Una matriz es un arreglo rectangular de números usando filas y columnas. Las matrices pueden ser cuadradas, de fila, columna, nulas, triangulares o de identidad. Cada elemento de una matriz se identifica por su fila y columna usando subíndices. Las matrices aumentadas se usan para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando operaciones de filas equivalentes.

1. Las Matrices
Curso: PRE-CÁLCULO
Frances R Meléndez
José Maldonado
Dr. Juan J. Maunez Pimentel
4 de mayo de 2012
Sr. Pomales

2. ¿Qué es una matriz?
• Arreglo rectangular de números usando filas y
columnas.
• Ejemplo:
• A cada número de una matriz se le denomina
como elemento.

3. Cont.
• Si una matriz tiene m renglones y n columnas,
se llama matriz m x n. Esta expresión se
conoce como tamaño de la matriz. Los
números m y n se conocen como dimensiones
de la matriz. Una matriz con renglón y
columna n se denomina matriz cuadrada de
orden n.
• Nota: Siempre se escribe primero el número
de renglones.

4. Tipos de matrices
• Matriz de fila: solo tiene una fila.
B= [4 -5 9]
• Matriz columna: matriz con solo una columna.
• Matriz nula: matriz en la cual todos los
elementos son cero.
0 0
Z=
0 0

5. Cont
• Matriz cuadrada: tiene el mismo número de
columnas y el mismo número de filas, es decir
su dimensión es m x m o m.
C= 3 2
7 4
• Matriz triangular: es una matriz dentro de los
matrices cuadradas. Dentro de ésta existen
dos tipos y son los siguientes:

6. Cont.
Triangular superior: si todos los elementos por
debajo de la diagonal principal son nulos.
1 7 2
B= 0 3 4
0 0 2
Triangular inferior: si todos los elemtos por
encima de la diagonal principal son nulos.
5 0 0
7 8 0
D=
3 1 2

7. Cont.
• Matriz diagonal: cuando es triangular superior
y triangular inferior a la vez. Solo tiene
elementos en diagonal principal.
A= 5 0 0
0 8 0
0 0 2
• Matriz unidad o identidad: es una matriz
diagonal que tiene en su diagonal principal
elementos igual a uno. Suelen estar
representado por In donde n es el tamaño de
la matriz.
I2= 1 0
0 1

8. Notación de la posición de los
elementos en la matriz
• Es el renglón y la columna que contiene al
elemento.
• Se observa o se utiliza notación con doble
subíndice aij donde i es el renglón y j es la
columna la cual contiene el elemento aij.
2 6 -3
A= aij= 2, a12=6,a13=-3
3 8 -4 a21=3,a22=8,a23=-4

9. Cont
• Nota: a12 se lee “a subíndice uno, dos” los
elementos a11=2 y a22=0 esto es la diagonal
principal de A. La misma consta de los
elementos a11, a22, a33 …..

10. Matriz aumentada
• Una matriz aumentada se crea mediante la
unión de dos matrices.
Sea que A y B
Entonces, la matriz aumentada (A B) quedaría:

11. Renglón equivalente
• Dos matrices aumentadas.
• Se utiliza este simbolo ~ entre dos matrices si
son aumentadas de sistema de ecuación
equivalente.
• Se utiliza el teorema 3 para transformar
matrices aumentadas en matrices de renglón
equivalente.

12. Teorema 3
• Operaciones de renglón que realizan matrices
de renglón equivalente.
• Para obtener una matriz de renglón
equivalente se utiliza uno de los siguientes
paso:
1. Dos renglones se intercambian (Ri Rj ).
2. Se multiplica un renglón por una constante
diferente a cero (kRi Ri).
3. Se suma el múltiplo constante de un
renglón con el de otro renglón.
(kRj + Ri Ri)

13. Para los números reales m, n, p: p = 0
• Modelo 1: una solución única (Consistentes e
independientes). 1 0 m
0 1n
• Modelo 2: muchas soluciones infinitas
(consistentes y dependientes). 1 m n
0 00
• Modelo 3: no hay soluciones
(incocnsistentes). 1 mn
0 0 p

14. Solución de sistemas lineales
mediante matrices aumentadas
• Para llevar acabo este proceso se necesita
seguir una sería pasos cuyos son los
siguientes.
1. Debes tener un número uno en la esquina
superior izquierda; se intercambian los
renglones 1 y 2.
3 4 1 1 27
1 27 R1 R2 3 4 1

15. Cont.
2. En la esquina inferior izquierda debes tener
un cero, se multiplica R1 por -3 y se le suma a
R2 cambiando a R2 pero no a R1.
1 27 1 2 7
3 41
(-3)R1+ R2 R2
0 10 20
-3 6 -21

16. Cont
3.Para obtener un 1 en el segundo renglón
1
(segunda columna) se multiplica R2 por
10
1 2 7 1
R2 R2 1 27
10
0 10 20 0 12

17. Cont.
4. Para obtener un 0 en el primer renglón,
segunda columna, se multiplica R2 por 2 y se
suma el resultado a R1. Esto cambia a R1 pero
no a R2
0 2 -4
1 27 1 03
2R2 + R1 R1 0 12
0 12

18. Cont.
• La última matriz es la matriz aumentada para
el sistema.
• Siguiendo estos pasos obtenemos:
x1 = 3
x2= -2

19. Problemas para resolver
Basadas en las siguientes matrices, resuelve los
ejercicios 15, 17, 19, 21, 23

20. Cont.
15) ¿Cuál es el tamaño de A? ¿ y de C?
 El tamaño de la matriz A es 2x3 y la C 1x3.
17) Identifique a todas las matrices renglón.
 La matriz C es la única matriz renglón ya que
es la única que está compuesta de una sola
fila.

21. Cont.
19) Identifique a todas las matrices cuadradas.
 La matriz cuadrada el la B ya que la misma
tiene el mismo número de filas y columnas es
3x3.
21) Para la matriz A, encuentre a12 y a23.
 Para la matriz A, a12 = -2 y a23= -6.

22. Cont.
23) Encuentre los elementos en la diagonal
principal de la matriz B.
 Los elementos en la diagonal principal de la
matriz B son -2, 6 , 0.

23. Resuelve el ejercicio mediante
métodos de matriz aumentada
45) 2x1 + 2x2 = 6
x1 x2 = -3
2 16 1 13
R1 R2
1 13 2 16
1 13 (-2)R₁ + R₂ R₂
~
2 16
-2 2 6

24. Cont.
1 1 3 1
R₂ R₂
~ 3
0 312
1 13
~
0 14
0 1 4
1 13
~ 1R₂ + R₁ R₁
0 14
1 01
~
0 14

25. Comprobación
Ejercicio original Resultado obtenido
2x₁ + x₂ = 6 x₁ = 1
x₁ x₂ = 3 x₂ = 4
2(1) + 4= 6 (1) (4)= 3
2 + 4= 6 -3=3 Cierto
6=6 Cierto

26. Opinión personal
• Este trabajo fue uno de suma dificultad para
mi debido a la poca familiaridad que poseo
con la elaboración de ecuaciones y matrices
en el Programa Microsoft Office Power Point.
Me parece que este trabajo me permitió
ampliar y adquirir conocimiento en la
solución de problemas de matrices lo cual me
será de utilidad en cursos futuros.
Frances R Meléendez

27. Opinión personal
• Mi opinión sobre el trabajo es que fue un
poco, no díficil, pero dificultoso de entender.
No me veo usando estos conceptos en mi
diario vivir pero, si algún día necesitara de
ellos pues, ya tendré el conocimiento. Al
principio estaba medio perdido ya que me
había acostumbrado a llamar a los "renglones"
como "filas". Aparte de todo fue bastante
interesante y, pues aprender más nunca esta
demás.
José Maldonado

28. Referencia
• PRE-CALCULO FUNCIONES Y GRAFICAS
Autores: Barnett, Ziegler y Byleen
(cuarta edición).