El método de Gauss-Jordan permite calcular la inversa de una matriz cuadrada. Consiste en transformar la matriz original en la matriz identidad mediante una serie de operaciones elementales sobre las filas. Primero, se elige un pivote y se divide la fila correspondiente por él. Luego, se transforman los demás elementos de la columna del pivote a cero usando las otras filas. Finalmente, se aplica la "regla del rectángulo" para calcular el resto de los elementos, obteniendo la matriz inversa.

1. Método Gauss Jordan

2. Introducción
Matriz inversa:
 Si es una matriz cuadrada, se llama matriz inversa de A
y se denota A-1 a una matriz del mismo orden que A
que verifica la siguiente igualdad:
1 1 (Siendo I la matriz identidad
A. A A .A I de igual orden que A)
 Si una matriz posee inversa se dice que es invertible en
caso contrario se llama singular, debido a que no todas
las matrices cuadradas pueden tener inversa.

3. Ejemplo: Sea A=
2
1 1
1
, hallar si es posible A-1
Multiplico los elementos de
1 las filas de la primer matriz
A. A I por los elementos de las
columnas de la segunda y
sumo los productos:
2 1 a b 1 0
. Para la fila 1, columna 1:
1 1 c d 0 1 2.a+(-1).c=2.a-c
Para la fila 1, columna 2:
2.b+(-1).d=2.b-d
2a c 2b d 1 0 Para la fila 2, columna 1:
1.a+1.c=a+c
a c b d 0 1 Para la fila 2, columna 2:
1.b+a.d=b+d
Ahora a partir de esto puedo armar un sistema de ecuaciones que me permita hallar A-1

4. Ejemplo: Sea A=
2
1 1
1
, hallar si es posible A-1
A partir de esta igualdad podemos
2a c 2b d 1 0 deducir las siguientes ecuaciones:
2.a-c=1 2b-d=0
a c b d 0 1 a+c=0 b+d=1
2a c 1 2b d 0
 Armar estos sistemas de ecuaciones…
a c 0 b d 1
2a c 1 2b d 0
b d 1 …Y resolverlos por alguno de los métodos vistos
a c 0 (suma, resta, igualación, sustitución, etc…)
3a 0c 1 3b 0d 1
3a 1 3b 1
a 1/ 3 b 1/ 3
En este caso fue resuelto por la suma de
c a d 1 b las ecuaciones del sistema y el posterior
d 1 1/ 3 despeje de las incógnitas….
c 1/ 3
d 2/3

5. Ejemplo: Sea A=
2
1 1
1
, hallar si es posible A-1
Ahora que se el valor de mis incógnitas las ubico en la matriz y verifico que sea la
matriz inversa de A
1
A. A I Para la fila 1, columna 1:
2.(1/3)+(-1).(-1/3)= 1
Para la fila 1, columna 2:
2 1 a b 2.(1/3)+(-1).(2/3)=0
. Para la fila 2, columna 1:
1 1 c d 1.a+1.c=a+c
Para la fila 2, columna 2:
1.b+a.d=b+d
1 1
2 1 3 3 1 0  El resultado coincide con
.
1 1 1 2 0 1 los valores de la identidad…
3 3

6. Ejemplo: Sea A=
2
1 1
1
, hallar si es posible A-1
… lo que significa que hemos encontrado la matriz inversa de A
1 1
1 3 3
A
1 2
3 3

7.  El método recién explicado resulta sencillo con una
matriz de 2x2 pero al querer aplicarlo en matrices mas
grandes se hace mas complicado el despeje de las
incógnitas….
… es por ello que veremos el método Gauss Jordan.

8. Método Gauss Jordan.
1 0 1
 Preparación de la matriz: A= 1 2 2
2 1 1
Para facilitar el entendimiento del método utilizaremos una grilla…
1. En la parte izquierda de la grilla ingresamos los elementos de nuestra
matriz en orden y respetando su ubicación original
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
2. Mientras que en la parte izquierda ingresamos los valores de la matriz identidad

9. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
1. Se elige como pivote cualquier elemento no nulo de la
matriz dada, y se divide por él la fila correspondiente.
En este caso elijo el 1 para
ahorrar cuentas, ya que
debo dividir cada elemento
1 0 1 1 0 0
de la fila por el numero
que elijo.
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
Por lo tanto, debido a que
elegí el 1 se mantienen los
valores de la fila 1 0 1 1 0 0

10. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
2. Los restantes elementos de la columna del pivote se
transforman en cero.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0
0

11. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
Seleccionamos el Que consiste en
elemento a
transformar
restarle a dicho
1 0 1 1 0 0 elemento el producto
Entre el pivote y el contra diagonal
elemento seleccionado 1 2 2 0 1 0
hay un rectángulo dividido por el pivote
2 1 1 0 0 1
imaginario
Entonces, para determinar
Siendo la diagonal la 1 0 1 1 0 0
línea que va del pivote este elemento debemos
al 2 la contra 0 2 hacer la sig. cuenta…
diagonal seria la que 2-(1.0)/1= 2
va del 0 al 1 0 Y lo ubicamos en la tabla…

12. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
Ahora seleccionamos
otro elemento a
transformar
1 0 1 1 0 0
1 2 2 -2 - [1.(-1)]/1 =
Armamos el rectángulo 0 1 0
imaginario -2 - (-1) =
2 1 1 0 0 1 -2 + 1 = -1
Y determinamos los 1 0 1 1 0 0 Y así sucesivamente
elementos de la hasta completar la
contra diagonal para 0 2 -1 tabla…
hacer la
transformación 0

13. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
 0-( 1 . 1 )/1= -1
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 2 -1 -1
0

14. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
 1-( 1 . 0 )/1= 1
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 2 -1 -1 1
0

15. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
 0-( 1 . 0 )/1=0
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0

16. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
 -1-( 2 . 0 )/1=-1
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1

17. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
 1-( 2 . -1 )/1=3
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3

18. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
 0-( 2 . 1 )/1=-2
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2

19. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
 0-( 2 . 0 )/1=0
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0

20. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
 1-( 2 . 0 )/1=1
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1

21. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
Se elige otro pivote que
no pertenezca ni a la 1 0 1 1 0 0
fila ni a la columna del
pivote anterior, y se 0 2 -1 -1 1 0
divide por él la fila
correspondiente. 0 -1 3 -2 0 1
Los restantes 0
elementos de la
columna del pivote se 0 1 -½ -½ ½ 0
transforman en cero.
0

22. Método Gauss Jordan.
Seleccionamos el 1 0 1 1 0 0 El transformado de todo
elemento a
1 2 2 elemento que no figure
transformar 0 1 0 en la fila ni en la
2 1 1 0 0 1 columna del pivote se
Entre el pivote y el determina por la regla
elemento seleccionado 1 0 1 1 0 0 del rectángulo
hay un rectángulo
imaginario
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 Entonces, para determinar
este elemento debemos
Siendo la diagonal la
línea que va del pivote
1 0 hacer la sig. cuenta…
1-(0.0)/1= 1
al 1 la contra diagonal
seria la que va del 0 al 0
0 1 -½ -½ ½ 0 Y lo ubicamos en la tabla…
0

23. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten
los pasos hasta que
2 1 1 0 0 1 se completa la
1 0 1 tabla….
1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 0-(0.-1)/2= 0
1 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0

24. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten
los pasos hasta que
2 1 1 0 0 1 se completa la
1 0 1 tabla….
1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 3-(-1.-1)/2= 5/2
1 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2

25. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten
los pasos hasta que
2 1 1 0 0 1 se completa la
1 0 1 tabla….
1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 -2-(-1.-1)/2= -5/2
1 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2 -5/2

26. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten
los pasos hasta que
2 1 1 0 0 1 se completa la
1 0 1 tabla….
1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 0-(-1.1)/2= 1/2
1 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2 -5/2 ½

27. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten
los pasos hasta que
2 1 1 0 0 1 se completa la
1 0 1 tabla….
1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 1-(-1.0)/2= 1
1 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1

28. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten
los pasos hasta que
2 1 1 0 0 1 se completa la
1 0 1 tabla….
1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 0-(0.0)/2= 0
1 0 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1

29. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten
los pasos hasta que
2 1 1 0 0 1 se completa la
1 0 1 tabla….
1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 0-(1.0)/2= 0
1 0 0 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1

30. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten
los pasos hasta que
2 1 1 0 0 1 se completa la
1 0 1 tabla….
1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 1-(-1.0)/2= 1
1 0 1 0 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1

31. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten
los pasos hasta que
2 1 1 0 0 1 se completa la
1 0 1 tabla….
1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 -1-(-1.0)/2= -1
1 0 -1 1 0 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1

32. Método Gauss Jordan.
Una vez completa,
1 0 1 1 0 0 repito los pasos
hasta obtener una
1 2 2 0 1 0 matriz identidad
2 1 1 0 0 1 en la columna A y
la inversa de A en
1 0 1 1 0 0 la columna I…
0 2 -1 -1 1 0 Como puede verse
aquí aun hace falta
0 -1 3 -2 0 1 otro cuadrante
para cumplir con la
1 0 -1 1 0 0 condición…
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1

33. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Una vez completa,
2 1 1 0 0 1 repito los pasos
hasta obtener una
1 0 1 1 0 0 matriz identidad
Elijo mi tercer Y aplico la
en la columna A y
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
la inversa de A en
0 -1 3 0 1 cuadrado al
la columna I…
Divido los resto de los
Como puede verse
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
aquí aun hace falta
su fila por el otro cuadrante
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
para cumplir con la
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1 condición…
los elementos de 1 0
la columna… 1-(-1.0)/5/2= 1
0
0 0 1 -1 1/5 2/5

34. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
Elijo mi tercer Y aplico la
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
0 -1 3 0 1 cuadrado al
Divido los resto de los
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
su fila por el
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
los elementos de 0
la columna…
1 0
0-(-1.0)/5/2= 0
0
0 0 1 -1 1/5 2/5

35. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
Elijo mi tercer Y aplico la
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
0 -1 3 0 1 cuadrado al
Divido los resto de los
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
su fila por el
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
los elementos de 0
la columna…
1 0
1-(-1/2.0)/5/2= 1
1 0
0 0 1 -1 1/5 2/5

36. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
Elijo mi tercer Y aplico la
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
0 -1 3 0 1 cuadrado al
Divido los resto de los
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
su fila por el
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
los elementos de 0
la columna…
1 0
1-(-1/2.0)/5/2= 1
0 1 0
0 0 1 -1 1/5 2/5

37. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
Elijo mi tercer Y aplico la
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
0 -1 3 0 1 cuadrado al
Divido los resto de los
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
su fila por el
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
-1/2-(-1/2.-5/2)/5/2= -1
los elementos de 0
la columna…
1 0
0 1 0 -1
0 0 1 -1 1/5 2/5

38. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
Elijo mi tercer Y aplico la
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
0 -1 3 0 1 cuadrado al
Divido los resto de los
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
su fila por el
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
1/2-(-1/2.1/2)/5/2= 3/5
los elementos de 0
la columna…
1 0
0 1 0 -1 3/5
0 0 1 -1 1/5 2/5

39. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
Elijo mi tercer Y aplico la
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
0 -1 3 0 1 cuadrado al
Divido los resto de los
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
su fila por el
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
0-(-1/2.1)/5/2= 1/5
los elementos de 0
la columna…
1 0
0 1 0 -1 3/5 1/5
0 0 1 -1 1/5 2/5

40. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
Elijo mi tercer Y aplico la
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
0 -1 3 0 1 cuadrado al
Divido los resto de los
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
su fila por el
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
1-(-1.-5/2)/5/2= 0
los elementos de 0
la columna…
1 0 0
0 1 0 -1 3/5 1/5
0 0 1 -1 1/5 2/5

41. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
Elijo mi tercer Y aplico la
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
0 -1 3 0 1 cuadrado al
Divido los resto de los
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
su fila por el
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
0-(1/2.-1)/5/2= 1/5
los elementos de 0
la columna…
1 0 0 1/5
0 1 0 -1 3/5 1/5
0 0 1 -1 1/5 2/5

42. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
Elijo mi tercer Y aplico la
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
0 -1 3 0 1 cuadrado al
Divido los resto de los
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
su fila por el
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
0-(-1.1)/5/2= 2/5
los elementos de 0
la columna…
1 0 0 1/5 2/5
0 1 0 -1 3/5 1/5
0 0 1 -1 1/5 2/5

43. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 0 1
1 0 -1 1 0 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
1 0 0 0 1/5 2/5
 Esta seria nuestra
0 1 0 -1 3/5 1/5 matriz inversa
0 0 1 -1 1/5 2/5

44. Método Gauss Jordan.
Entonces, resulta que la inversa de A es:
0 1/ 5 2 / 5
1 3 / 5 1/ 5
1 1/ 5 2 / 5