El documento describe las ondas electromagnéticas y sus propiedades. Explica que un campo eléctrico variable genera un campo magnético variable y viceversa, dando lugar a ondas electromagnéticas que pueden propagarse en el espacio libre o en medios materiales. También cubre las ecuaciones de Maxwell, las ecuaciones de onda electromagnética, y las soluciones de las ondas en forma de planos y esferas.

1. Ondas Electromagnéticas
Clase 12
18-Julio-2014

2. Ondas Electromagnéticas
 Se estableció que un campo eléctrico que varía con el tiempo 퐸(푡)
produce un campo magnético que varía con el tiempo 퐻(푡) y, a la
inversa, un campo magnético que varía con el tiempo produce un campo
eléctrico. Este patrón cíclico genera ondas electromagnéticas (EM)
capaces de propagarse a través del espacio libre y en medios materiales.
Cuando su propagación sigue el curso de una estructura material, como
una línea de transmisión, se dice que la onda EM viaja en un medio
guiado.

3. Ondas Electromagnéticas
 La superficie terrestre y la ionosfera constituyen límites paralelos de una
estructura natural de guía para la propagación de transmisiones de radio
de onda corta en la banda 퐻퐹 (3 푎 30 푀퐻푧) ; la ionosfera es un buen
reflector a estas frecuencias, lo que permite que las ondas vayan en
zigzag entre los dos límites.

4. Ondas Electromagnéticas

5. Ondas Electromagnéticas
 Las ondas EM también pueden viajar en medios sin fronteras; las ondas
luminosas que emite el sol y las transmisiones de radio emitidas por antenas
son ejemplos típicos

6. Ondas Electromagnéticas
 La atención se enfocará en la propagación de ondas en un medio sin
fronteras. Se considerarán tanto medios con pérdidas como sin ellas. La
propagación de ondas en un medio sin pérdidas (dieléctrico perfecto,
como el aire) es similar a aquella a través de una línea de transmisión sin
pérdidas. En un medio con pérdidas caracterizado por una conductividad
diferente de cero, como el agua, una parte de la potencia transportada
por la onda electromagnética se convierte en calor, exactamente como
lo que le sucede a una onda que se propaga a través de una línea de
transmisión con pérdidas.

7. Ondas Electromagnéticas
 Cuando una fuente (como una antena) emite energía, ésta se expande
hacia fuera de la fuente en la forma de ondas esféricas, como se ilustra en
la figura.
 Aun cuando la antena puede irradiar más energía a lo largo de algunas
direcciones que a lo largo de otras, las ondas esféricas viajan con la misma
rapidez en todas las direcciones y, por lo tanto, se expanden a la misma
tasa

8. Ondas Electromagnéticas
Ondas irradiadas por una fuente EM, como una
bombilla de luz o una antena, tienen frentes de
onda esféricos

9. Ondas Electromagnéticas
 Para un observador alejado de la fuente, el frente de las ondas esféricas
aparece aproximadamente plano, como si fuera una parte de una onda
plana uniforme con propiedades uniformes en todos los puntos del plano
tangente al frente de ondas. La propagación de ondas planas puede
describirse mediante coordenadas cartesianas con las que es más fácil
trabajar matemáticamente que con las coordenadas esféricas requeridas
para describir la propagación de una onda esférica

10. Ondas Electromagnéticas
Sin embargo, para un observador distante, el frente
de onda que atraviesa la abertura del observador
parece aproximadamente plano

11. Ondas Electromagnéticas
 Campos armónicos
 En el caso de variación con el tiempo, los campos eléctricos y magnéticos
E, D, B y H, y sus fuentes, la densidad de carga 휌푣 y la densidad de
corriente 퐽, son (cada uno y en general) una función de las coordenadas
espaciales (푥, 푦, 푧) y la variable de tiempo 푡.
 Si su variación con el tiempo es una función sinusoidal con frecuencia
angular 휔 , cada una de estas cantidades se representa por un fasor
independiente del tiempo que depende sólo de (푥, 푦, 푧).

12. Ondas Electromagnéticas
 Por lo tanto, el fasor vectorial 퐸 푥, 푦, 푧 correspondiente al campo
instantáneo 퐸(푥, 푦, 푧; 푡) se define de acuerdo con
 퐸 푥, 푦, 푧: 푡 = 푅푒 퐸 푥, 푦, 푧 푒푗휔푡
 Y definiciones similares son aplicables a los demás campos y a 휌푉 y 퐽. Para
un medio lineal, isotrópico y homogéneo caracterizado por la permitividad
eléctrica휀, permeabilidad magnética 휇 y conductividad 휎, se recuerda
que la diferenciación en el dominio del tiempo corresponde a multiplicar
por 푗휔 en el dominio fasorial.

13. Ondas Electromagnéticas
 Como la mayoría de las regiones de interés son libres de carga, se supone
que 휌 = 0. Por otro lado, hay que suponer, materiales lineales isotrópicos de
tal manera que 퐷 = 휖퐸, 퐵 = 휇퐻 푦 퐽퐶 = 휎퐸.
 Isotrópico quiere decir que no depende de la elección de los ejes. no
importa para que lado estés midiendo cierta propiedad o magnitud física
siempre va a medir lo mismo.
 Un ejemplo sencillo, se asume al espacio isotrópico, es decir, medir un
metro hacia arriba, es lo mismo que medirlo de lado, diagonal, etc. Un
ejemplo en donde no se cumple la isotropía, si tu tienes un material, y es
mas difícil estirarlo de izquierda a derecha que de arriba abajo, pues se
dice que dicha propiedad de estirarlo (rigidez) es anisotropía.

14. Ondas Electromagnéticas
 En electromagnetismo algunas de las propiedades que puedes medir son:
conductividad, susceptibilidad magnética, susceptibilidad eléctrica,
resistividad, etc. Si esas propiedades no dependen de la dirección (u
orientación de los ejes) se dice que el cuerpo es isotrópico.
 Por ejemplo si tu cuerpo tiene igual valor de conductividad cuando la
corriente lo atraviesa de arriba a abajo, que de izquierda a derecha (y en
general de todas las posibles direcciones) se dice que ese es un cuerpo
isotrópico con respecto a la conductividad.

15. Ecuaciones de Onda
 Con base en los principios anteriores y suponiendo que tanto 퐸 푐표푚표 퐻 son
dependientes del tiempo 푒푗휔푡, las ecuaciones de Maxwell se transforman
en:
훻 × 퐻 = 휎 + 푗휔휖 퐸 1
훻 × 퐸 = −푗휔휇퐻 2
훻 ∙ 퐸 = 0 3
훻 ∙ 퐻 = 0 (4)
 Ahora aplicamos la identidad vectorial
훻 × 훻 × 퐴 ≡ 훻 훻 ∙ 퐴 − 훻2퐴

16. Ecuaciones de Onda
 Donde, tan solo en coordenadas cartesianas
 Tomando el rotacional de (1) y (2), y utilizando (3) y (4)
−훻2퐻 = 휎 + 푗휔휖 훻 × 퐸
−훻2퐸 = −푗휔휇 훻 × 퐻
 Ahora sustituyendo 훻 × 퐸 푦 훻 × 퐻 de (2) y (1), se obtienen las ecuaciones
vectoriales
훻2퐴 = 훻2퐴푥 푎푥 + 훻2퐴푦 푎푦+ 훻2퐴푧 푎푧
훻2퐻 = 훾2퐻 훻2퐸 = 훾2퐸

17. Ecuaciones de Onda
 Donde 훾2 = 푗휔휇 휎 + 푗휔휖 . La constante de propagación, 훾 , es la raíz
cuadrada de 훾2 cuyas partes real e imaginaria son positivas:
 con
γ = 훼 + 푗퐵
훼 = 휔
휇휖
2
1 +
휎
휔휖
2
− 1
훽 = 휔
휇휖
2
1 +
휎
휔휖
2
+ 1

18. Ecuaciones de Onda
 La constante 훼 se llama factor de atenuación y 훽 se llama constante de
crecimiento de fase. 훾 (Gamma) tiene unidades 푚−1 , sin embargo, es
costumbre dar 훼 푦 훽 푒푛
푁푝
푚
푦
푟푎푑
푚
, respectivamente, donde el neper (Np) es
una unidad adimensional como el radián.

19. Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
 La familiar ecuación escalar de onda en una dimensión
휕2퐹
휕푧2 =
1
푈2
휕2퐹
휕푡2
 Tiene soluciones de la forma 퐹 = 푓 푧 − 푈푡 푦 퐹 = 푔 푧 + 푈푡 , donde 푓 푦 푔 son
funciones arbitrarias. Estas representan ondas que viajan con velocidad 푈
en las direcciones +푧 푦 − 푧, respectivamente, de acuerdo a la siguiente
figura.

20. Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
푡 = 0 푡 = 푡1
푓 푧표
푈푡1
푓 푧1 − 푈1푡1

21. Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
 En particular, si se supone una variación armónica de tiempo 푒푗휔푡 , la
ecuación de onda se convierte en
휕2퐹
휕푧2 = −훽2퐹 훽 =
 Con soluciones (incluyendo el factor temporal) de la forma
 O en las partes real o imaginaria de estas.
휔
푈
퐹 = 퐶푒푗 휔푡−훽푧 퐹 = 퐷푒푗 휔푡+훽푧

22. Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
퐶
푡 = 0
푡 =
휋
2휔
푑
퐹
퐹푖푔푢푟푎 2
푧

23. Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
 La figura 2 muestra una de estas soluciones, 퐹 = 푠푒푛 휔푡 − 훽푧 , 푒푛 푡 = 0 푦 푒푛 푡 =
휋
2휔
;
durante este intervalo de tiempo la onda se ha movido una distancia 푑 =
푈
휋
2휔
=
휋/2훽 a la derecha. Para cualquier 푡 fijo, la forma de onda se repite cuando 푧
cambia a 2휋/훽. La distancia
휆 =
2휋
훽
 Se llama longitud de onda. De esta manera en la figura 2, la onda avanzado
un cuarto de longitud de onda a la derecha. La longitud de onda y la
frecuencia 푓 = 휔/2휋, guardan entre si la relación conocida
 También, 휆 = 푇푈 donde 푇 =
1
푓
휆푓 = 푈
= 2휋/휔 es el periodo

24. Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
 Las ecuaciones vectoriales de onda tienen soluciones similares a las ya
discutidas anteriormente. Como los vectores unidad 푎푥, 푎푦 푦 푎푧 en
coordenadas cartesianas tienen direcciones fijas, la ecuación de onda
para 퐻 puede reescribirse bajo la forma
휕2퐻
휕푥2 +
휕2퐻
휕푦2 +
휕2퐻
휕푧2 = 훾2퐻
 De especial interés son las soluciones (ondas planas) que dependen solo
de una coordenada espacial, digamos 푧.

25. Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
 La ecuación se convierte entonces en
 Dando
푑2퐻
푑푧2 = 훾2퐻
퐻 = 퐻표푒±푦푧푎퐻 ó 퐻 푧, 푡 = 퐻표푒±푦푧푒푗휔푡푎퐻
 Las soluciones correspondientes para el campo eléctrico son
퐸 = 퐸표푒±푦푧푎퐸 ó 퐸 푧, 푡 = 퐸표푒±푦푧푒푗휔푡푎퐸

26. Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
 Aquí 푎퐻 푦 푎퐸 son vectores unitarios. La cantidad compleja 훾 se definió
anteriormente
 Se demuestra que
푎퐻 ∙ 푎푧 = 푎퐸 ∙ 푎푧 = 0
 Es decir que ningún campo tienen componente en la dirección de
propagación.
 Siendo esto así se pueden rotar siempre los ejes para colocar uno de los
campos, digamos 퐸 a lo largo del eje 푥. Entonces se demuestra que 퐻 yace a
lo largo del eje 푦.
 La solución de onda plana que se acaba de obtener depende, vía 훾, de las
propiedades del medio 휇, 휖 푦 휎

27. Soluciones para medios parcialmente
conductores
 Para una región de poca conductividad (ej.: suelo húmedo, agua de
mar), la solución de la ecuación de onda E es
 La razón 퐸/퐻 es característica del medio (también dependen de la
frecuencia). Mas específicamente, para ondas 퐸 = 퐸푥푎푥 , 퐻 = 퐻푦푎푦 que se
propaga en la dirección +푧, la impedancia intrínseca, 휂, del medio se
define por:
 De esta manera
퐸 = 퐸표푒−훾푧푎푥
휂 =
퐸푥
퐻푦
휂 =
푗휔휇
휎 + 푗휔휖

28. Soluciones para medios parcialmente
conductores
 Donde la raíz cuadrada puede escribirse en forma polar 휂 ∠휃 con
휂 =
휇/휖
4
1 +
휎
휔휖
2
푡푎푛2휃 =
휎
휔휖
푦 0표 < 휃 < 45표
 (Si la onda se propaga en la dirección −푧,
퐸푥
퐻푦
= −휂 . En efecto, 훾 se
reemplaza por −훾 y se usa la otra raíz cuadrada).

29. Soluciones para medios parcialmente
conductores
 Al introducer el factor tiempo 푒푗휔푡 y al escribir 훾 = 훼 + 푗훽 se obtiene las
siguientes ecuaciones para campos en una región parcialmente conductora:
퐸 푧, 푡 = 퐸표푒−훼푧푒푗 휔푡−훽푧+휃 푎푥 o 퐸 푧, 푡 = 퐸표푐표푠 휔푡 − 훽푧 + 휃 푎푥
퐻 푧, 푡 =
퐸표
휂
푒−훼푧푒푗 휔푡−훽푧+휃 푎푦 o 퐻 푧, 푡 =
퐸표
휂
푐표푠 휔푡 − 훽푧 + 휃 푎푦
 El factor 푒−훼푧 atenúa las magnitudes de 퐸 푦 퐻 cuando se propagan en
dirección +푧. La expresión para 훼,esto demuestra que existe atenuación a
menos que la conductividad 휎 sea cero, lo que solo es el caso de dieléctricos
perfectos o de espacio vacío.

30. Soluciones para medios parcialmente
conductores
 De la misma manera, la diferencia de fase temporal 휃, 푒푛푡푟푒 퐸 푧, 푡 푦 퐻(푧, 푡)
desaparece solo cuando 휎 es cero. La velocidad de propagación y la
longitud de onda están dadas por:
푈 =
휔
훽
=
 Si se conoce la velocidad de propagación 휆푓 = 푈 puede usarse para
determinar la longitud de onda 휆.
1
휇휖
2
1 +
휎
휔휖
2
+ 1
휆 =
2휋
훽
=
2휋
휔 1 +
휎
휔휖
2
+ 1

31. Soluciones para medios parcialmente
conductores
 El termino 휎/휔휖 2 reduce tanto el valor de la velocidad como el de la
longitud de onda, de lo que serían en el espacio vacío o dieléctricos
perfectos, donde 휎 = 0. Obsérvese que el medio es dispersivo, es decir,
ondas con frecuencias diferentes 휔 tienen diferentes velocidades 푈.

32. Problemas
 Problema 1
 Una onda viajera está descrita por 푦 = 10푠푒푛 훽푧 − 휔푡 . Dibuje en 푡 =
0 푦 푒푛 푡 = 푡1 cuando ha avanzado
휆
8
, si la velocidad es de 3 × 108 푚/푠 y la
frecuencia angular es 휔 = 106 푟푎푑
푠
, 푏)휔 = 2 × 106 푟푎푑/푠 y el mismo 푡1

33. Problemas
 Solución Inciso a
 La onda avanza 휆 en un periodo, 푇 = 2휋/휔. Por tanto tenemos que
 푡1 =
푇
8
=
2휋/휔
8
=
휋
4휔
 휆
8
= 푐푡1 = 3 × 108 휋
4 106 = 236m
푡 = 0
푡 = 푡1
10
휔 = 106
푧
푦
휆/2 휆
236푚

34. Problemas
 Solución inciso b
 La onda avanza 휆 en un periodo, 푇 = 2휋/휔. Por tanto tenemos que
 푡1 =
푇
8
=
2휋/휔
8
=
휋
4휔
 휆
8
= 푐푡1 = 3 × 108 휋
4 2×106 = 118m
푡 = 0
푡 = 푡1
10
휔 = 2 × 106
푧
푦
휆/2 휆
118푚

35. Soluciones para dieléctricos perfectos
 Para un dieléctrico perfecto, 휎 = 0 y así
훼 = 0 훽 = 휔 휇휖 휂 =
휇
휖
∠00
 Como ∝= 0 no hay atenuación de las ondas 퐸 푦 퐻. El angula cero sobre 휂
produce un 퐻 que esta en fase temporal con 퐸 en cada localización fija.
Suponiendo 퐸 en 푎푥 y la propagación en 푎푧, las ecuaciones de campo
pueden obtenerse como limites, como se denota a continuación:
퐸 푧, 푡 = 퐸표푒푗(휔푡−훽푧)푎푥
퐻 푧, 푡 =
퐸표
휂
푒푗(휔푡−훽푧)푎푦

36. Soluciones para dieléctricos perfectos
 La velocidad de la onda y la longitud de la onda son:
푈 =
휔
훽
= 4휋 × 10−7 퐻
 Para espacio vacío
푚
휖 = 휖표 = 8.854 ×
10−12퐹
푚
≈
10−9
36휋
퐹/푚
휂 = 휂표 ≈ 120휋 Ω 푦 푈 = 푐 ≈ 3 × 108 푚/푠

37. Problemas
 Problema 2
 En el espacio vacío, 퐸 푧, 푡 = 103푠푒푛 휔푡 − 훽푧 푎푦 (푉/푚). Obtenga 퐻(푧, 푡)

38. Problemas
 Solución
 Un examen de la fase, 휔푡 − 훽푧, revela que la dirección de la propagación
es +푧, 퐻 debe tener dirección −푎푥. Por tanto
퐸푦
−퐻푧
= 휂표 = 120휋 Ω ó 퐻푥 = −
103
120휋
푠푒푛 휔푡 − 훽푧 푎푥 퐴/푚
푦 퐻푧 푧, 푡 = −
103
120휋
푠푒푛 휔푡 − 훽푧 푎푥 퐴/푚

39. Problemas
 Problema 3
 Sea la onda, en el espacio vacío, 퐸 푧, 푡 = 103푠푒푛 휔푡 − 훽푧 푎푦 (푉/푚) .
Determine la constante de propagación 훾 sabiendo que la frecuencia es
que la frecuencia es 푓 = 95.5푀ℎ푧

40. Problemas
 Solucion
 En general, 훾 = 푗휔휇 휎 + 푗휔휖 En el espacio vacío, 휎 = 0, así que:
 훾 = 푗휔 휇0휖0 = 푗 2휋푓/푐 = 푗
2휋 95.5×106
3×108 = −푗2푚−1
 Obsérvese que este resultado demuestra que el factor de atenuación es
훼 = 0 y la constante de defasaje es 훽 = 2 푟푎푑/푚

41. Problemas
 Problema 4
 El campo eléctrico de una onda plana de 1MHz que viaja en la dirección
+ 푧 en aire apunta en la dirección 푥. Si el valor pico de 퐸 es de 1.2휋
푚푉
푚
y
퐸 es máximo cuando 푡 = 0 푦 푧 = 50푚 , obtenga expresiones para
퐸 푧, 푡 푦 퐻 푧, 푡 y luego trace una grafica de estas variaciones en función
de 푧 푐표푛 푡 = 0.

42. Problemas
 Solución
 Con 푓 = 1푀퐻푧, la longitud de onda en el aire es:
 휆 =
푐
푓
=
3×108
1×106 = 300 푚
 Y el numero de onda correspondiente es 훽 =
2휋
휆
=
2휋
300
푟푎푑/푚. La expresión
general para un campo eléctrico dirigido hacia 푥 que viaja en la dirección
de +푧 aparece en la ecuación como
 퐸 푧, 푡 = 퐸표푐표푠 휔푡 − 훽푧 + 휃 푎푥 ⇒ 퐸 푧, 푡 = 1.2휋푐표푠 2휋 × 106푡 −
2휋
300
푧 + 휃 푎푥
푚푉
푚
 El campo 퐸 푧, 푡 es máximo cuando el argumento de la función coseno es
igual a cero o a múltiplos de 2휋. Con 푡 = 0 푦 푧 = 50푚, esta condición es

43. Problemas
 Solución
 −
2휋×50
300
+ 휃 = 0 표 휃 =
휋
3
 퐸 푧, 푡 = 1.2휋푐표푠 2휋 × 106푡 −
2휋
300
푧 +
휋
3
푎푥
푚푉
푚
 Y de acuerdo con
 퐻 푧, 푡 =
퐸표
휂
푐표푠 휔푡 − 훽푧 + 휃 푎푦 ⟹
 퐻 푧, 푡 =
1.2휋×10−3
120휋
푐표푠 2휋 × 106푡 −
2휋푧
300
−
휋
3
푎푦 휇퐴/푚
 퐻 푧, 푡 = 10푐표푠 2휋 × 106푡 −
2휋푧
300
−
휋
3
푎푦 휇퐴/푚
 Donde se utilizo la aproximación 휂표 ≈ 120휋 Ω 푐표푛 푡 = 0 tenemos que

44. Problemas
 Solución
 퐸 푧, 0 = 1.2휋푐표푠
2휋푧
300
−
휋
3
푎푥 푚푉/푚
 퐸 푧, 0 = 10푐표푠
2휋푧
300
−
휋
3
푎푦 푚푉/푚
Variaciones espaciales de
퐸 푦 퐻 푐표푛 푡 = 0 para la onda
Plana del ejemplo