Este documento introduce los fundamentos de la aplicación del método de momentos (MoM) a problemas de radiación y dispersión en electromagnetismo. Explica que estos problemas involucran fuentes radiando en presencia de un dispersor, el cual puede ser conductor, dieléctrico o una combinación. Deriva la ecuación integral de campo eléctrico (EFIE) y presenta soluciones para las funciones potenciales y el campo disperso en términos de integrales sobre la superficie del dispersor.

1. Introducción a la aplicación del MoM en
problemas de radiación y dispersión
Prof. A. Zozaya, Dr.
1Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LABEMA)
Departamento de Electrónica y Comunicaciones
Universidad de Carabobo
Valencia, junio/2010
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 1 / 12

2. Contenido
1 Problemas de radiación y dispersión
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 2 / 12

3. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Son problemas equivalentes.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 3 / 12

4. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Son problemas equivalentes.
Consisten en fuentes impresas «ra-
diando» en presencia de un dispersor.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 3 / 12

5. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Son problemas equivalentes.
Consisten en fuentes impresas «ra-
diando» en presencia de un dispersor.
Los dispersores consisten en obje-
tos materiales que «vibran» bajo la
acción del campo impreso o primario
y del suyo propio
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 3 / 12

6. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Son problemas equivalentes.
Consisten en fuentes impresas «ra-
diando» en presencia de un dispersor.
Los dispersores consisten en obje-
tos materiales que «vibran» bajo la
acción del campo impreso o primario
y del suyo propio
Los dispersores pueden ser conductores, dieléctricos o una combinación de ambos.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 3 / 12

7. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Son problemas equivalentes.
Consisten en fuentes impresas «ra-
diando» en presencia de un dispersor.
Los dispersores consisten en obje-
tos materiales que «vibran» bajo la
acción del campo impreso o primario
y del suyo propio
Los dispersores pueden ser conductores, dieléctricos o una combinación de ambos.
En los problemas de radiación los dispersores se ubican en la zona cercana de
las fuentes impresas.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 3 / 12

8. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Son problemas equivalentes.
Consisten en fuentes impresas «ra-
diando» en presencia de un dispersor.
Los dispersores consisten en obje-
tos materiales que «vibran» bajo la
acción del campo impreso o primario
y del suyo propio
Los dispersores pueden ser conductores, dieléctricos o una combinación de ambos.
En los problemas de radiación los dispersores se ubican en la zona cercana de
las fuentes impresas.
En los problemas de dispersión los dispersores se ubican en la zona lejana de
las fuentes impresas.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 3 / 12

9. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Son problemas equivalentes.
Consisten en fuentes impresas «ra-
diando» en presencia de un dispersor.
Los dispersores consisten en obje-
tos materiales que «vibran» bajo la
acción del campo impreso o primario
y del suyo propio
Los dispersores pueden ser conductores, dieléctricos o una combinación de ambos.
En los problemas de radiación los dispersores se ubican en la zona cercana de
las fuentes impresas.
En los problemas de dispersión los dispersores se ubican en la zona lejana de
las fuentes impresas.
En este curso nos ocuparemos de problemas con dispersores tipo PEC.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 3 / 12

10. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
Principio de Equivalencia Física
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11. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
Principio de Equivalencia Física
J
eq
s = an ˆ (Hs
+ Hi
)
La corriente superficial J
eq
s irradia
en el espacio libre produciendo el
campo disperso Es fuera del dispersor
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 4 / 12

12. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
Principio de Equivalencia Física
J
eq
s = an ˆ (Hs
+ Hi
)
La corriente superficial J
eq
s irradia
en el espacio libre produciendo el
campo disperso Es fuera del dispersor
Ecuación Integral del Campo Eléctrico –EIFE–
EFIE
an ˆ (Es
+ Ei
) = 0 (1)
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 4 / 12

13. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
Principio de Equivalencia Física
J
eq
s = an ˆ (Hs
+ Hi
)
La corriente superficial J
eq
s irradia
en el espacio libre produciendo el
campo disperso Es fuera del dispersor
Ecuación Integral del Campo Eléctrico –EIFE–
EFIE
an ˆ (Es
+ Ei
) = 0 (1)
La componente tangencial del campo eléctrico en la S del PEC es nula
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14. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
La EFIE se puede obtener susti-
tuyendo en la Ec. (1) la solución del
campo Es
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15. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
La EFIE se puede obtener susti-
tuyendo en la Ec. (1) la solución del
campo Es
El campo Es se puede obtener co-
mo solución (medio simple infinito) de
la ecuación diferencial:
(r2
+ »2
)Es
=
r0
s s
+ |!—J
eq
s (2)
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16. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
La EFIE se puede obtener susti-
tuyendo en la Ec. (1) la solución del
campo Es
El campo Es se puede obtener co-
mo solución (medio simple infinito) de
la ecuación diferencial:
(r2
+ »2
)Es
=
r0
s s
+ |!—J
eq
s (2)
donde s = `
r0
s ´J
eq
s
|!
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17. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
La EFIE se puede obtener susti-
tuyendo en la Ec. (1) la solución del
campo Es
El campo Es se puede obtener co-
mo solución (medio simple infinito) de
la ecuación diferencial:
(r2
+ »2
)Es
=
r0
s s
+ |!—J
eq
s (2)
donde s = `
r0
s ´J
eq
s
|!
O, en función de las funciones potenciales Φ y A:
Es
= `rΦ ` |!A (3)
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18. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
La EFIE se puede obtener susti-
tuyendo en la Ec. (1) la solución del
campo Es
El campo Es se puede obtener co-
mo solución (medio simple infinito) de
la ecuación diferencial:
(r2
+ »2
)Es
=
r0
s s
+ |!—J
eq
s (2)
donde s = `
r0
s ´J
eq
s
|!
O, en función de las funciones potenciales Φ y A:
Es
= `rΦ ` |!A (3)
O, tomando en cuenta que Φ = ` 1
|!—
r ´ A, en función solo de A:
Es
= `
|rr ´ A
!—
` |!A (4)
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19. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
Los potenciales Φ y A son, a su vez,
soluciones de las ecuaciones:
(r2
+ »2
)Φ = `
s
(r2
+ »2
)A = ` —J
eq
s
(5)
donde s = `
r0
s ´J
eq
s
|!
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20. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
Los potenciales Φ y A son, a su vez,
soluciones de las ecuaciones:
(r2
+ »2
)Φ = `
s
(r2
+ »2
)A = ` —J
eq
s
(5)
donde s = `
r0
s ´J
eq
s
|!
Tiene sentido conocer la solución, para un medio simple infinito, de la ecuación:
(r2 + »2) = u
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 6 / 12

21. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
Los potenciales Φ y A son, a su vez,
soluciones de las ecuaciones:
(r2
+ »2
)Φ = `
s
(r2
+ »2
)A = ` —J
eq
s
(5)
donde s = `
r0
s ´J
eq
s
|!
Tiene sentido conocer la solución, para un medio simple infinito, de la ecuación:
(r2 + »2) = u (r) =
R
V0 u(r0)g(r; r0) d 0
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 6 / 12

22. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
Los potenciales Φ y A son, a su vez,
soluciones de las ecuaciones:
(r2
+ »2
)Φ = `
s
(r2
+ »2
)A = ` —J
eq
s
(5)
donde s = `
r0
s ´J
eq
s
|!
Tiene sentido conocer la solución, para un medio simple infinito, de la ecuación:
(r2 + »2) = u (r) =
R
V0 u(r0)g(r; r0) d 0
donde: g(r; r0) = `e`|»R
4ıR
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 6 / 12

23. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
Así tenemos –solución de la Ec. (2)–:
Es
= |!—
Z
S0
g(r; r0
)
„
J
eq
s +
1
»2
r0
s r0
s ´ J
eq
s
«
ds0
(6)
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24. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
Usando la solución para el escalar
Φ
Φ(r) = ` 1
R
S0 s g(r; r0) ds0
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25. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
Usando la solución para el escalar
Φ
Φ(r) = ` 1
R
S0 s g(r; r0) ds0
y la solución para el vector A
A(r) = `—
R
S0 J
eq
s g(r; r0) ds0
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 8 / 12

26. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
Usando la solución para el escalar
Φ
Φ(r) = ` 1
R
S0 s g(r; r0) ds0
y la solución para el vector A
A(r) = `—
R
S0 J
eq
s g(r; r0) ds0
tenemos, también –Ec. (3)–:
Es
= |!—
Z
S0
„
J
eq
s `
1
»2
rs r0
s ´ J
eq
s
«
g(r; r0
) ds0
(7)
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 8 / 12

27. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
Usando la solución para el vector
A
A(r) = `—
R
S0 J
eq
s g(r; r0) ds0
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 9 / 12

28. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
Usando la solución para el vector
A
A(r) = `—
R
S0 J
eq
s g(r; r0) ds0
Tenemos –Ec. (4)–[Zoz08]:
Es
= |!—
Z
S0
„
I +
1
»2
rs rs
«
g(r; r0
) ´ J
eq
s ds0
(8)
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 9 / 12

29. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
Sustituyendo cualquiera de las
Ecs.(6), (7) y (8) en la Ec. (1) se
obtiene
L(J
eq
s ) = `an ˆ Ei
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 10 / 12

30. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
Sustituyendo cualquiera de las
Ecs.(6), (7) y (8) en la Ec. (1) se
obtiene
L(J
eq
s ) = `an ˆ Ei
donde L( ) bien podría tener una cualquiera de las formas siguientes:
L( ) an ˆ |!—
R
S0 g(r; r0)
`
1 +
r0
s r0
s ´
»2
´
( ) ds0
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 10 / 12

31. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
Sustituyendo cualquiera de las
Ecs.(6), (7) y (8) en la Ec. (1) se
obtiene
L(J
eq
s ) = `an ˆ Ei
donde L( ) bien podría tener una cualquiera de las formas siguientes:
L( ) an ˆ |!—
R
S0 g(r; r0)
`
1 +
r0
s r0
s ´
»2
´
( ) ds0
L( ) an ˆ |!—
R
S0
`
1 `
rs r0
s ´
»2
´
( )g(r; r0) ds0
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 10 / 12

32. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
Sustituyendo cualquiera de las
Ecs.(6), (7) y (8) en la Ec. (1) se
obtiene
L(J
eq
s ) = `an ˆ Ei
donde L( ) bien podría tener una cualquiera de las formas siguientes:
L( ) an ˆ |!—
R
S0 g(r; r0)
`
1 +
r0
s r0
s ´
»2
´
( ) ds0
L( ) an ˆ |!—
R
S0
`
1 `
rs r0
s ´
»2
´
( )g(r; r0) ds0
L( ) an ˆ |!—
R
S0
`
I + rs rs
»2
´
g(r; r0) ´ ( ) ds0
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 10 / 12

33. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
La ecuación:
L(J
eq
s ) = `an ˆ Ei
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 11 / 12

34. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
La ecuación:
L(J
eq
s ) = `an ˆ Ei
se conoce como ecuación integral
del campo eléctrico (EFIE)
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 11 / 12

35. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
La ecuación:
L(J
eq
s ) = `an ˆ Ei
se conoce como ecuación integral
del campo eléctrico (EFIE)
J
eq
s se desconoce
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 11 / 12

36. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
La ecuación:
L(J
eq
s ) = `an ˆ Ei
se conoce como ecuación integral
del campo eléctrico (EFIE)
J
eq
s se desconoce
mientras, el término `an ˆEi se conoce: es la componente tangencial del campo
eléctrico incidente.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 11 / 12

37. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
La ecuación:
L(J
eq
s ) = `an ˆ Ei
se conoce como ecuación integral
del campo eléctrico (EFIE)
J
eq
s se desconoce
mientras, el término `an ˆEi se conoce: es la componente tangencial del campo
eléctrico incidente.
la solución de esta ecuación pasa por expandir la incognita J
eq
s en una combinación
líneal de N funciones bases
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 11 / 12

38. Problemas de radiación y dispersión
Problemas de radiación y dispersión
Fundamentos
La ecuación:
L(J
eq
s ) = `an ˆ Ei
se conoce como ecuación integral
del campo eléctrico (EFIE)
J
eq
s se desconoce
mientras, el término `an ˆEi se conoce: es la componente tangencial del campo
eléctrico incidente.
la solución de esta ecuación pasa por expandir la incognita J
eq
s en una combinación
líneal de N funciones bases
y por muestrear la ecuación en igual número de puntos (N) sobre la superficie
del PEC
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 11 / 12

39. Problemas de radiación y dispersión
Referencias I
A. J. Zozaya.
Diadas y diádicas.
http://www.ing.uc.edu.ve/labema, 2008.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Prob. de rad. y disp. Valencia, junio/2010 12 / 12