longitud de una curva

1. Longitud De Una Curva
La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una
curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de
una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil
determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron
usados varios métodos para curvas específicas, la llegada
del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones
cerradas para algunos casos.
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar
pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta
aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez
sean lo más pequeño posible. , escogiendouna familia finita de puntos
en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que
pasa por dichos puntos. Cuantos más puntos escojamos en C, mejor
sería el valor obtenido como aproximación de la longitud de C.
EJEMPLO GRAFICO
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que
es suave y su gráfica es una curva suave.

2. EJEMPLO GRAFICO
Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de
recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras
(dL)2=(dx)2+(dy)2.
Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:
Ejercicio.
Vamos a determinar la longitud s del arco de una curva con ecuación
y=f(x), comprendida entre los puntos A(a,f(a)), B(b,f(b)).

3. Como se muestra en la figura anterior, dividimos el arco AB en n
partes, uniendo luego los sucesivos puntos de división por segmentos
rectilíneos.
Por ejemplo, el segmento DE tendrá como longitud
Luego, tendremos una aproximación de la longitud de la curva AB,
mediante la suma:
Si aumentamos indefinidamente el número de puntos de división,
entonces las longitudes de los segmentos tienden a cero, por lo que:
Nos da el arco , siempre que el límite exista.
Para expresar el límite como una integral tenemos lo siguiente:
supongamos que la función con ecuación es continua y posee
derivada continua en cada punto de la curva, donde hasta
. Luego, por el teorema del valor medio para derivadas, existe
un punto entre los puntos y de la curva, donde la tangente
es paralela a la cuerda , esto es:
Luego

4. Que por definición corresponde a la integral:
(Hemos expresado como ).
Como la longitud de una curva no depende de la elección de los ejes
coordenados, si puede expresarse como función de , entonces la
longitud del arco está dada por