Lecctura 2.

análisis no mayor a 3 hojas, además de resolver los ejercicios propuestos concernientes
desde el 3.1 al 3.9 y realizar un diagrama de clasificación de tipos de modelos (vistos en
clase) con definición puntual.
Resumen
Los sistemas de recursos hídricos se caracterizan por múltiples componentes
interdependientes que juntos producen múltiples impactos económicos, ambientales,
ecológicos y sociales.
Palabras clave
Decisión variable Política de asignación Política operativa Sistema de recursos
hídricos Volumen de almacenamiento
Estas palabras clave fueron agregadas por máquina y no por los autores. Este
proceso es experimental y las palabras clave pueden actualizarse a medida que
mejora el algoritmo de aprendizaje.
Los sistemas de recursos hídricos se caracterizan por múltiples componentes
interdependientes que producen múltiples impactos económicos, ambientales,
ecológicos y sociales. Los planificadores y gerentes que trabajan para mejorar el
desempeño de estos sistemas complejos deben identificar y evaluar diseños
alternativos y políticas operativas, comparando su desempeño previsto con las metas
u objetivos deseados. Estas alternativas están definidas por los valores de numerosas
variables de diseño, gestión y política operativa. La optimización restringida junto con
el modelado de simulación es la forma principal que tenemos de identificar los valores
de las variables de decisión desconocidas que lograrán mejor las metas y los objetivos
especificados.
3.1 Introducción
Por lo general, hay muchas opciones diferentes disponibles para quienes planifican y
administran los sistemas de recursos hídricos. No siempre está claro qué conjunto de
decisiones particulares de diseño, administración y políticas operativas darán como
resultado el mejor rendimiento general del sistema. Esa es precisamente la razón por
la que se realiza el modelado, para estimar el desempeño asociado con cualquier
conjunto de decisiones y suposiciones, y para predecir qué tan bien se cumplirán los
diversos objetivos o metas económicos, ambientales, ecosistémicos y sociales o
políticos.
Un criterio importante para la identificación y evaluación del plan es el beneficio
económico o el costo que implicaría un plan si se implementara. Otros criterios pueden
incluir la medida en que un plan cumple con los objetivos ambientales, ecológicos y
sociales. Una vez que se han identificado las medidas (objetivos) de planificación o
gestión del desempeño y varias alternativas generales para lograr los niveles deseados

de estas medidas de desempeño, se pueden desarrollar y usar modelos para ayudar a
identificar planes alternativos específicos que logren mejor esos objetivos.
Algunos objetivos de rendimiento del sistema pueden estar en conflicto y, en tales
casos, los modelos pueden ayudar a identificar las compensaciones eficientes entre
estas medidas contradictorias del rendimiento del sistema. Estas compensaciones
indican qué combinaciones de valores de medidas de rendimiento se pueden obtener a
partir de varios valores de variables de política operativa y diseño de sistemas. Si los
objetivos son los correctos (es decir, son lo que realmente les importa a las partes
interesadas), dicha información de compensación cuantitativa debería ser valiosa
durante el debate sobre qué decisiones tomar (Hipel et al.2015).
Los planes regionales de desarrollo de los recursos hídricos diseñados para lograr
varios objetivos generalmente involucran inversiones en tierra e
infraestructura. Lograr los valores objetivos económicos, ambientales, ecológicos y
sociales deseados a lo largo del tiempo y el espacio puede requerir inversiones en
instalaciones de almacenamiento, tuberías, canales, pozos, bombas, plantas de
tratamiento, diques e instalaciones de generación hidroeléctrica, o de hecho, la
eliminación de algunos de los ellos.
Muchas inversiones de capital pueden resultar en impactos económicos y ecológicos
irreversibles. Una vez que se despeja el bosque en un valle y se reemplaza por un lago
detrás de una presa, es casi imposible restaurar el sitio a su condición original. En
partes del mundo donde las actividades de restauración de cuencas fluviales o
costeras requieren la remoción de estructuras de ingeniería, como en los Everglades
de Florida que se analizan en el Cap. 1 , los ingenieros están aprendiendo cuán difícil y
costoso puede ser ese esfuerzo.
El uso de modelos de planificación no eliminará la posibilidad de cometer errores. Sin
embargo, estos modelos pueden informar. Pueden proporcionar estimaciones de los
diferentes impactos asociados con, digamos, un sistema fluvial natural no regulado y
un sistema fluvial regulado. El primero puede respaldar un ecosistema más saludable
que brinde una serie de servicios de protección contra inundaciones y mejora de la
calidad del agua. Este último puede proporcionar suministros de agua más confiables
y más baratos para los usuarios fuera de la corriente y mayor energía hidroeléctrica
y cierta protección contra al menos pequeñas inundaciones para quienes viven en
tierras propensas a inundaciones. En resumen, los modelos pueden ayudar a las partes
interesadas a evaluar las consecuencias futuras, los beneficios y costos, y una multitud
de otros impactos asociados con planes o políticas de gestión alternativos.
Este capítulo presenta algunos enfoques de modelos matemáticos que se utilizan
comúnmente para estudiar y analizar los sistemas de recursos hídricos. Los enfoques

de modelización se ilustran por su aplicación a algunos problemas de planificación y
gestión de recursos hídricos relativamente sencillos. El propósito aquí es presentar y
comparar algunos métodos de modelado de uso común. Este no es un texto sobre el
estado del arte del modelaje. Los problemas más realistas y más complejos suelen
requerir modelos mucho más grandes y complejos que los presentados en este libro,
pero estos modelos más grandes y complejos a menudo se basan en los principios y
técnicas presentados aquí.
El énfasis aquí está en el arte del desarrollo de modelos: cómo se construye un modelo
que proporcionará la información necesaria para estudiar y abordar problemas
particulares, y varias formas en que los modelos pueden resolverse. Es poco probable
que alguien alguna vez use alguno de los modelos específicos desarrollados en este u
otros capítulos, simplemente porque no resolverán los problemas de ejemplo
específicos utilizados para ilustrar los diferentes enfoques para el desarrollo y la
solución de modelos. Sin embargo, es muy probable que los administradores y
planificadores de los recursos hídricos utilicen los enfoques de modelización y los
métodos de solución presentados en este libro para desarrollar los modelos necesarios
para analizar sus propios problemas particulares.
Los problemas y cuestiones de planificación y gestión de los recursos hídricos que se
utilizan aquí, o cualquier otro que pudiera haberse utilizado para ilustrar el desarrollo
del modelo, pueden ser el núcleo de modelos más complejos que abordan problemas
más complejos en la práctica. En la actualidad, la planificación y gestión de los
recursos hídricos está dominada por el uso de modelos de optimización y simulación. Si
bien el software de computadora está cada vez más disponible para resolver varios
tipos de modelos de optimización y simulación, actualmente no existe ningún software
que construya esos modelos por sí mismos. Qué incluir y qué no incluir y qué valores
de parámetros asumir en modelos de sistemas de recursos hídricos requiere juicio,
experiencia y conocimiento de los problemas particulares que se están abordando, el
sistema que se está modelando y el entorno de toma de decisiones. Entender el
contenido de,
3.1.1 Componentes del modelo
Los modelos matemáticos suelen contener una o más ecuaciones o desigualdades
algebraicas. Estas expresiones incluyen variables cuyos valores se supone que son
conocidos y otras que son desconocidas y por determinar. Las variables a las que se
les asignan valores conocidos generalmente se denominan parámetros . Las variables
que tienen valores desconocidos que se determinarán resolviendo el modelo se
denominan variables de decisión . Los modelos se desarrollan con el propósito principal
de identificar los mejores valores de estos últimos y para determinar qué tan
sensibles son esos valores derivados a los valores asumidos de los parámetros.

Las variables de decisión pueden incluir variables de política operativa y de diseño de
varios componentes del sistema de recursos hídricos. Las variables de diseño pueden
incluir la capacidad de almacenamiento activo y de inundación de los embalses, la
capacidad de generación de energía de las centrales hidroeléctricas, la capacidad de
bombeo de las estaciones de bombeo, la eficiencia de eliminación de desechos de las
plantas de tratamiento de aguas residuales, las dimensiones o capacidades de flujo de
canales y tuberías, las alturas de diques, las hectáreas de un área de riego, los
objetivos para las asignaciones de suministro de agua, etc. Las variables operativas
pueden incluir las descargas de agua de los embalses o las asignaciones de agua a varios
usuarios en el espacio y el tiempo. Las variables de decisión desconocidas también
pueden incluir medidas del rendimiento del sistema, como los beneficios económicos
netos, las concentraciones de contaminantes en sitios y momentos específicos,
Los modelos describen, en términos matemáticos, el sistema que se analiza y las
condiciones que debe satisfacer el sistema. Estas condiciones a menudo se denominan
restricciones. Considere, por ejemplo, un depósito que abastece a varios usuarios de
suministro de agua río abajo. Las condiciones incluidas en un modelo de este reservorio
incluirían la suposición de que el agua fluirá en la dirección de las cabezas inferiores
(es decir, aguas abajo a menos que se bombee aguas arriba), y el volumen de agua
almacenado en un reservorio no puede exceder su capacidad de almacenamiento. Tanto
el volumen de almacenamiento a lo largo del tiempo como la capacidad del depósito
pueden ser desconocidos y deben determinarse. Si la capacidad es conocida o asumida,
entonces se encuentra entre los parámetros conocidos del modelo.
Los valores de los parámetros del modelo, aunque se supone que son conocidos, a
menudo pueden ser inciertos. Las relaciones entre las diversas variables de decisión
y los parámetros del modelo supuestos conocidos (es decir, el modelo en sí) pueden
ser inciertas. En estos casos, los modelos pueden resolverse para una variedad de
condiciones asumidas y valores de parámetros. Esto proporciona una estimación de
cuán importantes son los valores de parámetros inciertos o las estructuras del modelo
inciertas con respecto a la salida del modelo. A esto se le llama análisis de
sensibilidad . Los análisis de sensibilidad se comentarán en el cap. 8 con mucho más
detalle.
Resolver un modelo significa encontrar valores de sus variables de decisión
desconocidas. Los valores de estas variables de decisión pueden definir un plan o
política. También pueden determinar los costos y beneficios o los valores de otras
medidas de desempeño del sistema asociadas con ese plan o política de manejo en
particular. Si bien los componentes de los modelos de optimización y simulación pueden
incluir indicadores de rendimiento del sistema, parámetros y restricciones del modelo,
el proceso de desarrollo y uso del modelo también incluye a las personas. El dibujo que
se muestra en la Fig. 3.1 (y también en el Capítulo 2 ) ilustra a algunas partes

interesadas que están ocupadas estudiando su cuenca hidrográfica, en este caso
quizás con el uso de un modelo de simulación física. (En el Cap. 13 ).
Abrir imagen en nueva ventana
Figura 3.1
Estos interesados tienen interés en cómo se gestiona su cuenca hidrográfica o
fluvial. Aquí utilizan un modelo físico para ayudarles a visualizar y abordar los
problemas de planificación y gestión. Los modelos matemáticos a menudo reemplazan
a los modelos físicos, especialmente para estudios de planificación y gestión.
Ya sea que se utilice un modelo matemático o un modelo físico, una consideración
importante es que para que el ejercicio de modelado tenga algún valor, debe
proporcionar la información deseada y en una forma que las partes interesadas y los
responsables de la toma de decisiones puedan comprender.
3.2 Formulación y selección de planes
Se puede pensar en la formulación del plan como la asignación de valores particulares
a cada una de las variables de decisión relevantes. La selección de planes es el proceso
de evaluar planes alternativos y elegir el que mejor satisfaga un objetivo o conjunto
de objetivos en particular. Los procesos de formulación y selección de planes implican
el modelado y la comunicación entre todas las partes interesadas, como sugiere la
imagen de la figura 3.1 .

Los temas de planificación y gestión que están discutiendo las partes interesadas en
la cuenca ilustrada en la Fig. 3.1 bien podrían incluir asignaciones de aguas
superficiales y subterráneas, operación de embalses, gestión de la calidad del agua y
expansión de la capacidad de infraestructura a lo largo del tiempo.
3.2.1 Formulación del plan
La construcción de modelos para definir planes o políticas alternativos implica una
serie de pasos. La primera es especificar claramente el tema o problema o decisiones
que se deben tomar. ¿Cuáles son los objetivos fundamentales y las posibles
alternativas? Tales alternativas pueden requerir la definición de asignaciones de agua
a varios usuarios de agua, el nivel de tratamiento de aguas residuales necesario para
mantener una calidad de agua deseada en una corriente receptora, las capacidades y
reglas de operación de los reservorios multipropósito y plantas hidroeléctricas, y la
extensión y confiabilidad de la llanura aluvial. protección derivada de diques. Cada una
de estas decisiones puede afectar los criterios u objetivos de rendimiento del
sistema. A menudo, estos objetivos incluyen medidas económicas de desempeño, como
costos y beneficios. También pueden incluir medidas ambientales y sociales no
expresadas en unidades monetarias. 9 ).
Para ilustrar el proceso de formulación de este plan, considere la tarea de diseñar un
tanque que pueda almacenar un volumen fijo, digamos V , de agua. Una vez que se ha
determinado la forma deseada, la tarea es construir un modelo que pueda determinar
los valores de todas las variables de diseño y el costo resultante. Los diferentes
diseños dan como resultado diferentes tamaños y cantidades de materiales y, por lo
tanto, diferentes costos. Suponga que el propósito del modelo es definir el conjunto
de valores de la variable de diseño que los resultados en el costo total mínimo, para
una gama de valores del volumen requerido, V .
El modelo de este problema debe relacionar de alguna manera los valores desconocidos
de la variable de diseño con el costo del tanque. Suponga, por ejemplo, una forma de
tanque rectangular. Las variables de diseño desconocidos son la longitud tanque, L ,
anchura, W , y la altura, H . Estas son las variables de decisión desconocidas. El
objetivo es encontrar la combinación de valores L , W y H que minimice el costo total
de proporcionar una capacidad de tanque de al menos V unidades de agua. Este
volumen V será uno de los parámetros del modelo. Se supone que su valor es conocido
aunque, de hecho, puede ser desconocido y depender en parte de su costo. Pero por
ahora suponga que se conoce V.
El costo del tanque será la suma de los costos de la base, los lados y la parte
superior. Estos costos dependerán del área de la base, los lados y la parte
superior. Suponga que conocemos los costos promedio por unidad de área de la base,

los lados y la parte superior del tanque. Estos costos unitarios promedio de la base,
los lados y la parte superior probablemente serán diferentes. Ellos pueden ser
denotados como C de base , C lado , y C la parte superior , respectivamente. Estos costos
unitarios junto con el volumen del tanque, V , son los parámetros del
modelo. Si L , W y Hse miden en metros, luego las áreas se expresarán en unidades de
metros cuadrados y el volumen se expresará en unidades de metros cúbicos. Los
costos unitarios promedio se expresarán en unidades monetarias por metro cuadrado.
El paso final de la construcción del modelo es especificar todas las relaciones entre
los parámetros del modelo y las variables de decisión. Esto incluye definir la función
objetivo (costo) (en este caso solo una variable desconocida, costo ) y todas las
condiciones que deben cumplirse para lograr ese objetivo. A menudo es útil establecer
primero estas relaciones en palabras. El resultado es un modelo de palabras. Una vez
que está escrito, la notación matemática se puede definir y utilizar para convertir el
modelo de palabras en un modelo matemático.
El modelo de palabras para este problema de diseño de tanques es minimizar el costo
total donde:
 El costo total es igual a la suma de los costos de la base, los lados y la parte superior.
 El costo de los lados es el costo por unidad de área de los lados multiplicado por el
área total del lado.
 El área lateral total es el doble de los productos de largo por alto y ancho por alto.
 El costo de la base es el costo por unidad de área de la base multiplicado por el área
de la base total.
 El costo de la parte superior es el costo por unidad de área de la parte superior
multiplicado por el área total de la parte superior.
 El área de la parte superior y la base es el producto de la longitud por el ancho.
 El volumen del tanque debe ser al menos igual a la capacidad de volumen requerida.
 El volumen del tanque es el producto de la longitud, el ancho y la altura del tanque.
Convertir cada una de las condiciones anteriores en expresiones matemáticas
utilizando la notación definida anteriormente e inventar una nueva notación cuando
sea necesario da como resultado:
 El costo total es igual a la suma de los costos de la base, los lados y la parte superior.
Costo = sidecost + basecost + topcost
 El costo de los lados es el costo por unidad de área de los lados multiplicado por el
área total del lado.
sidecost = lado C (área lateral )

 El área lateral total es el doble de los productos de largo por alto y ancho por alto.
área lateral = 2 ( LH + WH )
 El costo de la base es el costo por unidad de área de la base multiplicado por el área
de la base total.
costo base = C base (área base )
 El costo de la parte superior es el costo por unidad de área de la parte superior
multiplicado por el área total de la parte superior.
topcost = C top (toparea)
 El área de la parte superior y la base es el producto de la longitud por el ancho.
toparea = basearea = LW
 El volumen del tanque debe ser al menos igual a la capacidad de volumen requerida.
volumen del tanque ≥ V
 El volumen del tanque es el producto de la longitud, el ancho y la altura del tanque.
volumen del tanque = LWH
Combinando algunas de las condiciones anteriores, un modelo de optimización
matemática se puede escribir como:
MinimizarCo s tMinimizarCost
(3,1)
Sujeto a:
Costo =(Cbase+Ccima) ( L W) + 2 (Clado) ( L H+ WH)Costo=(Cbase+Ccima)(LW)+2(Clado
)(LH+WH)
(3,2)
L WH≥ VLWH≥V
(3,3)
La ecuación 3.3 permite que el volumen del tanque sea mayor que el
requerido. Mientras que esto está permitido, costará más si la capacidad del depósito
es mayor que V , y por tanto la solución de menor costo de este modelo seguramente
demostrar que el producto LWH será igual al volumen requerido V . En la práctica, sin
embargo, puede ser práctico, legal, y / o razones de seguridad por qué las decisiones
con respecto a L , W , y H puede resultar en una capacidad que excede V .

En este modelo, las variables de decisión desconocidas incluyen Costo , L , W y H
La solución de menor costo (usando los métodos discutidos en el próximo capítulo) es
W= L = [ 2CladoV/(Cbase+Ccima)]1 / 3W=L=[2CladoV/(Cbase+Ccima)]1/3
(3.4)
y
H= V/[ 2CladoV/(Cbase+Ccima)]2 / 3H=V/[2CladoV/(Cbase+Ccima)]2/3
(3,5)
o
H=V1 / 3[ (Cbase+Ccima)/2Clado]2 / 3H=V1/3[(Cbase+Ccima)/2Clado]2/3
(3,6)
El ejercicio de modelado no debería terminar aquí. Si existe alguna duda sobre el valor
de cualquiera de los parámetros, se puede realizar un análisis de sensibilidad sobre
esos parámetros o supuestos inciertos. En general, estos supuestos podrían incluir los
valores de los parámetros de costo (por ejemplo, los costos por unidad de área) así
como las relaciones expresadas en el modelo (es decir, el modelo en sí). ¿Cuánto cambia
el costo total con respecto a un cambio en cualquiera de los parámetros de costo o
con el volumen V requerido ? ¿Cuánto cambia cualquier variable de decisión con
respecto a los cambios en esos valores de parámetro? ¿Cuál es el cambio porcentual
en el valor de una variable de decisión dado un cambio porcentual unitario en algún
valor de parámetro (lo que los economistas llaman elasticidad )?
Si de hecho los valores de la variable de decisión no cambian significativamente con
respecto a un cambio en un valor de parámetro incierto, no hay necesidad de dedicar
más esfuerzo a reducir esa incertidumbre. Todo el tiempo y el dinero disponible para
estudios posteriores deben destinarse a los parámetros o supuestos que influyen
sustancialmente en los valores de las variables de decisión del modelo.
Esta capacidad de los modelos para ayudar a identificar qué datos o supuestos son
importantes y cuáles no, puede orientar los esfuerzos de monitoreo y recolección de
datos. Este es un atributo beneficioso del modelado que a menudo se pasa por alto.
Continuando con el ejemplo del tanque, después de determinar o estimar todos los
valores de los parámetros del modelo y luego resolver el modelo para obtener los
valores rentables de L , W y H , ahora tenemos un diseño. Es solo uno de los varios
diseños que podrían proponerse. Otro diseño podría ser para un tanque cilíndrico que
tenga un radio y una altura, así como variables de decisión de costos. Para el mismo
volumen V y costos de área unitaria, encontraríamos que el costo total es menor,
simplemente porque las áreas de la base, el costado y la parte superior son menores.

En la discusión anterior , se ha supuesto que se conoce la capacidad de volumen
requerida, V. En realidad, también puede ser una variable de decisión, y lo que sería
de mayor valor para los tomadores de decisiones es conocer la relación entre varios
valores supuestos de V y sus respectivos costos mínimos. Tal función un coste puede
ser definido por resolver el modelo (que se define por las ecuaciones. 3.1 , 3.2 y 3.3 )
para varios valores de V .
Cualquiera que sea el resultado final de nuestros esfuerzos de modelado, puede haber
otras consideraciones o criterios que no estén expresados o incluidos en el modelo que
podrían ser importantes para los responsables de la selección del plan (diseño del
tanque).
3.2.2 Selección del plan
Existen varios enfoques para encontrar el "mejor" plan o el mejor conjunto de valores
de variables de decisión que satisfagan un objetivo o meta. Por ensayo y error, se
pueden identificar planes alternativos, evaluar el desempeño de cada plan y
seleccionar el plan particular cuyo desempeño se juzga mejor que los demás. Este
proceso podría incluir una simulación sistemática de una gama de posibles soluciones
en la búsqueda de la mejor. Cuando hay una gran cantidad de alternativas factibles,
es decir, muchas variables de decisión y muchos valores posibles para cada una de
ellas, puede que ya no sea práctico identificar y simular todas las combinaciones
factibles de valores de variables de decisión, o incluso un pequeño porcentaje de ellas.
. Simplemente tomaría demasiado tiempo. En este caso, a menudo es conveniente
utilizar un procedimiento de optimización.
Las ecuaciones 3.1 - 3.3 representan un problema de optimización. Hay un número
infinito de diseños de tanques factibles, es decir, valores alternativos
de L , W y H que satisfacen el requisito de volumen. Nuestro trabajo es encontrar el
que tenga el menor costo. Podemos hacer esto usando un método de optimización
matemática. Los métodos de optimización matemática están diseñados para hacer más
eficiente esta búsqueda de la mejor solución (o mejores soluciones). Los métodos de
optimización se utilizan para identificar aquellos valores de las variables de decisión
que satisfacen los objetivos y restricciones especificados sin requerir una
enumeración completa.
Si bien los modelos de optimización pueden ayudar a identificar los valores de las
variables de decisión que producirán el mejor plan directamente, se basan en todos
los supuestos incorporados en el modelo. A menudo, estas suposiciones son
limitantes. En estos casos, las soluciones resultantes de los modelos de optimización
deben analizarse con más detalle, quizás a través de métodos de simulación, para
mejorar los valores de las variables de decisión y proporcionar estimaciones más

precisas de los impactos asociados con esos valores de las variables de decisión. En
estas situaciones, los modelos de optimización se utilizan para filtrar las soluciones
claramente inferiores, no para encontrar la mejor. En el próximo capítulo se analizará
cómo se puede realizar el cribado utilizando modelos de optimización.
Los valores que pueden asumir las variables de decisión rara vez son ilimitados. Por lo
general, deben satisfacerse varias relaciones funcionales entre estas variables. Esto
es lo que se expresa en la restricción Eq. 3.3. Por ejemplo, el tanque debe poder
contener una determinada cantidad de agua. En un problema de asignación de agua, el
agua asignada y consumida por completo por un usuario no puede asignarse
simultáneamente o posteriormente a otro usuario. Los depósitos de almacenamiento
no pueden almacenar más agua que su capacidad máxima de almacenamiento. Las
restricciones tecnológicas pueden limitar las capacidades y tamaños de tuberías,
generadores y bombas a los disponibles comercialmente. Las concentraciones de
calidad del agua no deben exceder las especificadas por los estándares o regulaciones
de calidad del agua. Puede haber fondos limitados disponibles para gastar en
proyectos de infraestructura o desarrollo de recursos hídricos. Estos son algunos
ejemplos de condiciones o restricciones físicas, legales y financieras que pueden
restringir los rangos de valores de las variables de decisión en la solución de un modelo.
Las ecuaciones o desigualdades generalmente pueden expresar cualquier restricción
física, económica, legal o social sobre los valores de las variables de decisión. Las
restricciones también pueden simplemente definir relaciones entre variables de
decisión. Por ejemplo, Eq. 3.2 arriba define una nueva variable de decisión
denominada Costo en función de otras variables de decisión y parámetros del
modelo. En general, las restricciones describen en términos matemáticos el sistema
que se analiza. Definen los componentes del sistema y sus interrelaciones, y los rangos
permisibles de valores de las variables de decisión, ya sea directa o indirectamente.
Por lo general, existen muchas más variables de decisión que restricciones y, por lo
tanto, si existe alguna solución factible, puede haber muchas de esas soluciones que
satisfagan todas las restricciones. La existencia de muchas alternativas viables es una
característica de la mayoría de los problemas de planificación de los sistemas de
recursos hídricos. De hecho, es una característica de la mayoría de los problemas de
diseño y operación de ingeniería. La solución o plan factible particular que satisface la
función objetivo, es decir, que la maximiza o minimiza, se denomina óptima . Es la
solución óptima del modelo matemático, pero ningún responsable de la toma de
decisiones puede considerarla necesariamente como óptima. Lo que es óptimo con
respecto a un modelo puede no serlo con respecto a aquellos involucrados en un
proceso de planificación o toma de decisiones. Repetir lo escrito en el Cap. 2 , los
modelos se utilizan para proporcionar información (información útil, se espera), al

proceso de toma de decisiones. Las soluciones modelo no reemplazan los juicios de las
personas involucradas en el proceso de toma de decisiones.
3.3 Desarrollo del modelo conceptual
Antes de la selección o desarrollo de un modelo cuantitativo, a menudo es útil
desarrollar uno conceptual. Los modelos conceptuales son representaciones no
cuantitativas de un sistema. Los componentes del sistema y sus interacciones se
definen a menudo mediante diagramas similares a la figura 3.2 .
Figura 3.2
Un esquema de un modelo conceptual sin su detalle (es decir, qué representa
exactamente cada componente o cuadro), que muestra los vínculos que representan
las interacciones entre los componentes y entre las decisiones de gestión y los
impactos específicos del sistema.

La figura 3.2 ilustra la forma de un modelo conceptual. Este modelo conceptual de
ejemplo define las relaciones entre lo que pueden hacer los administradores de la
tierra y el agua y los eventuales impactos ecológicos de esas acciones. Una vez que un
modelo conceptual ha sido cuantificado (expresado en términos matemáticos), se
convierte en un modelo matemático. Las ecuaciones del modelo suelen incluir variables
cuyos valores se desconocen y pueden variar, y parámetros cuyos valores se suponen
conocidos.
Es necesario determinar los valores de los parámetros del modelo. La calibración del
modelo implica encontrar los mejores valores para estos parámetros. La calibración se
basa en comparaciones de los resultados del modelo con los datos observados. En
ocasiones, se pueden utilizar métodos de optimización para identificar los valores de
los parámetros del modelo. A esto se le llama calibración o identificación del
modelo. (En el siguiente capítulo se presentan ilustraciones del uso de la optimización
para estimar los valores de los parámetros del modelo). El análisis de sensibilidad
puede servir para identificar los impactos de los valores de los parámetros inciertos
y mostrar qué valores de los parámetros influyen sustancialmente en los resultados o
las soluciones del modelo. Después de la calibración, las incertidumbres restantes en
las predicciones del modelo pueden cuantificarse en un análisis de incertidumbre como
se describe en el Cap. 8 .
Además de estar calibrados, los modelos de simulación también deben validarse o
verificarse. En el proceso de validación o verificación, los resultados del modelo se
comparan con un conjunto independiente de observaciones medidas que no se
utilizaron en la calibración. Esta comparación se hace para determinar si el modelo
describe o no el comportamiento del sistema con suficiente precisión.
3.4 Simulación y optimización
El enfoque de modelado del diseño de tanques discutido en la sección anterior se
centró en el uso de métodos de optimización para identificar los valores de las
variables de diseño preferidas. Se pueden utilizar métodos de optimización similares
para identificar los valores de las variables de diseño y las políticas operativas
preferidas para el control de la escorrentía de aguas pluviales urbanas o los sistemas
de múltiples depósitos, dados varios supuestos sobre los valores de los parámetros y
los objetivos de diseño y operación. Una vez que se han identificado estos diseños y
políticas operativas preferidas, a menos que haya motivos para creer que una
alternativa en particular es realmente la mejor y no necesita más análisis, cada una de
estas alternativas preferidas puede evaluarse más a fondo con la ayuda de modelos
de simulación más detallados y sólidos. .

Los modelos de simulación abordan " ¿y si”Preguntas: ¿Qué sucederá probablemente
con el tiempo en uno o más lugares específicos si se implementa un diseño y / o una
política operativa en particular? Los modelos de simulación no están limitados por
muchos de los supuestos incorporados en los modelos de optimización. Por ejemplo, las
entradas a los modelos de simulación pueden incluir una serie de tiempo mucho más
larga de datos hidrológicos, económicos y ambientales, como precipitaciones o
caudales, demandas de suministro de agua, cargas contaminantes, etc., de lo que
probablemente se incluiría en un modelo de optimización. Los resultados resultantes
pueden identificar mejor las variaciones de los valores de los indicadores de
desempeño de múltiples sistemas: es decir, los múltiples impactos hidrológicos,
ecológicos, económicos, ambientales y sociales que podrían observarse a lo largo del
tiempo, dado cualquier diseño de sistema y política operativa en particular.
La simulación de múltiples conjuntos de valores que definen los diseños y las políticas
operativas de un sistema de recursos hídricos puede llevar mucho tiempo. Considere,
por ejemplo, 30 variables de capacidad de infraestructura cuyos valores se van a
determinar. Incluso si solo se suponen dos valores posibles para cada una de las 30
variables (por ejemplo, que existan en una capacidad predeterminada o no), el número
de combinaciones que podrían simularse asciende a 2 30
o más de 10 9
. Simular y
comparar incluso el 1% de estos miles de millones en un minuto por simulación equivale
a más de veinte años, de forma continua, 24 horas al día. La mayoría de los modelos
de simulación de sistemas de recursos hídricos contienen muchas más variables, cada
una con un rango más amplio de valores factibles, y son mucho más complejos que este
simple ejemplo de 30 variables binarias. Matemáticamente, si no en la realidad, podría
haber una combinación infinita de valores factibles para cada una de las variables de
decisión.
La simulación funciona bien cuando hay relativamente pocas alternativas para evaluar,
no cuando hay un gran número de ellas. El proceso de prueba y error de la simulación
puede llevar mucho tiempo. Un papel importante de los métodos de optimización es
reducir el número de alternativas para los análisis de simulación. Sin embargo, si solo
se va a utilizar un método de análisis para evaluar un sistema complejo de recursos
hídricos, la simulación junto con el juicio humano sobre qué alternativas simular suele
ser el método de elección.
La simulación puede basarse en eventos discretos o en períodos de tiempo
discretos. La mayoría de los modelos de simulación de sistemas de recursos hídricos
están diseñados para simular una secuencia de eventos durante varios períodos de
tiempo discretos. En cada período de tiempo discreto, el modelo de simulación
convierte todas las condiciones iniciales y las entradas en salidas. La duración de cada
período depende en parte del sistema particular que se simule y de las preguntas que
se aborden.

3.4.1 Simulación de un sistema simple de recursos hídricos
Considere el caso de un reservorio potencial que libera agua a los usuarios río abajo
(Fig. 3.3 ). Un reservorio y su política operativa pueden aumentar los beneficios que
cada usuario recibe a lo largo del tiempo al proporcionar mayores caudales durante
períodos de caudales que de otro modo serían bajos en relación con las demandas del
usuario. Es de interés si los mayores beneficios que obtienen los usuarios de agua de
un mayor y más confiable flujo aguas abajo compensarán los costos del reservorio.
Figura 3.3
Modelo conceptual de un sistema de asignación de agua de embalse a simular
Antes de que se pueda simular este sistema, se debe definir la capacidad de
almacenamiento activa del depósito y la cantidad de agua que se va a liberar según el
volumen de almacenamiento y el período de tiempo. En otras palabras, hay que definir
la política operativa del embalse. Además, también se debe definir la política de
asignación: qué cantidad de agua liberada asignar a cada usuario y al río aguas abajo
de los usuarios.
Hay literalmente un número infinito de posibles valores de variables de política
operativa y de diseño. La siguiente sección abordará el problema de examinar estas
alternativas para encontrar aquellos valores que sean más dignos de estudio mediante
simulación.
Para esta simple ilustración, suponga que las políticas de operación y asignación son
las que se muestran en la figura 3.4 . También para simplificar, suponga que se aplican
a cada período de tiempo discreto. La política de operación del embalse, que se
muestra como una línea roja en la parte superior de la Fig. 3.4 , intenta cumplir con
un objetivo de liberación. Si no hay suficiente agua disponible, toda el agua se liberará

en el período de tiempo. Si el flujo de entrada excede el flujo objetivo y el depósito
está lleno, ocurrirá un derrame.
Figura 3.4

Política de operación del embalse que define la liberación del embalse que se realizará
en función del volumen de almacenamiento actual y el flujo de entrada actual y la
política de asignación para el caudal del río aguas abajo del embalse. La zona azul en
la política de liberación del reservorio indica la zona de liberaciones factibles. Es
físicamente imposible realizar lanzamientos representados por puntos fuera de
esa zona azul.
Esta política operativa a veces se denomina política operativa "estándar". Por lo
general, no se sigue en la práctica. La mayoría de los operadores, como de hecho lo
especifican la mayoría de las políticas de operación de los embalses, reducirán las
emisiones en épocas de sequía en un intento de ahorrar algo de agua en el embalse
para futuras emisiones en caso de un período prolongado de entradas bajas. A esto se
le llama política de cobertura. Cualquier política de liberación de yacimientos, incluida
una política de cobertura, se puede definir dentro de la parte azul del gráfico de
política de liberación que se muestra en la Fig. 3.4 . La línea de trazos y puntos de la
figura 3.4 es una de esas funciones de cobertura. Una vez definida, se puede simular
cualquier política operativa de embalse.
El proceso de simulación para el sistema de tres usuarios se muestra en la
Fig. 3.5 . Procede de un período de tiempo al siguiente. El flujo de entrada del
reservorio, obtenido de una base de datos, se agrega al volumen de almacenamiento
existente y se determina una liberación con base en la política de liberación (figura
superior 3.4 ). Una vez que se conoce la liberación, se calcula el volumen de
almacenamiento final y este se convierte en el volumen inicial para el siguiente período
de tiempo de simulación. Luego, la descarga del embalse se asigna a los tres usuarios
río abajo y al río río abajo de esos usuarios, según lo define la política de asignación
(figura 3.4 inferior ). Los beneficios resultantes se pueden calcular y almacenar en
una base de datos de salida.

Figura 3.5
Diagrama de flujo del proceso de simulación del sistema de asignación de usuarios del
yacimiento. La simulación termina después de un número predefinido de pasos de
tiempo de simulación.
Los datos adicionales, incluidos los volúmenes de almacenamiento, las versiones y las
asignaciones en sí, también se pueden almacenar en la base de datos de salida, según
se desee. El proceso de simulación continúa durante la ejecución de la
simulación. Luego, los datos de salida se pueden resumir para una comparación
posterior con otros resultados de simulación basados en otras capacidades de
reservorio, políticas de operación y / o políticas de asignación.
No sería muy difícil escribir un programa de computadora para realizar esta
simulación. De hecho, se puede hacer en una hoja de cálculo. Sin embargo, por fácil
que sea para cualquiera que esté familiarizado con la programación de computadoras
o las hojas de cálculo, no se puede esperar que sea fácil para muchos planificadores y
administradores de recursos hídricos que no realizan este tipo de trabajo de manera
regular. Sin embargo, es posible que deseen realizar una simulación de su sistema
particular y hacerlo de una manera que facilite cambios en muchos de sus
supuestos. Los programas de computadora capaces de simular una amplia variedad de

sistemas de recursos hídricos están cada vez más disponibles. Los programas de
simulación junto con sus interfaces que facilitan la entrada y edición de datos y la
visualización de datos de salida se denominan típicamente sistemas de apoyo a la toma
de decisiones. Sus datos de entrada definen los componentes del sistema de recursos
hídricos y su configuración. Los insumos también incluyen datos hidrológicos y datos
de política operativa y de diseño. Estos programas de simulación genéricos son capaces
de simular flujos de agua superficial y subterránea, volúmenes de almacenamiento y
calidades bajo una variedad de diseños de infraestructura de sistemas y políticas
operativas.
3.4.2 Definición de qué simular
Antes de que se pueda simular el sistema simple que se muestra en la Fig. 3.3 ,
es necesario definir el diseño y la política operativa del sistema, es decir, la
información que se muestra en la Fig. 3.4 . Una forma de hacerlo es utilizar la
optimización. La optimización está impulsada por una función objetiva. Suponga que se
ha decidido una medida general del rendimiento del sistema y que se puede expresar
como una función de las variables de decisión. Estas variables de decisión incluyen
toda la información de la Fig. 3.3 , a saber, la capacidad del reservorio y las decisiones
de almacenamiento y liberación del reservorio y de asignación de usuarios de agua en
cada período de tiempo. Son de interés los valores de estas variables de decisión que
alcanzan el nivel más alto de rendimiento del sistema. El uso de un modelo de
optimización ayudará a definir esos valores variables.
Expresado en palabras, el modelo de optimización se desarrollará y utilizará para
identificar los valores de las variables de decisión que maximizan el rendimiento del
sistema. Sea B ( K , S , R , A ) la medida de desempeño general del sistema, en función
de la capacidad del yacimiento K , y todos los volúmenes de almacenamiento
iniciales, S ( t ), liberaciones, R ( t ) y asignaciones de agua a usuarios i , A ( i , t ), en
cada período de tiempo t para un total de Tperíodos de tiempo. Por tanto, el objetivo
es
maximizarB( K,SS,RR ,AA )maximizarB(K,SS,RR,AA)
(3,7)
mientras se asegura de que se mantenga un balance de masa de agua en el depósito a
lo largo del tiempo.
S( t ) + Entrada ( t ) - R ( t )= S( t + 1 )porcadaperíodot( yperíodoT+ 1 = 1 )S(t)+Afluen
cia(t)-R(t)=S(t+1)porcadaperíodot(yperíodoT+1=1)
(3,8)
Estas ecuaciones de balance de masa definen la relación entre los valores del volumen
de almacenamiento inicial, S ( t ) y final, S ( t + 1) en cada período t , y equiparan el

valor de almacenamiento final en cada período con el valor inicial en el período
siguiente. Finalmente, asume que todo el proceso de simulación se repite cada T años.
El siguiente conjunto de restricciones asegura que los volúmenes de
almacenamiento, S ( t ), no excedan la capacidad de almacenamiento del reservorio K y
que las asignaciones, A ( i , t ), a los tres usuarios de agua i no excedan la liberación
del reservorio, R ( t ), menos la cantidad que permanece en la corriente, Q ( t ).
S (t)≤Kporcadaperíodot .S(t)≤Kporcadaperíodot.
(3,9)
A ( 1 , t ) + A ( 2 , t ) + A ( 3 , t ) ≤ R ( t ) - Q ( t )porcadaperíodot .A(1,t)+A(2,t)+A(3,t)
≤R(t)-Q(t)porcadaperíodot.
(3,10)
Este simple ejemplo ignora muchos de los detalles que se deben considerar al modelar
los reservorios y los usuarios del agua, y muchos de estos detalles se discutirán y
modelarán en capítulos posteriores. Pero por ahora, el modelo es suficiente para
encontrar valores para cada variable de decisión que se muestra en la parte superior
de la figura 3.4 . Las políticas de asignación que se muestran en la parte inferior de
la figura 3.4 se pueden obtener resolviendo un modelo de optimización de período
único separado que contenga solo los beneficios de asignación como objetivo, B ( A ),
y la restricción 3.10 para un período único, y varios valores de el agua
disponible, R - Q , asumiendo los beneficios, B ( A), no cambian con el tiempo.
MaximizarB ( A ( 1 ) , A ( 2 ) , A ( 3 ) )MaximizarB(A(1),A(2),A(3))
(3,11)
Sujeto a:
A ( 1 ) + A ( 2 ) + A ( 3 ) ≤ R - QporvariosvaloresdeR ,dadoQ .A(1)+A(2)+A(3)≤R-
QporvariosvaloresdeR,dadoQ.
(3,12)
3.4.3 Simulación versus optimización
A diferencia de los modelos de simulación, las soluciones de los modelos de
optimización se basan en funciones objetivas que deben maximizarse o minimizarse. La
función objetivo y las restricciones de un modelo de optimización contienen variables
de decisión que se desconocen y parámetros cuyos valores se suponen conocidos. Las
restricciones se expresan como ecuaciones y desigualdades. El modelo de tanque
(ecuaciones 3.1 , 3.2 y 3.3 ) es un ejemplo de un modelo de optimización. También lo
es el modelo de asignación de agua de embalse, Ecs. 3.7 - 3.10 y el modelo de
asignación de período único Ecs. 3.11 y 3.12 .
La solución de un modelo de optimización, si existe, contiene los valores de todas las
variables de decisión desconocidas. Es matemáticamente óptimo porque los valores de

las variables de decisión satisfacen todas las restricciones y maximizan o minimizan
una función objetivo. Esta solución "óptima" se basa, por supuesto, en los valores
asumidos de los parámetros del modelo, la función objetivo elegida y la estructura del
modelo en sí. En el mejor de los casos, estas suposiciones solo pueden aproximarse a
la realidad.
Las suposiciones hechas para permitir la solución del modelo mediante procedimientos
de solución de optimización (algoritmos), pueden justificar una simulación más
detallada y realista para verificar y mejorar cualquier solución obtenida de esa
optimización. Si bien los resultados de un modelo de simulación pueden ser más
realistas, tanto los modelos de optimización como los de simulación son aproximaciones
del sistema real que se está modelando. La solución óptima de cualquier modelo es
óptima solo con respecto al modelo particular , no necesariamente con respecto al
sistema real. Es importante darse cuenta de este significado limitado de la palabra
“óptimo”, un término que se encuentra comúnmente en artículos publicados por
analistas, planificadores e ingenieros de recursos hídricos y otros sistemas.
Figura 3.6 ilustra las amplias diferencias entre simulación y optimización. Los
modelos de optimización necesitan expresiones explícitas de objetivos. Los modelos
de simulación no lo hacen. La simulación simplemente aborda situaciones hipotéticas:
lo que puede suceder si se asume un escenario en particular o si se toma una decisión
en particular. Los usuarios de modelos de simulación deben especificar los valores de
las variables de decisión de diseño y operación antes de que se pueda realizar una
simulación. Una vez que se definen estos valores de todas las variables de decisión, la
simulación puede proporcionar estimaciones más precisas de los impactos que pueden
resultar de esas decisiones.

Figura 3.6
Distinguir entre simulación y modelado de optimización. La simulación aborda
preguntas de "qué pasaría si"; la optimización puede abordar cuestiones de "qué
debería ser". Ambos tipos de modelos se utilizan normalmente en estudios de
planificación y gestión de recursos hídricos.
Si bien la optimización nos dirá qué debemos hacer, cuál es la mejor decisión, esa
solución a menudo se basa en muchas suposiciones limitantes. Debido a esto,
necesitamos utilizar la optimización no como una forma de encontrar la mejor solución,
sino para definir un número relativamente pequeño de buenas alternativas que luego
pueden ser probadas, evaluadas y mejoradas mediante simulaciones más
detalladas. Este proceso de uso de la optimización para reducir la gran cantidad de
planes y políticas a unos pocos que luego pueden simularse y evaluarse mejor a menudo
se denomina selección preliminar .
3.5 Conclusiones
Este capítulo ha revisado algunos tipos básicos de modelos y ha presentado pautas
para su uso. Los modelos genéricos para análisis de sistemas de recursos hídricos
están cada vez más disponibles, lo que evita que muchas organizaciones tengan que
desarrollar sus propios modelos individuales. Si bien muchos lectores de este libro
pueden involucrarse en la redacción de sus propios modelos, la mayoría de los
involucrados en la planificación y gestión de los recursos hídricos utilizarán modelos
existentes y analizarán y presentarán sus resultados. La información proporcionada
en este libro está destinada a ayudar a quienes deseen desarrollar sus habilidades de

modelado. Dichas habilidades serán útiles para aquellos involucrados en las actividades
de planificación y gestión de sistemas de recursos hídricos. Tales habilidades pueden
ser útiles incluso para aquellos que se espera que supervisen o evalúen los resultados
del modelo de otros (por ejemplo, de varias Naciones Unidas, Banco Mundial,
Ejercicios
1. 3.1
Resuma brevemente por qué se necesitan múltiples disciplinas para gestionar de manera
eficiente y eficaz los recursos hídricos en las principales cuencas fluviales, o incluso en
las cuencas hidrográficas locales.
2. 3.2
Describa en una página o dos cuáles son algunos de los problemas de gestión del agua en
la región donde vive.
3. 3.3
Definir gestión adaptativa, modelado de visión compartida y sostenibilidad.
4. 3.4
Distinga lo que hace un gerente de lo que hace un analista (modelador).
5. 3,5
Identificar algunos problemas típicos o comunes de planificación o gestión de los
recursos hídricos que sean adecuados para el análisis utilizando técnicas de análisis de
sistemas cuantitativos.
6. 3.6
Considere las siguientes cinco alternativas para la producción de energía (10 3
kwh /
día) y suministros de riego (10 6
m 3
/ mes):
Alternativa Producción de energía Suministro de riego
A 22 20
B 10 35
C 20 32
D 12 21
mi 6 25
¿Qué alternativa sería la mejor en tu opinión y por qué? ¿Por qué un responsable de la
toma de decisiones podría seleccionar la alternativa E incluso dándose cuenta de que

existen otras alternativas que pueden proporcionar más energía hidroeléctrica y
suministro de riego?
7. 3,7
Defina un modelo similar a las Ecs. 3.1 - 3.3 para encontrar las dimensiones de un tanque
cilíndrico que minimiza el costo total de almacenar un volumen específico de
agua. ¿Cuáles son las variables de decisión desconocidas? ¿Cuáles son los parámetros
del modelo? Desarrolle un enfoque iterativo para resolver este modelo.
8. 3.8
Distinga brevemente entre simulación y optimización.
9. 3.9
Considere un tanque, un lago o embalse o un acuífero que tenga entradas y salidas como
se muestra en el gráfico a continuación.
1. (a)
¿Cuándo fue la afluencia sus valores máximo y mínimo?
2. (B)
¿Cuándo fue la salida su valor mínimo?
3. (C)
¿Cuándo fue el volumen de almacenamiento su valor máximo?
4. (D)
¿Cuándo fue el volumen de almacenamiento su valor mínimo?
5. (mi)

Escriba una ecuación de balance de masa para la serie temporal de volúmenes de
almacenamiento asumiendo entradas y salidas constantes durante cada período de
tiempo.

Lecctura 2.

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