Longitud de curvas parte 2
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Este documento describe diferentes métodos para calcular la longitud de una curva. Explica que para calcular la longitud de una línea recta es fácil, pero para una curva se requiere integración. Luego detalla tres fórmulas para calcular la longitud de una curva dependiendo de si la curva está definida en forma explícita, paramétrica o polar. Finalmente, ilustra un ejemplo para calcular la longitud de una curva dada por las ecuaciones x = cos(a) y y = sin(a).
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![LONGITUD DE CURVAS
Longitud de la Curva
Determinar la longitud de una línea recta es una tarea relativamente fácil,
pero si tenemos que determinar la longitud de una curva entonces
necesitamos la ayuda de la integración.
Es conocida por nombres como integral de línea, integral curvilínea, integral
de caminos o integral de contorno.
Aquí el propósito de la integración es la evaluación de una función
determinada a lo largo de la curva de la función.
Ambos, campos escalares o campos vectoriales se pueden integrar de esta
manera.
La integración completa produciría la suma del valor de cada campo en cada
punto que se encuentre sobre la curva de la función dada, lo cual es
ponderado por el valor de cualquier función.
Esta suele ser una función escalar.
Considere una función continua ,sea y = f(x) tal que la función y su derivada
son continuas en un intervalo cerrado [p, q].
Para la estimación de la longitud del arco de dicha función, considere la
pequeña parte ds de la curva correspondiente](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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La longitud de una curva se puede aproximar sumando pequeños segmentos de línea recta a lo largo de la curva. Cuanto más pequeños sean los segmentos y más haya, mejor será la aproximación. La fórmula general para calcular la longitud de una curva es integrar la derivada de la función que define la curva entre los límites del intervalo. Esta fórmula se puede aplicar a curvas definidas por coordenadas cartesianas, paramétricas o polares.
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El documento explica los conceptos fundamentales de la longitud de una curva y cómo calcularla. Históricamente ha sido difícil determinar la longitud de segmentos irregulares, pero el cálculo trajo la fórmula general para algunos casos. La longitud se puede aproximar sumando segmentos rectos pequeños o calculando la integral definida de la derivada de la función que define la curva.
Longitud de una curva
La longitud de una curva, también llamada rectificación, mide la distancia recorrida a lo largo de una curva. Históricamente ha sido difícil determinar esta longitud para curvas irregulares, aunque el cálculo trajo métodos generales para algunos casos. La longitud se puede aproximar sumando pequeños segmentos rectos que se ajustan a la curva, y entre más segmentos se usen la aproximación es mejor. Cuando la curva es suave, la longitud de cada segmento pequeño se puede calcular usando el teorema de Pitágoras. La longitud del ar
Longitud de una curva
La longitud de una curva, también llamada rectificación, mide la distancia recorrida a lo largo de una curva. Históricamente ha sido difícil determinar esta longitud para segmentos irregulares, aunque el cálculo trajo métodos generales para algunos casos. La longitud se puede aproximar sumando pequeños segmentos rectos que se ajusten a la curva, y entre más segmentos se usen la aproximación es mejor. Cuando la curva es suave, la longitud de cada segmento pequeño se puede calcular usando el teorema de Pitágoras. La longitud del ar
Loriannys S. ecuaciones parametricas
Este documento explica las ecuaciones paramétricas y su uso para representar curvas. Introduce los conceptos de álgebra vectorial, sistemas de coordenadas y ecuaciones paramétricas. Explica cómo transformar ecuaciones paramétricas a cartesianas y calcular la longitud de un arco usando ecuaciones paramétricas. Finalmente, compara las representaciones gráficas de ecuaciones paramétricas y cartesianas.
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La longitud de una curva es la medida de la distancia recorrida a lo largo de ella. Existen fórmulas para calcular la longitud dependiendo de cómo esté definida la curva, ya sea por una función, coordenadas paramétricas o polares. En la mayoría de los casos se requiere el uso de métodos de integración numérica, aunque algunas curvas como el círculo tienen soluciones cerradas.
Longitud de una curva
Este documento describe diferentes métodos para calcular la longitud de una curva. Explica que históricamente fue difícil determinar la longitud de curvas irregulares, pero que con el desarrollo del cálculo llegó la fórmula general. Luego detalla que la longitud de una curva se puede calcular mediante integrales definidas, y proporciona fórmulas específicas para diferentes tipos de curvas. Finalmente, resume métodos anteriores al cálculo como aproximaciones usando polígonos.
Longitud de una curva pdf
El documento describe la longitud de una curva como la medida de la distancia recorrida a lo largo de una curva. Explica que históricamente ha sido difícil determinar esta longitud para segmentos irregulares, pero que el cálculo trajo métodos generales para aproximarla mediante segmentos rectos cada vez más pequeños. También presenta una fórmula para calcular la longitud de una curva suave basada en la derivada de la función y el teorema de Pitágoras. Finalmente, incluye ejemplos de aplicación de esta fórmula.
Calculo apostol
Este documento introduce las integrales de línea, que generalizan la integral definida para funciones vectoriales definidas a lo largo de una curva en lugar de un intervalo. Define un camino como una función vectorial que describe una curva, y define la integral de línea como la integral del campo vectorial a lo largo de ese camino. Explica que las integrales de línea son importantes en física para estudiar campos escalares o vectoriales a lo largo de una curva, como el flujo de calor o la circulación de un fluido.
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La longitud de una curva plana puede aproximarse sumando segmentos rectos pequeños a lo largo de la curva. Entre más segmentos se usen y más pequeños sean, la aproximación será más precisa. Si la derivada de una función es continua en un intervalo, la curva es suave y la longitud de cada segmento puede calcularse usando el teorema de Pitágoras. La longitud exacta de una curva suave se obtiene tomando el límite de la suma de los segmentos cuando su tamaño tiende a cero, lo que puede expresarse como una integral definida
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La longitud de arco de una curva es la medida de la distancia recorrida a lo largo de la curva. Históricamente ha sido difícil determinar esta longitud para curvas irregulares, pero el cálculo trajo fórmulas generales para calcularla en algunos casos mediante integración. Hoy en día, la longitud de arco se calcula aproximando la curva con segmentos cada vez más pequeños e integrando sus longitudes.
Longitud de curva
El documento describe los métodos para calcular la longitud de una curva. Explica que históricamente ha sido difícil determinar la longitud de segmentos irregulares, pero que con el cálculo se desarrolló la fórmula general para obtener soluciones cerradas en algunos casos. Luego detalla las fórmulas para calcular la longitud de una curva definida por una función, paramétricamente o en coordenadas polares. Finalmente, explica cómo aproximar la longitud de una curva plana mediante segmentos rectos.
Mate derivadas
El documento introduce tres problemas históricos que sirvieron como base para el concepto de derivada: 1) determinar la recta tangente a una curva, 2) definir la velocidad de una partícula, y 3) definir la densidad de masa en un punto. Explica cómo matemáticos como Barrow, Newton y Leibniz desarrollaron métodos para resolver estos problemas usando los conceptos de derivada, límite y continuidad. También presenta teoremas como los de Fermat, Rolle y Lagrange que surgieron a partir del concepto de derivada.
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Este documento presenta una introducción a las integrales de línea o curvilíneas. Explica que estas integrales sirven para calcular la longitud de una curva y el trabajo realizado por una fuerza a lo largo de una trayectoria. Luego define los conceptos matemáticos de la integral de línea para campos vectoriales y escalares. Finalmente, presenta ejemplos de aplicaciones como el cálculo de la masa de un objeto.
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Longitud de curvas parte 2
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- 2. LONGITUD DE CURVAS Longitud de la Curva Determinar la longitud de una línea recta es una tarea relativamente fácil, pero si tenemos que determinar la longitud de una curva entonces necesitamos la ayuda de la integración. Es conocida por nombres como integral de línea, integral curvilínea, integral de caminos o integral de contorno. Aquí el propósito de la integración es la evaluación de una función determinada a lo largo de la curva de la función. Ambos, campos escalares o campos vectoriales se pueden integrar de esta manera. La integración completa produciría la suma del valor de cada campo en cada punto que se encuentre sobre la curva de la función dada, lo cual es ponderado por el valor de cualquier función. Esta suele ser una función escalar. Considere una función continua ,sea y = f(x) tal que la función y su derivada son continuas en un intervalo cerrado [p, q]. Para la estimación de la longitud del arco de dicha función, considere la pequeña parte ds de la curva correspondiente
- 3. Por el Teorema de Pitágoras, obtenemos ds2 = dy2 + dx2 Llevando dx2 al otro lado ds2 / dx2 = 1 + dy2 / dx2 ds2 / dx2 = 1 + (dy / dx) 2 ds / dx = ds = Ahora tomando la antiderivada de la ecuación anterior, obtenemos Puede existir el caso, cuando la curva es definida en su forma paramétrica, es decir, x = x (t) y y = y (t). La fórmula integral correspondiente para la solución de tales formas es la siguiente: El tercer caso es cuando la ecuación de la función se describe en forma polar, esto es, r = f ( ), en ese caso, la longitud del arco se puede encontrar por:
- 4. Existe otra manera de despejar las fórmulas correspondientes para el cálculo de la longitud del arco. De acuerdo con esta, suponga que longitud del arco de la función f(x) será determinado. Para encontrar la longitud del arco (denotado como S) en medio de los puntos b y a, una serie de triángulo rectángulo se construye de manera que la hipotenusa del triángulo cubra el arco correspondiente cuya longitud será determinada. Para simplificar, la base del triángulo se considera Δx tal que existe una y correspondiente para cada Δx. Ahora según el teorema de Pitágoras, obtenemos Longitud de la Hipotenusa = La longitud total de todas las hipotenusas da el valor aproximado de S. Esto es,
- 5. Vamos a considerar un ejemplo en el que la ecuación de la curva se da como x = cos (a), y = sin(a), donde 0 ≤ a ≤ 2π. Diferenciando x e y, obtenemos dx / da = - sin (a) y dy / da = cos (a) Ahora, elevando al cuadrado y sumando ambos lados (dx / da)2 + (dy / da)2 = sin2 (a) + cos2 (a) = 1 Por tanto, S = 1 da S = 2π.