areas entre curvas

1. Universidad Fermín Toro
Facultad de Ingeniera
Cabudare-Lara
Integrantes
Jorliany perez
27250605
Saia a
Prof Domingo Mendez
Longitud de curvas

2. Longitud De Curvas
La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la
medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.
Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares;
aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del
cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para
algunos casos.
Ya sabemos calcular la longitud (L), de una curva (C), definida por ,
.
Si es continúa, entonces:
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos
de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más
segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. escogiendo una familia
finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal
que pasa por dichos puntos. Cuantos más puntos escojamos en C, mejor sería el
valor obtenido como aproximación de la longitud de C.
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y
su gráfica es una curva suave.

3. Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmento de recta se puede
calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2
=(dx)2
+(dy)2
.
Vamos a suponer que también se puede escribir con las ecuaciones
paramétricas y , .
Donde
.
Esto quiere decir que es recorrida una vez, de izquierda a derecha, a medida
que su aumente desde hasta y , .
Si colocamos si
En la ecuación que acabamos de mencionar y empleamos la regla de sustitución,
obtendremos:
Como ,
Entonces:
Ejemplo
Paso a paso

4. Hallar la longitud del arco de curva función en el intervalo [0, 1].
1 derivamos f(x)
2 si f(x) es continua continuamos y lo colocamos en la función
3 luego para realizarlo más fácil hacemos un cambio de variable
4 luego aplicando el cambio de variable y redefiniendo la integral tenemos
Ejercicios
• Calcular la longitud de arco de la parábola de a .
Entonces aplicando la ecuación tenemos que:

5. Evaluando puntos:
Finalmente:
• Calcular la longitud de arco de la superficie de en revolución sobre el eje
en el punto
Parametrizando:
en el intervalo
Obtenemos:
Resolviendo:

6. Evaluando de a
Obtenemos que la longitud de arco es
•
Encontrar la longitud de arco para .
Desde hasta .
y
.
Entonces, obtenemos:
Unidades
•
Hallar la longitud del arco de la curva
Desde hasta .
y

7. Entonces,
Unidades.