Este documento describe los métodos para calcular la longitud de una curva. Explica que la longitud se puede obtener mediante la integración de la derivada de la función que define la curva entre los límites del arco. Proporciona ejemplos del cálculo de la longitud para curvas como circunferencias, elipses y funciones explícitas de una variable.

1. Longitud de curva
En matemática, la longitud de arco, también
llamada rectificación de una curva, es la medida de
la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o
dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar
esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron
usados varios métodos para curvas específicas, la llegada
del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener
soluciones cerradas para algunos casos.
Cálculo mediante integrales
Al considerar una curva definida por una función f(x) y su
respectiva f’(x= que son continuas en un intervalo [a, b], la
longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la
ecuación:
En el caso de una curva definida paramétricamente
mediante dos funciones dependientes de t como x= f(t) e y=
g(t), la longitud del arco desde el punto (f(a), g(a)) hasta el
punto (f(b), g (b)) se calcula mediante:
Si la función está definida por coordenadas polares donde la
coordenada radial y el ángulo polar están relacionados
mediante r=f(θ), la longitud del arco comprendido en el
intervalo [α, β], toma la forma:

2. En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada
disponible y será necesario usar métodos de integración
numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la
circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de
segunda especie. Entre las curvas con soluciones cerradas
están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral
logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la
línea recta.
Un caso un poco más general que el último, es el caso
de coordenadas curvilíneas generales (e incluso el de
espacios no euclídeos) caracterizadas por un tensor
métrico donde la longitud de una curva C:[a,b] → M viene
dada por:
Ejemplos de cálculo
El perímetro de una circunferencia de radio R puede
calcularse a partir de la ecuación de esta curva en
coordenadas polares
Para calcular el perímetro se utiliza entonces la ecuación (3)

3. Se obtiene que el perímetro de una circunferencia es
proporcional al diámetro, lo que se corresponde con la
definición de pi.
Para determinar la longitud de un arco de circunferencia,
basta restringir el ángulo de barrido de la curva a un intervalo
más pequeño.
La longitud del arco queda
Deducción de la fórmula para funciones de una variable
Aproximación por múltiples segmentos lineales.

4. Para un pequeño segmento de curva, Δs se puede
aproximar con el teorema de Pitágoras.
Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera,
determinada por una función f(x), y suponiendo que se
quiere aproximar la longitud del arco de curva S que va
desde un punto a a uno b. Con este propósito es posible
diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas
hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido
tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más
funcional" también se puede exigir que las bases de todos
aquellos triángulos sean iguales a Δx, de manera que para
cada uno existirá un cateto Δy asociado, dependiendo del
tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada
hipotenusa , al aplicarse el teorema de
Pitágoras. Así, una aproximación de S estaría dada por la
sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas.
Por eso se tiene que:
Pasando a operar algebraicamente la forma en la que se
calcula cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;
Luego, el resultado previo toma la siguiente forma:

5. Ejemplos
1. Hallar la longitud del arco de la curva 9 y2 = 4
x3 comprendido entre los puntos de la curva de
abscisa x = 0 y x = 3
En este caso vemos que es sencillo expresar a y como
función de x:
Derivando
de manera que
2. Determine la longitud de la gráfica de la ecuación
f (x) = , en [0, 1]
Solución: Tenemos que la longitud de una curva de la forma
y = f (x) en un intervalo [a, b] viene dada por:

6. Así, puesto que:
Hacemos el cambio de variable:
U^2 = 4 + x; 2u du = dx
de aquí: si x = 0, entonces u^ 2 = 4 + (0) =⇒ u = 2 si x = 1,
entonces u^ 2 = 4 + (1) =⇒ u = √ 5
entonces
Luego, la longitud de la curva dada por f (x) = , en
[0, 1]
Es:
3. Hallar la longitud del arco de curva de la función
24xy - x4
- 48 = 0
comprendido entre los valores x = 2 y x = 4
Despejando la variable y podemos obtener la ecuación
explícita de la curva que es
de manera que, derivando,

7. Teniendo esto en cuenta,
4) Hallar la longitud del arco de curva de la función
comprendido entre los valores x = - 1 y x = + 1
Recordamos que
de manera que f '(x) = sh(x), y resulta que