Longitud de curva

1. Longitud De Curvas
La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva,
es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o
dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud
en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas
específicas, la llegada del calculo trajo consigo la fórmula general para obtener
soluciones cerradas para algunos casos.
Formula General
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños
segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más
ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. ,
escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante
la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos.Cuantos más puntos
escojamos en C, mejor seria el valor obtenido como aproximación de la
longitud de C.
(VER IMAGEN 1.0)
Imagen 1.0
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave
y su gráfica es una curva suave.
(VER IMAGEN 2.0)
Imagen 2.0
Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se
puede calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2=(dx)2+(dy)2.

2. Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una
curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de
una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta
longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para
curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para
obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Calculo mediante integrales
Al considerar una curva definida por una función y su
respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la
longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
(1)
En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones
dependientes de t como e , la longitud del arco desde el
punto hasta el punto se calcula mediante:
(2)
Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenadas
radial y el ángulo polar están relacionados mediante , la longitud del arco
comprendido en el intervalo , toma la forma:
(3)
En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será
necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta
fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de
segunda especie. Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria,
el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola
semicúbica y la línea recta.
Un caso un poco más general que el último, es el caso de coordenadas
curvilíneas generales (e incluso el de espacios no euclídeos) caracterizadas
por un tensor métrico donde la longitud de una curva viene dada por:

3. (4)
Por ejemplo el caso de coordenadas polares se obtiene de este haciendo .
EJEMPLOS
El perímetro de una circunferencia de radio R puede calcularse a partir de la
ecuación de esta curva en coordenadas polares
Para calcular el perímetro se utiliza entonces la ecuación (3)
Se obtiene que el perímetro de una circunferencia es proporcional al diámetro,
lo que se corresponde con la definición de pi.
Para determinar la longitud de un arco de circunferencia, basta restringir el
ángulo de barrido de la curva a un intervalo más pequeño.
La longitud del arco queda
Deducción de la fórmula para funciones de una variable[editar]
Aproximación por múltiples segmentos lineales.

4. Para un pequeño segmento de curva, Δs se puede aproximar con el teorema
de Pitágoras.
Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por
una función , y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de
curva que va desde un punto a uno . Con este propósito es
posible diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas
concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura.
Para hacer a este método "más funcional" también se puede exigir que las
bases de todos aquellos triángulos sean iguales a , de manera que para
cada uno existirá un cateto asociado, dependiendo del tipo de curva y del
arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa, , al aplicarse el teorema
de Pitágoras. Así, una aproximación de estaría dada por la sumatoria de
todas aquellas hipotenusas desplegadas. Por eso se tiene que:
Pasando a operar algebraicamente la forma en la que se calcula cada
hipotenusa para llegar a una nueva expresión;
Luego, el resultado previo toma la siguiente forma:
Ahora bien, mientras más pequeños sean estos segmentos, mejor será la
aproximación buscada; serán tan pequeños como se desee, de modo
que tienda a cero. Así, se convierte en , y cada cociente
incremental se transforma en un general, que es por definición .
Dados estos cambios, la aproximación anterior se convierte en una sumatoria
más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales.
La longitud del arco, de la c urva f(x), c omprendido entre
las absc isas x = a y x = b viene dado por la integral definida:

5. Ejem plo
Hallar la longitud del arco de c urva en el intervalo
[0, 1].
El volume n del c uerpo de revoluc ión engendra do al girar la
c urva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b,
viene dado por:

6. Ejem plos
1. Hallar el volume n engendrado por las superfic ies
limita da s por las c urvas y las rec tas dadas al girar en torno al
eje OX:
y = sen xx = 0x = π
2. Calc ular el volume n del c ilindro engendra do por el
rec tángulo limita do por las rec tas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje
OX al girar alrededor de este eje.
3. Calc ular el volume n de la esfera de radio r.
Partimos de la ec uac ión de la c irc unferenc ia x² + y² = r².
Girando un semic írc ulo en torno al eje de absc isas se
obtiene una esfera.

7. 4. Calc ular el volume n engendra do por la rotac ión del área
limita da por la parábola y2 /8 = x y la rec ta x = 2, alrededo r del
eje OY .
Como gira alrededo r del eje OY , aplic amos :
El volume n será la diferenc ia del engendrado por la rec ta y
el engendra do por la parábola entre los extremo s y = −4 e y =
4.

8. Como la parábola es simétric a c on respec to al eje OX, el
volume n es igual a dos vec es el volumen engendra do entre y = 0
e y = 4.
5. Hallar el volume n del elipsoide engendra do por la elipse
16x2 + 25y2 = 400, al girar:
1 Alrededo r de su eje mayor.
2 Alrededor de su eje menor.

9. Como la elipse es simétric a al respec to de los dos ejes el
volume n es el doble del engendrad o por la porc ión de elipse del
prime r c uadrante en ambos c asos.
6. Calc ular el volume n engendra do al girar alrededo r del
eje OX el rec into limitado por las gráfic as de y = 2x −x2 , y = −x
+ 2.

10. Puntos de intersec c ión entre la parábola y la rec ta:
La parábola está por enc ima de la rec ta en el intervalo de
integrac ión.