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![PROF.: ROGER COARITE K. FÍSICA
CONSULTAS:
A cel.: 78995883
VECTORES
Vector es una magnitud representada por su módulo,
dirección ,sentido y punto de aplicación
𝛼
A línea horizontal
punto de aplicación
RESOLUCIÓN DE VECTORES
MÉTODO GRAFICO
DE PUNTA COLA
𝑨⃗⃗ .
𝑩⃗⃗
MÉTODO DEL
PARALELOGRAMO
𝑨⃗⃗ 𝟏
𝑩⃗⃗ 𝑩⃗⃗ 𝟏
𝑨⃗⃗
𝑩⃗⃗ 𝑩⃗⃗
𝑨⃗⃗ 𝑪⃗⃗ 𝑨⃗⃗ 𝑪⃗⃗
𝑫⃗⃗
𝑫⃗⃗ 𝑹⃗⃗ = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 + 𝑫
𝑨⃗⃗ 𝟏
𝑩⃗⃗
𝑩⃗⃗ 𝟏
𝑨⃗⃗
𝑨⃗⃗ .
-𝑩⃗⃗ 𝑩⃗⃗ 𝟏
𝑨⃗⃗ 𝟏
CALCULO DE LA RESULTANTE POR FORMULAS
TRIGONOMÉTRICAS
𝐵𝑦 = 𝑅 sin 𝜃
𝐴 𝑥 = 𝑅 cos 𝜃
tan 𝜃 =
𝐵 𝑦
𝐴 𝑥
tan 𝜃 =
sin 𝜃
cos 𝜃
OBLICUO
TEOREMA DE COSENOS
𝑹⃗⃗ 𝟐
= 𝑨⃗⃗ 𝟐
+ 𝑩⃗⃗ 𝟐
− 𝟐𝑨⃗⃗ · 𝑩⃗⃗ 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝑩⃗⃗ 𝟐
= 𝑨⃗⃗ 𝟐
+ 𝑹⃗⃗ 𝟐
− 𝟐𝑨⃗⃗ · 𝑹⃗⃗ 𝐜𝐨𝐬 𝜷
𝑨⃗⃗ 𝟐
= 𝑩⃗⃗ 𝟐
+ 𝑹⃗⃗ 𝟐
− 𝟐𝑩⃗⃗ · 𝑹⃗⃗ 𝐜𝐨𝐬 𝜶
TEOREMA DE SENOS
𝜽 + 𝜶 + 𝜷 = 𝟏𝟖𝟎° 𝑨⃗⃗
𝐬𝐢𝐧 𝜶
=
𝑩⃗⃗
𝐬𝐢𝐧 𝜷
=
𝑹⃗⃗
𝐬𝐢𝐧 𝜽
CON ÁNGULOS EXTERNOS
TEOREMA DE COSENOS
Suma de vectores en el plano
𝜮𝑭 𝒙 = 𝑨 − 𝑩 𝒙 − 𝑪 𝒙 = 𝑨 − 𝑩 · 𝒄𝒐𝒔 𝜶 − 𝑪 · 𝒄𝒐𝒔 𝜽
𝜮𝑭 𝒚 = 𝑩 𝒚 − 𝑪 𝒚 = 𝑩 · 𝒔𝒆𝒏 𝜶 − 𝑪 · 𝒔𝒆𝒏 𝜽
|𝑹⃗⃗ | = √(𝜮𝑭 𝒙) 𝟐 + (𝜮𝑭 𝒚)
𝟐
ANGULO DE LA RESULTANTE O
DIRECCIÓN
tan 𝜔 =
𝜮𝑭 𝒚
𝜮𝑭 𝒙
ALGEBRA VECTORIAL
𝑨⃗⃗ = 𝑨⃗⃗ 𝒙 𝒊 + 𝑨⃗⃗ 𝒚 𝒋 + 𝑨⃗⃗ 𝒛 𝒌
𝑩⃗⃗ = 𝑩⃗⃗ 𝒙 𝒊 + 𝑩⃗⃗ 𝒚 𝒋 + 𝑩⃗⃗ 𝒛 𝒌
es 𝑨⃗⃗ = 𝑩⃗⃗ si 𝑨⃗⃗ 𝒙 = 𝑩⃗⃗ 𝒙 ; 𝑨⃗⃗ 𝒚 = 𝑩⃗⃗ 𝒚 ; 𝑨⃗⃗ 𝒛 = 𝑩⃗⃗ 𝒛
suma 𝑨⃗⃗ + 𝑩⃗⃗
𝑨⃗⃗ + 𝑩⃗⃗ = (𝑨⃗⃗ 𝒙 + 𝑩⃗⃗ 𝒙)𝒊 + (𝑨⃗⃗ 𝒚+𝑩⃗⃗ 𝒚)𝒋 + ( 𝑨⃗⃗ 𝒛 + 𝑩⃗⃗ 𝒛)𝒌
Producto por un escalar 𝒎 𝑨⃗
𝒎 𝑨⃗ = 𝒎𝑨⃗ 𝒙 𝒊 + 𝒎𝑨⃗ 𝒚 𝒋 + 𝒎𝑨⃗ 𝒛 𝒌
Propiedades algebraicas de los vectores
Conmutatividad de la suma
𝑨⃗⃗ + 𝑩⃗⃗ = 𝑩⃗⃗ + 𝑨⃗⃗
Asociatividad de la suma
𝑨⃗⃗ + (𝑩⃗⃗ + 𝑪⃗⃗ ) = (𝑨⃗⃗ + 𝑩⃗⃗ ) + 𝑪⃗⃗
Existencia del neutro
𝑨⃗⃗ + 𝟎⃗⃗ = 𝟎⃗⃗ + 𝑨⃗⃗ = 𝑨⃗⃗
Existencia del opuesto −𝑨⃗⃗
𝑨⃗⃗ + (−𝑨⃗⃗ ) = (−𝑨⃗⃗ ) + 𝑨⃗⃗ = 𝟎
Asociatividad para producto por escalar
(𝒎𝒕)𝑨⃗⃗ = 𝒎(𝒕𝑨⃗⃗ ) = 𝒕(𝒎𝑨⃗⃗ )
Distributividad entre la suma
(𝒎 ± 𝒕)𝑨⃗⃗ = 𝒎𝑨⃗⃗ ± 𝒕𝑨⃗⃗
Existencia de un neutro escalar
𝟏 · 𝑨⃗⃗ = 𝑨⃗⃗
vectores en el espacio
𝑨⃗⃗ = 𝑨⃗⃗ 𝒙 𝒊 + 𝑨⃗⃗ 𝒚 𝒋 + 𝑨⃗⃗ 𝒛 𝒌
|𝑨| = √[(𝑨 𝒙) 𝟐 + (𝑨 𝒚)
𝟐
+ (𝑨 𝒛) 𝟐]
COSENOS DIRECTORES
𝐜𝐨𝐬 𝜶 =
𝑨 𝒙
|𝑨|
,𝐜𝐨𝐬 𝜷 =
𝑨 𝒚
|𝑨|
;𝐜𝐨𝐬 𝜹 =
𝑨 𝒛
|𝑨|
𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝜶 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝜷 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝜹 = 𝟏
PRODUCTO ESCALAR O PUNTO
𝑨⃗⃗ ∘ 𝑩⃗⃗ = 𝑨⃗⃗ 𝒙 · 𝑩⃗⃗ 𝒙 + 𝑨⃗⃗ 𝒚 · 𝑩⃗⃗ 𝒚 + 𝑨⃗⃗ 𝒛 · 𝑩⃗⃗ 𝒛
𝑨⃗⃗ ∘ 𝑩⃗⃗ = |𝑨⃗⃗ ||𝑩⃗⃗ | 𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝑨⃗⃗ 𝒙 · 𝑩⃗⃗ 𝒙 + 𝑨⃗⃗ 𝒚 · 𝑩⃗⃗ 𝒚 + 𝑨⃗⃗ 𝒛 · 𝑩⃗⃗ 𝒛 = |𝑨⃗⃗ ||𝑩⃗⃗ | 𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝒊 ∘ 𝒊 = 𝒋 ∘ 𝒋 = 𝒌 ∘ 𝒌 = 𝟏
𝒊 ∘ 𝒋 = 𝒊 ∘ 𝒌 = 𝒋 ∘ 𝒌 = 𝟎
PROPIEDADES
𝑨⃗⃗ ∘ 𝑨⃗⃗ = |𝑨⃗⃗ |
𝟐
Para 𝑨⃗⃗ ⊥ 𝑩⃗⃗ ⟺ 𝑨⃗⃗ ∘ 𝑩⃗⃗ = 𝟎
𝑨⃗⃗ ⫽ 𝑩⃗⃗ ⟺ 𝑨⃗⃗ ∘ 𝑩⃗⃗ = |𝑨||𝑩|
𝑨⃗⃗ ∘ 𝑩⃗⃗ = 𝑩⃗⃗ ∘ 𝑨⃗⃗
𝑨⃗⃗ ∘ (𝑩⃗⃗ + 𝑪⃗⃗ )=𝑨⃗⃗ ∘ 𝑩⃗⃗ + 𝑨⃗⃗ ∘ 𝑪⃗⃗
𝒌(𝑨⃗⃗ ∘ 𝑩⃗⃗ ) = (𝒌𝑨⃗⃗ ) ∘ 𝑩⃗⃗ = 𝑨⃗⃗ ∘ (𝒌𝑩⃗⃗ )
PROYECCIÓN ORTOGONAL DE A SOBRE B
𝑷𝒓𝒐𝒚 𝑩⃗⃗ 𝑨⃗⃗ =
𝑨⃗⃗ ∘ 𝑩⃗⃗
‖𝑩⃗⃗ ‖
𝟐 𝑩⃗⃗
Componente de 𝑨⃗⃗ en la dirección de 𝑩⃗⃗
𝑪𝒐𝒎𝒑 𝑩⃗⃗ 𝑨⃗⃗ =
𝑨⃗⃗ ∘ 𝑩⃗⃗
‖𝑩⃗⃗ ‖
PRODUCTO VECTORIAL O CRUZ
𝑨⃗⃗ × 𝑩⃗⃗ = |
+𝒊 −𝒋 +𝒌
𝑨⃗⃗ 𝒙 𝑨⃗⃗ 𝒚 𝑨⃗⃗ 𝒛
𝑩⃗⃗ 𝒙 𝑩⃗⃗ 𝒚 𝑩⃗⃗ 𝒛
| = (𝑨⃗⃗ 𝒚 · 𝑩⃗⃗ 𝒛 − 𝑨⃗⃗ 𝒛 · 𝑩⃗⃗ 𝒚)𝒊 − (𝑨⃗⃗ 𝒙 · 𝑩⃗⃗ 𝒛 − 𝑨⃗⃗ 𝒛 · 𝑩⃗⃗ 𝒙)𝒋
+ (𝑨⃗⃗ 𝒙 · 𝑩⃗⃗ 𝒚 − 𝑨⃗⃗ 𝒚 · 𝑩⃗⃗ 𝒙)𝒌
𝑨⃗⃗ × 𝑩⃗⃗ = |𝑨⃗⃗ | · |𝑩⃗⃗ |𝒔𝒆𝒏 𝝎
𝒊 × 𝒊 = 𝒋 × 𝒋 = 𝒌 × 𝒌 = 𝟎
𝒊 × 𝒋 = 𝒌 ; 𝒋 × 𝒌 = 𝒊 ; 𝒌 × 𝒊 = 𝒋
PROPIEDADES
𝑨⃗⃗ × 𝑨⃗⃗ = 𝟎 ; 𝑨⃗⃗ × 𝟎 = 𝟎
Si 𝑨⃗⃗ ⫽ 𝑩⃗⃗ ⟺ 𝑨⃗⃗⃗ × 𝑩⃗⃗ =𝟎
𝑨⃗⃗ ⊥ 𝑩⃗⃗ ⟺ 𝑨⃗⃗ × 𝑩⃗⃗ = |𝑨||𝑩|
𝑨⃗⃗ × 𝑩⃗⃗ = −𝑩⃗⃗ × 𝑨⃗⃗
𝑨⃗⃗ × (𝑩⃗⃗ + 𝑪⃗⃗ ) = 𝑨⃗⃗ × 𝑩⃗⃗ + 𝑨⃗⃗ × 𝑪⃗⃗
TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL
𝑨⃗⃗ × (𝑩⃗⃗ × 𝑪⃗⃗ ) = (𝑨⃗⃗ ∘ 𝑪⃗⃗ )𝑩⃗⃗ − (𝑨⃗⃗ ∘ 𝑩⃗⃗ )𝑪⃗⃗
(𝑨⃗⃗ × 𝑩⃗⃗ ) × 𝑪⃗⃗ = (𝑨⃗⃗ ∘ 𝑪⃗⃗ )𝑩⃗⃗ − (𝑩⃗⃗ ∘ 𝑪⃗⃗ )𝑨⃗⃗
TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
Volumen del paralelepípedo
𝑨⃗⃗ ∘ (𝑩⃗⃗ × 𝑪⃗⃗ ) = |
𝑨⃗⃗ 𝒙 𝑨⃗⃗ 𝒚 𝑨⃗⃗ 𝒛
𝑩⃗⃗ 𝒙 𝑩⃗⃗ 𝒚 𝑩⃗⃗ 𝒛
𝑪⃗⃗ 𝒙 𝑪⃗⃗ 𝒚 𝑪⃗⃗ 𝒛
|
𝑨⃗⃗ ∘ (𝑩⃗⃗ × 𝑪⃗⃗ ) = 𝑪⃗⃗ ∘ (𝑨⃗⃗ × 𝑩⃗⃗ ) = 𝑩⃗⃗ ∘ (𝑪⃗⃗ × 𝑨⃗⃗ )
SI 𝑨⃗⃗ , 𝑩⃗⃗ , 𝑪⃗⃗ son coplanares
Se cumple 𝑨⃗⃗ ∘ (𝑩⃗⃗ 𝑿𝑪⃗⃗ ) = 𝟎
IDENTIDAD DE GRANGE
| 𝑨⃗⃗⃗ × 𝑩⃗⃗ |
𝟐
= |A⃗⃗ |
2
|𝐵⃗ |
2
− |A⃗⃗ ∘ 𝐵⃗ |
2
Vector unitario
𝑼⃗⃗⃗ 𝑨 =
𝑨⃗⃗⃗
‖ 𝑨⃗⃗⃗ ‖
Teorema de
Pitágoras
𝑹⃗⃗ 𝟐
= 𝑨⃗⃗ 𝒙
𝟐
+ 𝑩⃗⃗ 𝒚
𝟐
𝜽
𝑨⃗⃗ 𝒙
𝑩⃗⃗ 𝒚 𝑹⃗⃗
𝑩⃗⃗ .
𝑨⃗⃗
𝑨⃗⃗
𝑩⃗⃗
𝜽𝜷
𝜶
Dirección
Sentido 𝐵⃗
MÉTODO DEL POLÍGONO
“La imaginación es
más importante que
el conocimiento”
Albert Einstein
𝜽 𝜽
𝝋 𝑨⃗⃗
𝑩⃗⃗ . 𝑩⃗⃗
𝑨⃗⃗ 𝜹
𝜽 + 𝝋 + 𝜹 = 𝟑𝟔𝟎°
𝑹⃗⃗ 𝟐
= 𝑨⃗⃗ 𝟐
+ 𝑩⃗⃗ 𝟐
+ 𝟐𝑨⃗⃗ 𝑩⃗⃗ 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝑩⃗⃗ 𝟐
= 𝑨⃗⃗ 𝟐
+ 𝑹⃗⃗ 𝟐
+ 𝟐𝑨⃗⃗ 𝑹⃗⃗ 𝐜𝐨𝐬 𝝋
𝑨⃗⃗ 𝟐
= 𝑩⃗⃗ 𝟐
+ 𝑹⃗⃗ 𝟐
+ 𝟐𝑩⃗⃗ 𝑹⃗⃗ 𝐜𝐨𝐬 𝜹
𝒚
𝒙
𝑩
𝑨
𝑪
𝑩 𝒙
𝑩 𝒚
𝑪 𝒙
𝑪 𝒚
𝜶
𝜽
𝜮𝑭 𝒚
𝜮𝑭 𝒙
𝝎
𝑨⃗⃗
𝑨⃗⃗ 𝒙
𝑨⃗⃗ 𝒛
𝑨⃗⃗ 𝒚
𝒚
𝒁
𝒙
𝜶
𝜷
𝜹
𝑨⃗⃗
𝑩⃗⃗
𝜶
𝝎
𝑪⃗⃗
𝑨⃗⃗
𝑩⃗⃗Sea: 𝑨⃗⃗ = 𝑨⃗⃗ 𝒙 𝒊 + 𝑨⃗⃗ 𝒚 𝒋 + 𝑨⃗⃗ 𝒛 𝒌
𝑩⃗⃗⃗ = 𝑩⃗⃗ 𝒙 𝒊 + 𝑩⃗⃗ 𝒚 𝒋 + 𝑩⃗⃗ 𝒛 𝒌
𝑪⃗⃗ = 𝑨⃗⃗ × 𝑩⃗⃗
Sean: 𝑨⃗⃗ = 𝑨⃗⃗ 𝒙 𝒊 + 𝑨⃗⃗ 𝒚 𝒋 + 𝑨⃗⃗ 𝒛 𝒌
𝑩⃗⃗⃗ = 𝑩⃗⃗ 𝒙 𝒊 + 𝑩⃗⃗ 𝒚 𝒋 + 𝑩⃗⃗ 𝒛 𝒌](https://image.slidesharecdn.com/vectoresteoremas-171001145931/85/la-formula-de-los-vectores-1-320.jpg)
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