descripción analítica de vectores en dos y tres dimensiones desde un punto de vista mas factible para realizar vectores de manera mas sencilla

1.  INTEGRANTES GRUPO 3
 JORGE CORTEZ
 IRVING CUASATAR
 ANTONHY
 KELLY FLORES


2. • De tal forma se puede conocer como producto punto, una operación
matemática que relaciona dos cantidades vectoriales mediante el
producto y su resultado es una magnitud escalar. El resultado lo
obtenemos al multiplicar los módulos de los dos vectores por el coseno
del ángulo comprendida entre dichos vectores

3. • Sean A, B y C vectores en el plano o en el
espacio y sea m un escalar:
1. Conmutativa:
2. Distributiva respecto a la suma vectorial:
3. Asociatividad respecto al producto
por un escalar m:
En producto escalar podemos encontrar 3
propiedades las cuales son :
El producto escalar verifica
la propiedad conmutativa
Siendo a, b y c tres vectores
cualesquiera así se verifica
Siendo a y m dos vectores cualesquiera
y m un número real se puede verificar así

4. Angulo entre dos vectores
El ángulo entre dos vectores es el ángulo que se forma cuando dos vectores se multiplican.
Dos vectores formarán un ángulo cuando ambos se estén multiplicando, es decir, cuando multipliquemos
vectores los estaremos uniendo en un punto en común tal que formarán un ángulo.
La formula para calcular este ángulo es:
Ejemplo:
Halla el ángulo que forman los vectores 𝑎 = 1,5,4 ; 𝑏 = (−3,0,2)
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
1 ∙ −3 + 5 ∙ 0 + 4 ∙ (2)
12 + 52 + 42 ∙ (−3)2+02 + 22
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
5
42 ∙ 13
𝜃 = cos−1
5
42 ∙ 13
𝜃 = 77,64°
• cos𝜃 =
𝑎∙ 𝑏
𝑎 𝑏

5. Proyectar un vector sobre otro es encontrar el vector que tiene
la misma dirección que el vector que recibe la proyección, pero
su longitud depende del vector que se proyecta, es como una
sombra:
𝐴𝐵 =
𝑨 ∙ 𝑩
𝐵
𝟐 ∙ 𝐵
𝐴𝐵 =
1 ∙ −3 + 5 ∙ 0 + 4 ∙ (2)
(−3)2+02 + 22
𝟐 ∙ (−3,0,2)
𝐴𝐵 =
𝟓
𝟏𝟑
∙ (−3,0,2)
𝐴𝐵 = −
15
13
, 0,
10
13
Ejemplo:
Hallar la proyección del vector 𝐴 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐵
𝐴 =(1,5,4); 𝐵 =(−3,0,2)

6. • Este tipo de producto enfrenta dos magnitudes vectoriales y su
resultado es otra magnitud vectorial. Al ser un vector se tiene
que definir su modulo su dirección y sentido.
• El modulo se lo encuentra con la siguiente formula:
𝐴 ⊗ 𝐵 = 𝐴 ⋅ 𝐵 𝑠𝑖𝑛𝜃
• Para hallar la dirección sabemos que el vector resultante es
perpendicular al plano formada por los dos vectores 𝐴𝑦𝐵
El sentido se define por la regla de la mano derecha, si el sentido
del giro es contra las manecillas del reloj es positivo y es a favor de
las manecillas es negativo

7. .𝐴 ⊗ 𝐵 = 4 × −15 − 10 × −6 𝑖 − −6 × −15 − 10 × 9 𝑗 + −6 × −6 − 4 × 9 𝑘
.𝐴 ⊗ 𝐵 = −60 + 60 𝑖 − 90 − 90 𝑗 + 36 − 36 𝑘
.𝐴 ⊗ 𝐵 = 0𝑖; 0𝑗; 0𝑘
.𝐴 ⊗ 𝐵 = 𝑖 𝑗 𝐾
. −6 4 10
. 9 − 6 − 15
.𝐴 ⊗ 𝐵 = 4 10 𝑖 − 6 10 𝑗 − 6 4 𝑘
. −6 − 15 9 − 15 9 − 6
1. El producto vectorial no verifica la
propiedad conmutativa → 𝐴 ⊗ 𝐵 ≠
𝐵 ⊗ 𝐴
2. El producto vectorial de dos vectores
paralelos entre si es nulo, en vista de
que el Angulo entre los dos es de 0°
y el sen0°=0, por lo tanto el
producto cruz entre vectores de
base paralelas también es nulo. ⊗
𝑖 = 0; ⊗ 𝑗 = 0;⊗ 𝑘 = 0
Ejemplo:
.𝐴 = −6,4,10 ; 𝐵 = (9, −6, −15)

8. .𝐴 ⊗ 𝐵 = 𝑖 𝑗 𝐾
. 2 4 2
. 3 1 − 5
.𝐴 ⊗ 𝐵 = 4 2 𝑖 2 2 𝑗 2 4 𝑘
. 1 − 5 3 − 5 3 1
3.El producto vectorial de dos vectores perpendiculares entre si es igual únicamente al producto de los módulos, en vista
de que el ángulo entre los dos es de 90° y el sen 90°=1, por lo tanto el producto cruz entre vectores base
perpendiculares es igual al tercer vector base que falta siempre que se respete el orden 𝑖, 𝑗, 𝑘 en cuyo caso será (+) caso
contrario será(-)
.𝑖 ⊗ 𝑗 = 𝑘 𝑗 ⊗ 𝑘 = 𝑖 𝑘 ⊗ 𝑖 = 𝑗
.𝑗 ⊗ 𝑖 = −𝑘 𝑘 ⊗ 𝑗 = −𝑖 𝑖 ⊗ 𝑘 = −𝑗
4.Como consecuencia de las 2 propiedades anteriores se puede concluir que el
producto vectorial por componentes es igual a:
.𝐴 ⊗ 𝐵 = 𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐵𝑦𝐴𝑧 𝑖 − 𝐴𝑥𝐵𝑧 − 𝐵𝑧𝐴𝑥 𝑗 + (𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐵𝑥𝐴𝑦)𝑘, ejemplo:
.𝐴 = 2,4,2 ; 𝐵 = 3,1, −5
.𝐴 ⊗ 𝐵 = 4 × −5 − 2 × 1 𝑖 − 2 × −5 −

9. 5.Como otra consecuencia de las 2 propiedades 2 y 3 se puede concluir que el producto vectorial de 2
vectores en el plano xy se encuentra alineado con el eje z
𝐴 ⊗ 𝐵 = (𝐴𝑥𝑖 + Ay𝑗 + 0𝑘)⨂(𝐵𝑥𝑖 + By𝑗 + 0𝑘)
𝐴 ⊗ 𝐵 = 𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐵𝑦𝐴𝑧 𝑖 − 𝐴𝑥𝐵𝑧 − 𝐵𝑧𝐴𝑥 𝑗 + (𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐵𝑥𝐴𝑦)𝑘
𝐴 ⊗ 𝐵 = 𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐵𝑦𝐴𝑧 𝑖 − 𝐴𝑥𝐵𝑧 − 𝐵𝑧𝐴𝑥 𝑗 + 𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐵𝑥𝐴𝑦 𝑘
𝐴 ⊗ 𝐵 = 𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐵𝑥𝐴𝑦)𝑘
Ejemplo:
.𝐴 = 2,4,0 ; 𝐵 = 3,1,0
.𝐴 ⊗ 𝐵 = 𝑖 𝑗 𝐾
. 2 4 0
. 3 1 0
.𝐴 ⊗ 𝐵 = 4 0 𝑖 2 0 𝑗 2 4 𝑘
. 1 0 3 0 3 1
.𝐴 ⊗ 𝐵 = 4 × 0 − 0 × 1 𝑖 − 2 × 0 −
6.El producto vectorial también se puede calcular usando la teoría de determinantes, siguiendo el
orden 𝑖, 𝑗, 𝑘 y usando parciales de 2x2. (nota, se puede usar cualquier método de resolución de
determinantes
𝐴 ⊗ 𝐵 = 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝑖 𝐴𝑥 𝐴𝑧 𝑗 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝑘
. 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐴𝑥 𝐵𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦
.𝐴 ⊗ 𝐵 = 𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐵𝑦𝐴𝑧 𝑖 − 𝐴𝑥𝐵𝑧 − 𝐵𝑧𝐴𝑥 𝑗 + (𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐵𝑥𝐴𝑦)𝑘

10. Calculo del área de un paralelogramo.
El área de cualquier paralelogramo se defino como el producto
entre la base y su altura, la misma que se debe calcular
haciendo uso de la función seno.
Para calcular el área de un paralelogramo se usa la siguiente
formula:
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐵𝑎𝑠𝑒 . 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
Á𝑟𝑒𝑎 = |𝐴|. ℎ
sin 𝜃 =
ℎ
𝑏
ℎ = |𝐵| sin 𝜃
Á𝑟𝑒𝑎 = |𝐴| ∗ 𝐵 sin 𝜃
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐴⨂𝐵

11. Calcular el área formado por los vectores 𝑢 𝑦 𝑣 .
𝑢 = 2,1,3
𝑣 = (−3,3,2)
Calculamos los determinantes 𝐴 = 𝑢 𝑥 𝑣
𝑢 𝑥 𝑣 =
𝑖 𝑗 𝑘
2 1 3
−3 3 2
= 𝑖 2 − 9 − 𝑗 4 + 9 +
𝑘(6 + 3)
= −7𝑖 − 13𝑗 + 9𝑘
𝑢 𝑥 𝑣 = 72 + 132 + 92
𝑢 𝑥 𝑣 = 49 + 169 + 81
𝑢 𝑥 𝑣 = 299
ÁREA=

12. Para el calculo de las magnitudes del movimiento circular se debe tomar en cuenta
que dicha magnitudes se orientan perpendicularmente al plano de giro y obedecen
la siguiente regla:
|𝑢| = 𝜔 ⊗ 𝑅
|𝑢| = |𝜔| ∗ 𝑅 𝑠𝑖𝑛90°
|𝑢| = |𝜔| ∗ |𝑅|