Breve introducción al producto entre vectores.

2.  Se llama producto escalar, punto, interno o
euclideano interior de dos vectores 𝑢 y 𝑣 al
escalar que se obtiene como producto de los
módulos de ambos vectores por el coseno del
ángulo que ellos forman.

3.  Se llama producto escalar, punto, interno o
euclideano interior de dos vectores 𝑢 y 𝑣 al
escalar que se obtiene como producto de los
módulos de ambos vectores por el coseno del
ángulo que ellos forman.
En símbolos:
𝑢 . 𝑣 =|𝑢 |.| 𝑣| . cos (𝑢 ; 𝑣)

4.  Veamos en particular el producto entre los
versores fundamentales:

5.  Veamos en particular el producto entre los
versores fundamentales:
 𝑖 . 𝑖 =| 𝑖|.| 𝑖| . cos (𝑖 ; 𝑖) = 1 .1. 1 = 1

6.  Veamos en particular el producto entre los
versores fundamentales:
 𝑖 . 𝑖 =| 𝑖|.| 𝑖| . cos (𝑖 ; 𝑖) = 1 .1. 1 = 1
 𝑗 .𝑗 =| 𝑗 |.| 𝑗 | . cos (𝑗; 𝑗) = 1 .1. 1 = 1

7.  Veamos en particular el producto entre los
versores fundamentales:
 𝑖 . 𝑖 =| 𝑖|.| 𝑖| . cos (𝑖 ; 𝑖) = 1 .1. 1 = 1
 𝑗 .𝑗 =| 𝑗 |.| 𝑗 | . cos (𝑗; 𝑗) = 1 .1. 1 = 1
 𝑘 . 𝑘 =| 𝑘 |.| 𝑘 | . cos (𝑘; 𝑘) = 1 .1. 1 = 1

8.  Veamos en particular el producto entre los
versores fundamentales :
 𝑖 . 𝑖 =| 𝑖|.| 𝑖| . cos (𝑖 ; 𝑖) = 1 .1. 1 = 1
 𝑗 .𝑗 =| 𝑗 |.| 𝑗 | . cos (𝑗; 𝑗) = 1 .1. 1 = 1
 𝑘 . 𝑘 =| 𝑘 |.| 𝑘 | . cos (𝑘; 𝑘) = 1 .1. 1 = 1
 𝑖 .𝑗=| 𝑖|.|𝑗| . cos (𝑖 ; 𝑗) = 1 .1. 0 = 0

9.  Veamos en particular el producto entre los
versores fundamentales :
 𝑖 . 𝑖 =| 𝑖|.| 𝑖| . cos (𝑖 ; 𝑖) = 1 .1. 1 = 1
 𝑗 .𝑗 =| 𝑗 |.| 𝑗 | . cos (𝑗; 𝑗) = 1 .1. 1 = 1
 𝑘 . 𝑘 =| 𝑘 |.| 𝑘 | . cos (𝑘; 𝑘) = 1 .1. 1 = 1
 𝑖 .𝑗=| 𝑖|.|𝑗| . cos (𝑖 ; 𝑗) = 1 .1. 0 = 0
 𝑖 .𝑘=| 𝑖|.|𝑘| . cos (𝑖 ; 𝑘) = 1 .1. 0 = 0

10.  Veamos en particular el producto entre los
versores fundamentales:
 𝑖 . 𝑖 =| 𝑖|.| 𝑖| . cos (𝑖 ; 𝑖) = 1 .1. 1 = 1
 𝑗 .𝑗 =| 𝑗 |.| 𝑗 | . cos (𝑗; 𝑗) = 1 .1. 1 = 1
 𝑘 . 𝑘 =| 𝑘 |.| 𝑘 | . cos (𝑘; 𝑘) = 1 .1. 1 = 1
 𝑖 .𝑗=| 𝑖|.|𝑗| . cos (𝑖 ; 𝑗) = 1 .1. 0 = 0
 𝑖 .𝑘=| 𝑖|.|𝑘| . cos (𝑖 ; 𝑘) = 1 .1. 0 = 0
 𝑗 .𝑘=| 𝑗|.|𝑘| . cos (𝑗 ; 𝑘) = 1 .1. 0 = 0

11.  Propiedades:
 Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 ϵ ℝ2
o ℝ3
, 𝑦 𝑘 ϵ ℝ

12.  Propiedades:
 Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 ϵ ℝ2
o ℝ3
, 𝑦 𝑘 ϵ ℝ
a) 𝑎. 𝑏 = 𝑏 . 𝑎

13.  Propiedades:
 Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 ϵ ℝ2
o ℝ3
, 𝑦 𝑘 ϵ ℝ
a) 𝑎. 𝑏 = 𝑏 . 𝑎
b) 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 . 𝑏 + 𝑎 . 𝑐

14.  Propiedades:
 Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 ϵ ℝ2
o ℝ3
, 𝑦 𝑘 ϵ ℝ
a) 𝑎. 𝑏 = 𝑏 . 𝑎
b) 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 . 𝑏 + 𝑎 . 𝑐
c) k . (𝑎 + 𝑏) = k .𝑎 + k . 𝑏

15.  Propiedades:
 Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 ϵ ℝ2
o ℝ3
, 𝑦 𝑘 ϵ ℝ
a) 𝑎. 𝑏 = 𝑏 . 𝑎
b) 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 . 𝑏 + 𝑎 . 𝑐
c) k . (𝑎 + 𝑏) = k .𝑎 + k . 𝑏
d) 𝑎 . 𝑎 > 0 si 𝑎 ≠ 𝑂

16.  Propiedades:
 Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 ϵ ℝ2
o ℝ3
, 𝑦 𝑘 ϵ ℝ
a) 𝑎. 𝑏 = 𝑏 . 𝑎
b) 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 . 𝑏 + 𝑎 . 𝑐
c) k . (𝑎 + 𝑏) = k .𝑎 + k . 𝑏
d) 𝑎 . 𝑎 > 0 si 𝑎 ≠ 𝑂
𝑎 . 𝑎 = 0 si 𝑎 = 𝑂

17.  Estudio analítico

18.  Estudio analítico
 Sean 𝑎 y 𝑏 ϵ ℝ2
o ℝ3

19.  Estudio analítico
 Sean 𝑎 y 𝑏 ϵ ℝ2
o ℝ3
Sean las componentes escalares de ambos
vectores las siguientes:
𝑎 = ( 𝑎1 ; 𝑎2; 𝑎3) y 𝑏 = ( 𝑏1 ; 𝑏2; 𝑏3)

20.  Estudio analítico
 Sean 𝑎 y 𝑏 ϵ ℝ2
o ℝ3
Sean las componentes escalares de ambos
vectores las siguientes:
𝑎 = ( 𝑎1 ; 𝑎2; 𝑎3) y 𝑏 = ( 𝑏1 ; 𝑏2; 𝑏3)
Si los expresamos por sus componentes
vectoriales tendremos:
𝑎 = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 y 𝑏 = 𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 𝑘

21. Si consideramos el producto escalar
𝑎 . 𝑏 = (𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 ) . ( 𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 𝑘)

22. Si consideramos el producto escalar
𝑎 . 𝑏 = (𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 ) . ( 𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 𝑘)
Aplicando las propiedades del producto escalar
llegamos a:
𝑎 . 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3

23. Cálculo del ángulo entre vectores
Ahora bien, tenemos dos expresiones para el
producto escalar:
𝑎 . 𝑏 =|𝑎 |.| 𝑏| . cos (𝑎 ; 𝑏) ①
𝑎 . 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 ②
Aplicando propiedad transitiva en ① y ②
obtenemos
|𝑎 |.| 𝑏| . cos (𝑎 ; 𝑏) = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
y despejando
cos (𝑎 ; 𝑏) =
𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
| 𝑎 |.| 𝑏|

24.  Entonces para obtener el ángulo entre dos
vectores
(𝑎 ; 𝑏) = arc cos
𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
| 𝑎 |.| 𝑏|

25.  Entonces para obtener el ángulo entre dos
vectores
(𝑎 ; 𝑏) = arc cos
𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
| 𝑎 |.| 𝑏|
 Observemos que el signo del coseno viene
dado por el signo del producto escalar ya que
el producto entre los módulos de los vectores
es siempre positivo.

26. Entonces como
𝑎 . 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3

27. Entonces como
𝑎 . 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
Si 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 > 0  (𝑎 ; 𝑏) agudo

28. Entonces como
𝑎 . 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
Si 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 > 0  (𝑎 ; 𝑏) agudo
Si 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 < 0  (𝑎 ; 𝑏) obtuso

29. Entonces como
𝑎 . 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
Si 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 > 0  (𝑎 ; 𝑏) agudo
Si 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 < 0  (𝑎 ; 𝑏) obtuso
Si 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3= 0  (𝑎 ; 𝑏) recto (si 𝑎
y 𝑏 no son nulos)

30. Entonces como
𝑎 . 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
Si 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 > 0  (𝑎 ; 𝑏) agudo
Si 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 < 0  (𝑎 ; 𝑏) obtuso
Si 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3= 0  (𝑎 ; 𝑏) recto (si 𝑎
y 𝑏 no son nulos)
Así si 𝑎 y 𝑏 no son nulos podemos concluir:
«Dos vectores son perpendiculares  su
producto escalar es cero»

31. Interpretación geométrica
 El valor absoluto del producto escalar de dos
vectores no nulos es igual al módulo de uno de
ellos por la proyección del otro sobre él.

32. Interpretación geométrica
 El valor absoluto del producto escalar de dos
vectores no nulos es igual al módulo de uno de
ellos por la proyección del otro sobre él.

33. Interpretación geométrica
Al proyectar el vector 𝑢 sobre la dirección del
vector, se obtiene el vector 𝑂𝐴’

34. |𝑂𝐴’|= |proyección de 𝑢 sobre 𝑣 | ③

35. |𝑂𝐴’|= |proyección de 𝑢 sobre 𝑣 | ③
Además tenemos que |𝑂𝐴’|= |𝑢| cos 𝛼 ④

36. |𝑂𝐴’|= |proyección de 𝑢 sobre 𝑣 | ③
Además tenemos que |𝑂𝐴’|= |𝑢| cos 𝛼 ④
y que |𝑢 . 𝑣 |= |𝑢| |𝑣|cos 𝛼 ⑤

37. |𝑂𝐴’|= |proyección de 𝑢 sobre 𝑣 | ③
Además tenemos que |𝑂𝐴’|= |𝑢| cos 𝛼 ④
y que |𝑢 . 𝑣 |= |𝑢| |𝑣|cos 𝛼 ⑤
Reemplazando ③ y ④ en ⑤ nos queda
|𝑢 . 𝑣 |= |𝑣| |proyección de 𝑢 sobre 𝑣 |

38. |𝑂𝐴’|= |proyección de 𝑢 sobre 𝑣 | ③
Además tenemos que |𝑂𝐴’|= |𝑢| cos 𝛼 ④
y que |𝑢 . 𝑣 |= |𝑢| |𝑣|cos 𝛼 ⑤
Reemplazando ③ y ④ en ⑤ nos queda
|𝑢 . 𝑣 |= |𝑣| |proyección de 𝑢 sobre 𝑣 |
«O sea, el módulo del producto escalar entre dos
vectores es igual al producto del módulo de uno
de ellos por el módulo del vector proyección del
otro sobre él»