Este documento trata sobre matrices y determinantes. Explica qué es una matriz, sus elementos y dimensiones. Presenta ejemplos de matrices como la compra de bocadillos. Describe operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto. Finalmente, define determinantes de orden 2 y 3, y explica la regla de Sarrus para calcularlos.

1. Matrices y
Determinantes

2. DEFINICIÓN DE UNA MATRIZ
2
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
















nn
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a









3
2
1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
A = (ai,j)=

3. EJEMPLO DE UNA MATRIZ
3
Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:
1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.
2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.
3. Elena compró un bocadillo y un refresco.
Estos datos se pueden
agrupar en una matriz










2 1 1
1 1 1
1 1 0

4. EXPRESION MATRICIAL DE UN SISTEMA
4
Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =








2 5 –3
1 –4 1
Tiene la siguiente expresión matricial:








2 5 –3
1 –4 1








x
y
z
= 







1
– 2









2
z
4y
-
x
1
3
5
2 z
y
x
El sistema

5. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES
5









 1 2 4
2 3 5
4 5 -1









 0 2 -4
-2 0 3
4 -3 0
 Matriz fila: A = (1 3 5 7 9 )
 Matriz columna: A =








2
4
6
ji
ij a
a 
Diagonal
secundaria
Diagonal
principal
 Matriz cuadrada:A=








1 3 5
2 4 6
1 1 1
• Matriz simétrica: es una matriz cuadrada
que verifica que:
• Matriz antisimétrica: es una matriz
cuadrada que verifica que:
ji
ij -a
a 
 A = AT
 A = –AT

6. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES
6
• Matriz escalar: es una matriz diagonal
donde todos los elementos de ella son iguales.
• Matriz triangular superior: es una matriz
donde todos los elementos por debajo de la
diagonal son ceros.
• Matriz triangular inferior: es una matriz
donde todos los elementos por encima de la
diagonal son ceros.
• Matriz nula: es una matriz en la que todos los
elementos son nulos.
• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en
la que todos los elementos no pertenecientes a
la diagonal principal son nulos.
• Matriz unidad o identidad: es una matriz
escalar, cuya diagonal principal es 1.
3
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
O












2
3
0
0
0
0
0
0
O
























4
0
0
3
2
0
6
3
1
T












1
0
0
0
3
0
0
0
2
D











1
0
0
0
1
0
0
0
1
I3











2
0
0
0
2
0
0
0
2
A












4
5
3
0
2
3
0
0
1
T

7. OPERACIONES CON MATRICES
SUMA Y RESTA DE MATRICES
7
Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los
correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij)
A + B = (aij) + (bij) =








a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
+








b11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24
b31 b32 b33 b34
=
=








a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14
a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24
a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34
= (aij + bij )

8. MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ
POR UN NÚMERO
8
Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los
elementos de la matriz por dicho número.
Si A = (aij), entonces kA = (kaij)
k . A = k . (aij) = k·








a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=








ka11 ka12 ka13
ka21 ka22 ka23
ka31 ka32 ka33
= (kaij)

9. PRODUCTO DE MATRICES
9
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se
obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que
deben coincidir estas). De manera más formal, los elementos de P son de la
forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número
de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la
matriz P será de orden m x p,
no se pueden multiplicar
Ejemplos:
Pij =  aik · bkj con k=1,….n

10. PRODUCTO DE MATRICES
10
(aij)m,n
. (bij)n,p =
Posible
filas
columnas
(cij)m,p
El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas
de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

11. EJEMPLO
11
A · B =








2 1 –1
3 –2 0
.








1 2 0
1 0 –3
0 1 –2
=








3 3 –1
1 6 6
1. El producto de A= 





2 1 –1
3 –2 0 por la matriz B =






1 2 0
1 0 –3
0 1 –2
cada fila de A por cada columna de B.
se obtiene multiplicando
2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?
(aij)2,3
. (bij)3,3 =
producto
posible
(cij)
2, 3

12. DETERMINANTES DE ORDEN 2 Y 3
= a
11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33.
a11
a12
a13
a 21 a22 a23
a31 a32 a33
Dada una matriz cuadrada de orden 3 A =






a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
det (A) o |A|, al número real siguiente:
Se llama determinante de A,
Dada una matriz cuadrada de segundo orden:
 
a a
a
A =




11 12
a21 22
se llama determinante de A al número real:
Det( A) = |A| =
a
a 11 12
a 21 a 22
= a11 · a22 – a12 · a21
Ejemplo: 3 2
2 1 = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -1

13. REGLA DE SARRUS
La regla de Sarrus permite recordar gráficamente los productos que aparecen en la
expresión del determinante de orden 2 y 3 y sus signos. Los elementos de la diagonal
principal y sus paralelas, con su signo y los de la diagonal secundaria y sus paralelas
cambiadas de signo.

14. APLICACIÓN DE LA REGLA DE SARRUS
24 – 12 – 10 + 4 – 9 + 80 = 77
det(A) = 3 . (–2) . (–4) + 4 . (–3) . 1 + 5 . (–1) . 2 – [1 . (–2) . 2 + (–1) . (–3) . 3 + 5 . 4 . (–4)] =
El determinante de la matriz A =












3 5 1
4 –2 –1
2 –3 –4
es

15. REGLA DE CRAMER
Un ejemplo:
Sea el sistema lineal
2 x + y – 3 z = 5
3 x – 2 y +2 z = 5
5 x – 3 y – z = 16
Resolución:
Es sistema de Cramer: M es cuadrada y |M| = 26.

16. MUCHAS GRACIAS