Longitud de una curva

1. LONGITUD
DE
CURVAS
Alumno:
Pablo Mogollón
C.I:24.712.367

2. LONGITUD DE CURVAS
La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la
medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.
Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares;
aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada
del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para
algunos casos.
Formula General
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de
recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más
segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una familia infinita
de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa
por dichos puntos. Cuantos más puntos escojamos en C, mejor sería el valor obtenido
como aproximación de la longitud de C.
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es
una curva suave.

3. Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede
calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2=(dx)2+(dy)2.
¿Qué se entiende cuando se habla de longitud de una curva? Necesitamos una definición
precisa para la longitud de un arco de curva, en los mismos términos en que
desarrollamos los conceptos de área y de volumen.
Si la curva es un polígono, es fácil determinar su longitud; simplemente sumamos las
longitudes de todos los segmentos de recta que forman el polígono. (Para la distancia
entre los extremos de cada segmento podemos usar la fórmula conocida de distancia.)
Vamos a definir la longitud de una curva general aproximando la con un polígono y
entonces tomando un límite cuando el número de segmentos del polígono aumenta, Este
proceso es bien conocido para el caso de la circunferencia, en el que la circunferencia es
el límite de las longitudes de los polígonos inscritos.
Supongamos ahora que una curva C ha sido definida por medio de la
ecuación , donde f es continua en . Obtenemos una aproximación
poligonal a C dividiendo el intervalo en subíntralos con los
extremos y todos de la misma longitud . Si , entonces,
el punto está en la curva C y el polígono con vértices .
La longitud de L de C es aproximadamente igual a la longitud de este polígono y la
aproximación es mejor cuando crece . Por lo anterior, definimos la longitud, L, de la
curva C, cuya ecuación es , , como igual al límite de la suma de las
longitudes de esos polígonos inscritos (si existe el límite):

4. Observará que el procedimiento para definir la longitud del arco se parece mucho al
empleamos al definir el área y el volumen. Dividimos la curva en un gran número de
partes pequeñas. Luego calculamos las longitudes aproximadas de las partes pequeñas
para después sumarlas. Por último sacamos el límite cuando .
La definición de longitud de arco, expresada por la ecuación 1, no es muy cómoda para
fines de cómputo, pero podemos deducir una fórmula integral a fin de calcular L en el
caso en que tenga una derivada continua. Una función así, se denomina
función lisa o función suave, porque el cambio de origina una pequeña alteración
de .Con , entonces
Al aplicar el teorema del valor medio a , en el intervalo , vemos que hay
un número, entre y tal que
esto es , Por
consiguiente,
Entonces, según la definición 1, Reconocemos que esta expresión es igual
a de acuerdo con la definición d euna integral definida. ESta
integral existe porque la función es continua; por
consiguiente, hemos demostrado el teorema siguiente:
2. fórmula de longitud de arco si es continua en , la longitud de la
curva , es
Con la notación de Leibniz de derivadas podemos escribir la fórmula de la longitud de
arco de esta manera: