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Producto escalar
- 2. Se llamaproducto escalar, punto, interno o euclideano interior de dos vectores 𝑢 y 𝑣 al escalar que se obtiene como producto de los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que ellos forman.
- 3. Se llamaproducto escalar, punto, interno o euclideano interior de dos vectores 𝑢 y 𝑣 al escalar que se obtiene como producto de los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que ellos forman. En símbolos: 𝑢 . 𝑣 =|𝑢 |.| 𝑣| . cos (𝑢 ; 𝑣)
- 4. Veamos enparticular el producto entre los versores fundamentales:
- 5. Veamos enparticular el producto entre los versores fundamentales: 𝑖 . 𝑖 =| 𝑖|.| 𝑖| . cos (𝑖 ; 𝑖) = 1 .1. 1 = 1
- 6. Veamos enparticular el producto entre los versores fundamentales: 𝑖 . 𝑖 =| 𝑖|.| 𝑖| . cos (𝑖 ; 𝑖) = 1 .1. 1 = 1 𝑗 .𝑗 =| 𝑗 |.| 𝑗 | . cos (𝑗; 𝑗) = 1 .1. 1 = 1
- 7. Veamos enparticular el producto entre los versores fundamentales: 𝑖 . 𝑖 =| 𝑖|.| 𝑖| . cos (𝑖 ; 𝑖) = 1 .1. 1 = 1 𝑗 .𝑗 =| 𝑗 |.| 𝑗 | . cos (𝑗; 𝑗) = 1 .1. 1 = 1 𝑘 . 𝑘 =| 𝑘 |.| 𝑘 | . cos (𝑘; 𝑘) = 1 .1. 1 = 1
- 8. Veamos enparticular el producto entre los versores fundamentales : 𝑖 . 𝑖 =| 𝑖|.| 𝑖| . cos (𝑖 ; 𝑖) = 1 .1. 1 = 1 𝑗 .𝑗 =| 𝑗 |.| 𝑗 | . cos (𝑗; 𝑗) = 1 .1. 1 = 1 𝑘 . 𝑘 =| 𝑘 |.| 𝑘 | . cos (𝑘; 𝑘) = 1 .1. 1 = 1 𝑖 .𝑗=| 𝑖|.|𝑗| . cos (𝑖 ; 𝑗) = 1 .1. 0 = 0
- 9. Veamos enparticular el producto entre los versores fundamentales : 𝑖 . 𝑖 =| 𝑖|.| 𝑖| . cos (𝑖 ; 𝑖) = 1 .1. 1 = 1 𝑗 .𝑗 =| 𝑗 |.| 𝑗 | . cos (𝑗; 𝑗) = 1 .1. 1 = 1 𝑘 . 𝑘 =| 𝑘 |.| 𝑘 | . cos (𝑘; 𝑘) = 1 .1. 1 = 1 𝑖 .𝑗=| 𝑖|.|𝑗| . cos (𝑖 ; 𝑗) = 1 .1. 0 = 0 𝑖 .𝑘=| 𝑖|.|𝑘| . cos (𝑖 ; 𝑘) = 1 .1. 0 = 0
- 10. Veamos enparticular el producto entre los versores fundamentales: 𝑖 . 𝑖 =| 𝑖|.| 𝑖| . cos (𝑖 ; 𝑖) = 1 .1. 1 = 1 𝑗 .𝑗 =| 𝑗 |.| 𝑗 | . cos (𝑗; 𝑗) = 1 .1. 1 = 1 𝑘 . 𝑘 =| 𝑘 |.| 𝑘 | . cos (𝑘; 𝑘) = 1 .1. 1 = 1 𝑖 .𝑗=| 𝑖|.|𝑗| . cos (𝑖 ; 𝑗) = 1 .1. 0 = 0 𝑖 .𝑘=| 𝑖|.|𝑘| . cos (𝑖 ; 𝑘) = 1 .1. 0 = 0 𝑗 .𝑘=| 𝑗|.|𝑘| . cos (𝑗 ; 𝑘) = 1 .1. 0 = 0
- 11. Propiedades: Sean𝑎, 𝑏 y 𝑐 ϵ ℝ2 o ℝ3 , 𝑦 𝑘 ϵ ℝ
- 12. Propiedades: Sean𝑎, 𝑏 y 𝑐 ϵ ℝ2 o ℝ3 , 𝑦 𝑘 ϵ ℝ a) 𝑎. 𝑏 = 𝑏 . 𝑎
- 13. Propiedades: Sean𝑎, 𝑏 y 𝑐 ϵ ℝ2 o ℝ3 , 𝑦 𝑘 ϵ ℝ a) 𝑎. 𝑏 = 𝑏 . 𝑎 b) 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 . 𝑏 + 𝑎 . 𝑐
- 14. Propiedades: Sean𝑎, 𝑏 y 𝑐 ϵ ℝ2 o ℝ3 , 𝑦 𝑘 ϵ ℝ a) 𝑎. 𝑏 = 𝑏 . 𝑎 b) 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 . 𝑏 + 𝑎 . 𝑐 c) k . (𝑎 + 𝑏) = k .𝑎 + k . 𝑏
- 15. Propiedades: Sean𝑎, 𝑏 y 𝑐 ϵ ℝ2 o ℝ3 , 𝑦 𝑘 ϵ ℝ a) 𝑎. 𝑏 = 𝑏 . 𝑎 b) 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 . 𝑏 + 𝑎 . 𝑐 c) k . (𝑎 + 𝑏) = k .𝑎 + k . 𝑏 d) 𝑎 . 𝑎 > 0 si 𝑎 ≠ 𝑂
- 16. Propiedades: Sean𝑎, 𝑏 y 𝑐 ϵ ℝ2 o ℝ3 , 𝑦 𝑘 ϵ ℝ a) 𝑎. 𝑏 = 𝑏 . 𝑎 b) 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 . 𝑏 + 𝑎 . 𝑐 c) k . (𝑎 + 𝑏) = k .𝑎 + k . 𝑏 d) 𝑎 . 𝑎 > 0 si 𝑎 ≠ 𝑂 𝑎 . 𝑎 = 0 si 𝑎 = 𝑂
- 17.
- 18. Estudio analítico Sean 𝑎 y 𝑏 ϵ ℝ2 o ℝ3
- 19. Estudio analítico Sean 𝑎 y 𝑏 ϵ ℝ2 o ℝ3 Sean las componentes escalares de ambos vectores las siguientes: 𝑎 = ( 𝑎1 ; 𝑎2; 𝑎3) y 𝑏 = ( 𝑏1 ; 𝑏2; 𝑏3)
- 20. Estudio analítico Sean 𝑎 y 𝑏 ϵ ℝ2 o ℝ3 Sean las componentes escalares de ambos vectores las siguientes: 𝑎 = ( 𝑎1 ; 𝑎2; 𝑎3) y 𝑏 = ( 𝑏1 ; 𝑏2; 𝑏3) Si los expresamos por sus componentes vectoriales tendremos: 𝑎 = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 y 𝑏 = 𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 𝑘
- 21. Si consideramos elproducto escalar 𝑎 . 𝑏 = (𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 ) . ( 𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 𝑘)
- 22. Si consideramos elproducto escalar 𝑎 . 𝑏 = (𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 ) . ( 𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 𝑘) Aplicando las propiedades del producto escalar llegamos a: 𝑎 . 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
- 23. Cálculo del ánguloentre vectores Ahora bien, tenemos dos expresiones para el producto escalar: 𝑎 . 𝑏 =|𝑎 |.| 𝑏| . cos (𝑎 ; 𝑏) ① 𝑎 . 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 ② Aplicando propiedad transitiva en ① y ② obtenemos |𝑎 |.| 𝑏| . cos (𝑎 ; 𝑏) = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 y despejando cos (𝑎 ; 𝑏) = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 | 𝑎 |.| 𝑏|
- 24. Entonces paraobtener el ángulo entre dos vectores (𝑎 ; 𝑏) = arc cos 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 | 𝑎 |.| 𝑏|
- 25. Entonces paraobtener el ángulo entre dos vectores (𝑎 ; 𝑏) = arc cos 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 | 𝑎 |.| 𝑏| Observemos que el signo del coseno viene dado por el signo del producto escalar ya que el producto entre los módulos de los vectores es siempre positivo.
- 26. Entonces como 𝑎 .𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
- 27. Entonces como 𝑎 .𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 Si 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 > 0 (𝑎 ; 𝑏) agudo
- 28. Entonces como 𝑎 .𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 Si 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 > 0 (𝑎 ; 𝑏) agudo Si 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 < 0 (𝑎 ; 𝑏) obtuso
- 29. Entonces como 𝑎 .𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 Si 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 > 0 (𝑎 ; 𝑏) agudo Si 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 < 0 (𝑎 ; 𝑏) obtuso Si 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3= 0 (𝑎 ; 𝑏) recto (si 𝑎 y 𝑏 no son nulos)
- 30. Entonces como 𝑎 .𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 Si 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 > 0 (𝑎 ; 𝑏) agudo Si 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 < 0 (𝑎 ; 𝑏) obtuso Si 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3= 0 (𝑎 ; 𝑏) recto (si 𝑎 y 𝑏 no son nulos) Así si 𝑎 y 𝑏 no son nulos podemos concluir: «Dos vectores son perpendiculares su producto escalar es cero»
- 31. Interpretación geométrica Elvalor absoluto del producto escalar de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
- 32. Interpretación geométrica Elvalor absoluto del producto escalar de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
- 33. Interpretación geométrica Al proyectarel vector 𝑢 sobre la dirección del vector, se obtiene el vector 𝑂𝐴’
- 34. |𝑂𝐴’|= |proyección de𝑢 sobre 𝑣 | ③
- 35. |𝑂𝐴’|= |proyección de𝑢 sobre 𝑣 | ③ Además tenemos que |𝑂𝐴’|= |𝑢| cos 𝛼 ④
- 36. |𝑂𝐴’|= |proyección de𝑢 sobre 𝑣 | ③ Además tenemos que |𝑂𝐴’|= |𝑢| cos 𝛼 ④ y que |𝑢 . 𝑣 |= |𝑢| |𝑣|cos 𝛼 ⑤
- 37. |𝑂𝐴’|= |proyección de𝑢 sobre 𝑣 | ③ Además tenemos que |𝑂𝐴’|= |𝑢| cos 𝛼 ④ y que |𝑢 . 𝑣 |= |𝑢| |𝑣|cos 𝛼 ⑤ Reemplazando ③ y ④ en ⑤ nos queda |𝑢 . 𝑣 |= |𝑣| |proyección de 𝑢 sobre 𝑣 |
- 38. |𝑂𝐴’|= |proyección de𝑢 sobre 𝑣 | ③ Además tenemos que |𝑂𝐴’|= |𝑢| cos 𝛼 ④ y que |𝑢 . 𝑣 |= |𝑢| |𝑣|cos 𝛼 ⑤ Reemplazando ③ y ④ en ⑤ nos queda |𝑢 . 𝑣 |= |𝑣| |proyección de 𝑢 sobre 𝑣 | «O sea, el módulo del producto escalar entre dos vectores es igual al producto del módulo de uno de ellos por el módulo del vector proyección del otro sobre él»