La longitud de una curva plana puede aproximarse sumando segmentos rectos pequeños a lo largo de la curva. Entre más segmentos se usen y más pequeños sean, la aproximación será más precisa. Si la derivada de una función es continua en un intervalo, la curva es suave y la longitud de cada segmento puede calcularse usando el teorema de Pitágoras. La longitud exacta de una curva suave se obtiene tomando el límite de la suma de los segmentos cuando su tamaño tiende a cero, lo que puede expresarse como una integral definida

1. Universidad Tecnológica Antonio José de Sucre
Metodología de la Investigación
Informática
Longitud de curvas
Ender Mendoza Carrillo
C.I: 22275105
Sección: S1

2. La longitud de arco de una curva, también llamada rectificaciónde una
curva, es la medidade la distancia o camino recorrido alo largo de
una curva o dimensiónlineal. Históricamente, ha sido difícil determinar
esta longitud en segmentos irregulares;aunque fueron usados varios
métodos para curvas específicas,la llegada del cálculo trajo consigo la
fórmula general para obtenersoluciones cerradas para algunos casos.
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar
pequeñossegmentos de recta que se ajusten a la curva, esta
aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez
sean lo más pequeño posible. , escogiendouna familia finita de puntos
en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que
pasa por dichos puntos.Cuantos más puntos escojamosen C, mejor
sería el valor obtenido como aproximación de la longitud de C.

3. Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que
es suave y su gráfica es una curva suave.
Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de
recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras
(dL)2
=(dx)2
+(dy)2
.
Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b
es:

4. Longitud de una curva plana
Vamos a determinar la longitud del arco de una curva con
ecuación , comprendidaentre los puntos
, .
Como se muestra en la figura anterior, dividimos el arco
en partes, uniendo luego los sucesivos puntos de división
por segmentos rectilíneos.
Por ejemplo,el segmento tendrá como longitud
Luego,tendremos una aproximación de la longitud de la
curva , mediante la suma:

5. Si aumentamos indefinidamente el número de puntos de
división, entonces las longitudes de los segmentos tiendena
cero, por lo que:
nos da el arco , siempre que el límite exista.
Para expresarel límite como una integral tenemos lo
siguiente: supongamos que la función con ecuación
es continua y posee derivada continua en cada punto de la
curva, donde hasta . Luego,por el teorema
del valor medio para derivadas, existe un punto
entre los puntos y de la curva, donde la tangente es
paralela a la cuerda , esto es:

6. Luego
que por definicióncorresponde ala integral:
(hemos expresado como ).
Como la longitud de una curva no depende de la elecciónde
los ejes coordenados,si puede expresarse como función
de , entonces la longitud del arco está dada por