Este documento presenta la historia y los métodos para calcular la longitud de un arco de curva. Explica que históricamente ha sido difícil determinar la longitud de segmentos irregulares de curvas, aunque se usaron métodos aproximados. Luego introduce la fórmula general para calcular la longitud de arco, la cual involucra derivar la función de la curva e integrar entre los límites del intervalo. Finalmente, muestra un ejemplo de aplicar esta fórmula para hallar la longitud de arco de una curva dada.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSE DE SUCRE”
BARQUISIMETO, ESTADO LARA
LONGITUD DE ARCO
ALUMNO: FERNANDO PEREZ
C.I.: 19.106.686

2. INTRODUCCION.
A través de la historia de las matemáticas, grandes pensadores consideraron imposible
calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arquímedes había descubierto
una aproximación rectangular para calcular el área bajo una curva con un método de
agotamiento, pocos creyeron que fuera posible que una curva tuviese una longitud definida,
como las líneas rectas. Las primeras mediciones se hicieron posibles, como ya es común en
el cálculo, a través de aproximaciones: los matemáticos de la época trazaban
un polígono dentro de la curva, y calculaban la longitud de los lados de éste para obtener un
valor aproximado de la longitud de la curva. Mientras se usaban más segmentos,
disminuyendo la longitud de cada uno, se obtenía una aproximación cada vez mejor.
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es
la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.
Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque
fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la
fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

3. LONGITUD DE CURVAS
La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la
medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.
Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque
fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del calculo trajo consigo la
fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Formula General
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de
recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos
sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una familia finita de puntos en C,
y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos.
Cuantos más puntos escojamos en C, mejor sería el valor obtenido como aproximación de la
longitud de C.
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su
gráfica es una curva suave.

4. Imagen 2.0
Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se
puedecalcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2=(dx)2+(dy)2.
Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:
El procedimiento que se expresa refiere a:
1. Identificar una la curva a la que se va a calcular la longitud
2. Se requiere de la fórmula:
3.- Se inspeccionan los elementos y límites de integración
4.- se deriva la función
5.- se sustituye en la formula
6. Se integra

5. EJEMPLO
Hallar la longitud del arco de curva en el intervalo [0, 1].
SOLUCIÓN:
1.- CURVA DE FUNCION ALGEBRAICA.
2. FORMULA:
3.- LÍMITES DE INTEGRACIÓN : [0, 1].
4.- SE DERIVA LA FUNCIÓN:
5.- SE SUSTITUYE EN LA FORMULA

6. 6.- SE INTEGRA.-

7. CONCLUSIÓN
La fórmula presentada constituye una forma de obtener el valor de la
rectificación de una curva y=f(x) o en su defecto un segmento de curva y
así mediante la derivación e integración obtener estos resultados.
Este contenido es muy elemental cuando se trata por ejemplo de
diseños que están representados por ciertas formas y gracias a este concepto
se puede obtener el perímetro de sólidos y las longitudes de los segment os.