Este documento presenta un resumen de los conceptos de interpolación y extrapolación. Explica que la interpolación consiste en estimar valores dentro del rango de datos conocidos, mientras que la extrapolación estima valores fuera de ese rango. Describe métodos como la interpolación lineal y cuadrática, e ilustra su aplicación con ejemplos numéricos. También cubre el uso de splines y la interpolación en Matlab.

1. INFORME DE ANALISIS NUMERICO
Interpolación
BACHILLER: YOSELIN BARRERA
Un problema clásico de la matemática, se plantea al querer calcular el valor de una función en un
punto cuando no se conoce la función o incluso cuando la función no existe, conociéndose
únicamente una serie de puntos.

2. 1
INDICE
Introducción ........................................................................................................................2
Interpolación........................................................................................................................3
Elección de la interpolación más adecuada.........................................................................3
Interpolaciónlineal...........................................................................................................4
La interpolación cuadrática. Fórmula de Lagrange..............................................................5
Ejemplos..............................................................................................................................6
Lineal...............................................................................................................................6
Lineal II............................................................................................................................7
Lineal III ..........................................................................................................................8
Cuadrática........................................................................................................................9
Interpolación conel programa Matlab.................................................................................10
Splines ..........................................................................................................................13
Extrapolación.................................................................................................................14
Conclusiones......................................................................................................................16

3. 2
Introducción
En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma
de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en
situaciones que no hemos medido directamente.
La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos
los valores en los extremos.
La extrapolación consiste en hallar un dato fuera del intervalo conocido, pero debe
tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es muy fiable
el resultado obtenido.
El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función
de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:
(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)
y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.
El de la extrapolación cuando el punto que queremos considerar está a la derecha de
xn o a la izquierda de xo.
Se desea, por tanto encontrar una función cuya gráfica pase por esos puntos y que
nos sirva para estimar los valores deseados.
El tratamiento para ambos problemas es similar se utilizarán los polinomios
“interpoladores”, pero en el caso de la extrapolación el punto debe estar muy próximo a uno
de los extremos.

4. 3
Interpolación.
Elección de la interpolación más adecuada.
Consideremos una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la
misma:
(xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn) [1]
Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder estudiarla en
otros puntos.
Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas nos
quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones más sencillas
es la de los polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de menor grado que pase por los
n+1 puntos dados.
La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos [1] es en principio de
grado n: y= anxn+............+a1x+ao
Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas (sistema
que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los coeficientes es de Van der
monde y por lo tanto distinto de cero).
Se le llama polinomio interpolador correspondiente a esos puntos. Una vez obtenida
su expresión dando valores en él se pueden encontrar nuevos puntos de la función. Los
resultados obtenidos son naturalmente estimaciones aproximadas.
La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando
se tomen tres.
En este tema nos limitaremos a estos dos tipos de interpolación.

5. 4
Ejemplo 1. De una función conocemos tres puntos (-3, 5), (1, -1) y (3, 11). ¿qué
podemos decir de esa función cuando x=0 y cuando x=10?
Solución
Calculamos el polinomio interpolador que será de 2º grado
y= ax2 + bx +c, que pase por los tres puntos ,
Se verifica:
5=a(-3)2+b(-3)+c por pasar por el punto (-3, 5)
-1=a+b+c por pasar por el punto (1, -1)
11=a.32+b.3+c por pasar por el punto (3, 11)
Resolviendo el sistema que se nos plantea nos queda:
y= P(x)=
Cuando x=0, P(0)=-13/4; si x=10, P(10)=527/4
El primero, una interpolación, es probablemente una buena aproximación del valor
de la función desconocida, en el punto 0.
Sin embargo, el valor 527/4 es probable que se parezca poco al valor de la función en
el punto 10, pues es el resultado de una extrapolación muy lejana.
No se pueden dar reglas generales para decidir cuál es la interpolación más adecuada,
pues no siempre al aumentar el grado del polinomio aumenta la precisión en la estimación.
Depende siempre del caso concreto a estudiar. A veces la naturaleza del problema nos
da una idea de cuál es la interpolación (o extrapolación) más conveniente. Por ejemplo si los
incrementos de la función son proporcionales a los de la variable independiente (o casi
proporcionales) podremos usar la interpolación lineal.
Interpolación lineal
Como dijimos, cuando las variaciones de la función son proporcionales (o casi
proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha función es
lineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal..

6. 5
Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal
consiste en hallar una estimación del valor y, para un valor x tal que x0<x<x1. Teniendo en
cuenta que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es:
Obtenemos la fórmula de la interpolación lineal.
La línea azul representa la interpolación lineal entre los puntos rojos.
La interpolación cuadrática. Fórmula de Lagrange
Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el nombre
de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da igual., sin
embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un método que otro.
A la vista de los datos se decide.
En el ejemplo 1 se da el método de resolver el sistema para encontrar los valores que
determinan a la función cuadrática (a, b y c)
También podemos utilizar la expresión del polinomio interpolador así:

7. 6
y= a + b(x-x0) + c(x-x0)(x-x1), con lo que la búsqueda de los coeficientes es muy
sencilla.
Lagrange (1736-1813) dio una manera simplificada de calcular los polinomios
interpoladores de grado n Para el caso de un polinomio de 2º grado que pasa por los puntos
(x0, y0 ), (x1, y1), (x2, y2):
Que es la fórmula de Lagrange para n=2.
Ejemplos
Lineal
Determinar la función lineal de interpolación que pasa por los puntos (-1 , 0) , (4 , 2) .
Interpola el valor a = 1 y extrapola el valor b = 5.
Tenemos los puntos:
P(x0 , y0) = (-1 , 0)
Q(x1 , y1) = (4 , 2)
Obtenemos la función de interpolación lineal:
Interpolando a = 1 obtenemos: f(1) = 2/5 + 2/5 = 4/5
Extrapolando b = 5 obtenemos: f(5) = 2 + 2/5 = 12/5

8. 7
Lineal II
En la siguiente tabla se recogen las presiones de vapor de agua en función de la
temperatura:
x: temperatura (Cº) 8 25
y: presión (mm Hg) 9.3 32.2
a) Calcula por interpolación lineal la presión del vapor de agua a la temperatura x = 20 ºC
b) Calcula por extrapolación lineal la presión del vapor de agua a la temperatura x = 5 ºC
Para poder resolver ambos apartados necesitamos hallar la función de interpolación lineal
asociada al problema
Hallamos la pendiente tomando, por ejemplo, los puntos de la tabla:
(x0 , y0) = (8 , 9.3)
(x1 , y1) = (25 , 32.2)

9. 8
Obtenemos la función de interpolación lineal:
a) Interpolando x = 20 obtenemos:
b) Extrapolando x = 5 obtenemos: f(4) = 4 + 1 = 5
Lineal III
Calcula la recta que pasa por los puntos A(-3, -2) y B(3, 4) . Interpola el valor de la
función para x = 2 y extrapola el valor de la función para x = 4 .
Hallamos la pendiente tomando, por ejemplo, los puntos A y B:
(x0 , y0) = A(-3 , -2)
(x1 , y1) = B(3 , 4)
Obtenemos la función de interpolación lineal:

10. 9
Interpolando x = 2 obtenemos: f(2) = 2 + 1 = 3
Extrapolando x = 4 obtenemos: f(4) = 4 + 1 = 5
Para representar la recta tomamos los puntos del enunciado:
Cuadrática
Determinar la función cuadrática de interpolación que pasa por los puntos (0 , -3) , (1 , 0) ,
(3 , 0). Interpola el valor a = 2 y extrapola el valor b = -1.
Tenemos los puntos: (x0 , y0) = (0 , -3) (x1 , y1) = (1 , 0) (x2 , y2) = (3 , 0)
Resolvemos el sistema de ecuaciones:

11. 10
Luego la función de interpolación es: y = - x2
+ 4x - 3
Interpolando a = 2 obtenemos: y = - 22
+ 4·2 - 3 = 1
Extrapolando b = - 1 obtenemos: y = - (-1)2
+ 4·(-1) - 3 = - 8
Interpolación con el programa Matlab
Hay varios métodos de interpolar datos, el más simple es la interpolación lineal, que
entenderemos con el siguiente esquema:

12. 11
Conocemos los datos de (x1, y1) y de (x2, y2) y queremos conocer el valor desconocido
de y cuando se proporciona la abscisa x1<x<x2. Sisuponemos que los puntos 1 y 2 están
unidos por una recta, calculamos fácilmente el valor de y mediante la siguiente relación
y=y1+y2−y1x2−x1(x−x1)
Este procedimiento se denomina interpolación lineal. Existen otros procedimiento de
interpolación: nearest,cubic, spline, etc. MATLAB dispone para este propósito de la
función interp1.
Creamos el script interpolación, y seleccionamos el procedimiento por defecto 'linear'
x=[0.97 1.12 2.92 3.00 3.33 3.97 6.10 8.39 8.56 9.44];
y=[2.58 0.43 0.06 5.74 7.44 8.07 6.37 2.51 1.44 0.52];
xx=[1.0 2.0 3.5 5.5 8.0];
yy=interp1(x,y,xx,'linear');
disp([xx' yy'])
Corremos el script interpolacion en la ventana de comandos
>> interpolacion
1.0000 2.1500
2.0000 0.2491
3.5000 7.6073
5.5000 6.8489
8.0000 3.1674
Completamos el script interpolacion para incluir la representación gráfica de los datos
(color rojo) y los interpolados linealmente (color verde)

13. 12
x=[0.97 1.12 2.92 3.00 3.33 3.97 6.10 8.39 8.56 9.44];
y=[2.58 0.43 0.06 5.74 7.44 8.07 6.37 2.51 1.44 0.52];
xx=[1.0 2.0 3.5 5.5 8.0];
yy=interp1(x,y,xx,'linear');
disp([xx' yy'])
hold on
plot(x,y,'-o','markersize',4,'markerfacecolor','r')
plot(xx,yy,'o','markersize',5,'markerfacecolor','g')
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Interpolación lineal');
hold off
Con la interpolación lineal hay que ser cuidadoso. En la figura de la izquierda tenemos
la aproximación lineal (en rojo) de una función (en negro) que es muy pobre ya que los
puntos están muy separados. Añadiendo un punto intermedio, mejora la aproximación
lineal.

14. 13
Splines
Es otro modo de interpolación que produce muy buenos resultados y cuya explicación se
puede encontrar en textos de cálculo numérico.
x=[0.97 1.12 2.92 3.00 3.33 3.97 6.10 8.39 8.56 9.44];
y=[2.58 0.43 0.06 5.74 7.44 8.07 6.37 2.51 1.44 0.52];
xx=linspace(x(1),x(end),80);
yy=interp1(x,y,xx,'spline');
plot(xx,yy,x,y,'o','markersize',4,'markerfacecolor','r')
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Interpolación spline');

15. 14
Como podemos apreciar, esta gráfica difiere significativamente, de la primera.
Extrapolación
Es la estimación de un valor de x, que está fuera del intervalo de datos. En el ejemplo
anterior, si x está comprendido en el intervalo 0.97<x<9.44 se dice que es interpolación
y si x<0.97 ó x>9.44 se dice que es extrapolación.
El ejemplo más significativo es la predicción de la población de Estados Unidos en el
año 2000, conocido los censos en los siguientes años (millones de habitantes)
x=[1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990];
y=[106.46 123.08 132.12 152.27 180.67 205.05 227.23 249.46];
n=length(x); %número de pares de datos
p=polyfit(x,y,n-1)
xx=linspace(1920,2000);
yy=polyval(p,xx);
polyval(p,2000)
hold on
plot(x,y,'o','markersize',4,'markerfacecolor','r')
plot(xx,yy,'b')
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Extrapolación');
hold off
Año 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990
Población 106.46123.08132.12152.27180.67205.05227.23249.46

16. 15
La población de Estados Unidos estimada para el año 2000 era de 195.77 millones de
habitantes, en contraste con la población real ese año de 281.42 millones. Una diferencia
significativa, por lo que hemos de tener cuidado con el procedimiento de extrapolación.

17. 16
Conclusiones
El polinomio de interpolación suele usarse para estimar valores de una función, a la tabulada, en las
abscisas que no aparecen en la tabla. Los métodos para determinar una función polinomial que nos
permita determinar el valor en un punto dado, alguno de los métodos investigados fueron:
Interpolación lineal, Método de Lagrange entre otros. Es importante aclarar que la interpolación se
lleva a cabo a partir de datos exactos, obtenidos de una función o de un comportamiento periódico o
de cifras exactas o valores bien conocidos. Cuando se cuenta con datos obtenidos de mediciones se
requiere hacer un “ajuste de curvas” para obtener un valor, El polinomio es muy sensible a los errores
de los datos.
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