton, esto no
siempre ocurrirá, sin embargo, los resultados obtenidos por los métodos
siempre estarán cercanos unos de otros.
En conclusión contamos con tres Herramientas que nos pueden servir de ayuda
para aproximar y modelar comportamientos de funciones muy complejas o no
conocidas dada una serie de datos.