teoría del potencial

1. UPTC, 2015
Teor´ıa del Potencial:
Ecuaci´on de Laplace, el problema de Dirichlet
W. A. Amado1
Se resolvi´o el problema de Dirichlet en dominios generales bajo la condici´on de frontera tipo
Dirichlet en coordenadas cartesianas, cil´ındricas y esf´ericas; el cual nos permite solucionar uno
de los problemas m´as importantes en teor´ıa electromagn´etica: la Ecuaci´on de Laplace. Miramos
c´omo se comporta la soluci´on de la ecuaci´on de Laplace de forma anal´ıtica en los tres sistemas
coordenados y de ah´ı aplicamos condiciones de Dirichlet para ver como es el potencial. Con estas
condiciones podremos encontrar el potencial en una superficie cerrada en la cual vamos a obtener
un potencial ´unico.
KEY WORDS: Laplace, Condiciones de Frontera, Dirichlet.
CONTENIDOS
1 Introducci´on
2 Historia
3 Laplaciano en Coordenadas Curvil´ıneas
4 Soluci´on a la Ecuaci´on de Laplace
4.1 Ecuaci´on de Laplace en Coordenadas
Cartesianas: Caso 2D
4.2 Ecuaci´on de Laplace en Coordenadas
Polares
4.3 Ecuaci´on de Laplace en Coordenadas
Esf´ericas
5 Soluci´on al Problema de Dirichlet
5.1 Problema de Dirichlet en un Rect´angulo
5.2 Problema de Dirichlet en un Disco
1. INTRODUCCI´ON
La ecuaci´on de Laplace est´a definida como la diver-
gencia del gradiente: 2
φ = · ( φ). La ecuaci´on de
Laplace es una ecuaci´on diferencial en segundas derivadas
parciales lineal homog´enea, donde a las soluciones φ que
la satisfacen se le conocen como funciones arm´onicas, las
cuales son funciones de clase 2 (con segundas derivadas
1wilson.amado@uptc.edu.co
continuas). Diremos que φ es una funci´on arm´onica en un
dominio Ω si φ ∈ C2
y adem´as φ = 0 en Ω. Para la soluci´on
de un problema electrost´atico es necesario determinar la
soluci´on de la ecuaci´on de Laplace, en donde se deben
satisfacer las condiciones de frontera (en este caso de
tipo Dirichlet). Al resolver dicha ecuaci´on se encontrara
el potencial (φ), el cual mediante la relaci´on de E =
− φ, nos permite hallar el campo el´ectrico en cualquier
superficie o volumen en donde no se encuentren cargas
ligadas o cargas libres. Para poder solucionar el problema
de Dirichlet debemos primero establecer la soluci´on de la
ecuaci´on de Laplace en sus diferentes tipos de coordenadas
(cartesianas, cil´ındricas y esf´ericas). Para la soluci´on
con condiciones en la frontera de tipo Dirichlet en el
rect´angulo supondremos un rect´angulo muy largo y por
consiguiente en el interior se considera independiente de la
coordenada z, lo mismo para el disco: es independiente de
la coordenada z entonces su soluci´on ser´a en coordenadas
polares.
2. HISTORIA
El t´ermino “teor´ıa del potencial” viene del pensamiento
f´ısico del siglo XIX, donde se consideraba que todas las
fuerzas de la naturaleza derivaban de potenciales los cuales
satisfac´ıan la ecuaci´on de Laplace. Por ello la teor´ıa del
potencial fue el estudio de las funciones que sirvieran de
1 iC 2015 UPTC Escuela de F´ısica

2. 2 Wilson Amado
potenciales. En nuestros d´ıas sabemos que la naturaleza
es m´as complicada (las ecuaciones que describen las
fuerzas son sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales
parciales (como las Ecs. de campo de Einstein y las Ecs.
de Yang-Mills), y que la Ec. de Laplace es v´alida solo
como un caso limitado. A pesar de ello se sigue usando el
t´ermino “TEOR´IA DEL POTENCIAL” para describir el
estudio de las funciones que satisfacen la Ec. de Laplace y
sus generalizaciones. Originalmente el estudio de la Teor´ıa
del Potencial estaba relacionado con las propiedades de
las fuerzas que segu´ıan la ley de la Gravitaci´on, ley que
fue establecida por I. Newton (1643 - 1727) en el a˜no
de 1687. Estas fuerzas son directamente proporcionales
al producto de las masas que interact´uan e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
As´ı, el primer y m´as importante problema desde el punto
de vista de la mec´anica celeste y geod´esica, fue el estudio
de las fuerzas de atracci´on gravitacional. Luego de varios
estudios contempor´aneos en esa ´epoca, Lagrange establece
que el campo de fuerza gravitacional, como es llamado
ahora, es un campo potencial, e introdujo una funci´on,
llamada luego por G (Green (1793 - 1841)) una funci´on
potencial y posteriormente potencial por C. F. Gauss
(1777 - 1855).
Gauss y sus contempor´aneos descubrieron que el
m´etodo de potenciales puede ser aplicado no solo para
resolver problemas en gravitaci´on, sino tambi´en, en
general, en un amplio rango de problemas de f´ısica
matem´atica como la electrost´atica y el magnetismo.
Adicionalmente se definen importantes problemas con
valores frontera, como el problema de Dirichlet y el
problema de Neumann, el problema de electrost´atica para
una distribuci´on est´atica de cargas sobre conductores o el
problema de Robin.
El problema de Dirichlet es un problema que consiste
en hallar una funci´on que sea la soluci´on de una ecuaci´on
en derivadas parciales (EDP) en el interior de un dominio
de (o m´as generalmente una variedad diferenciable) que
tome valores prescritos sobre el contorno de dicho dominio.
El problema de Dirichlet puede resolverse para muchas
EDP, aunque originalmente fue planteada para la ecuaci´on
de Laplace. El problema de Dirichlet debe su nombre a
Lejeune Dirichlet (1805-1859), quien propuso una soluci´on
para un m´etodo de variaci´on el cual se conoce como
principio de Dirichlet. La existencia de una soluci´on ´unica
es muy plausible por el “argumento f´ısico”: cualquier
distribuci´on de carga sobre el contorno, para las leyes de
la electrost´atica, deber´a determinar un potencial el´ectrico
como soluci´on.
3. LAPLACIANO EN COORDENADAS
CURVIL´INEAS
Un caso m´as general de la Ecuaci´on de Laplace se tiene
para un sistema de coordenadas curvil´ıneas, las cuales nos
permiten definir diferentes tipos de sistemas coordenados,
en donde, si (x, y, z) son coordenadas cartesianas, entonces
(u, v, w) son coordenadas curvil´ıneas, que se pueden
expresar como una funci´on de las (x, y, z) as´ı:
u = u(x, y, z) ,
v = v(x, y, z) ,
w = w(x, y, z) .
Estas funciones pueden ser invertidas para (x, y, z) con
dependencia en (u, v, w) as´ı:
x = x(u, v, w) ,
y = y(u, v, w) ,
z = z(u, v, w) .
Como bien sabemos el laplaciano est´a definido como
la divergencia del gradiente, entonces en este caso
definiremos el gradiente en coordenadas curvil´ıneas as´ı:
φ =
1
hu
∂F
∂u
ˆu +
1
hv
∂F
∂v
ˆv +
1
hw
∂F
∂w
. ˆw (1)
Ya definido nuestro gradiente en coordenadas curvil´ıneas
tambi´en podemos definir nuestra divergencia en este tipo
de coordenadas (curvil´ıneas) as´ı:
· φ =
1
huhvhw
∂vuhvhw
∂u
+
+
∂huvvhw
∂u
+
∂huhvvw
∂w
. (2)
Una vez definidas la divergencia podemos utilizar la
relaci´on del laplaciano con la divergencia y el gradi-
ente para poder escribir el laplaciano en coordenadas
curvil´ıneas de la siguiente manera:
· ( φ) =
1
huhvhw
∂
∂u
hvhw
hu
∂φ
∂u
+
+
∂
∂v
huhw
hv
∂φ
∂v
+
∂
∂w
huhv
hw
∂φ
∂w
, (3)
en donde hu, hv y hw son nuestros factores de escala.
Ahora si hacemos una transformaci´on de coordenadas
cartesianas a cil´ındricas y a esf´ericas tambi´en podemos
reescribir nuestro laplaciano en coordenadas (cil´ındricas y
esf´ericas) siempre y cuando hallemos nuestros factores de
escala. Estos factores de escala tienen su valor para cada

3. Laplace con Frontera Dirichlet 3
sistema de coordenadas as´ı:
hz = hy = hx = 1 , Coordenadas Cartesianas ,
hr = 1 , hφ = r , hz = 1 , Coordenadas Cil´ındricas ,
hr = 1 , hφ = r sin θ , hθ = r , Coordenadas Cartesianas .
Al reemplazar estos valores en nuestro laplaciano en coor-
denadas curvil´ıneas podemos obtener nuestro laplaciano
en los tres sistemas de coordenadas particulares:
2
φ =
∂2
φ
∂x2
+
∂2
φ
∂y2
+
∂2
φ
∂z2
, (4)
2
φ =
∂2
φ
∂r2
+
1
r
∂φ
∂r
+
1
r2
∂2
φ
∂θ2
+
∂2
φ
∂z2
, (5)
2
φ =
1
r2
∂
∂r
r2 ∂φ
∂r
+
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂φ
∂θ
+
1
r2 sin2
θ
∂2
φ
∂ϕ2
. (6)
Una vez definido nuestro laplaciano procedemos a solu-
cionar la ecuaci´on de Laplace con el fin de hallar la
soluci´on al problema de Dirichlet.
4. SOLUCI´ON A LA ECUACI´ON DE
LAPLACE
Resolver un problema electrost´atico es determinar la
soluci´on a la ecuaci´on de Laplace en una forma tal que
permita satisfacer las condiciones de frontera mediante el
ajuste de constantes arbitrarias. Existen varios m´etodos
especiales que se pueden aplicar con este prop´osito; de
esos m´etodos, aparte de la teor´ıa de ecuaciones integrales,
el ´unico procedimiento que es a la vez pr´actico y general
en car´acter, es el m´etodo conocido como “separaci´on de
variables”. Cuando consideramos la ecuaci´on de difusi´on
sin fuente, y con condiciones de frontera independientes
del tiempo, el l´ımite de las soluciones cuando t → ∞ es la
soluci´on de la ecuaci´on de estado estacionario. En el caso
de coeficientes constantes resulta la ecuaci´on de Laplace
2
φ = 0 con las condiciones de frontera que provienen de
la ecuaci´on de difusi´on original.
4.1 Ecuaci´on de Laplace en Coordenadas
Cartesianas: Caso 2D
Para determinar la soluci´on de la ecuaci´on de Laplace
en coordenadas cartesianas bidimensionales despreciamos
la dependencia de z, quedando de la siguiente manera:
2
φ = 0 ,
∂2
φ
∂x2
+
∂2
φ
∂y2
= 0 . (7)
Utilizamos el m´etodo de separaci´on de variables y
obtenemos:
φ(x, y) = X(x)Y (y) . (8)
Al realizar la segunda derivada de este producto con
respecto a x, y y dividiendo esta ecuaci´on por XY
obtenemos:
1
X
d2
X
dx2
+
1
Y
d2
Y
dy2
= 0 . (9)
Como cada uno de los t´erminos o sumandos depende de
una sola variable, entonces podemos decir que cada uno
de ellos debe ser una constante. La cual la definimos as´ı:
−α2
para el primer t´ermino y α2
para el segundo t´ermino.
Al separar las ecuaciones obtenemos en cada una ellas
una ecuaci´on diferencial ordinaria de segundo orden, m´as
f´aciles de trabajar, obteniendo las siguientes soluciones:
Xα=0(x) = Aeiαx
+ Be−iαx
, (10)
Yα=0(y) = Ceiαy
+ De−iαy
, (11)
Xα=0(x) = Kx + q , (12)
Yα=0(y) = K x + q . (13)
Ya definidas nuestras soluciones para X y Y podemos
escribir la soluci´on de φ de la siguiente manera:
φ(x, y) = Aeiαx
+ Be−iαx
Ceiαy
+ De−iαy
+
+axy + bx + cy + d , α ≥ 0 . (14)
4.2 Ecuaci´on de Laplace en Coordenadas Polares
Tomamos la ecuaci´on:
2
φ = 0 ,
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂φ
∂ρ
+
1
ρ2
∂2
φ
∂ϕ2
= 0 . (15)
Hacemos una soluci´on por separaci´on de variables de la
forma:
φ(ρ, ϕ) = R(ρ)Ψ(ϕ) . (16)
Realizando un procedimiento similar al de la soluci´on de
Laplace en coordenadas cartesianas podemos obtener un
resultado similar pero en coordenadas polares as´ı:
ρ
R ρ
ρ
dR
dρ
+
1
Ψ
d2
Ψ
dϕ2
. (17)
Como se hizo anteriormente, se pueden separar las
variables y as´ı obtenemos dos ecuaciones diferenciales
ordinarias de segundo orden, lo que nos conduce a que
cada una de ellas tambi´en debe ser una constante y
poder obtener su soluciones por separado. Estas soluciones

4. 4 Wilson Amado
quedan de la forma:
Ψ(ϕ) = Aeiνϕ
+ Be−iνϕ
, (18)
R(ρ) = Cρν
+ Dρ−ν
. (19)
De esta manera, la soluci´on para φ obtenida por el m´etodo
de separaci´on de variables en coordenadas polares ser´a:
φ(ρ, ϕ) = Cρν
+ Dρ−ν
Aeiνϕ
+ Be−iνϕ
+ (20)
+(aϕ + b)(E ln ρ + F) . (21)
Miremos que en ambas soluciones hay unas constantes
arbitrarias que satisfacen la soluci´on de la ecuaci´on de
Laplace y las cuales se determinaran con las condiciones
de frontera que se presente en cada tipo de problema a
solucionar.
4.3 Ecuaci´on de Laplace en Coordenadas Esf´ericas
Para solucionar la ecuaci´on de Laplace en coordenadas
esf´ericas primero que todo definiremos el operador de
momento angular orbital de la siguiente manera:
ˆL = −ir × , (22)
ˆL2
= (−r × )2
. (23)
Ahora podemos escribir nuestra ecuaci´on de la siguiente
manera:
2
φ = 0 , (24)
1
r2
∂
∂r
r2 ∂φ
∂r
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂φ
∂θ
+
+
1
r2 sin2
θ
∂2
φ
∂ϕ2
= 0 . (25)
Solucionamos utilizando de nuevo el m´etodo de separaci´on
de variables:
φ(r, θ, φ) =
U(r)
r
Y (θ, ϕ) . (26)
Ya que esta es una soluci´on es tan extensa dejaremos los
detalles en el ap´endice presentado en el sal´on de clases.
Al hacer unos procedimientos algebraicos similares al de
las soluciones anteriores podemos escribir nuestra soluci´on
para la ecuaci´on de Laplace en coordenadas esf´ericas de
la siguiente manera:
φ(r, θ) =
∞
l=0
Alrl
+
Bl
rl+1
Pl(cos θ) . (27)
Hecho esto, podemos ahora atacar el problema de
Dirichlet.
5. SOLUCI´ON AL PROBLEMA DE
DIRICHLET
El problema de Dirichlet consiste en hallar una funci´on
que satisfaga una ecuaci´on en derivadas parciales (EDP),
en este caso, la Ecuaci´on de Laplace. El problema de
Dirichlet debe su nombre a Lejeune Dirichlet, quien
propuso una soluci´on para un m´etodo variacional conocido
como principio de Dirichlet. La existencia de una soluci´on
´unica es muy plausible debido a “argumentos f´ısicos”:
cualquier distribuci´on de carga sobre el contorno, para las
leyes de la electrost´atica, deber´a determinar un potencial
el´ectrico como soluci´on. Los problemas de Dirichlet son
t´ıpicos de las ecuaciones en derivadas parciales el´ıpticas, la
teor´ıa del potencial, y la ecuaci´on de Laplace en particular.
Otros ejemplos son la ecuaci´on biarm´onica y las ecuaciones
relacionadas con la teor´ıa de la elasticidad. Este es uno de
los problemas de varios tipos de clases problemas de EDP
definidos por la informaci´on dada en el contorno, entre
los cuales est´an tambi´en el problema de Neumann y el
problema de Cauchy.
5.1 Problema de Dirichlet en un Rect´angulo
Resolveremos la ecuaci´on de Laplace en un rect´angulo
Ec. 26 cuando el potencial esta prescrito en la frontera.
Consideraremos en primer lugar las condiciones de
frontera (tipo Dirichlet):
φ(0, y) = g1(y) , (28)
φ(L, y) = g2(y) , (29)
φ(x, 0) = f1(x) , (30)
φ(x, H) = f2(x) . (31)
Donde las Ecs. 28 son funciones dadas, y ya que
la ecuaci´on es lineal pero no homog´enea entonces no
podremos utilizar el m´etodo de separaci´on de variables
a este problema tal como se presenta. Por consiguiente
emplearemos el principio de superposici´on para desglosar
nuestro problema en cuatro sub-problemas diferentes en
donde cada uno de ellos solo presentara una condici´on no-
homog´enea. Esto se puede escribir como sigue:
φ(x, y) = φ1(x, y) + φ2(x, y) + φ3(x, y) + φ4(x, y) . (32)
Vamos a determinar la soluci´on para cada uno de los
problemas. Resolveremos el problema para φ1(x, y) el cual
nos presenta las siguientes condiciones de frontera:
φ1(0, y) = 0 , (33)
φ1(L, y) = 0 , (34)
φ1(x, 0) = f1(x) , (35)
φ1(x, H) = 0 . (36)

5. Laplace con Frontera Dirichlet 5
Para no extendernos, el procedimiento a seguir es el mismo
que utilizamos en la soluci´on de la ecuaci´on de Laplace en
coordenadas cartesianas, pero en este caso si podremos
encontrar las constantes ya que tenemos condiciones de
frontera presentes en el problema. La soluci´on es:
Ec22 (37)
La soluci´on para φ3(x, y) es:
φ1(x, y) =
∞
n=1
˜An
sinh nπ
L (H − y)
sinh nπM
l
sin
nπ
L
x , (38)
y
f1(x) =
∞
n=1
˜An sin
nπ
L
x , (39)
˜An =
L
0
f1(x) sin
nπ
L
x dx . (40)
Nos presenta las condiciones:
φ3(0, y) = 0 , (41)
φ3(L, y) = 0 , (42)
φ3(x, 0) = 0 , (43)
φ3(x, H) = f2(x) . (44)
La soluci´on es similar a la anterior, lo ´unico que var´ıa son
las condiciones. La soluci´on para φ3(x, y) es:
φ3(x, y) =
∞
n=1
˜Cn sin
nπ
L
x sinh
nπ
L
y , (45)
y
˜Cn =
2
L sinh nπ
L H
L
0
f2(x) sin
nπ
L
x dx . (46)
An´alogamente la soluci´on para φ4(x, y) es:
φ4(x, y) =
∞
n=1
bn sinh
nπ
H
(x − L) sin
nπ
H
y , (47)
y
bn =
2
H sinh −nπ
H L
L
0
g1(y) sin
nπ
H
y dy . (48)
5.2 Problema de Dirichlet en un Disco
Para la soluci´on a este problema se tomara la soluci´on
anterior en la que se solucionaba la ecuaci´on de Laplace
en coordenadas polares. El procedimiento se deja al lector
en el aula de clases presente en el ap´endice. La soluci´on
es:
φ(r, θ) = A0 +
∞
n=1
Anrn
cos(nθ) +
∞
n=1
Bnrn
sin(nθ) ,
(49)
donde:
A0 =
1
2π
π
−π
f(θ)dθ , (50)
An =
1
πan
π
−π
f(θ) cos(nθ)dθ , (51)
Bn =
1
πan
π
−π
f(θ) sin(nθ)dθ , (52)
con n ≥ 1.
REFERENCES
1. http://electromagnetic-fields.wikispaces.com/
Ecuaci%C3%B3n+de+Laplace+y+Teorema+de+la+Unicidad
2. https://es.wikipedia.org/wiki/Problema de Dirichlet.
3. Electromagnetismo Alonso Sep´ulveda.
4. Apuntes de ecuaciones diferenciales Dpto. De matem´aticas
Univ. De Extremadura.