Este documento presenta un resumen de los conceptos de interpolación y extrapolación numérica. Explica brevemente la interpolación lineal y cuadrática, así como el uso de splines y la función de interpolación de Lagrange. Incluye ejemplos de cálculos de interpolación y extrapolación lineales y cuadráticas. Por último, muestra cómo realizar interpolaciones con Matlab.

1. INFORME DE ANALISIS NUMERICO
Interpolación
BACHILLER: YOSELIN BARRERA
Un problema clásico de la matemática, se plantea al querer calcular el valor de una función en
un punto cuando no se conoce la función o incluso cuando la función no existe, conociéndose
únicamente una serie de puntos.

2. 1
INDICE
Introducción ........................................................................................................................2
Interpolación........................................................................................................................3
Elección de la interpolación más adecuada.........................................................................3
Interpolaciónlineal...........................................................................................................4
La interpolación cuadrática. Fórmula de Lagrange..............................................................5
Ejemplos..............................................................................................................................6
Lineal...............................................................................................................................6
Lineal II............................................................................................................................7
Lineal III ..........................................................................................................................8
Cuadrática........................................................................................................................9
Interpolación conel programa Matlab.................................................................................10
Splines ..........................................................................................................................12
Extrapolación.................................................................................................................13
Conclusiones......................................................................................................................15

3. 2
Introducción
En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma
de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en
situaciones que no hemos medido directamente.
La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que
conocemos los valores en los extremos.
La extrapolación consiste en hallar un dato fuera del intervalo conocido, pero debe
tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es muy
fiable el resultado obtenido.
El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una
función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:
(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)
y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.
El de la extrapolación cuando el punto que queremos considerar está a la derecha
de xn o a la izquierda de xo.
Se desea, por tanto encontrar una función cuya gráfica pase por esos puntos y
que nos sirva para estimar los valores deseados.
El tratamiento para ambos problemas es similar se utilizarán los polinomios
“interpoladores”, pero en el caso de la extrapolación el punto debe estar muy próximo a
uno de los extremos.

4. 3
Interpolación.
Elección de la interpolación más adecuada.
Consideremos una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la
misma:
(xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn) [1]
Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder estudiarla
en otros puntos.
Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas nos
quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones más
sencillas es la de los polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de menor grado que
pase por los n+1 puntos dados.
La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos [1] es en principio
de grado n: y= anxn+............+a1x+ao
Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas
(sistema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los coeficientes
es de Van der monde y por lo tanto distinto de cero).
Se le llama polinomio interpolador correspondiente a esos puntos. Una vez
obtenida su expresión dando valores en él se pueden encontrar nuevos puntos de la
función. Los resultados obtenidos son naturalmente estimaciones aproximadas.
La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos
y cuadrática cuando se tomen tres.
En este tema nos limitaremos a estos dos tipos de interpolación.
Ejemplo 1. De una función conocemos tres puntos (-3, 5), (1, -1) y (3, 11). ¿qué
podemos decir de esa función cuando x=0 y cuando x=10?
Solución
Calculamos el polinomio interpolador que será de 2º grado
y= ax2 + bx +c, que pase por los tres puntos ,
Se verifica:
5=a(-3)2+b(-3)+c por pasar por el punto (-3, 5)

5. 4
-1=a+b+c por pasar por el punto (1, -1)
11=a.32+b.3+c por pasar por el punto (3, 11)
Resolviendo el sistema que se nos plantea nos queda:
y= P(x)=
Cuando x=0, P(0)=-13/4; si x=10, P(10)=527/4
El primero, una interpolación, es probablemente una buena aproximación del
valor de la función desconocida, en el punto 0.
Sin embargo, el valor 527/4 es probable que se parezca poco al valor de la función
en el punto 10, pues es el resultado de una extrapolación muy lejana.
No se pueden dar reglas generales para decidir cuál es la interpolación más
adecuada, pues no siempre al aumentar el grado del polinomio aumenta la precisión en la
estimación.
Depende siempre del caso concreto a estudiar. A veces la naturaleza del problema
nos da una idea de cuál es la interpolación (o extrapolación) más conveniente. Por ejemplo
si los incrementos de la función son proporcionales a los de la variable independiente (o
casi proporcionales) podremos usar la interpolación lineal.
Interpolación lineal
Como dijimos, cuando las variaciones de la función son proporcionales (o casi
proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha función es
lineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal..
Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal
consiste en hallar una estimación del valor y, para un valor x tal que x0<x<x1. Teniendo
en cuenta que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es:
Obtenemos la fórmula de la interpolación lineal.

6. 5
La línea azul representa la interpolación lineal entre los puntos rojos.
La interpolación cuadrática. Fórmula de Lagrange
Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el
nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da
igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un
método que otro. A la vista de los datos se decide.
En el ejemplo 1 se da el método de resolver el sistema para encontrar los valores
que determinan a la función cuadrática (a, b y c)
También podemos utilizar la expresión del polinomio interpolador así:
y= a + b(x-x0) + c(x-x0)(x-x1), con lo que la búsqueda de los coeficientes es muy
sencilla.
Lagrange (1736-1813) dio una manera simplificada de calcular los polinomios
interpoladores de grado n Para el caso de un polinomio de 2º grado que pasa por los puntos
(x0, y0 ), (x1, y1), (x2, y2):
Que es la fórmula de Lagrange para n=2.

7. 6
Ejemplos
Lineal
Determinar la función lineal de interpolación que pasa por los puntos (-1 , 0) , (4 , 2) .
Interpola el valor a = 1 y extrapola el valor b = 5.
Tenemos los puntos:
P(x0 , y0) = (-1 , 0)
Q(x1 , y1) = (4 , 2)
Obtenemos la función de interpolación lineal:
Interpolando a = 1 obtenemos: f(1) = 2/5 + 2/5 = 4/5
Extrapolando b = 5 obtenemos: f(5) = 2 + 2/5 = 12/5

8. 7
Lineal II
En la siguiente tabla se recogen las presiones de vapor de agua en función de la
temperatura:
x: temperatura (Cº) 8 25
y: presión (mm Hg) 9.3 32.2
a) Calcula por interpolación lineal la presión del vapor de agua a la temperatura x = 20
ºC
b) Calcula por extrapolación lineal la presión del vapor de agua a la temperatura x = 5
ºC
Para poder resolver ambos apartados necesitamos hallar la función de interpolación
lineal asociada al problema
Hallamos la pendiente tomando, por ejemplo, los puntos de la tabla:
(x0 , y0) = (8 , 9.3)
(x1 , y1) = (25 , 32.2)
Obtenemos la función de interpolación lineal:
a) Interpolando x = 20 obtenemos:
b) Extrapolando x = 5 obtenemos: f(4) = 4 + 1 = 5

9. 8
Lineal III
Calcula la recta que pasa por los puntos A(-3, -2) y B(3, 4) . Interpola el valor de la
función para x = 2 y extrapola el valor de la función para x = 4 .
Hallamos la pendiente tomando, por ejemplo, los puntos A y B:
(x0 , y0) = A(-3 , -2)
(x1 , y1) = B(3 , 4)
Obtenemos la función de interpolación lineal:
Interpolando x = 2 obtenemos: f(2) = 2 + 1 = 3
Extrapolando x = 4 obtenemos: f(4) = 4 + 1 = 5
Para representar la recta tomamos los puntos del enunciado:

10. 9
Cuadrática
Determinar la función cuadrática de interpolación que pasa por los puntos (0 , -3) , (1 ,
0) , (3 , 0). Interpola el valor a = 2 y extrapola el valor b = -1.
Tenemos los puntos: (x0 , y0) = (0 , -3) (x1 , y1) = (1 , 0) (x2 , y2) = (3 , 0)
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
Luego la función de interpolación es: y = - x2
+ 4x - 3
Interpolando a = 2 obtenemos: y = - 22
+ 4·2 - 3 = 1
Extrapolando b = - 1 obtenemos: y = - (-1)2
+ 4·(-1) - 3 = - 8

11. 10
Interpolación con el programa Matlab
Hay varios métodos de interpolar datos, el más simple es la interpolación lineal, que
entenderemos con el siguiente esquema:
Conocemos los datos de (x1, y1) y de (x2, y2) y queremos conocer el valor
desconocido de y cuando se proporciona la abscisa x1<x<x2. Sisuponemos que los
puntos 1 y 2 están unidos por una recta, calculamos fácilmente el valor de y mediante
la siguiente relación
y=y1+y2−y1x2−x1(x−x1)
Este procedimiento se denomina interpolación lineal. Existen otros procedimiento de
interpolación: nearest,cubic, spline, etc. MATLAB dispone para este propósito de la
función interp1.
Creamos el script interpolación, y seleccionamos el procedimiento por
defecto 'linear'
x=[0.97 1.12 2.92 3.00 3.33 3.97 6.10 8.39 8.56 9.44];
y=[2.58 0.43 0.06 5.74 7.44 8.07 6.37 2.51 1.44 0.52];
xx=[1.0 2.0 3.5 5.5 8.0];
yy=interp1(x,y,xx,'linear');
disp([xx' yy'])
Corremos el script interpolacion en la ventana de comandos
>> interpolacion
1.0000 2.1500
2.0000 0.2491
3.5000 7.6073
5.5000 6.8489
8.0000 3.1674

12. 11
Completamos el script interpolacion para incluir la representación gráfica de los
datos (color rojo) y los interpolados linealmente (color verde)
x=[0.97 1.12 2.92 3.00 3.33 3.97 6.10 8.39 8.56 9.44];
y=[2.58 0.43 0.06 5.74 7.44 8.07 6.37 2.51 1.44 0.52];
xx=[1.0 2.0 3.5 5.5 8.0];
yy=interp1(x,y,xx,'linear');
disp([xx' yy'])
hold on
plot(x,y,'-o','markersize',4,'markerfacecolor','r')
plot(xx,yy,'o','markersize',5,'markerfacecolor','g')
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Interpolación lineal');
hold off
Con la interpolación lineal hay que ser cuidadoso. En la figura de la izquierda
tenemos la aproximación lineal (en rojo) de una función (en negro) que es muy pobre
ya que los puntos están muy separados. Añadiendo un punto intermedio, mejora la
aproximación lineal.

13. 12
Splines
Es otro modo de interpolación que produce muy buenos resultados y cuya
explicación se puede encontrar en textos de cálculo numérico.
x=[0.97 1.12 2.92 3.00 3.33 3.97 6.10 8.39 8.56 9.44];
y=[2.58 0.43 0.06 5.74 7.44 8.07 6.37 2.51 1.44 0.52];
xx=linspace(x(1),x(end),80);
yy=interp1(x,y,xx,'spline');
plot(xx,yy,x,y,'o','markersize',4,'markerfacecolor','r')
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Interpolación spline');
Como podemos apreciar, esta gráfica difiere significativamente, de la primera.

14. 13
Extrapolación
Es la estimación de un valor de x, que está fuera del intervalo de datos. En el ejemplo
anterior, si x está comprendido en el intervalo 0.97<x<9.44 se dice que es
interpolación y si x<0.97 ó x>9.44 se dice que es extrapolación.
El ejemplo más significativo es la predicción de la población de Estados Unidos en
el año 2000, conocido los censos en los siguientes años (millones de habitantes)
x=[1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990];
y=[106.46 123.08 132.12 152.27 180.67 205.05 227.23 249.46];
n=length(x); %número de pares de datos
p=polyfit(x,y,n-1)
xx=linspace(1920,2000);
yy=polyval(p,xx);
polyval(p,2000)
hold on
plot(x,y,'o','markersize',4,'markerfacecolor','r')
plot(xx,yy,'b')
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Extrapolación');
hold off
Año 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990
Población 106.46123.08132.12152.27180.67205.05227.23249.46

15. 14
La población de Estados Unidos estimada para el año 2000 era de 195.77 millones
de habitantes, en contraste con la población real ese año de 281.42 millones. Una
diferencia significativa, por lo que hemos de tener cuidado con el procedimiento de
extrapolación.

16. 15
Conclusiones
El polinomio de interpolación suele usarse para estimar valores de una función, a la tabulada, en
las abscisas que no aparecenenla tabla. Los métodos para determinar una función polinomial que
nos permita determinar el valor en un punto dado, alguno de los métodos investigados fueron:
Interpolación lineal, Método de Lagrange entre otros. Es importante aclarar que la interpolación
se lleva a cabo a partir de datos exactos, obtenidos de una función o de un comportamiento
periódico o de cifras exactas o valores bien conocidos. Cuando se cuenta con datos obtenidos de
mediciones se requiere hacer un “ajuste de curvas” para obtener un valor, El polinomio es muy
sensible a los errores de los datos.