Este documento presenta un libro de texto para el noveno grado de educación secundaria en Nicaragua. Contiene 7 unidades sobre temas de matemáticas como estadística, números reales, álgebra, polinomios, sistemas de ecuaciones, geometría y funciones. Explica los contenidos de cada unidad y cómo está estructurado el libro, con columnas para historia y curiosidades matemáticas.

1. SERIE EDUCATIVA:
“EDUCACIÓN GRATUITA Y DE CALIDAD, DERECHO HUMANO
FUNDAMENTAL DE LAS Y LOS NICARAGÜENSES”
Este texto es propiedad del Ministerio de Educación (MINED), de la República de Nicaragua.
Se prohíbe su venta y reproducción parcial o total.
Matemática
Educación Secundaria
Matemática 9GRADO
9Educación Secundaria GRADO
h
g
r
Programa de Apoyo al Sector de Educación en Nicaragua
P R O S E N
REPÚBLICA DE
NICARAGUA

2. Coordinación General, Revisión y Asesoría Técnica
Profesora María Elsa Guillén
Profesora Rosalía Ríos Rivas
Autor
Profesor Enrique Pérez Ávalos
Revisión Técnica General
Profesora Rosalía Ríos Rivas
Revisión y Asesoría Técnica Científica
Profesor Humberto Antonio Jarquín López
Profesor Francisco Emilio Díaz Vega
Profesor Primitivo Herrera Herrera
Sociedad Matemática de Nicaragua
Diseño y Diagramación
Ramón Nonnato Morales
Róger Alberto Romero
Miguel Ángel Mendieta Rostrán
con la colaboración de Andrea Ráudez Irías
Ilustración
Róger Alberto Romero
Fuente de Financiamiento
PASEN I - Recursos del Tesoro - PROSEN
Agradecemos los valiosos aportes de la Sociedad Matemática de Nicaragua y de los docentes
durante el proceso de validación.
Primera Edición___________
© Todos los derechos son reservados al Ministerio de Educación (MINED), de la República de
Nicaragua.
Este texto es propiedad del Ministerio de Educación (MINED) , de la República de Nicaragua.
Se prohíbe su venta y reproducción total o parcial.
«La presente publicación ha sido reproducida con el apoyo de la Unión Europea a través del
Programa de Apoyo al Sector Educación en Nicaragua (PROSEN). El contenido de la misma es
responsabilidad exclusiva del MINED y en ningún caso debe considerarse que refleja los puntos
de vista de la Unión Europea».

3. PRESENTACIÓN
El Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional, a través del Ministerio
de Educación (MINED), entrega a docentes y a estudiantes de Educación
Secundaria, el libro de texto de Matemática en el cual se desarrollan los
cinco pensamientos: aleatorio, numérico, variacional, métrico y espacial. La
Matemática es una herramienta esencial en campos como las ciencias de la
Tierra y la naturaleza, la medicina, las ciencias sociales, la computación, la
arquitectura, la ingeniería y en la vida cotidiana.
El propósito fundamental del texto, es propiciar en los estudiantes un papel
más activo en el proceso de aprendizaje para que puedan interactuar con los
conocimientos planteados en el libro, permitiéndoles que complementen lo
desarrollado en la clase, consolidar, comparar, profundizar en aquellos aspectos
que explicó su docente y prepararse para la evaluación.
El libro de texto a través de sus contenidos y actividades, contribuye a la
formación en valores individuales, comunitarios y sociales, los que se reflejarán
en el comportamiento de la o el estudiante dentro y fuera del Centro Educativo.
El libro de texto es un tesoro valioso en las manos de cada estudiante, y cuidarlo
con esmero, permitirá que otros compañeros que están en los grados que les
anteceden también puedan hacer uso de él, en su proceso de aprendizaje.
Esto significa que el libro de texto es una propiedad social por tanto se debe
cuidar porque no solo a usted le será de ayuda, sino que dependiendo del cuido
que le dé, también le será de provecho a otros, razón por la que le sugerimos
lo forre, no lo manche, no lo ensucie, no lo rompa, ni lo deshoje. Esa será
su contribución desinteresada y solidaria, con los próximos estudiantes que
utilizarán este libro.
Ministerio de Educación

4. INTRODUCCIÓN
El presente texto corresponde a los contenidos del área de Matemática del Noveno Grado
de Educación Media.
El texto contiene 7 unidades con los siguientes contenidos:
En la Unidad I, se desarrollan los conceptos fundamentales de la Estadística Descriptiva
para datos agrupados, se calculan las medida de posición y de variabilidad, además, se
presenta un repaso de los temas de estadística descriptiva para datos no agrupados, los
cuales han sido abordados con detalle en el Libro de Texto de Matemática de Séptimo
Grado.
En la Unidad II, se estudia el conjunto de los números reales y sus propiedades. Se hace
énfasis en la interpretación geométrica de las propiedades de los números reales. Se hace
un repaso de las propiedades fundamentales de los números naturales, enteros y racionales.
En la Unidad III, se estudian los conceptos fundamentales de álgebra. Se abordan las
expresiones algebraicas tales como monomio, binomio y trinomio, y las operaciones en las
que intervienen. Se utiliza la geometría para la interpretación de las propiedades básicas
de las expresiones algebraicas y la construcción de modelos algebraicos basados en
situaciones de la realidad.
En la Unidad IV, se estudian las operaciones con polinomios: suma, resta, multiplicación y
división y se introduce la división sintética (o regla de Ruffini). La geometría se utiliza para la
interpretación de las propiedades de los polinomios. Se desarrollan los productos notables
y su interpretación geométrica, además se estudia la radicación.
En la Unidad V, se estudian sistemas de ecuaciones lineales de 2x2 y sus métodos de
soluciones, además se resuelven problemas de la vida cotidiana y se hace una interpretación
gráfica de las soluciones.
En la Unidad VI, se desarrollan la congruencia y la semejanza de triángulos al igual que el
teorema de Thales, el teorema de la altura y el teorema del cateto. Las demostraciones están
presentes, sin embargo, no representan un peso específico significativo en el desarrollo de
la teoría.
En la Unidad VII, se inicia con un repaso del concepto de relación, que ya ha sido abordado
con detalle en Séptimo Grado. Una característica fundamental de esta unidad, es que
las funciones que se estudian tienen como dominio el conjunto de los números enteros o
subconjuntos de números enteros. Estas funciones son llamadas funciones discretas. Se
abordan las funciones lineales con sus propiedades tratándolas como funciones lineales

5. discretas y las funciones cuadráticas. Se presentan diferentes interpretaciones del concepto
de función a través de modelos basados en situaciones de la realidad cotidiana. También se
estudian en esta unidad las ecuaciones lineales y las ecuaciones cuadráticas. Como tema
novedoso se estudia las desigualdades lineales y los números complejos con sus operaciones.
El texto está estructurado a doble columna, siendo la columna izquierda dedicada a temas
sobre historia de la Matemática, curiosidades matemáticas (también se incluyen curiosidades
y pasatiempos en el desarrollo de los temas en la columna derecha), juegos matemáticos.
También aparecen en la columna izquierda algunos conceptos sobre los cuales es necesario
hacer especial énfasis y algunos temas que no aparecen en el programa oficial de la asignatura
pero que son importantes para una debida comprensión de los conceptos.
Se presentan actividades que tienen como objetivo reforzar los conocimientos, aplicarlos a
la realidad y fundamentarlos desde el punto de vista matemático y didáctico-metodológico.
Los íconos utilizados en el texto tienen los siguientes significados:
Indican aquellas ideas y conceptos que deben ser recordados y sobre los cuáles se
debe reflexionar. Estas ideas y conceptos son básicos para la comprensión de los
temas tratados en la unidad correspondiente.
Indica aquellas actividades orientadas para el trabajo en equipo. Gran parte de
estas actividades se orientan a la realización de construcciones, justificación de
demostraciones (en muy pocos casos) y a la resolución de ejercicios y problemas
de aplicación a la vida real.
Indica aquellas partes del texto dedicadas al planteamiento de ejercicios que deben
ser resueltos por el estudiante. Todos los ejercicios propuestos se resuelven con la
teoría expuesta en cada una de las unidades.

6. Estadística.................................................................2
Introducción..........................................................2
Tablas de Frecuencias ............................................2
Frecuencia Relativa y Porcentual..............................4
Frecuencia RelativaAcumulada..................................6
Histograma.................................................................7
La Ojiva.......................................................................9
Medidas de posición..............................................13
Los cuartiles..............................................................13
Los Deciles y los Percentiles...................................17
Lugar que ocupa la mediana.....................................17
Localizando deciles...................................................18
Los percentiles..........................................................20
Medidas de dispersión...........................................23
Laamplitud................................................................24
La desviación media..................................................25
Lavarianza................................................................27
La desviación típica o estándar.................................27
El coeficiente de variación........................................28
Ejercicios de Cierre de Unidad..............................31
Segunda Unidad: Números Reales
Números Reales......................................................38
Introducción.........................................................38
Potencias de base real y exponente entero.............38
Potencia de base real y exponente entero positivo..39
Producto de potencias de igual base.........................40
Potencia de una potencia..........................................42
Producto de potencias de igual exponente...............43
Potencia de un cociente............................................44
Cociente de dos potencias de igual base.................47
Potencia de base real y exponente nulo...................51
Potencia de exponente 0..........................................51
Potencias de base real y exponente racional............52
Propiedades del inverso...........................................56
Leyes de los exponentes........................................57
Potencias de base real y exponente racional............63
Raíz de un número real positivo.............................64
Raíz de un número negativo...................................64
Producto de dos radicales del mismo índice.............68
Radical de un radical.............................................69
Cociente de radicales del mismo índice...................70
Leyes de los radicales...............................................71
Definición de potencia de exponente racional..........71
Radicales equivalentes............................................73
Introducción y extracción de factores
en un radical.........................................................75
Radicales semejantes............................................76
Ejercicios de Cierre de Unidad..............................79
Tercera Unidad: Factorización
Factorización..........................................................82
Introducción.........................................................82
Extracción de Factor Común...................................82
Factor Común Monomio.........................................86
Factor Común Polinomio........................................88
Índice
Primera Unidad: Estadística

7. Ámbito de Factorización.........................................90
Polinomio Irreducible............................................91
Factorización de una Diferencia de Cuadrados........93
Factorización de una Suma o Diferencia
de Cubos.............................................................96
Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto....101
Factorización de Trinomios de la
Forma x2
+ bx + c.....................................................106
Factorización de Trinomios de
la Forma px2
+ qx + r.................................................................113
Factorización de polinomios del tipo
a3
+3a2
b+3ab2
+b3
y a3
-3a2
b+3ab2
-b3
........................119
Resolución de Ecuaciones por Factorización.................121
Ejercicios de Cierre de Unidad............................................125
Cuarta Unidad: Operaciones con
Radicales y FraccionesAlgebraicas
Operaciones con Radicales y
Fracciones Algebraicas.....................................128
Introducción......................................................128
Operaciones con Radicales..................................128
Simplificación de Radicales................................129
Suma de Radicales..............................................132
Multiplicación de Radicales..................................133
Racionalización..................................................135
Operaciones con Fracciones Algebraicas...............141
Simplificación de Fracciones Algebraicas .......142
Suma de Fracciones Algebraicas.......................143
Multiplicación de Fracciones Algebraicas...............147
División de Fracciones Algebraicas.......................148
Ejercicios de Cierre de Unidad...............................151
Quinta Unidad: Sistemas de
Ecuaciones Lineales.
Sistemas de Ecuaciones Lineales.......................154
Introducción.......................................................154
Ecuaciones lineales en dos variables.....................154
Sistemas de Ecuaciones Lineales
en dos incógnitas................................................164
Operaciones elementales sobre
un sistema..............................................................166
Método de Sustitución.........................................178
Método de Reducción..........................................180
Matrices y Determinantes de 2 x 2.........................181
Matriz de un Sistema de
dos Ecuaciones Lineales.......................................182
Método de Cramer...............................................183
Tipos de Sistemas...............................................186
Ejercicios de Cierre de Unidad..............................189
Sexta Unidad: Congruencia y
Semejanza.
Congruencia.........................................................192
Introducción.......................................................192
Relaciones de congruencia....................................193
Criterios de congruencia de triángulos .................196
Congruencia de triángulos isósceles .....................199
Semejanzas .......................................................202
Semejanza de triángulo ......................................211
Criterios de semejanza de triángulo .....................213
Teorema de Pitágoras .........................................214
Teoremadelaalturayteoremadelcateto................215
Teorema del cateto .............................................216
Ejercicios de cierre de unidad ..............................217

8. Séptima Unidad: Funciones y
Ecuaciones
Introducción..............................................................220
Función Lineal y Afín................................................220
Función Constante...................................................222
Gráfica de una función.............................................222
Función Inyectiva.....................................................223
Función lineal..........................................................224
Función Afín............................................................226
Gráfica de la función afín..........................................227
Movimientos de gráficas en el Plano..........................229
Función Cúbica........................................................231
Ecuaciones Cuadráticas..........................................236
Discriminante..........................................................238
Ecuaciones Cuadráticas y Números Complejos...........241
Números Complejos.................................................242
Desigualdades..........................................................249
Compatibilidadde <conlaadición.............................251
Compatibilidad de < con la multiplicación.................251
Ecuaciones lineales racionales
en una variable..........................................................259
Ecuación Racional....................................................260
Función Cuadrática..................................................263
Ejercicios de cierre de la unidad................................268

9. Unidad 1
El Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional puso en funcionamiento el parque
eólico “Comandante Camilo Ortega” quien es considerado el Apóstol de la Unidad
Sandinista. “La unidad de todos los nicaragüenses, unidos por el Bien Común de este
país en reconciliación y haciendo patria siempre para este pueblo”.
Este parque eólico cuenta con una capacidad para generar 40 megawatts (MW), y se
encuentra ubicado en el sureño departamento de Rivas. Con este se busca la
transformación de la matriz energética y la generación de energía renovable, lo cual
conlleva a un impacto de menos costos de producción y un mayor beneficio para las
familias.
Fuente: 19 digital
12 de Marzo 2014
Estadística
1 - 1,9
0
5
10
15
20
25
2 - 2,9 3 - 3,9 4 - 4,9
Sismos reportados por INETER entre el 24 y 28 de Abril 2014

10. 2
Estadística
Introducción
En esta unidad abordaremos algunas de las más importantes
labores de la Estadística, como son el diseño, la recolección,
análisis e interpretación de datos obtenidos sobre algún fenómeno
o comportamiento estudiado en un determinado grupo, ya sea para
ayudar a la toma de decisiones o para explicar las condiciones de tal
comportamiento.
Tablas de Frecuencias
Una de las ocupaciones primordiales de la estadística consiste en la
organización, descripción y resumen de colecciones de datos, con el
objetivo de presentar la información de forma que pueda ser analizada
e interpretada de manera significativa. Las tablas de frecuencias
constituyen uno de los medios para lograr este propósito.
En el censo de población y vivienda realizado en Nicaragua en el año
2005, por primera vez se investigó las formas de eliminar la basura en
los hogares nicaragüenses. Los resultados para el área urbana del
departamento de Masaya se exponen en la siguiente tabla.
TABLA 1 Formas de eliminar la basura en el departamento de
Masaya
Categoría
Frecuencia absoluta
(fi
) (hogares)
1: Se la lleva el camión de la basura 18 461
2: Basurero autorizado / contenedor 703
3: La queman 7 302
4: La entierran 1 678
5: Tiran a predio baldío / cauce / calle / guindo 1 568
6: Tiran al río / laguna / quebrada / arroyo 592
7: Pagan para que la boten 2 813
8: Abono orgánico 158
9: Otro 119
Total 33 394
¿Qué es un censo?
Un censo es un recuento
de todos los elementos
que componen una
población.
En el censo de población
y vivienda se cuentan
todas las personas y las
viviendas de un grupo
humano, usualmente un
país o una nación.
Ejemplo 1

11. 3
Recuerde, reflexione y concluya
La tabla 1 es una tabla de frecuencias absolutas. En la primera
columna se despliegan las categorías en que se han clasificado las
distintas maneras de eliminar la basura y en la segunda columna se
disponen las frecuencias absolutas correspondientes. Recuerde que
la frecuencia absoluta de un dato es la cantidad de veces que éste
se repite. Por ejemplo, la categoría “entierran la basura” tiene una
frecuencia absoluta igual a 1 678; esto significa que hay 1 678 hogares
en la zona urbana del departamento de Masaya que utilizan esta forma
de eliminar la basura.
1. Con el auxilio de la tabla 1, responda a las siguientes interrogantes
relativasalmanejodelabasuraenelsectorurbanodeldepartamento
de Masaya.
¿Cuántos hogares queman o entierran la basura?
¿Cuántos hogares usan la basura como abono orgánico?
¿Cuál es la forma más usada para eliminar la basura?
¿Cuál es la menos usual?
¿Cuántos hogares entierran la basura o la usan como abono
orgánico?
¿Cuántos hogares tiran la basura a una fuente natural de agua
o a un terreno baldío o bien cauce, calle o guindo.
2. Realice una encuesta entre sus compañeros sobre la forma en
que eliminan la basura en sus hogares. Con los datos recabados
construya una tabla de frecuencias absolutas.
3. Reflexione sobre el tratamiento de la basura y su influencia en el
medio ambiente, la salud y la economía.
De acuerdo con la tabla 1, en el sector urbano del departamento de
Masaya hay 7 302 hogares que queman la basura.Al observar la tabla 2
notamos que eso sucede en apenas 3 074 hogares de la parte urbana
del departamento de Boaco. En base a estos datos, ¿sería correcto
afirmar que es más popular quemar la basura en el departamento de
Masaya que en Boaco? Realmente los datos suministrados no permiten
sustentar tal afirmación. Para poder establecer una comparación se
requiere de las frecuencias relativas.
Recordemos:
La frecuencia absoluta
es la cantidad de veces
que se repite un dato.
Otawa (Canadá) se ubica
entre las ciudades más
ecológicas del mundo.
Recuerde
En una serie de
observaciones,
la moda es el
dato que tiene
mayor frecuencia
absoluta.
Formas de eliminar
la basura en el
departamento de Boaco.
Sector Urbano.
TABLA 2
Categoría Frecuencia
1 5 407
2 77
3 3 074
4 146
5 936
6 83
7 161
8 13
9 39
Total 9 936
La numeración de las
categorías es la misma
de la tabla 1.

12. 4
Frecuencia Relativa y Porcentual
Para obtener la frecuencia relativa se divide la frecuencia absoluta
entre el número total de observaciones.
En el caso de Masaya el total de hogares censados alcanza la cifra
de 33 394 y la categoría “queman la basura” tiene una frecuencia
absoluta de 7 302. Por tanto, la frecuencia relativa de esta categoría
es igual a:
7302
33 394
0 2187,=
Para expresarla en términos porcentuales la multiplicamos por 100.
Este número se denomina frecuencia porcentual y en nuestro caso,
significa que el 21,87% casi 22 de cada 100 hogares de los hogares
del área urbana del departamento de Masaya elimina la basura
quemándola.
7
33 394
100 21 87
302
⋅ = , %
En el caso del departamento de Boaco, el total de hogares censados
en el área urbana es igual a 9 936 y de ellos 3 074 queman la basura,
para este departamento la frecuencia relativa de la categoría “queman
la basura” es igual a:
3 074
9 936
0 309,=
Por tanto, la frecuencia porcentual correspondiente es 30,9%, que
resulta de multiplicar la frecuencia relativa, 0,309, por 100.
Así, el 30,9% (casi 31 de cada 100 hogares) de los hogares de la zona
urbana del departamento de Boaco quema la basura, en tanto que el
porcentaje correspondiente al departamento de Masaya es 21,87.
En consecuencia, en lo que respecta a la parte urbana, la quema de la
basura es más frecuente en Boaco que en Masaya.
Es importante destacar cómo determinar el porcentaje de un número.
Por ejemplo:
El 12% de 48 es
12
100
48 0 12 48 5 76( )= ( )=, , %
¿Cuál es la moda en la
serie de números de la
siguiente tabla?
Dato 1 3 1 3 3
fi
3 1 2 2 0
La frecuencia relativa
es el cociente entre la
frecuencia absoluta
y el número total de
datos:
f
f
n
r
i
=
La frecuencia porcentual
se obtiene al multiplicar
la frecuencia relativa por
100:
% fi
= fr
· 100

13. 5
Complete la tabla 3 con las frecuencias relativas y relativas
porcentuales restantes.
TABLA 3: Formas de eliminar la basura en los departamentos de
Masaya y Boaco. Sector Urbano.
Categoría fi
fr
%fr
Masaya Boaco Masaya Boaco Masaya Boaco
1 18 461 5 407
2 703 77
3 7 302 3 074 0,22 0,31 21,87 30,94
4 1 678 146
5 1 568 936
6 592 83
7 2 813 161
8 158 13
9 119 39
Total 33 394 9 936
Una vez que haya llenado la tabla 3, responda a las siguientes
preguntas:
1. ¿Qué porcentaje de los hogares de la parte urbana del departamento
de Masaya la basura se la lleva el camión, o bien la queman o la
entierran? y ¿en Boaco?
2. ¿Qué porcentaje de los hogares se quema la basura o se usa como
abono orgánico?
3. ¿Qué porcentaje de hogares usan la basura como abono orgánico?
4. ¿Cuál es la suma de las frecuencias relativas de las cuatro primeras
categorías? ¿Qué significado tiene este valor?
Compare las frecuencias relativa porcentual para determinar en qué
departamento, Masaya o Boaco, una categoría tiene mayor predominio.
Los tiempos de
degradación de la
basura dependen de las
sustancias y materiales
de que está hecha, así
como de las condiciones
de aire, luz solar y
humedad.
NOTACIÓN:
fi
: Frecuencia
absoluta
fr
: Frecuencia relativa
%fr
: Frecuencia
relativa porcentual
“Las botellas de
plásticos son las
más resistentes a
la degradación; la
naturaleza tarda entre
100 y 1 000 años en
degradarlas”

14. 6
Frecuencia Relativa Acumulada
En una prueba de Convivencia y Civismo practicada a 50 estudiantes
de undécimo grado, la distribución de las calificaciones fue la siguiente:
TABLA 4: Distribución de las calificaciones
Número de Clase Clase Frecuencia: fi
Frecuencia acumulada: Fi
1 50 - 59 12 12
2 60 - 69 15 12 + 15 = 27
3 70 - 79 13 27 + 13 =40
4 80 - 89 6 40 + 6 = 46
5 90 - 99 4 46 + 4 = 50
Total 50
La frecuencia relativa de la clase 1 es igual a 0,24, valor que resulta al
dividir su frecuencia absoluta, 12, entre 50, que es el número total de
observaciones. La frecuencia relativa acumulada (Fr
) de una clase se
halla sumando su frecuencia relativa con las frecuencias relativas
de las clases que le anteceden.
La frecuencia relativa acumulada de la segunda clase se calcula
dividiendo la frecuencia absoluta acumulada de la clase, 27, entre el
número total de datos:
27
50
0 54= ,
Junto con sus compañeros calcule las frecuencias relativas (fr
) y las
frecuencias relativas acumuladas (Fr
) de las clases restantes.
Agregando los nuevos datos a la tabla 4, obtenemos la tabla siguiente.
TABLA 5: Calificaciones
Clase fi
Fi
fr
Fr
50-59 12 12 0,24 0,24
60-69 15 27 0,30 0,54
70-79 13 40 0,26 0,80
80-89 6 46 0,12 0,92
90-99 4 50 0,08 1,00
Total 50 1
¡Explique!
¿Puede haber una
frecuencia relativa igual
a 1,6?
o
¿Qué sea igual a -1?
La frecuencia relativa
acumulada (Fr
) es
el cociente entre la
frecuencia acumulada
(Fi
) y el número total de
datos. Es decir,
F
F
n
r
i
=
Ejemplo 2

15. 7
Compare sus resultados con los valores contenidos en la tabla 4.
¿Qué información nos brindan las frecuencias relativas acumuladas?
La frecuencia relativa acumulada de la clase 2 es la suma de las
frecuencias relativas de la clase 1 y 2. Por tanto, las dos clases en
conjunto tendrán una frecuencia relativa acumulada de 0,54. Esto
quiere decir que el 54% de los estudiantes que realizaron el examen
obtuvieron una nota entre 50 y 69, o bien 69 o menos, similarmente el
80 % de los estudiantes obtuvieron una calificación de 79 o menos.
Las frecuencias acumuladas y las frecuencias relativas acumuladas,
siempre hacen referencia a los limites superiores de cada clase.
Histograma
La altura de cada barra corresponde a la frecuencia relativa de la clase
respectiva (también se puede utilizar la frecuencia absoluta).
Otra forma de representar
gráficamente esta distribución
es mediante un polígono de
frecuencias, la cual se obtiene
a partir de la gráfica de
barras al unir, con segmentos
rectilíneos, los puntos medios
superiores de los rectángulos.
¡Reflexione!
¿Puede ser una
frecuencia relativa
acumulada de signo
negativo o de valor
mayor que 1?
¡Explique!

16. 8
Otra forma de representar la gráfica de un polígono de frecuencias, es
utilizando la frecuencia relativa.
Procedimiento:
1. En el eje vertical se colocan las frecuencias relativas.
2. En el eje horizontal en cada intervalo se indica la clase.
Polígono de Frecuencias Relativas.
Histograma de Frecuencias Relativas Acumuladas.
La distribución de frecuencias relativas acumuladas también podemos
representarla mediante una gráfica de barras, como se observa en la
siguiente ilustración.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
50-59 60-69 70-79 80-89 90-99
Frecuencias RelaƟvas Acumuladas
0,24
0,54
0,80
0,92
1,00
Con su Ars
Conjectandi (el Arte de
la Conjetura) la teoría
de probabilidades
adquiere autonomía
científica.
Jacob Bernoulli
(1 654 - 1 705)

17. 9
La Ojiva
También podemos representar la distribución de frecuencias relativas
acumuladas mediante un gráfico de línea llamado Ojiva. Esta se
construye de la siguiente manera:
1. En el eje horizontal en lugar de las clases se colocan los límites
superiores.
2. En el eje vertical se escriben las frecuencias.
La ojiva comienza con el límite superior de la primera clase.
La ojiva elaborada anteriormente se contruye generalmente de la
siguiente manera:
La ojiva es el polígono
de frecuencias
acumuladas, es decir,
en ellas se permite ver
cuántas observaciones
se encuentran por
debajo de ciertos
valores en lugar de
mostrar los números
asignados a cada
intervalo.
Creador de la Inferencia
Estadística.
Ronald Fisher
(1 890 - 1 962)

18. 10
Compruebe lo aprendido
1. Con la información contenida en la tabla 5, responder a las siguientes
preguntas:
Si la nota mínima para aprobar es 60, ¿Qué porcentaje de
estudiantes reprobó la clase? ¿Cuál es el porcentaje de
estudiantes que aprobaron el examen?
¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo una calificación entre 50
y 79? y ¿entre 60 y 89?
¿Qué porcentaje obtuvo calificaciones mayores que 69?
¿Qué porcentaje obtuvo calificaciones menores o iguales que
79?
2. De acuerdo con el censo del año 2005, la población de Nicaragua
en ese entonces era de 5 142 098. La tabla muestra la distribución
de la población adolescente de Nicaragua según ese mismo censo.
TABLA 6: Distribución de la edad de adolescentes
Edad Número de habitantes
15 125 986
16 121 047
17 113 325
18 113 324
19 109 903
Total 583 585
Calcule las frecuencias relativas y las frecuencias relativas
acumuladas.
Diseñe una tabla de frecuencias en la que incluya las frecuencias
absolutas, frecuencias acumuladas, frecuencias relativas y
frecuencias relativas acumuladas.
Trace una gráfica de barras para la distribución de frecuencias
relativas y una ojiva para la distribución de frecuencias
acumuladas.
Matemático belga que
aplicó los métodos
estadísticosalasCiencias
Sociales, padre de la
Estadística Moderna.
Lamber Adolphe
Jacques Quételet
(1 796 - 1 874)

19. 11
¿Cuál era la población entre las edades de 15 y 19 años?
¿Qué porcentaje de esa población estaba conformada por
jóvenes entre las edades de 17 y 18 años inclusive?
¿Qué tanto por ciento de esa misma población eran mayores
de 18 años? ¿Y de menor o igual edad?
¿Según el censo del 2005, qué tanto por ciento de la población
de Nicaragua eran jóvenes de entre 15 y 19 años? ¿Y de entre
17 y 19 años?
3. En los grupos de noveno grado de un colegio de secundaria, se
realizó una encuesta sobre los colores preferidos para el uniforme
de la banda musical. Con los datos de los 200 estudiantes
encuestados se hizo el siguiente diagrama de sector circular.
¿Qué porcentaje de estudiantes no eligió el color rojo?
¿Cuántos estudiantes no eligieron el celeste?
¿Cuántos eligieron el celeste o el amarillo?
¿Cuántos no eligieron ni el amarillo ni el rojo?
Haga una tabla de frecuencias.
¿Cuántos eligen el rojo?
¿Cuántos eligen amarillo?
¿Cuántos eligen el verde y el amarillo?
Reforzamiento.
El número de
empleados de una
empresa se distribuye
porcentualmente de
acuerdo a su tiempo de
trabajo.
1. Menos de 5 años,
20%.
2. Entre 5 y menos de
10 años, 50%.
3. Entre 10 y menos de
15 años, 15%.
4. Entre 15 y menos de
20 años, 10%.
5. Más de 20 años, 5%.
Construye un diagrama
de sector circular para la
situación.

20. 12
Actividad en grupo
1. El poema “A Roosevelt” de Rubén Darío contiene 1 660 letras. La
letra “a” se repite 184 veces, de modo que su frecuencia relativa es
Organícense en grupos de 2 ó 3 estudiantes y determinen cuáles
son las frecuencias relativas de las otras letras vocales del alfabeto.
Investiguen cuál es la vocal más utilizada en el idioma español.
Construyan una tabla de frecuencias para el número de letras de
las palabras usadas en el poema. ¿Cuál es la letra de mayor
frecuencia?
Representen la distribución de frecuencias relativas mediante una
gráficadebarrasytracenunaojivaparaladistribucióndefrecuencias
acumuladas.
2. La moneda de un córdoba, en una de sus dos caras tiene el
escudo de Nicaragua y, en la otra, el número uno; compruébenlo
ustedes mismos observando una moneda. Lancen una moneda
de un córdoba 20 veces, registren los resultados y con los datos
recabados llenen la siguiente tabla de frecuencias:
Resultado fi
fr
Número
Escudo
Repitan la experiencia en grupos de 5 o 6 estudiantes y construyan
una nueva tabla donde relacione los datos anteriores y los nuevos.
Construyan una tabla con los datos de toda la clase.
Observe y analice. ¿Qué pasa a medida que se consideran más
datos?
Repitan la experiencia usando un dado en lugar de una moneda.
“Hay
que
unirse, no
para estar
juntos, sino
para hacer
algo juntos”
Juan
Donoso
Cortés

21. 13
Medidas de posición
Las medidas de posición dividen a un conjunto de datos ordenados en
partes con la misma cantidad de individuos. Entre los más populares
están los cuartiles, los deciles y los percentiles. La mediana es parte
de ellos y se ubica al centro de los datos.
La Mediana
Una prueba de Matemática practicada a siete estudiantes dió como
resultado las siguientes calificaciones :
68 72 73 81 85 87 91.
En esta lista ordenada el dato central es 81, ya que hay la misma
cantidad de datos menores que 81 y mayores que 81. El dato central
de una lista ordenada, cuando existe, se denomina mediana. Así, la
mediana de las siete calificaciones es 81.
Escriba la lista de las calificaciones menores que 81 y la lista de las
mayores que 81. Para cada una de ellas determine la mediana.
Compruebe lo aprendido
1. Considere el siguiente conjunto de datos:
7 12 18 21 25 32 41 43 50 51 60.
Encuentre la mediana
Escriba la parte inferior a la mediana y la parte superior. Indique la
mediana de cada una de estas partes.
2. Suponga un conjunto de datos como el siguiente:
12 23 108 32 10 51 18 20 67 59 21 83 76 44 70.
Ordene los datos de menor a mayor.
Anote la lista de datos menores que la mediana y la de los mayores
que la mediana. Para cada una de ellas determine la mediana.
3. Considere ahora el siguiente conjunto ordenado de datos:
7 8 10 18 23 40.
¿Hay un dato central en esta lista?
Los cuartiles son valores
que dividen a los datos
ordenados en cuatro
partes con la misma
cantidad de datos.
117
115
101
97
96
95
93
Mitad
Superior
Mitad
Inferior
Mediana

22. 14
Incorpore un nuevo número a la lista de modo que el número
agregado sea la mediana del nuevo conjunto de datos. ¿Cuántos
datos de la lista original están bajo dicho número? ¿Cuántos están
sobre él? ¿De cuántas maneras podemos elegir el número a
incorporar a la lista original para satisfacer las condiciones
indicadas? ¿Tendría usted preferencia por alguno de ellos?
Analicemos la siguiente situación:
Las cantidades de carreras anotadas por los líderes históricos en la
liga de beisbol profesional de Nicaragua son las siguientes: 117, 115,
101, 97, 96, 95 y 93. Al ordenar los datos en orden creciente advertimos
que la mediana, el dato central, deja el mismo número de datos por
debajo y por arriba de ella.
93 95 96 97 101 115 117
mediana
Así, la mediana determina dos subconjuntos: el de datos menores que
la mediana y el de datos mayores que la mediana.
La mediana de la mitad inferior, 95, se denomina primer cuartil y se
denota por Q1
.
93 95 96 97 101 115 117
Primer cuartil mediana
La mediana de la mitad superior es el llamado tercer cuartil Q3
.
El segundo cuartil Q2
, es la mediana de todos los datos.
93 95 96 97 101 115 117
Primer cuartil Segundo cuartil Tercer cuartil
Si cambiamos los extremos por otros valores, ¿variarán los
cuartiles? y ¿si agregamos valores mayores que 117 o menores
que 93?
¿De qué manera podríamos agregar más datos sin hacer variar los
cuartiles?
El elemento
mínimo de un
conjunto numérico
es el menor de
todos los elementos
que pertenecen al
conjunto.
¿Cuál es el máximo?

23. 15
Los cuartiles junto con los valores extremos, el máximo M y el mínimo
m, pueden usarse para exponer en forma resumida la información
que nos brindan los datos. En nuestro ejemplo, el resumen de los 5
números es:
m Q1
Q2
Q3
M
93 95 97 115 117
Podemos mostrar esta síntesis en una gráfica de caja - brazos, la cual
se dibuja mediante el siguiente procedimiento.
Paso 1. Tracemos una recta numérica que contenga a los valores
máximo y mínimo y a los cuartiles.
Paso 2. Marquemos el valor más bajo, el más alto, y los cuartiles.
Paso 3. Dibujemos una caja que vaya del primer al tercer cuartil.
Paso 4. Marquemos la mediana con un segmento vertical que divida
la caja en dos.
113 115 117

24. 16
Paso 5. Tracemos dos segmentos horizontales, uno que se extienda
desde la caja hasta el dato mínimo y otro que vaya de la caja al valor
máximo.
Finalmente obtenemos la gráfica caja-brazos o caja-bigotes.
Con un poco de reflexión se puede responder a los siguientes
planteamientos:
Dada una gráfica caja-brazos, ¿cuáles de las siguientes medidas
se pueden determinar: la mediana, la moda, la media aritmética, la
amplitud?
¿Por qué en la gráfica caja-brazos que construimos la mediana no
se encuentra en el centro de la caja?
¿Cambiará la caja si sustituimos el número 93 por otro de menor
valor?
Haga una descripción de los pasos necesarios para determinar los
cuartiles.
Si la cantidad de datos que superan a la mediana es un número
par, ¿cómo se calcula el tercer cuartil?
La amplitud de una
serie de datos es la
diferencia entre el dato
máximo y el mínimo.
Recuerde:
Si la cantidad de datos
es par, la mediana es
la media aritmética del
par de datos centrales.

25. 17
Los Deciles y los Percentiles.
Los deciles son valores que dividen a una conjunto ordenado de datos
en diez partes con igual cantidad de términos.
Hay distintos métodos para calcular los deciles y, en general, las
medidas de posición.
Los valores que resultan al aplicar dos métodos distintos pueden diferir,
aunque la diferencia se torna despreciable a medida que aumenta la
cantidad de datos.
Lugar que ocupa la mediana
Un primer paso para determinar una medida de posición, es encontrar
el lugar que ocupa en relación al conjunto de datos.
Examinemos el caso de la mediana. Si el número de datos es igual a
3, como en la serie 5, 7, 8, la mediana ocupa la posición número.
2
3 1
2
=
+
Si la cantidad de datos es 5, como en 4, 6, 8, 10, 15, la mediana ocupa
la posición número.
3
5 1
2
=
+
Cuando hay 7 datos, como en la serie 2, 5, 8, 9, 12, 17, 20, la mediana
se localiza en posición número.
4
7 1
2
=
+
¿Cuál es la posición de la mediana si la serie consta de 9 datos?
¿Cuál sería la posición de la mediana de una secuencia de
observaciones, si ésta consta de n datos?
Si observamos los casos particulares considerados, la posición de la
mediana se calcula dividiendo entre dos el número de datos aumentado
en uno. Es decir, cuando una serie tiene n datos, la posición de la
mediana es:
n +1
2

26. 18
Localizando deciles
En forma similar se determinan las posiciones de los deciles, solamente
que en este caso hay que dividir entre 10. Si hay n datos, la posición
del primer decil es:
Pos D
n
1
1
10
( )=
+
Para hallar la posición del segundo decil, multiplicamos la del primer
decil por dos:
Pos(D2
) = 2 Pos(D1
)
De manera similar, la posición del tercer decil es la del primero
multiplicada por 3:
Pos(D3
) = 3Pos(D1
)
¿Cuál es la posición del cuarto decil? y ¿la del noveno?
¿Con qué cuartil coincide el quinto decil?
Indique las posiciones de todos los deciles.
En general, en un conjunto de n datos ordenados, la posición del
k - ésimo decil es:
Pos(Dk
) = kPos(D1
) (k = 1,2,...9)
Las facturas de 30 abonados del servicio de energía eléctrica de un
barrio capitalino registraron cifras contenidas en la segunda columna
de la tabla 7. Hallar los deciles primero, quinto y octavo.
Lo primero que se debe hacer es ordenar los datos en orden
creciente, pero este paso lo podemos saltar ya que los datos están
dispuestos de esa manera. La cantidad de datos es n = 30, así que
la posición del primer decil es:
n +
=
+
=
1
10
30 1
10
3 1,
Este resultado se interpreta de esta manera: debe tomarse el dato que
ocupa la posición número 3, más una décima, 0,1, de la distancia que
hay al siguiente dato. En la serie dada, el dato de la posición número 3
es 281; la distancia entre éste y el siguiente dato es:
289 - 281 = 8
Ejemplo 3
El k-ésimo decil se
denota con el símbolo.
Dk

27. 19
Luego, el primer decil es:
D1
= 281 + 0,1(8) = 281 + 0,8 = 281,8
La posición del quinto decil es la del primer decil multiplicada por 5, es
decir,
Pos(D5
) = 5Pos(D1
) = 5 (3,1) = 15,5
Por tanto, el quinto decil es el dato que está en la posición número 15,
es decir 336, más cinco décimas, 0,5, de la diferencia 338-336.
Así,
D5
= 336 + (0,5) 2 = 336 + 1 = 337
Observemos que este valor coincide con la mediana. Esta coincidencia
no es casual, para una serie ordenada cualquiera de n datos, la posición
del quinto decil es:
5
1
10
1
2
+




 =
+
que, como sabemos, es la posición de la mediana.
La posición del octavo decil es la posición del primer decil multiplicada
por ocho, es decir,
D8
= 8 Pos (D1
) = 8 (3,1) = 24,8
El octavo decil es el dato de la posición 24 más 8 décimas de la distancia
de éste al dato de la posición 25, es decir:
D8
= 365 + 0,8 (369 - 365) = 365 + 3,2 = 368,2
Calcule los restantes deciles y responda a las siguientes preguntas.
¿Qué tanto por ciento de los datos son menores que el decil número
dos?
¿Qué tanto por ciento son mayores?
¿Qué porcentaje de los datos excede al sexto decil? ¿Qué tanto
por ciento está constituido por datos menores que el sexto decil?
Si se premiara a los abonados que presenten facturas cuyo monto
no exceda el séptimo decil, ¿Qué porcentaje de ellos alcanzarían
el premio?
Tabla 7: Factura de
30 abonados
Posición
Cantidad
C$
1 238
2 245
3 281
4 289
5 290
6 295
7 295
8 310
9 314
10 319
11 321
12 322
13 331
14 332
15 336
16 338
17 350
18 356
19 356
20 356
21 359
22 361
23 364
24 365
25 369
26 402
27 407
28 409
29 412
30 415

28. 20
Los percentiles
Los percentiles son valores que dividen a una colección ordenada de
datos, en cien partes con igual cantidad de términos. Las posiciones
de los percentiles se calculan en forma análoga a las de los deciles,
pero en lugar de dividir entre diez se divide por 100. Así, para una
serie de n observaciones el primer percentil ocupa la posición
Pos P
n
1
1
100
( )=
+
Luego, la posición del k-ésimo percentil será:
Pos (Pk
) = k Pos P1
A una prueba clasificatoria para optar a una especialidad en medicina,
se presentaron 200 candidatos. El criterio para clasificar establece
que se admitirán aquellos postulantes cuyos puntajes superen los 74
puntos y que además se ubiquen por encima del percentil ochenta.
Las primeras 152 calificaciones fueron menores de 75 puntos y las
restantes 48 calificaciones fueron las siguientes:
75, 75, 76, 77, 78, 79, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 81, 81, 83, 83,
83, 83, 84, 85, 86, 86, 86, 87, 87, 87, 87, 88, 88, 88, 88, 89,
89, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 94, 94, 95, 95, 95, 95, 96, 96, 96.
Determine cuáles son las calificaciones de los postulantes que
clasificaron.
Puesto que la serie completa de las calificaciones consta de 200
términos, la posición del primer percentil es:
Pos P
n
1
1
100
200 1
100
2 01( )=
+
=
+
= ,
Luego, la posición del percentil ochenta será:
Pos (P80
) = 80 Pos (P1
) = 80 (2,01) = 160,8
Por tanto, el percentil ochenta es el dato que ocupa la posición número
160 más ocho décimas de la distancia que hay al siguiente dato. Como
hay 152 calificaciones que no superaron los 74 puntos, la primera
calificación de la lista dada es la número 153, luego la calificación
número 160 se encuentra a siete posiciones más adelante, es decir la
calificación de 79 puntos que precede a la nota de 80 puntos. Por tanto,
el percentil ochenta es:
P80
= 79 + 0,8 (80 - 79) = 79,8
El k-ésimo percentil
se denota con el
símbolo.
Pk
Por ejemplo,
P25
representa al
percentil veinticinco.
Ejemplo 4

29. 21
Puesto que los que clasifican para ser admitidos en la especialidad
ofertada deben superar este valor, los postulantes que tienen puntajes
mayores o iguales a 80 son los que serán admitidos. Por tanto, clasifican
los que sacaron las 40 calificaciones más altas.
Actividad en grupo
De acuerdo al ejemplo 4, resuelva los siguientes ejercicios.
Calcule los percentiles 25 y 75.
Determine cuáles calificaciones se encuentran por encima del
percentil 75.
¿Qué tanto por ciento de las calificaciones están por debajo del
percentil 25? y ¿Por encima?
¿Qué tanto por ciento de las calificaciones están entre el percentil
25 y el percentil 75?
¿Cuál percentil coincide con la mediana?
Compruebe lo aprendido
1. Los datos que aparecen en la siguiente tabla corresponden a las
extensiones territoriales de los 31 municipios de los departamentos
de Chinandega, León y Managua. Las cifras están dadas en Km2
.
66,61 222,64 60,58 70,67 104,54 1 274,91 149,01
617,34 120,31 71,50 39,99 724,71 779,88 820,19
416,24 431,48 692,97 691,57 598,39 85,70 227,60
393,67 207,17 51,11 225,72 297,40 668,30 357,30
60,79 975,30 562,01
Realice los siguientes ejercicios:
a. Ordene los datos de menor a mayor.
b. Calcule los tres cuartiles y las extensiones territoriales máxima y
mínima.
Una manera sencilla de
entender el concepto de
percentil es cuando un
pediatra observa la tabla
de crecimiento y peso de
un niño registrado en el
MINSA.
Si el peso de un niño
está en el percentil 25,
significa que el 25% de
lactantes varones de
dicha edad pesa menos
que él y un 75% pesa
más que él.

30. 22
c. ¿Qué tanto por ciento de los datos están entre el primero y tercer
cuartil?
d. ¿Dónde se ubican los extremos de la caja en una gráfica caja-
brazos?
e. La gráfica caja-brazos para estos datos, ¿será larga?
f. Si una gráfica caja-brazos tiene una caja larga, ¿qué indica esto
acerca de los datos? y ¿Si la caja es corta?
g. ¿De dónde a dónde se extienden los brazos de la gráfica caja-
brazos?
h. Trace la gráfica caja-brazos para los datos de la tabla ubicada en
la página 21.
i. ¿En qué parte de la gráfica caja-brazos se encuentra la mediana?
j. ¿Qué significado tiene la posición de la mediana en el recuadro de
la gráfica?
k. Los brazos de la gráfica, ¿tienen igual longitud, o tienen distinto
largo?
l. ¿Qué nos indica sobre los datos las longitudes de los brazos de la
gráfica?
m. Calcule los deciles segundo, sexto y séptimo.
n. Determine los percentiles 25 y 75. ¿Qué tanto por ciento de las
extensiones territoriales de los municipios de los departamentos de
Chinandega, León y Managua, están por encima del percentil 75?
¿Qué tanto por ciento está por debajo?
o. ¿Qué tanto por ciento de las extensiones territoriales están entre el
percentil 25 y el 75?
2. Midan las tallas y los pesos de sus compañeros de clase. Registren
también las edades. Con los datos recabados encuentren los
cuartiles, y los percentiles 25, 50 y 75.
3. Investiguen cuál es el peso ideal según la edad y la talla de una
persona. Haga un gráfico que refleje esta información. Comparen
con los registros realizados por sus compañeros de clase.
Publicó el error
probable de una media
y todos sus artículos
bajo el pseudónimo
de Student, por ello su
logro más famoso se
llama distribución t de
Student.
William Sealy Gosset
(1 876 - 1 937)
Recuerde
Si la suma de dos
números es cero,
cada uno de ellos es
el opuesto o inverso
aditivo del otro.

31. 23
Medidas de dispersión
Las medidas de ubicación o posición, como la media o la mediana,
en muchas situaciones no solamente resultan insuficientes, sino que
pueden incluso conducir a errores de interpretación. Al respecto, nos
dice George Bernard Shaw:
“La estadística es una ciencia que demuestra que si mi vecino tiene
dos carros y yo ninguno, los dos tenemos uno”
Las medidas de ubicación como la media y la mediana sirven para
describir el centro de los datos, pero no permiten describir la extensión
de éstos ni su variabilidad. Por eso se requieren otras medidas
denominadas medidas de dispersión.
Las medidas de dispersión nos resumen la información de la “muestra”
o serie de datos, dándonos así información acerca de la magnitud del
alejamiento de la distribución de datos en relación a un valor central o
de concentración de los datos.
La estadística nos permite tener una visión del comportamiento de
una serie de sucesos o eventos a los que denominamos "variables",
así tenemos varias herramientas estadísticas como lo son la media
aritmética, la mediana y la moda.
Pero estas medidas no son suficientes para describir un conjunto
de datos, necesitamos conocer la variabilidad de los datos, es decir,
como se dispersan los datos reales en comparación a las medidas de
tendencia central, para esto contamos con esta nueva herramienta.
Las medidas de dispersión, son indicadores de variabilidad y cuya
importancia reside en la necesidad de tomar decisiones, basadas en
estadísticas básicas.
Los principales estadísticos de medidas de dispersión son:
1. Amplitud o rango
2. Desviación media
3. Varianza
4. Desviación estándar o desviación típica
5. Coeficiente de variación
Ejemplo de Rango
Si tenemos una
producción de camisas y
sabemos que diariamente
se producen un promedio
de 500 camisas, y si un
día se produce un mínimo
de 415 camisas y otro día
se produce un máximo de
573 camisas, entonces
el rango de producción
es de 158 camisas, es
decir, podemos tener
una producción de 158
camisas a partir del valor
mínimo.
Rango es la diferencia
entre el valor máximo
y mínimo valor de una
serie de datos y nos
da una idea de la
posible dispersión que
se puede tener de los
datos.
R = Dato mayor - Dato
menor.
El inverso aditivo de 5
es -5, ya que,
5 + (-5) = 0.
Por la misma razón, el
opuesto de -5 es 5.
El valor absoluto de
un número real a se
denota por
| a |
Si a ≥ 0, entonces,
| a | = a
Pero si a < 0,
| a | = -a

32. 24
La amplitud
La amplitud en una colección de datos es la distancia entre los extremos,
es decir, la diferencia entre el dato máximo y el mínimo.
En el conjunto 3, 5, 6, 7, 21, 43, 54, 24, 28, los valores máximo y mínimo
son 54 y 3, respectivamente. Por tanto, la amplitud en la serie es la
distancia entre estos valores, es decir,
| 3 - 54 | = 54 - 3 = 51
¿Cuál es la amplitud en la serie 34, 51, 23, 56, 32, 109, 46, 52?
Supongamos que unos excursionistas deben decidir si atraviesan
o no un río a pie. Se les informa que, según una muestra tomada
recientemente, la profundidad media del río es igual a 0,35 m. ¿Es
suficiente este dato para tomar una decisión acertada? ¿Cuál sería su
decisión en cada uno de los siguientes casos?
1. La amplitud en la muestra es igual a 0,52 m.
2. La amplitud en la muestra es igual a 1,65 m.
El conocimiento de la profundidad media del río no es suficiente para
dar garantías de seguridad al cruzar el río a pie; podría suceder que en
el tramo en que se pretende atravesar el río, el valor de la profundidad
varíe considerablemente respecto a la media.
Caso 1. Supongamos que la amplitud de las profundidades del río es
igual a 0,52 m. Esto significa que la distancia entre las profundidades
extremas, la máxima M y la mínima m, es igual a 0,52, medida en
metros.
Esto es M - m = | M - m | = 0,52, es decir M = 0,52 + m.
Puesto que la profundidad mínima m es menor que la profundidad
media de 0,35, la suma
0,52 + profundidad mínima = 0,52 + m = M
es menor que
0,52 + profundidad media = 0,52 + 0,35.
Por lo tanto,
M es menor que 0,87.
Mínima
Media
Máxima
0,35
Profundidad del río
Ejemplo 5
Ejemplo 6

33. 25
En conclusión, el río tiene una profundidad máxima de menos de 0,87
metros y, si los excursionistas son personas adultas de talla normal,
pueden cruzar el río sin preocuparse por la profundidad de éste.
Caso 2. Consideremos ahora el problema en que la amplitud de las
profundidades del río es de 1,65 metros. Como en el caso anterior, la
profundidad máxima es igual a la suma de la amplitud y la profundidad
mínima,
M = amplitud + m = 1,65 + m
la cual tiene un valor menor que la suma de la amplitud y la profundidad
media,
amplitud + media = 1,65 + 0,35 = 2,00
Por tanto, la profundidad máxima M tiene un valor menor que 2,00. Por
otra parte, M es mayor que la media de 0,35 metros.
Vemos que en este caso la profundidad máxima se encuentra entre
0,35 y 2 metros de profundidad. Este intervalo es muy grande para las
circunstancias del problema planteado, de modo que habría mucha
incertidumbre en la toma de una decisión.
Como hemos comprobado la amplitud puede brindar información
valiosa a la hora de decidir un asunto. Sin embargo, en muchos casos
su utilidad resulta muy limitada.
Otras medidas de dispersión son la desviación media, la varianza, la
desviación típica o estándar y el coeficiente de variación.
La desviación media
Anteriormente definimos la amplitud como la distancia entre el dato más
alto y el más bajo. Similarmente, la desviación media puede tratarse
como una distancia, pero con la ventaja de que, a diferencia de la
amplitud, que sólo toma en cuenta dos datos, ésta medida considera
toda la información.
La desviación de un dato x respecto a la media x, es la diferencia
x - x entre él y la media. Esta puede ser negativa si el dato es menor
que la media, o positiva, cuando el dato es mayor que la media o igual
a cero cuando el dato es igual a la media.
Matemático británico,
primero en explicar el
fenómeno de regresión
a la media e introducir
el concepto de
correlación.
Sir Francis Galton,
(1 822 - 1 911)

34. 26
Parecería natural definir la desviación media de un conjunto de
datos como el promedio de las desviaciones, sin embargo, esto no
proporcionaría ninguna información útil ya que, cómo se muestra en el
siguiente ejemplo, la suma de las desviaciones es igual a cero.
Compruebe la validez de este resultado para otras series. ¿Puede
usted presentar un razonamiento convincente que nos indique que
este resultado es válido para cualquier serie de datos?.
Una forma de solventar el problema de la nulidad de la suma de las
desviaciones es considerar, no las propias desviaciones, sino sus
valores absolutos, es decir las distancias entre la media y cada uno de
los datos. Esto da lugar a la siguiente definición.
La desviación media de un conjunto de datos es el promedio de los
valores absolutos de las desviaciones de los datos respecto a la
media.
En símbolos, desviación media: DM =
n
i
k
−
=
∑1
, donde n es la cantidad
de los datos.
Entre menor es la desviación media, más agrupados están los datos
alrededor de la media y ésta los representa con mayor fidelidad. Por el
contrario, entre mayor es la desviación media, más alejados están los
datos de la media y por tanto hay mayor dispersión.
En una pequeña empresa los salarios devengados por siete empleados,
expresados en miles de córdobas son los siguientes: 2,8; 2,9; 2,9; 2,9;
3,5. Calcular la desviación media.
De acuerdo con la definición, para calcular la desviación media se
requiere determinar primero la media aritmética. Para los datos dados
ésta es:
x =
+ + + +
=
2 8 2 9 2 9 2 9 3 5
5
3
, , , , ,
Salarios
x x - |x - |
2,8 3 -0,2 0,2
2,9 3 -0,1 0,1
2,9 3 -0,1 0,1
3,5 3 -0,1 0,1
15 3 0,5 0,5
∑|x - x| = 1,0
La desviación típica
o estándar, es una
medida de dispersión
usada en estadística
que nos indica cuanto
tienden a alejarse
los valores concretos
del promedio de una
distribución.
Ejemplo 7
Recuerde que la media
aritmética se calcula
usando la siguiente
fórmula:
x
f X
n
i
i
k
i
= =
∑1
O bien
x
X X X
n
k
=
+ + +1 2 ...
x x x

35. 27
Las distancias entre los datos y la media aparecen registradas en
la cuarta columna de la tabla de la página anterior. Su promedio, es
decir su suma dividida entre la cantidad de datos, nos proporciona la
desviación media:
desviación media =
n
i
k
−
=
∑1
=
1,0
5 = 0,2
Observe que la suma de las desviaciones es igual a cero como se dijo
anteriormente.
Encuentre la desviación media para la serie 3, 2, 1, 0, 4, 7.
La varianza (S2
)
Si en la fórmula del cálculo de la desviación media cambiamos las
desviaciones por sus cuadrados, obtenemos el indicador estadístico
denominado varianza. Es decir,
S
x x
n
i
i
k
2
2
1
1
=
−( )
−
=
∑
Observe indicación en la columna izquierda.
x x x - x (x - x)2
2,8 3 -0,2 0,04
2,9 3 -0,1 0,01
2,9 3 -0,1 0,01
2,9 3 -0,1 0,01
3,5 3 0,5 0,25
Total 0,32
La desviación típica o estándar (S)
Si extraemos la raíz cuadrada a la varianza obtenemos la desviación
típica o estándar, que es la medida de dispersión más utilizada.
La desviación tipica o estandar de un conjunto de datos es la raíz
cuadrada positiva del promedio de los cuadrados de las desviaciones,
es decir:
Desviación típica: S
x x
n
i
i
k
=
−( )
−
=
∑
2
1
1
Para el cálculo de la
varianza se utiliza la
siguiente ecuación:
S
x x
n
i
i
k
2
2
1
1
=
−( )
−
=
∑
n: significa número de
datos.
De acuerdo a la tabla de
la derecha, el resultado
de la varianza es:
S
x x
n
i
i
k
2
2
1
1
=
−( )
−
=
∑
S
5 - 1
2
= 0,32
S2
= 0,08

36. 28
Para los salarios de la empresa del ejemplo 7, la desviación estándar
es igual a:
Desviación estándar: S=
−
= ≈
0 32
5 1
0 08 0 283
,
, ,
En el lenguaje corriente decimos que dos objetos están cercanos si
se encuentran a poca distancia. Lo mismo decimos de una serie de
datos y su media, si la desviación estándar es pequeña significa que
los datos están agrupados alrededor de la media. Por el contrario, si
la desviación estándar es muy grande entonces los datos están muy
dispersos.
El coeficiente de variación
El coeficiente de variación, CV, es el cociente entre la desviación
estándar y la media:
CV S
x
=
El coeficiente de variación, es una medida de la dispersión relativa de
una serie de datos. Cuando CV, está cerca de cero, la media representa
adecuadamente a la distribución de los datos, pero cuando su valor
excede a 0,75, la media pierde representatividad.
Para el ejemplo abordado anteriormente, el coeficiente de variación es
igual a:
CV= =
0 283
3
0 094
,
, ,
lo cual significa que la media representa significativamente a los
salarios de los cinco trabajadores.
Compruebe lo aprendido
1. De acuerdo con datos preliminares del Instituto Nacional de
Información de Desarrollo, los rendimientos agrícolas en el cultivo
del café en seis de los departamentos de la zona de Pacífico de
Nicaragua en el año 2 013, en: (quintales/manzana): 4,77 ; 3,45;
5,20; 6,27; 4,30; 5,05. Hallar el rendimiento medio, la amplitud,
la desviación media, la desviación estándar y el coeficiente de
variación.
Ejemplo 8
Medidas de tendencia
central: Son estadísticos
alrededor de los cuales se
concentran gran parte de los
valores de la distribución
MEDIANA (Me
) o x
Es una medida de
centralizacion que se
caracteriza por lo siguiente:
deja tras de sí el 50%
de la distribución.
El símbolo de la mediana x
MODA (Mo
)
de la variable que tiene
mayor frecuencia absoluta
LA MEDIA ARITMÉTICA (x)
Es un estadístico que nos
da una idea de entorno a
qué valor se encuentran
concentrados los valores
de una variable estadística,
aunque en ocasiones no
resulte un valor demasiado
representativo.
El símbolo de la media es x
y se lee como "equis barra".
x : media aritmética
para una muestra .
: media aritmética
para una población.
Recuerde.

37. 29
2. La siguiente tabla contiene los parámetros de la anidación de las
tortugas carey, registrados por un equipo de investigación en el año
2008, Cayos Perlas, Nicaragua, de acuerdo con un censo realizado
por dos equipos de campo de la Wildlife Conservation Society
(Sociedad para la Conservación de la Vida Silvestre, WCS por sus
siglas en inglés).
££ Determine el coeficiente de variación e indique cuál de los promedios
representa mejor a los datos.
Anidación de tortugas carey en el 2008, Cayos Perlas, Nicaragua.
Tamaño de la nidada Promedio
Desviación
Estándar
Profundidad del nido-nidadas in situ (cm) 167,2 28,4
Profundidad del nido-nidadas reubicadas 41,6 4,5
Longitud del rastro 36,7 6,1
Distancia LMA al nido 8,8 6,3
Línea de Marea Alta 5,1 3,5
Trabajo en equipo
Organícense en equipos y midan con un cronómetro el tiempo que
tarda cada uno de los miembros del equipo en realizar la lectura del
poema de Rubén Darío: “Yo persigo una forma”. Luego reúnan los
datos de toda la clase y calculen:
a. La media aritmética.
b. La amplitud.
c. La desviación media.
d. La desviación estándar.
e. El coeficiente de variación.
f. Indiquen si la media representa adecuadamente a los datos.
Matemático británico
fundador de la
Bioestadística.
Karl Pearson
(1 857 - 1 936)

38. 30
Yo Persigo una Forma
Yo persigo una forma que no encuentra mi estilo,
botón de pensamiento que busca ser la rosa;
se anuncia con un beso que en mis labios se posa
al abrazo imposible de la Venus de Milo.
Adornan verdes palmas el blanco peristilo;
los astros me han predicho la visión de la Diosa;
y en mi alma reposa la luz como reposa
el ave de la luna sobre un lago tranquilo.
Y no hallo sino la palabra que huye,
la iniciación melódica que de la flauta fluye
y la barca del sueño que en el espacio boga;
y bajo la ventana de mi Bella-Durmiente,
el sollozo continuo del chorro de la fuente
y el cuello del gran cisne blanco que me interroga.
Rubén Darío
Obra pictórica de
Alejandro Aróstegui

39. 31
Ejercicios de Cierre de Unidad
1. El Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional otorgó prestamos a 30 campesinos para
la siembra y producción de frijoles. El número de manzanas de tierra financiada a través
de ALBA-CARUNA fueron:
80, 80, 80, 80, 75, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 67, 65, 65,
65, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 56, 56, 55, 55, 55, 55, 55, 66.
a. Elabore una tabla de frecuencias.
b. Determine los cuartiles y los deciles.
c. Trace una gráfica caja-brazos.
2. En una prueba de velocidad de escritura practicada a 32 estudiantes del Instituto Miguel
de Cervantes, se obtienen los resultados, medidos en segundos:
13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 19,
19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 22, 22, 23, 25, 27, 30.
Calcule:
a. La velocidad de escritura promedio.
b. La desviación estándar.
c. El coeficiente de variación.
d. Realice un comentario sobre los resultados.
3. La estación meteorológica de San Carlos, Río San Juan, registró en el año
2008, en el período mayo-octubre, las siguientes precipitaciones pluviales:
310,8; 353,4; 264,8; 271,6; 265,3; 267,6 en cm3
.
Calcule:
a. La precipitación promedio.
b. La amplitud.
c. La desviación estándar.

40. 32
4. Estos son los registros de las velocidades de los vientos en los meses del año 2013,
obtenidos en las estaciones meteorológicas de Chinandega y Managua (A.C. Sandino).
Calcule:
Velocidad de los vientos en km/h
Mes Chinandega Managua
Enero 2,5 3,0
Febrero 2,2 3,0
Marzo 2,5 3,0
Abril 2,2 3,0
Mayo 2,1 2,3
Junio 1,6 1,7
Julio 1,7 2,3
Agosto 1,7 2,1
Septiembre 1,8 2,5
Octubre 2,0 2,2
Noviembre 1,6 2,1
Diciembre 1,9 1,5
a. Las velocidades medias.
b. Las desviaciones estándar.
c. Los coeficientes de variación.
5. Se le preguntó a 20 estudiantes en un congreso de la FES sobre la cantidad de horas que
habían dormido la noche anterior. Las respuestas fueron las siguientes: 5, 4, 6, 6, 7, 7, 8,
8, 5, 9, 6, 8, 8, 6, 9, 8, 8, 7, 7, 6. Obtenga:
a. La media aritmética y la moda.
b. La amplitud.
c. La desviación media.
d. La desviación estándar.
e. Una representación caja-brazos.

41. 33
6. A continuación se presentan la cantidad de familias beneficiadas con el plan techo que
impulsa el Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional en 30 comarcas del departamento
de Rivas:
84 70 75 75 68
56 60 60 68 75
61 66 67 74 56
75 56 75 54 62
61 54 51 67 53
70 71 69 54 59
Obtenga:
a. Los cuartiles.
b. Una representación caja-brazos.
c. La desviación media.
d. La desviación estándar.
7. Las horas extra mensuales que trabajaron 7 empleados de ENATREL son:
4,20,24,48,42,48 y 48.
Encuentre:
a. El número medio de horas extra trabajadas.
b. La mediana.
c. La moda.
d. La desviación media.
e. La desviación estándar.
f. El coeficiente de variación.

42. 34
8. Se atienden a 70 personas con problemas de visión en la “Misión Milagros” que impulsa
el Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional, con sede en Ciudad Sandino cuyas
edades en años cumplidos son:
41 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 43
35 30 35 47 53 49 50 49 38 43 28 41 47 41
53 32 54 38 40 63 48 33 35 61 47 41 55 53
27 20 21 42 21 39 39 34 43 39 28 54 33 35
43 48 48 27 53 30 29 53 38 52 54 27 27 43
a. Construye una tabla de frecuencias de 5 intervalos.
b. Calcule la media arimética.
c. Determine la desviación estándar.
9. Los pesos en libras de los jugadores del equipo de fútbol Walter Ferreti son los siguientes:
167 172 165 165 178 165 143 180 156 149 156
a. Determine el peso medio del equipo.
b. Halle la mediana.
c. Elabore una gráfica caja-brazos.
d. Halle la desviación media.
e. Calcule la desviación estándar.
10. Se entrega un bono de patio que impulsa el Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional
el cual consiste en entregar un número determinado de gallinas por familia. Los datos se
indican a continuación:
19, 20, 21, 22, 18, 21, 19, 19, 20, 21, 21, 19, 18, 21, 22, 18, 19, 20, 21, 20, 19, 20, 21, 19, 19,
22, 17, 18, 21, 19, 21, 18, 20, 20, 21, 19, 20, 19, 20, 21, 18, 19, 20, 19, 21, 20, 19, 19, 23, 23.
a. Construye una tabla de frecuencias con datos no agrupados.
b. Determine el percentil 25 y el percentil 70 con los datos originales. ¿Qué significado
tienen estos valores?

43. 35
11. Según el INTUR los datos de la estadía promedio (EP) en días y el gasto diario promedio
(GP) en dólares por turista en Nicaragua en los meses del primer semestre del año 2012
y del año 2013.
2012 2013
Mes EP GP EP GP
Enero 6,6 49 7,6 41,2
Febrero 6,7 50,1 7,2 53,2
Marzo 7,7 47,3 7,2 49,8
Abril 6,4 52,8 7,1 50,9
Mayo 6,6 51,8 6,7 59,1
Junio 8 40,8 7,7 47,5
Para cada uno de los años 2012 y 2013 obtenga:
a. La media semestral de las estadías por días, la media de los gastos promedios en dólares,
la desviación estándar de las estadías, la desviación estándar de los gastos promedios.
b. Compare los resultados del año 2012 con los del año 2013. Describa una conclusión
relevante.
12. Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de un colegio. La
información obtenida está en la siguiente tabla:
Número de Caries fi
fr
0 25 0,25
1 20 0,2
2 x z
3 15 0,15
4 4 0,05
Obtener los valores de x, z y el número medio de caries.

44. 36
13. Lea, analice y resuelva los siguientes ejercicios
a. La tabla adjunta
Edad (en años) 15 16 17 18 19
Estudiantes 50 40 60 50 20
muestra las edades de 220 estudiantes de un colegio. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones
son verdaderas?
I. La moda es 17 años.
II. La mediana es mayor que la media (promedio).
III. La mitad de los estudiante del colegio tiene 17 ó 18 años.
Alternativas
• Sólo I
• Sólo II
• Sólo I y III
• Sólo II y III
• I, II y III
b. El gráfico de sectores circulares de esta figura muestra las
preferencias de 30 estudiantes en actividades deportivas.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones son correctas?
I. La frecuencia relativa, expresada en %, del grupo de
fútbol es de 40%.
II. La frecuencia relativa, expresada en %, del grupo de
básquetbol es de 30%.
III. La mitad del grupo no prefirió fútbol ni tenis.
Alternativas
• Sólo I
• Sólo II
• Sólo I y II
• Sólo II y III
• I, II y III
Fútbol
12
Básquetbol
9
Tenis
3
Atletismo
6

45. Unidad 2
Conjunto de
Números Reales
El Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional ha impulsado un importante proyecto
como es la construcción del puente Santa Fe y paralelo a la construcción del puente
también se construyó la carretera ubicada en la costa Sur del Río San Juan de Nicaragua
hasta concluir en la frontera con Costa Rica, lo que facilitará que las exportaciones de la
zona central del país puedan salir en esa dirección hacia Puerto Limón en Costa Rica,
además de la entrada y salida de nicaragüenses hacia el país vecino del Sur.
Fuente: 19 digital.
Abril 2014.

46. 38
Números Reales
Introducción
Esta unidad continúa con el estudio de las propiedades de los números
reales y sus operaciones, concentrando su atención en las potencias
de base real y exponente racional. El uso de las potencias nos permite
expresar en forma abreviada y operar con facilidad cantidades muy
grandes o muy pequeñas que aparecen en campos como la Física, la
Química y la Astronomía.
Potencias de base real y exponente entero
En grados anteriores se abordó el estudio de las potencias con
exponente entero y base racional. En esta oportunidad estudiaremos las
potencias con exponente entero y en las que la base es un número real
cualquiera, como por ejemplo el número π, más adelante abordaremos
el caso cuando el exponente es racional de la forma 1
n
.
Recuerde, reflexione y concluya
Calcule el valor de las siguientes potencias de base entera
a. 33
b. (-3)3
c. 64
d. 93
e. (-2)4
f. (-2)5
g. (-4)3
h. (-5)3
i. (-5)6
j. -54
■¿Qué tipo de número dan los resultados?
■ Cuando la base es negativa y el exponente es impar, ¿cómo es el
resultado? y ¿Si el exponente es par?
Escriba cada potencia como un producto de factores iguales
a. 25
b. 64
c. (-4)8
d. (-5)7
e. 1710
El átomo de hidrógeno
tiene una masa
aproximadamente
igual a la fracción
de un kilogramo
representada por
17 precedido de 26
ceros y una coma
decimal. Su escritura,
con este tamaño de
letra, no cabe en este
espacio. En notación
exponencial es
1,7 · 10-27
kg
Recuerde
El símbolo ℕ denota
el conjunto de los
números naturales.
Si A es un conjunto y
x es cierto objeto, se
usa la expresión x ∈ A,
para indicar que x es
elemento de A.
Notación exponencial
En muchos lenguajes de
programación se usa el
símbolo ∧ para denotar
las potencias. Por
ejemplo, en lugar de 23
se escribe 2∧
3

47. 39
Escriba cada uno de los siguientes productos como una potencia y
calcule su valor
a) 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2
b) (-5)∙(-5)∙(-5)∙(-5)∙(-5)∙(-5)
c) 112∙112∙112∙112∙112
d) 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21
Escriba en forma de potencia cada uno de los siguientes números
de manera que la base sea la menor posible.
a) 125
b) 10 000
c) 64
d) 15 625
Al calcular (-3)4
y -34
, ¿se obtiene el mismo resultado?
Potencia de base real y exponente entero positivo
La definición de potencia de base entera y exponente entero positivo
se traslada al caso de base real. Es decir, que una potencia de base
real y exponente entero positivo no es más que la abreviatura de un
producto de factores iguales.
Si a es un número real y n es un entero positivo, la expresión:
an
es el producto de n factores, todos iguales al número a. Es decir,
an
= a · a ∙ ... ∙ a
n - veces
Los puntos suspensivos en la parte derecha de esta igualdad señalan
que se debe continuar multiplicando por a hasta completar exactamente
n factores.
En particular,
a1
= a, a2
= a ∙ a, a3
= a ∙ a ∙ a.
En la expresión an
, a se llama base y n es el exponente. Este último
indica cuantas veces se toma la base como factor.
¿Sabías qué?
Los italianos
utilizaban las letras
“p” y “m”, iniciales
de las palabras
piu (más) y minus
(menos) para indicar
respectivamente la
suma y la resta.
Con el tiempo se
impulsó la notación "+"
y "-" para denotar la
suma y la resta.
El texto más antiguo
que se conoce en el
que aparecen estos
signos denotando la
suma y la resta es
un libro de aritmética
comercial del alemán
Johann Widman
publicado en 1 489

48. 40
Escriba la potencia (0,7)5
como un producto de factores iguales.
El exponente 5 indica cuántas veces se repite la base. Siendo la base
igual a 0,7 tenemos que:
(0,7)5
= (0,7) ∙ (0,7) ∙ (0,7) ∙ (0,7) ∙ (0,7).
Escriba el siguiente producto como una potencia y calcule su valor.
(-0,5) ∙ (-0,5) ∙ (-0,5) ∙ (-0,5)
El factor que se repite en este producto es -0,5. Luego este número
yacerá como base y, el número de veces que se repite, cuatro, será
el exponente. Por tanto,
(-0,5) ∙ (-0,5) ∙ (-0,5) ∙ (-0,5) = (-0,5)4
.
Por otra parte al agrupar tenemos que
(-0,5)4
= [(-0,5) ∙ (-0,5)] ∙ [(-0,5) ∙ (-0,5)], es decir,
(-0,25)2
= (-0,25) ∙ (-0,25) = 0,0625
Efectuar el producto de las potencias tercera y quinta de π.
La tercera y quinta potencia del número π son π3
y π5
respectivamente.
Por tanto,
π3
∙ π5
= (π ∙ π ∙ π) (π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π) = π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π
8 veces
Luego,
π π π π3 5 3 5 8
= =+
En general, para multiplicar potencias de igual base, se escribe la
misma base y se suman los exponentes. Así tiene lugar la siguiente
regla:
Producto de potencias de igual base
Para todo número real a, y para cualesquiera números
naturales m,n se cumple:
am
∙ an
= am + n
Primera ley de los
exponentes
Para efectuar el
producto de potencias
de igual base, se
conserva la base y se
suman los exponentes.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3

49. 41
Escribir el producto de 3π11
por 5π7
como un múltiplo de una
potencia de π.
Agrupamos primero los coeficientes y luego las potencias de π
involucradas para obtener:
(3π11
)(5π7
) = (3)(5)(π11
∙ π7
) = 15π11+7
= 15π18
¿Quépropiedaddelamultiplicaciónpermiterealizaresteagrupamiento?
Escribir cada producto indicado como un término con una
potencia de π,e o a.
1.
2.
3
2
5
6
4 11
a a












3. −( )( )4 2512 3
e e
Escribir a15
como una potencia con base a5
.
El exponente 15 señala que a se debe tomar 15 veces como factor. Si
agrupamos los factores de cinco en cinco, tendremos tres grupos cada
uno de ellos con cinco factores iguales al número a.
Tenemos así:
a15
= (a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a) ∙ (a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a) ∙ (a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a).
Es decir,
a15
= a5
∙ a5
∙ a5
= (a5
)3
.
3 - veces
Por tanto,
a15
= (a5
)3
.
Ejemplo 4
Ejemplo 5

50. 42
Por la simetría de la igualdad y descomponiendo 15 en sus factores
primos, obtenemos que
a15
= (a5
)3
= a5(3)
.
Esta propiedad también tiene validez general, es decir, podemos
cambiar 5 y 3 por números naturales arbitrarios m y n, manteniéndose
inalterable la validez de la regla. Así tiene lugar la siguiente propiedad:
Potencia de una potencia
Si a es un numero real y m y n son números naturales,
entonces
(am
)n
= am ∙ n
Escribir cada expresión dada como una potencia con la base
indicada.
1. a3
∙ a3
∙ a3
∙ a3
; con base a2
.
2. b24
; con base b4
.
Suponga que a, x ∉ {0,1}. Encuentre todos los posibles números
enteros m y n que hacen posible la igualdad.
1. (am
)n
= a12
2. (em
)n
= e125
3. [(0,12)m
]n
= (0,12)18
Escriba el siguiente producto como el múltiplo de una potencia.
3∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π
Tenemos un primer factor 3 y a continuación el producto de siete
factores idénticos a π, luego,
3∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π = 3(π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π) = 3π7
Expresar (3π)7
como un múltiplo de una potencia de π.
Por definición de potencia:
(3π)7
= 3π ∙ 3π ∙ 3π ∙ 3π ∙ 3π ∙ 3π ∙ 3π, Ahora reagrupemos los factores
(3π)7
= (3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3)∙(π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π).
¡Importante!
Sean a ∈ ℝ+
y p,q ∈ ℝ+
.
Si a ≠ 0 y a ≠ 1,
entonces,
a ap q
=
p = q
Por ejemplo, si 2x
= 212
entonces base igual
exponente igual:
x = 12
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Segunda ley de los
exponentes
Para efectuar la
potencia de una
potencia, se conserva
la base y se multiplican
los exponentes.

51. 43
Luego, al aplicar la definición de potencia en la parte derecha, se
obtiene
(3π)7
= 37
∙ π7
= 2 187 ∙ π7
.
Expresar el siguiente producto como una potencia.
e ∙ e ∙ e ∙ e ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π
Al agrupar e con π obtenemos:
e ∙ e ∙ e ∙ e ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π = (e ∙ π)(e ∙ π)(e ∙ π)(e ∙ π)
¿Qué propiedades de la multiplicación permiten realizar este
agrupamiento?
La parte derecha de esta igualdad es la cuarta potencia de (e ∙ π) luego,
(e ∙ π)(e ∙ π)(e ∙ π)(e ∙ π) = (e ∙ π)4
La parte izquierda de la expresión dada, la podemos escribir como el
producto de las potencias e4
y π4
, de modo que:
e4
∙ π4
= (e ∙ π)4
Esta igualdad es caso particular de la siguiente regla:
Producto de potencias de igual exponente
Si a y b son números reales y n es un entero positivo, entonces
an
∙ bn
= (ab)n
En efecto, sean a y b números reales cualesquiera. Por definición de
potencia tenemos que:
an
∙ bn
= (a ∙ a ∙...∙ a)∙(b ∙ b ∙... ∙ b).
n - veces n - veces
En cada uno de los grupos de la parte derecha de la igualdad hay n
factores. Agrupemos cada factor a del primer grupo con exactamente
un factor del segundo grupo. Obtenemos:
an
∙ bn
= (ab) ∙ (ab) ∙...∙ (ab)
n - veces
Tercera ley de los
exponentes
Para multiplicar dos
potencias con el
mismo exponente, se
multiplican las bases y
el producto resultante
se eleva al mismo
de las potencias
originales.
"Dios hizo los números
enteros, el resto es
obra del hombre."
Leopold Kronecker
Ejemplo 8

52. 44
La parte derecha por definición de potencia es igual a (ab)n
. Por tanto,
an
∙ bn
= (ab)n
que es lo que se quería demostrar.
Escribir en forma abreviada el producto (0,1)4
∙ (0,2)4
∙ 34
.
Por la propiedad asociativa de la multiplicación
(0,1)4
∙ (0,2)4
∙ 34
= (0,1)4
[(0,2)4
(34
)]
Luego, al utilizar en la parte derecha la tercera ley de los exponenetes
se obtiene:
(0,1)4
∙ (0,2)4
∙ 34
= (0,1)4
[(0,2)4
(34
)] = (0,1)4
[(0,2)(3)]4
de donde, por la misma ley,
(0,1)4
∙ (0,2)4
∙ 34
= [(0,1) ∙ (0,6)]4
= 0,064
Compruebe lo aprendido.
Escriba el producto de (0,345)7
por (0,345)4
en forma de una potencia.
¿Cuántos factores iguales a 0,345 contiene?
Escribir el cociente
a
b
4
4 como una potencia.
Por la definición de potencia y de acuerdo con la multiplicación de
fracciones, obtenemos:
a
b
a a a a
b b b b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
4
4
4
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ =






En general, vale la siguiente ley:
Potencia de un cociente
Si a y b son numeros reales, con b ≠ 0 , si n es un entero
positivo, entonces
a
b
a
b
n n
n





 =
Encuentre el valor del cociente de 23
y 0,53
.
Por la ley arriba enunciada
2
0 5
2
0 5
3
3
3
, ,
=






La tercera ley de los
exponentes también
puede formularse
así: La potencia de
un producto es igual
al producto de las
potencias de las
bases, afectadas con
el mismo exponente
de la potencia original.
(ab)n
= an
∙ bn
Cuarta ley de los
exponentes
La potencia de
un cociente, es
igual al cociente
del numerador y
del denominador,
afectados con el
mismo exponente de
la potencia original.
Recuerde:
Si a, b, c, d ∈ ℝ con b ≠
0 y d ≠ 0, entonces:
a
b
c
d
a c
b d
⋅ =
⋅
⋅
Ejemplo 9
Ejemplo 10

53. 45
Puesto que 0,5 =
1
2
, al sustituir en 0,5 por
1
2
la parte derecha de la
igualdad, se obtiene:
2
0 5
2
1
2
3
3
3
,
=










,
pero,
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
4= = ⋅ = ,
por tanto,
2
0 5
4 64
3
3
3
,
= =
a) Exprese el número 23 000 000 a través de una potencia de 10.
b) Sin usar calculadora encuentre el valor del cociente.
( , )
( , )
0 5
0 1
4
4
a. Puesto que 23 000 000 = 23 · 1000 000 y 1 000 000 = 106
,
23 000 000 = 23 · 106
b. Por la propiedad de la potencia de un cociente tenemos que:
0 1
0 5
0 1
0 5
4
4
4
,
,
,
,
( )
( )
=






pero 0,1 =
1
10
y 0,5 =
5
10
. Por tanto, al sustituir en la parte derecha de
la igualdad obtenemos:
0 1
0 5
1
10
5
10
4
4
4
,
( , )
( ) =










Ahora bien, el cociente dentro del paréntesis en la parte derecha
es igual a 1
10
10
5
2
10
⋅ = . Luego,
0 1
0 5
2
10
4
4
4
,
,
( )
( )
=






,
Recuerde:
Si n es un número
natural, la potencia
10n
, en notación
decimal, es igual a 1
seguido de n ceros.
Por ejemplo
106
= 1 000 000
¿Cómo pasar de un
decimal exacto a
fracción?
En el numerador se
pone el número decimal
sin coma, y en el
denominador un uno
seguido de tantos ceros
como decimales haya.
Por ejemplo
1,32 =
132
100
Ejemplo 11

54. 46
pero,
2
10
2
10
16
10 000
0 0016
4 4
4





 = = = ,
por tanto,
0 1
0 5
0 0016
4
4
,
,
,
( )
( )
=
Exprese los siguientes cocientes como una sola potencia.
1. e
e
e e
2 030
2 010
2 030 2 010 20
= =− 2. 13 13 13 13
23 1
2
23 1
2
23
23
2
( ) = ( )





 = =
⋅
La solución de cada ejercicio es:
1. e
e
e e
2 030
2 010
2 030 2 010 20
= =− 2. 13 13 13 13
23 1
2
23 1
2
23
23
2
( ) = ( )





 = =
⋅
Simplifique el cociente
π
π
3
5
Por la ley del producto de potencias de igual base se tiene que
π5
= π3
· π2
en consecuencia,
π
π
π
π π
3
5
3
3 2
1
=
⋅
⋅
Al desarrollar la parte derecha de esta igualdad como un producto de
dos fracciones se llega a que:
π
π
π
π π π
3
5
3
3 2 2
1
1
1
= ⋅ = ⋅
por tanto,
π
π π
3
5 2
1
=
Observe que el resultado anterior se puede expresar de la siguiente
manera:
π
π π
3
5 5 3
1
= −
Simplificar una expresión
donde hay potencias de
números reales significa
cambiarla por otra en la
que cada número real
base, aparece una vez y
todos los exponentes son
positivos.
Ejemplo 12
Ejemplo 13

55. 47
Este ejemplo se puede generalizar como veremos a continuación.
Sea a un número real no nulo y sean m y n números enteros positivos.
Caso 1. Supongamos que m > n , y sea p = m - n. Entonces p es un
entero positivo y como m = p + n se tiene que:
am
= ap + n
Por la regla para multiplicar potencias de igual base tenemos que:
ap + n
= ap
∙ an
luego,
a
a
a a
a
a a
a
a
m
n
p n
n
p n
n
p
=
⋅
= ⋅ =
1
Pero, como p = m - n. Al sustituir p por m - n, obtenemos que
a
a
a
m
n
m n
= −
Caso 2. Asumamos que m < n entonces n - m > 0, an
= an - m
∙ am
y, en
consecuencia,
a
a
a
a a a
a
a a
m
n
m
n m m n m
m
m n m
= = ⋅ =− − −
1 1
Así, en este caso,
a
a a
m
n n m
= −
1
De esta manera verificamos la validez de la quinta ley de los exponentes.
Cociente de dos potencias de igual base
Sean a un número real diferente de cero y m y n números enteros
positivos.
a) Si m > n, entonces :
a
a
a
m
n
m n
= −
b) Si m < n,
a
a a
m
n n m
= −
1
Reforzamiento:
Resuelva aplicando
las propiedades de los
exponentes:
•
c d
c d
2 8
6 5
•
a d m
a d m
3 7 6
8 4 1−
• (2x4
y2
)-3

56. 48
Simplifique cada una de las siguientes fracciones. Suponga que x, y,
p, q son números reales distintos de cero.
a.
x y
x y
5 6
3 5
b. x y
x y
2 6
4 2
c.
5 4
2
3
2
7
9
p
q
q
p
( )
( )
i
a. Desarrollando la fracción como un producto de fracciones y
aplicando la regla para evaluar un cociente de potencias de igual
base, obtenemos:
x y
x y
x
x
y
y
x y x y
5 6
3 5
5
3
6
5
5 3 6 5 2
= ⋅ = ⋅ =− −
b. En forma análoga, tenemos que:
x y
x y
y
x
y
x
2 6
4 2
6 2
4 2
4
2
= =
−
−
c. Por potencia de un producto y por la ley para elevar una potencia a
un exponente se tiene que:
5 25
4
2
3
2
7
9
8
6
7
9
p
q
q
p
p
q
q
p
( )
( )
⋅ = ⋅
Al multiplicar las fracciones de la derecha y reordenar los factores en
el numerador y denominador se llega a que:
25 258 7
9 6
7 6
9 8
p q
p q
q
p
=
−
−
por tanto,
25 258 7
9 6
p q
p q
q
p
⋅
⋅
=
Ejemplo 14

57. 49
Compruebe lo aprendido.
I. Utilice la propiedad de la potenciación apropiada para resolver
correctamente cada ejercicio.
1. (1,21)3
2. (0,013)4
3. (0,02)5
4. −






3
4
3
5. 0 2
0 3
3
3
,
,
( )
( )
6. 0 5
10
4
4
,( )
7.
25
0 5
3
,( )
8. (-0,1)7
9.
0 004
0 0002
3
3
,
,
10.
1 33
2 66
1 33
2 66
2
2
4
,
,
,
,
( ) ⋅
11. [(0,11)3
]4
+ (0,2)2
12. 6
9
6
9
2
3
1
4
( ) ⋅
−
−
Recuerde
La división
a
b
c
d
÷ de
dos fracciones, se
realiza multiplicando
la primera fracción
por la segunda
fracción invertida,
esto es:
a
b
c
d
a
b
d
c
÷ = ⋅

58. 50
II. Exprese como una potencia:
a. x3
y3
b. u5
∙ v5
c. p3 7
( )
d.
z
w
5
5
e. e
e
7
5
f. a7. a2008
g. x y
x y
3 5
3 5
h.
a
b b
3 4
2 10
( )
⋅
i. a x
b
a x
b
2 3
3
3 2
2
⋅
j.
m uv
m m uv
2 3
4 3 5
1( ) ⋅
( )
k.
6 36 2
4 3
4 5
6 8
x y
z w
x y
z w
÷
III. Simplifique
a.
5
10
2 3 4
3 5
ab c b
b a
( )
b.
p
p
6
4
c. m
m
5
8
d. u v
u v
6 8
2 6
e. u v
u v
6 8
2 6
f. x y
xy
3 4
7
g. a b c
a b c
4 3 6
2 7 4
h. x y z
y z x
5 3 4
5 7 2
i. a
b
ab
c
b
c
4 3
2
2013
3 4






( )
( )
ii
IV. Exprese como múltiplo de una potencia de 10
a) 17 000 b) 510 000 c) 312 000 000 000 000 000

59. 51
V. Suponga que a es un número real y que n denota un número natural
arbitrario.
■ ¿Qué valores toman las potencias 0n
y 1n
?
■ Si a es positivo, ¿es an
un número positivo?
■ Si a es un número negativo, ¿en qué casos es an
un número
negativo? ¿Cuándo es positivo?
VI. Sea a un número real tal que a ≠ 0 , a ≠ 1. En cada caso determine
todos los valores de m y n tales que:
a. [(2,3)m
]n
= (2,3)114
b. [(-12)m
]n
= (-12)2013
c. (0,001m
)n
= (0,001)322
d. [(1,32)m
]n
= (1,32)25
Potencia de base real y exponente nulo
Consideremos de nuevo la ley de los exponentes: Para todo número
real a no nulo, se cumple:
a =
a
a
=10
m
m
Potencia de exponente 0
Al elevar cualquier número real no nulo al exponente cero el resultado
es 1
Si m > n. Si admitimos que m coincida con n, tendríamos m - n = 0,
y am
= an
, lo cual sugiere definir, para todo real a ≠ 0,
a =
a
a
=10
m
m
Esto nos conduce a la siguiente definición:
Para todo número real a ≠ 0, a0
= 1
Por ejemplo
2013° = 1
(56 000 000)o
= 1
Explique
¿Por qué toda
potencia de 5, con
exponente entero
positivo, termina en
25?

60. 52
Evalúe la expresión:
22 0,2 013 +
46,7
68 222,56
2
23 000 123 0
( )⋅( )














Como la cantidad dentro del paréntesis es no nulo, podemos elevarla
a cero; el resultado es 1, de acuerdo con la definición de potencia real
y exponente nulo.
Sea p un número diferente de cero. Simplifique la expresión:
[(2p)56
]0
∙ (2p)56°
Por definición de potencia de exponente nulo:
[(2p)56
]0
= 1
y
560
= 1
Luego,
[(2p)56
]0
∙ (2p)56°
= 1 ∙ (2p)1
= 1 ∙ 2p = 2p
Potencias de base real y exponente racional
Recuerde, reflexione y concluya
Para decidir si un número es inverso de otro, basta multiplicar los
números. Si el resultado es 1, la respuesta es afirmativa. Si el producto
no es 1, entonces ninguno de los números es el inverso del otro. Por
ejemplo,
1
2
es el inverso de 2
Ya que
1
2
∙ 2 = 1. Por la misma razón,
2 es en inverso de
1
2
.
En general, decir que,
1
a
es el inverso de a,
Recuerde
El inverso multiplicativo
de un número real
no nulo, o el inverso,
de un número, es
aquel número que
multiplicado por este
da 1.
1
a
es el inverso de a,
por tanto:
1
1
a
a⋅ =
Ejemplo 15
Ejemplo 16

61. 53
equivale a afirmar que “a es el inverso de
1
a
”,ya que en ambos
casos estamos aseverando que el producto de a y 1
a
es igual a 1.
Una de las propiedades de los números reales establece que todo
número real a, no nulo, tiene inverso multiplicativo. El inverso de a se
denota por a-1
.
Esto nos define las potencias de números reales para cuando el
exponente es -1.
Por ejemplo,
1
8
=8
-1






Ya que el inverso de
1
8
es 8, puesto que 8
1
8
= 1.
Compruebe lo aprendido.
Escriba a la par del concepto, la simbología correspondiente.
1. El inverso multiplicativo de 0,23
2. El inverso multiplicativo de π
3. El inverso del inverso de π
4. El inverso de a-1
Cocientes de números reales.
El concepto de inverso permite definir cocientes de números reales. En
el caso del cociente a
b
de dos enteros a y b, se cumple:
a
b
a
b
= ⋅
1
Definición: Si a y b son números reales, donde b ≠ 0, el cociente de a
y b se define como:
a
b
a b= ⋅ −1
Por ejemplo
0,1
2
debe interpretarse como el producto de 0,1 por el
inverso de 2 .
Es decir,
0 1
2
0 1 2
1,
,= ⋅( )
−

62. 54
Compatibilidad de la
multiplicación con la
igualdad.
Si a = b, ∀ k ∈ ℝ,
entonces a · k = b · k
Compatibilidad de
la división con la
igualdad.
Si a = b, ∀ k ∈ ℝ,
entonces
a
k
b
k
=
El inverso de 2 no es racional, pues de serlo, también lo sería 2 .
Si a,b,c y d son números reales con b ≠ 0 y d ≠ 0, y si además se tiene
que a = c y b = d, entonces:
a = c
y
b-1
= d-1
de donde, por la compatibilidad de la multiplicación con la igualdad, se
obtiene que:
a · b-1
= c · d-1
,
es decir,
a
b
c
d
=
Por tanto la toma de cociente también es compatible con la relación de
igualdad.
Consideremos un número real arbitrario a ≠ 0. Como a-1
representa el
inverso de a, esto equivale a decir que:
a es el inverso de a-1
,
obtenemos que:
a = (a-1
)-1
Si a y b son números reales distintos de cero, entonces, por definición
a ∙ a-1
= 1 y b ∙ b-1
= 1
A partir de estas igualdades, utilizando la compatibilidad de la
multiplicación con la igualdad, y agrupando adecuadamente,
demuestre que a-1
b-1
es el inverso de
a
b
.

63. 55
Compruebe lo aprendido.
Indique en qué parejas de números, cada uno el inverso del otro
1. 5 y
1
5
2. 3
4
y 8
3.
1
8
y 8
4. 2
5
5
2
y
¿Cuál es el inverso de
1
3
? y ¿De
7
4
?
Si a y b son enteros distintos de 0, ¿cuál es el inverso de b? y
¿El de
a
b
?
Halle el valor entero de x tal que
(7x)2013°
= 14 ∙ (324 000 000)0
En los siguientes ejercicios complete y justifique su respuesta
9-1
1)
1
7
-1





2)
−





−
9
5
1
3)
4
7
1






−
4) 2
8
3
1
+






−
5)
Escriba cada cociente como el producto de un número entero y el
inverso de otro número entero:
1. 2
5
2. 19
7
3. 1 989
2 014
4.
23
18
5.
42
71
3
1
5
1
−






−
6)

64. 56
Verifique que:
a
b
a
b
⋅ =
−
−
1
1
1
por tanto,
a
b
−
−
1
1
es el inverso de
a
b
.
Al terminar este ejercicio habremos demostrado que para cualesquiera
números reales a ≠ 0 y b ≠ 0, se cumplen las siguientes propiedades:
Propiedades del inverso
1. (a-1
)-1
= a
2. (ab)-1
= a-1
b-1
3. a
b
a
b
b
a





 = =
− −
−
1 1
1
De la definición de cociente se llega al caso particular de que, para
todo número real a ≠ 0:
1
1 1
a
a= ⋅ −
es decir que:
En forma análoga definimos las potencias de exponente −n, para n
natural arbitrario.
Definición. Para todo número real a ≠ 0 y para todo entero positivo n:
a
a
n
n
−
=
1
Expongamos algunos casos particulares de esta definición:
1. 0 18
1
0 18
3
3
,
,
( ) =
( )
−
2. π
π
−
=12
12
1
3.
1
4
42013
2013
= −
Matemático británico que
en 1 993 logró demostrar
el célebre Teorema de
Fermat (formulado en
1 637) que establece que
la ecuación
an
+ bn
= cn
con a,b,c
enteros, a,b > 0
y n ≥ 3 no tiene solución.
Tuvieron que pasar más
de 300 años para que
este teorema pudiera ser
demostrado.
Andrew Wiles
EL VALOR DE LA
PERSEVERANCIA
Ejemplo 17

65. 57
Evalúe sin hacer uso de la calculadora:
(0,25)-3
.
Por definición,
0 25
1
0 25
3
3
,
( , )
( ) =
−
pero,
0 25
25
100
25
25 4
1
4
1
4
1
64
3
3 3 3
3
,( ) =





 =
⋅





 =





 = =
Al sustituir en la primera igualdad obtenemos
0 25
1
1
64
64
3
,( ) = =
−
Evalúe la expresión:
0 03
0 2
3
,
,






−
sin utilizar calculadora
Hasta aquí hemos definido las potencias de base real y exponente
entero. Puede probarse, sin mucha dificultad, que para estas potencias
también valen las leyes de los exponentes siempre que los cocientes y
las potencias involucradas existan.
Leyes de los exponentes
1. am
∙ an
= am + n
2. (am
)n
= amn
3. an
∙ bn
= (a ∙ b)n
4.
a
b
=
a
b
n
n
n






5. a
a
= a
m
n
m-n
;
a
a
=
1
a
m
n n-m
Observaciones
• Si un exponente
es negativo, la
base debe ser
diferente de cero.
• En cada cociente
el denominador
debe ser distinto
de cero.
Ejemplo 18

66. 58
Exprese el número como una fracción
a
b
, donde a y b son números
enteros, b ≠ 0
1. −






−
3
2
4
Solución:
−





 = −














− −
3
2
3
2
4 1 4
Potencia de una potencia
=





-
2
3
4
Inverso de un cociente
= −( )⋅











1
2
3
4
Propiedad del Opuesto
= −( ) ⋅





1
2
3
4
4
Potencia de un producto
=
2
3
4
4
Potencia de un cociente
=
16
81
Desarrollando potencia
2. 5
3
3
5
3
2
6
4
⋅
Al multiplicar y reordenar términos obtenemos:
5
3
3
5
5 3
3 5
5
5
3
3
3
2
6
4
3 6
2 4
3
4
6
2
⋅ =
⋅
⋅
= ⋅
Luego, por la ley 5,
5
5
3
3
1
5
3
3
4
6
2 4 3
6 2
⋅ = ⋅−
−
= ⋅
1
5
31
4
=
81
5
Simplifique
4x a
2a x
4 -
6
3
4−
Ejemplo 19
Ejemplo 20

67. 59
Reordenando términos y expresando el cociente como un producto de
fracciones tenemos que:
4
2
4
2
4 3
4 6
4 4
3 6
x a
a x
a x
a x
−
−
=
=
4
2
4
3
4
6
⋅ ⋅
a
a
x
x
= 2a
x
4 3
4 6
1−
−
⋅
=
2a
x2
¿Qué propiedades de las operaciones con números reales son
necesarias aplicar para llegar al resultado?
Por la ley 5, si n es un entero positivo y a ≠ 0, entonces
1 0
0
a
a
a
a an n
n n
− −
− −( )
= = =
Además, por definición de potencia de exponente negativo
a
a
n
n
−
=
1
Por tanto, para simplificar fracciones cuyo numerador y denominador
son producto de potencias podemos trasladar primero los factores que
tienen exponente negativo, del denominador al numerador, o viceversa,
según sea el caso. Por ejemplo,
x z
y
y
x z
− −
−
=
3 2
5
5
3 2
Simplifique la expresión
x y z
x y z
5 5 2
2 3 7
− −
−
Por la ley 5 de los exponentes, dejamos cada variable en el lugar donde
tiene mayor exponente. El nuevo exponente será igual al exponente
mayor menos el menor:
x y z
x y z
x
y z
x
y z
5 5 2
2 3 7
5 2
3 5 7 2
3
2 9
− −
−
−
− − −( ) − −( )
= =
Ejemplo 21

68. 60
También se puede trasladar primero los términos que tienen signo
negativo cambiando el signo del exponente, y luego aplicar las reglas
1 y 5. Así,
x y z
x y z
x y
x y z z
5 5 2
2 3 7
5 3
2 5 7 2
− −
−
=
=
−
− +
x
y z
5 2
5 3 7 2
=
x
y z
3
2 9
Compruebe lo aprendido.
I. Exprese como potencia de a, o de x, o bien de y.
1. 1
6
a−
2.
x
3. 1 1
7 2
x x
⋅
4.
y
y
−
−
5
16
II. Simplifique expresando el resultado con exponentes positivos.
1. a a6 12
⋅ −
2. 28
12
2 7
3 4
x y
x y
3. x
y x
−
− −
12
5 4
4. 2 86
3
4
2
xy y( ) ( )
−
5.
x
y x
−
− −
12
5 4
6. 56
16 4 5
u v
v u
s s− −
−
7. x y
y x
3 7
3 3
−
− −
8. 1
2
1
2
a a+( )−
9.
1
3
95 2
3
7
x y x−




 ( )
Reforzamiento.
Aplique las propiedades
de los exponentes y
simplifique las siguientes
expresiones:
10
10
5
3
4
2
5
20012
0x
x
x
( )
( )
⋅( )
u v
wz
w v
u z
− − −
−
( )3
2
4
3 2
5 3
.
b b
b
b
+( )
+( )−
−
−
1
3
2
3
2
1
.
−( ) ( )
−
− −
4 32 4
7
3 1
2
h q h q

69. 61
Actividad en grupo
Utilizando las propiedades de las operaciones con números reales
y las leyes de los exponentes constate la certeza de las siguientes
expansiones:
1. (a + b)0
= 1
2. (a + b)1
= 1a + 1b
3. (a + b)2
= 1a2
+ 2ab + 1b2
4. (a + b)3
= 1a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ 1b3
5. (a + b)4
= 1a4
+ 4a3
b + 6a2
b2
+ 4ab3
+ 1b4
Las diagonales de la tabla siguiente están compuestas por los
coeficientes de estas expansiones.
1 1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6
1 4
1
El triángulo que conforman estos números se denomina triángulo de
Pascal. Noten que en la tabla de arriba los valores de la primera fila y la
primera columna son todos iguales a uno. Observen cómo se relaciona
cada uno de los restantes números con los números adyacentes de la
diagonal anterior.
Puede que se tenga una mejor visión del triángulo de Pascal, si a
la tabla de arriba se le aplica un giro de 45 grados a favor de las
manecillas del reloj. En tal caso las diagonales del triángulo inicial se
convierten en filas del triángulo resultante.
Matemático, físico,
filósofo y teólogo francés.
Considerado el padre de
las computadoras.
Blaise Pascal
(1 623 - 1 662)

70. 62
Si observamos con detención nos daremos cuenta que los coeficientes
del desarrollo de (a + b)n
presentan las siguientes características:
1. Los términos primero y último tienen coeficiente a la unidad.
2. Los coeficientes organizados de varios desarrollos del binomio
(a + b)n
, con n tomando valores consecutivos a partir de cero, dan
origen a la formación de un triángulo con las siguientes propiedades:
a. Cada coeficiente distinto de uno, es la suma de los coeficientes
adyacentes de la fila anterior.
b. Trazando una línea central en el triángulo, los números
equidistantes de cada fila, son iguales. Es decir, hay simetría
con respecto a la línea central.
c. El número de coeficientes de cada caso es igual al exponente
aumentado en uno.
Escriba los valores de la siguiente fila del triángulo de Pascal. Los
valores correctos son los coeficientes de la expansión de (a + b)5
.
En la expansión de (a + b)n
, el exponente de a despunta con el valor
de n y luego, en cada nuevo término va disminuyendo de uno en uno
hasta llegar a cero, entre tanto, el exponente de b, arranca con el valor
de cero y va aumentando de uno en uno hasta alcanzar del valor de n
en el último término.
“Un Matemático es un
quijote moderno que
lucha en un mundo
real con armas
imaginarias.”
P. Corcho
"El valor de la felicidad
eterna es infinito."
Blaise Pascal
¡Importante!
La raíz n-ésima de un
número negativo a, existe
si n es impar. En tal caso
− =−a an n

71. 63
Determinar los valores de las filas 7 y 8 del triángulo de Pascal y
encuentren las expansiones de (a + b)7
y (a + b)8
.
En el siguiente segmento vamos a considerar las potencias con base
real y exponente fraccionario del tipo 1
n
, donde n es un entero no nulo.
Potencias de base real y exponente racional
Recuerde, reflexione y concluya
I. ¿Qué número elevado a 6, da como resultado 15 625?
Para responder a esta pregunta descompongamos el número 15 625
en sus factores primos. La descomposición que muestra en la parte
izquierda indica que:
15 625 = 56
.
Por tanto el número buscado es 5.
II. ¿Qué número elevado al cubo es igual a 343?
III. Complete encontrando la base que corresponda de manera que se
obtenga una proposición verdadera.
1. ( )3
= 64
2. ( )5
= 32
3. ( )2
= 1 316
4. ( )3
= 1 331
5. ( )7
= 0
6. ( )13
= 1
IV. Indique cuáles de los siguientes números son iguales a una potencia
de algún número entero.
a) 5 607 b) 1 316 c) 147 d) 1 728 e) 2 401
Matemático francés,
gran divulgador del
método científico,
realizó estudios en las
4 grandes divisiones
de la Matemática:
Aritmética, Álgebra,
Geometría y Análisis.
Jules-Henri Poincaré
(1 854- 1 912)
15 625 5
3 125 5
625 5
125 5
25 5
5 5
1

72. 64
Raíz de un número real positivo
El número 0,0016 es la cuarta potencia de 0,2, e n forma equivalente
se dice que 0,2 es la raíz cuarta de 0,0016 y se escribe:
0 2 0 00164
, ,=
Análogamente 1,3 es la raíz cuadrada de 1,69:
1 3 1 69, ,=
pues,
(1,3)2
= 1,69.
Del mismo modo, 0,3 es la raíz cúbica de 0,027; simbólicamente:
0 3 0 0273
, ,=
ya que,
0,027.
Puede demostrarse que para todo número real a > 0 existe un número
real b > 0, tal que:
a = bn
En tal caso diremos que b es la raíz n-ésima de a y escribiremos:
b an
=
Raíz de un número negativo
Sea a un número real negativo y n un número natural impar mayor que
cero.
Como a < 0, el valor absoluto de a es –a, es decir –a = |a| > 0
Luego, puesto que todo número positivo tiene raíz n-ésima, existe un
número real positivo c tal que –a = cn
.
Al multiplicar ambos lados de la igualdad por -1 se obtiene:
a = (-1)cn
.
Matemático suizo, el
más prolífero de la
historia. Euler escribía
sus trabajos con
la facilidad que un
escritor fluído escribe
a un amigo íntimo. Se
necesitarían alrededor
de 80 volúmenes
en cuarto para la
publicación de todas
sus obras.
Leonard Euler
(1 707- 1 783)

73. 65
Dado que n es impar se tiene -1 = (-1)n
, por lo que al hacer la sustitución
en la parte derecha, obtenemos
a = (-1)n
cn
.
Ahora aplicamos la tercera ley de los exponentes y llegamos a que
a = (-1(c))n
,
es decir,
a = -cn
.
Declaremos b = -c. Entonces b < 0 y a = bn
.
De esta manera hemos probado que existe un número real negativo
b tal que a = bn
. Tal número se llama raíz n - ésima de a y escribimos:
a bn
=
Puesto que 0n
= 0 para todo entero positivo n, definimos:
0 0n
=
Resumiendo, tenemos:
Sean a y b números reales y n un número natural mayor que 1. Se dice
que b es la raíz n - ésima de a y se escribe:
a bn
=
• Si a ≥ 0 y b es un número no negativo tal que a = bn
.
• Si a < 0, n es impar, y b es un número negativo tal que a = bn
.
De la definición tenemos que cuando a y b son números no negativos,
o bien cuando a y b son negativos y n es impar, entonces
a b b an n
= ⇔ =
El símbolo ⟺ se lee “sí y sólo si” o “cuando y solamente cuando”
Puesto que 25
= 32, la raíz quinta de 32 es igual a 2. Simbólicamente,
32 25
=
Paracadaunadelassiguientesexpresionesescribaunaequivalente
usando radicales:
43
= b x5
= 23 y = x6
Ejemplo 1

74. 66
La raíz n-ésima también se escribe en forma exponencial como:
an
1
es decir,
a an n
1
=
En el radical an
el número a es radicando o cantidad sub-radical y n
se denomina índice. De modo que, el denominador del exponente y la
base de la notación del exponencial son, respectivamente, el índice y
el radicando en la notación radical.
Escriba un radical con índice 6 y sub-radicando igual a 3,14.
Transcriba el resultado a notación exponencial.
Escribir una expresión equivalente a 7
1
3
= x , usando exponente
entero.
Puesto que 7 7
1
3 3
= , la igualdad planteada indica que x es la raíz
tercera de 7, o lo que es lo mismo, 7 es la tercera potencia de x, es
decir, 7 = x3
. Por tanto, la expresión equivalente es
7 = x3
,
o por simetría de la igualdad, x3
= 7.
Compruebe lo aprendido.
1. Para cada una de las siguientes igualdades, encuentre la expresión
equivalente usando exponentes enteros
1. 2 3
1
64
= b 2. x
1
4
5= 3. 12
1
7
= a 4. x y=
1
8
2. Hallar una expresión equivalente, pero con exponente fraccionario.
1. x5
= 6 2. u = a21
3. 57
= 78 125 4. π = b9
3. Suponga que a es un número real y que n es un número entero
mayor que 1. Llene los espacios en blanco de modo que el discurso
resulte correcto.
a. Suponga que an
existe y que
a bn
=
Importante
La raíz cuadrada
de -1 no existe en
el conjunto de los
números reales ya que
no existe, un número
real b que cumpla que
b2
= -1.
En efecto, todo número
real elevado al cuadrado
da un número positivo o
cero.
Cuando n = 2, el índice
del radical se omite y
escribimos:
a
en lugar de
a2
Ejemplo 2

75. 67
Esto significa que,
a = ( )n
.
De acuerdo con la igualdad planteada inicialmente uno puede
sustituir b por a bn
= en la segunda igualdad para obtener:
a an
= ( )
( )
b. Asuma que a ≥ 0. Si b = an
, entonces b ≥ 0 y a n
=
La primera igualdad indica que podemos sustituir b por an
en la
segunda igualdad, con lo cual se obtiene:
a
n
n
= ( )
c. Suponga que a < 0 y que n es impar. Si b = an
, entonces b < 0 y
a n
=
De acuerdo con la primera igualdad, al hacer la sustitución
correspondiente en la segunda, obtenemos:
a
n
n
= ( )
d. Considere que a < 0 y que n es par. Entonces an
> 0
y an
= |a|n
por lo cual a ann
= .
4. Use los resultados obtenidos en el punto anterior para evaluar cada
expresión:
a. 2 6
8
8
8
,( )





b. −( )0 235
5
,
c. 6966
d. −( )0 1
7
7
,
e. 0 12
2 3
6 ,( )( )
f. −( )0 9
14
14
,
¿Por qué?
Las raíces con índice par
de números negativos,
no existen en el ámbito
de los números reales.
“Las Matemáticas no son
un recorrido prudente por
una autopista despejada,
sino un viaje a un terreno
salvaje y extraño, en el
cual los exploradores se
pierden a menudo.”
W.S. Anglin

76. 68
Leyes de los radicales
Producto de dos radicales del mismo índice
Sean dos números reales a y b. Supongamos que existen las raíces
a4
y b4
, y que u a= 4
y v b= 4 .
Traduzcamos estas expresiones a una forma equivalente usando
exponente entero:
u4
= a y v4
= b
Al multiplicar a por b, ó lo que es lo mismo, u4
por v4
, aplicando la
tercera regla de las leyes de los exponentes, obtenemos que:
ab = u4
∙ v4
= (u ∙ v)4
pero la igualdad,
ab = (u ∙ v)4
equivale a decir que u ∙ v es la raíz n-ésima de ab, es decir,
u ∙ v = ab4
Sustituyendo u y v por a4
y b4
, respectivamente, llegamos a la conclusión de
que:
a b a b4 4 4
⋅ = ⋅
Repita este esquema de razonamiento partiendo de las igualdades
u a= 5
y v b= 5
.¿Qué resultado obtiene? ¿Es similar si el índice es
2? y ¿Si es 3?
¿Qué resultado general prefiguran los casos particulares
considerados?
Simplifique 3 74 4
⋅
De acuerdo con la regla anterior,
3 7 3 7 214 4 4 4
⋅ = ⋅ =
Simplifique los siguientes productos:
1. 5 253 3
⋅
2. 3 274 4
⋅
Ejemplo 3

77. 69
Radical de un radical
Si m y n son enteros positivos y a es un número real para el cual
existen las raíces am y amn
, y si,
a bmn
= ,
entonces, por definición de raíz n-ésima,
a bm n
= ,
de donde, ahora por definición de raíz n-ésima,
a = (bn
)m
.
Luego, por las leyes de los exponentes,
a = bnm
,
lo que en notación radical se escribe como:
a bnm
= .
Pero, b fue elegido de tal manera que,
b amn
=
así que, por transitividad de la igualdad, obtenemos:
a anm mn
=
Simplifique la expresión:
πmn
De acuerdo con la regla que acabamos de verificar π πmn n m
=
⋅
Simplifique:
a. e24
b. x43
c. a538
El símbolo de radical
lo introdujo por primera
vez el matemático
alemán Christoph Rudolff
en 1 525
Ejemplo 4

78. 70
Cociente de radicales del mismo índice
Cuando las raíces y los cocientes involucrados existen, vale la siguiente
ley:
a
b
a
b
n
n
n=
Para demostrar este resultado, primero denotamos las raíces an
y
bn
por u y v respectivamente:
u an
= ,v bn
=
Luego trasladamos estas expresiones a la notación exponencial:
a = un
, b = vn
Enseguida indicamos el cociente de a entre b, es decir, un
entre vn
y
aplicamos las leyes de los exponentes.
a
b
u
v
u
v
n
n
n
= =






De aquí obtenemos la igualdad:
a
b
u
v
n
=






Así, por definición de raíz n-ésima, se concluye que:
a
b
u
v
n =
Ahora solo resta sustituir u por an
y v por bn
en la última igualdad.
Obtenemos:
a
b
a
b
n
n
n=
Simplifique el radical
64
2
5
5
Tenemos
64
2
64
2
32 2 2
5
5
5 5 55
= = = =
Matemático alemán,
defendía que la
aritmética debía
estar fundada en
los números enteros
prescindiendo de
los irracionales e
imaginarios.
Leopold Kronecker
(1 823 - 1 891)
Ejemplo 5

79. 71
Resumiendo, tenemos que, si a, b son números reales y m, n son
enteros positivos, y las raíces y los cocientes implicados existen,
entonces tienen lugar las
Leyes de los radicales
a b a bn n n
⋅ = ⋅
a
b
a
b
n
n
n=
a amn nm
=
Otras propiedades de los radicales son:
a an
n
( ) = , si an
existe
ann
= a, si a ≥ 0.
ann
= a, si a < 0 y n es impar
ann
= |a|, si a < 0 y n es par
Por ejemplo,
a. 2 299
= b. −( ) = −3 3
5
5
c. −( ) = − =3 3 3
4
4
| |
Ahora podemos definir las potencias de exponente racional
Definición de potencia de exponente racional
Si
m
n
es un número real y n es un entero mayor que 1, y si es un
número real tal que existe, entonces,
1. a an n
1
= 2. a a
m
n n
m
= ( )
En esta definición, a ≠ 0 cuando m sea negativo.
Para el caso en que a = 9, m = 3 y n = 2, tenemos :
9 9 3 27
3
2 2
3
3
= ( ) = =
Evaluar cada radical
a) −( )0 00032
2
5, b) −( )0 00032
3
5,
Antes de la creación
del símbolo se
utilizó la letra R para
indicar la extracción de
raíz.
Así, en lugar de 5 se
escribía R5.
La acción del operador
R llegaba hasta donde
comenzaba un espacio
en blanco.
Por ejemplo, en
lugar de x + −5 6 se
escribía
R(x + 5) - 6
En el tiempo que se
usaba la letra p para
la suma y la m para la
resta, esto se vería así:
R(xp5
)m6
Ejemplo 6

80. 72
Puesto que (-0,2)5
= -0,00032, se tiene:
−0 000325
, = -0,2.
Luego,
−( ) = −( ) = −( ) =0 00032 0 00032 0 2 0 4
2
5 5
2 2
, , , ,
y
−( ) = −( ) = −( ) = −0 00032 0 00032 0 2 0 08
3
5 5
3 3
, , , ,
Cuando la raíz an
existe, tiene lugar la igualdad a a
m
n mn
= para todo
entero m y todo entero n > 1.
En efecto, de la definición de potencia de exponente entero positivo,
y de la primera ley de los radicales, se deduce, que si a es un número
real y m es un entero positivo, y si existe an
, entonces,
a a a a a a a an
m
n n n n mn
( ) = ( )( )⋅ ⋅( )= ⋅ ⋅ ⋅ =... ...
m veces m veces
Si m es par, entonces am
≥ 0 y la raíz amn
existe. Si a es negativo,
entonces para que exista an
, n debe ser negativo y, en tal caso
también existe la raíz amn
. Esto prueba que:
a a
m
n mn
=
££ Se deja como ejercicio verificar que cuando a ≠ 0 y m ≤ 0, y la raíz
amn
existe, entonces también vale la igualdad:
a a
m
n mn
=
Exprese como un solo radical.
x x
−
⋅
3
5
7
5
Expresando cada factor como un radical y por primera ley de los
radicales, tenemos
x x x x x x x
−
− −
⋅ = ⋅ = =
3
5
7
5 35 75 3 75 45
"Lo que oyes lo olvidas,
lo que ves lo recuerdas,
lo que haces lo
aprendes."
Proverbio chino
Ejemplo 7

81. 73
Las leyes de los exponentes valen también para exponentes racionales
cuando las potencias y los cocientes involucrados existen.
Escriba en forma de radical cada una de las siguientes expresiones
1. 6 6
5
3
2
3
⋅ 2.
x
y
3
4
2
3
Por las leyes estudiadas anteriormente, tenemos que:
6 6 6 6 6
5
3
2
3
5
3
2
3
7
3 73
⋅ = = =
+
y x
y
x
y
x
y
x
y
3
4
3
4
3
4
3
4
3
3
4=





 =





 =
Escribir la siguiente expresión como un solo radical.
x
x
x
x
53
76
5
3
7
6
=
Enseguida aplicamos la ley de los exponentes y la definición de raíz:
x
x
x
x
x x
53
76
5
3
7
6
5
3
7
6
1
2
= = =
−
y finalmente; por la definición de raíz:
x
x
x x
53
76
1
2
= =
Radicales equivalentes
Si
m
n
y
p
q
son fracciones equivalentes, entonces obviamente las
potencias a
m
n
y a
p
q
, si existen, deben ser iguales, así se tiene que:
m
n
p
q
a a
m
n
p
q
= ⇒ =
La validez del caso recíproco está garantizada cuando a es un número
positivo diferente de 0 y 1.
Recuerde
Dos fracciones
a
b
y
c
d
son quivalentes, es decir,
a
b
c
d
= , sí y solo si
a · d = b · c
Por ejemplo,
2
5
10
25
=
porque
(2)(25) = (10)(5)
Ejemplo 8
Ejemplo 9

82. 74
Esta igualdad en radicales se expresa como:
a amn pq
=
Dado un radical, podemos obtener uno equivalente multiplicando el
índice y el exponente del radicando por un mismo número natural.
En efecto, mediante tal acción, las potencias asociadas tendrán
exponentes fraccionarios equivalentes. Mediante este método, llamado
amplificación del radical, se pueden obtener infinidad de radicales
equivalentes
Amplificar el radical h54
Multipliquemos el exponente del radicando y el índice del radical por
dos. Obtenemos el radical equivalente:
h h54 108
=
Compruebe lo aprendido.
Encuentre otros radicales equivalentes al radical dado en este ejemplo.
Simplificación del radical.
Otra forma de obtener un radical equivalente es dividir el exponente
del radicando y el índice del radical por un divisor común.
Simplificar
x2454
.
Dividamos el índice del radical y el exponente del radicando por 3:
x x2454 818
=
Luego x x818 49
=
Simplifique el radical dado en el ejemplo 11, de manera que el
exponente del radicando y el índice del radical sean primos relativos.
Diremos que un radical es irreducible cuando la fracción del exponente
de la potencia asociada es irreducible.
Dos números
naturales son
coprimos o primos
relativos si su máximo
común divisor es igual
a 1.
Una fracción es
irreducible, si el
máximo común divisor
del numerador y el
denominador es igual a 1
Importante
m
n
mk
nk
a a
a a
m
n
mk
nk
mn mknk
=
⇓
=
⇓
=
Ejemplo 10
Ejemplo 11

83. 75
En otras palabras, un radical es irreducible si el índice del radical y el
exponente del radicando son primos relativos.
Obtener un radical irreducible equivalente a x1620
Escribimos el radical dado en forma exponencial, simplificamos la
fracción del exponente hasta obtener una fracción irreducible y luego
pasamos el resultado a la forma exponencial.
x x x x1620
16
20
4
5 45
= = =
Otra manera de llegar al resultado consiste en dividir el índice del
radical y el exponente del radicando entre su máximo común divisor. En
efecto, con tal acción la pareja de números resultantes serán primos
relativos, por lo cual el exponente de la potencia asociada al radical
resultante será una fracción irreducible.
Hallar un radical irreducible equivalente a x2030
El máximo común divisor de 30 y 20 es 10, por lo que dividiendo el
exponente del radicando y el índice del radical por 10, obtenemos que:
x x2030 23
=
donde el radical de la parte derecha es irreducible.
Introducción y extracción de factores en un radical
Para introducir un factor dentro de un radical se eleva el factor a la
potencia que indica el índice y se escribe dentro, así:
b a b an nn
=
Si algún factor del radicando tiene como exponente un múltiplo del
índice, como ocurre con x6
en el radical
x y6 23
entonces podemos extraer dicho factor, pero cambiando el exponente
por el cociente de la división entre el exponente original y el índice del
radical.
El máximo común
divisor de dos o más
números enteros es el
mayor de los divisores
comunes de dichos
números.
Ejemplo 12
Ejemplo 13

84. 76
Supongamos que un factor del radicando tiene por exponente un
número mayor que el índice, como ocurre con el factor x7
en el radical
x y7 23
En tal caso podemos expresar el exponente como la suma de un
múltiplo del índice del radical y un número menor que dicho índice.
x y x y x x y7 23 3 2 1 23 2 3 1 23
= ⋅ =⋅ + ⋅
,
en seguida aplicamos la ley de los exponentes para expresar el factor
como un producto de dos factores, uno de los cuales tiene como
exponente a un múltiplo del radical. A este factor le aplicamos la
extracción anteriormente descrita en los párrafos anteriores. El otro
factor queda dentro del radical.
x y x x y x xy7 23 6 1 23 2 23
= = =
Observación. Dados dos números naturales m y n, para expresar m
como la suma de un múltiplo de n y un número menor que n,efectuamos
la división entera de m entre n; si c es el cociente de dicha división
y r es el residuo, entonces la representación buscada es:
m = nc + r.
Compruebe lo aprendido.
Extraiga los factores necesarios para que el radicando resultante sólo
contenga factores con exponentes menores que el índice del radical.
x y82 4634
Radicales semejantes
Dos o más radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el
mismo radicando. Pueden diferir solamente en el coeficiente que los
multiplica.
Atendiendo a la propiedad distributiva, los radicales semejantes pueden
sumarse o restarse:
r b s b r s bn n n
+ = +( )
r b s b r s bn n n
− = −( )
Algoritmo de
Euclides
Si m, n ∈ ℤ, n ≠ 0,
entonces, existen
enteros únicos c y r,
tales que:
m
m: dividendo
n: divisor, n ≠ 0
c: cociente
r: residuo
n
n · c + r=
Radicales semejantes
r bn
, s bn
5 94
, 3 94

85. 77
Es decir que, para sumar o restar dos radicales, se suman o restan los
coeficientes.
Efectuar las operaciones indicadas
1. 3 5 8 54 4
+
2. 7 93 3
π π−
Por la propiedad distributiva tenemos:
1. 3 5 8 5 3 8 5 11 54 4 44
+ = +( ) =
2. 7 9 7 9 23 3 3 3
π π π π− = −( ) = −
Realizar las operaciones indicadas
3 5 7 135 5 5 5
e e e e− − +
Agrupamos los coeficientes para obtener:
3 5 7 13 3 5 7 13 45 5 5 5 5 5
e e e e e e− − + = − − +( ) =
Compruebe lo aprendido.
I. Complete usando la definición de raíz:
1. a b a b3
= ⇔ =
2. 8 85
= ⇔ =m m
3. 73
= ⇔ =t t
4. p q pk = ⇔ =
II. Determine el valor de las siguientes expresiones
π33
;
−( )e
4
4
;
−( )



6 133
3
,
III. Escriba cada cociente como un solo radical
1.
3
8
3
3
2. 6
3
5
5
3. 100
4
4
4
π
π
Ejemplo 14
Ejemplo 15

86. 78
IV. Piense y analice, ¿por qué en los números reales no está definida
la raíz cuadrada de -3?
V. ¿Cuáles de las siguientes raíces existen en el conjunto de los
números reales: −53
, −64
, 0 20106
, , −7 , π?
VI. Simplifique:
1. e e
5
3
3
4
⋅
−
2. π
− −
⋅
5
8
6
5
e
3. 3
1
5
3
8
( )








4. π
− −
⋅
7
5
7
4
e
5.
2
3
7
3
7
π
π
( )
6. 0 732
0 733
3
4
5
2
,
,
( )
( )
7. x y z15 12 53
8. a5040
9. x y
x y
13 125
2 55 −
VII. Efectúe las operaciones indicadas.
a) 67 19 523 23 23
a a a− +
b) 2 334 34 34
m m m+ −
c) 6 5 2 3 3 4 2 3 4 2 33 3 3
, , , , ,+ −
VIII. Escriba como un solo radical.
a) x x38
b) a753
IX. Escriba como una potencia de exponente racional.
a)
x
1
b)
1
43
u
c)
x
x
25
55
d) a b34 3
e) x y38
f) y212

87. 79
Ejercicios de Cierre de Unidad
1. Escriba los siguientes radicales como potencias de exponentes fraccionarios:
a. 716
b. 45
c. x512
d. b34
e. 17 +( )x
2. Escriba las siguientes potencias como radicales:
a. 7
5
12
b. π
13
28
c. x
3
5
d. 1
7
8+( )a
e. a b−( )
3
2
3. Escriba un radical equivalente amplificando el radical dado.
a. 57
b. x47
c. y23
d. π 68
e. ( )a b+ 35
4. Escriba un radical equivalente simplificando el dado.
a. x3220
b. a3645
c. u4812
d.
( )a b− 2835
e.
u v+( )
32
52
5. Escriba un radical equivalente irreducible al dado.
a. x5412
b. ( )x y− 46
c. u1272
d.
2
3
28
15





 e. ( )1 1524
− x
6. Introduzca los factores dentro del radical.
a. 3 26
b. 5 33
c. 7 72
d. 12 32
e.
f. ( )a b c+ 23
7. Extraiga los factores del radical.
a. x306
b.
3 6 23
x y
c. x y10 255
d. x194
e.
x y15 125
f.

88. 80
8. Indique qué radicales son semejantes.
a. 3 104
; 5 104
; −4 104
b. 335
; 4 85
c. 103
; 105
9. Efectúe las operaciones indicadas.
a. 3 2 3 8 3 4 35 5 5 5
+ − +
b. 7 3 5 176 6 6 6
x x x x+ − +
c. 3 2 5 3 84 4 4
mn mn mn− +, ,
d. 10 3 2 75 3 343x x x− +
e. 12 27 2 33 3
b b b b− +
f. 3 24 54 2 150− +
g. 50 32 8+ −
10. Exprese como un solo radical.
a.
7 47
b.
c. x y
x
7 24
34
11. En cada uno de los ejercicios siguientes escriba como un radical equivalente con índice
igual al mínimo común múltiplo de los índices de los radicales dados.
a. x23
; y35
b. a34
; b3
; b26
c. 3 25
a ; 5 312
b

89. Unidad 3
Factorización
El Gobierno Sandinista a través de sus instituciones realizó durante el periodo de la Alerta Roja (Abril 2014)
una serie de actividades encaminadas a fortalecer los mecanismos de enfrentamiento de las emergencias
sísmicas.
Las instituciones que conformaron el Gabinete de Seguridad Humana y Ciudadana, durante la Alerta Roja
dieron cumplimiento a un modelo de trabajo que estaba encaminado a salvaguardar la vida de las familias
y a brindar acompañamiento a los más afectados por los terremotos en los municipios de Managua,
Nagarote, Mateare y La Paz Centro.
Fuente: 19 digital
20 de Abril 2014

90. 82
Factorización
Introducción
En distintas áreas de la matemática, la factorización juega un rol de
enorme importancia en el tratamiento de los objetos de estudio.
En matemática, específicamente en Álgebra, factorizar un objeto
significa descomponerlo como un producto de otros objetos de la
misma naturaleza. En particular, factorizar un polinomio consiste en
expresarlo como un producto de otros polinomios; cada polinomio en
el producto es un factor del polinomio original.
Esta unidad está dedicada a la factorización de polinomios. Los
conocimientos, habilidades y experiencias adquiridas en los cursos
precedentes serán de gran utilidad, en particular, el estudio de los
polinomios, y en especial, los denominados productos notables o
productos especiales.
Extracción de Factor Común
Recuerde, reflexione y concluya
1. Antes de empezar es necesario ponerse al día con algunos
conceptos y resultados de los cursos anteriores.
a. Explique qué es un monomio. y ¿un binomio? Ejemplifique
b. ¿Cuántos términos tiene un trinomio? Formule un ejemplo.
c. Multiplique (3x2
)(5x3
yz)
d. Simplifique la expresión (3m2
)3
.
e. Determine el grado de cada uno de los siguientes polinomios
a. 7x3
- 6x - 3
b. 6x2
+ 8
c. 5x - 9
2. Halle el grado total de los siguientes polinomios
a. 5x2
y7
z
b. 8xy3
-3x2
y2
+ 5x2
y + 7
En su estudio sobre
los fundamentos del
Álgebra introdujo un
sistema de notación
que hacía uso de
letras en las fórmulas
algebraicas.
Propiedad
Distributiva
a (b + c) = ab + ac
a (b - c) = ab - ac
Recuerde
La igualdad es una
relación simétrica, es
decir:
Sí,
a = b,
entonces,
b = a.
François Viête
Matemático francés
1 540-1 603

91. 83
c. Indique el término cúbico, el cuadrático, el lineal (es decir, el de
grado 1), y el término constante del polinomio
3 + 8x - 6x3
+ 35x2
.
d. Si elevamos al cuadrado cada término del polinomio dado, ¿qué
polinomio resulta?
• 2x - 5y • 3u - 7v • 6m5
- 11n3
e. ¿Y si cada término se eleva al cubo?
f. Extraiga raíz cuadrada a cada término del polinomio dado. ¿Qué
polinomio se obtiene?
• 25x2
- 81w2
• 144m2
- 9n2
• 16p4
- 49q6
g. ¿Qué polinomio se obtiene si se extrae raíz cúbica a cada término
de la expresión dada?
• 125x3
+ 27y3
• 8m3
- 125n3
• 64k6
- 343r15
3. De acuerdo con la propiedad distributiva
3r (a + s) = 3ra + 3rs,
y de aquí, por simetría, se obtiene la igualdad equivalente
3ra + 3rs = 3r (a + s).
En forma similar, use la propiedad distributiva para desarrollar cada
uno de los siguientes productos indicados.
a. 2x (y + z)
b. 5mn (p - r)
c. 7s (a + b - c)
d. 3pr (d - a - c)
Igual que en el ejemplo arriba expuesto, en cada caso usted obtendrá
una igualdad, cuya parte izquierda es la expresión dada y la parte
derecha es el desarrollo encontrado. Aplique la propiedad de simetría
para obtener una igualdad equivalente.
4. En cada igualdad encontrada, ¿qué tienen en común los términos
de la parte izquierda con el producto de la parte derecha?
5. Analice y reflexione. Sobre la base de los resultados observados,
¿qué estrategia de factorización puede plantearse?
“El álgebra es muy
generosa. Siempre
nos dice más de lo que
le preguntamos.”
D'Alembert
Observe que 3r es
factor común de
los términos de la
parte izquierda y del
producto de la parte
derecha.
Por simetría de la
igualdad, la propiedad
distributiva puede
escribirse:
ab + ac = a (b + c)
ab -ac = a (b - c)

92. 84
6. Identifique los factores comunes de los términos de cada polinomio.
a. 3xyz + 3xzm b.
π π
2 2
mns mnk+ c. ta + 2tb - t
7. Factorice cada polinomio usando la táctica obtenida en el punto
anterior. ¿Qué factores intervienen en la factorización?
Seguramente usted habrá llegado a la conclusión de que, si una
expresión es factor común de todos los términos de un polinomio,
entonces dicha expresión aparecerá como un primer factor en la
factorización del polinomio. El segundo factor es el cociente entre el
polinomio y la expresión.
Factorice el polinomio 6mxy + 6mz.
En virtud de la propiedad distributiva, por estar 6m en ambos términos
se puede escribir
6mxy + 6mz = 6m(xy + z)
El primer factor de la parte derecha es 6m, el factor común de los
términos del polinomio.
Factor
común
6mxy + 6mz = (xy + z) 6mxy + 6mz
xy + z
El otro factor se halla dividiendo el polinomio original entre 6m, o bien
tachando 6m en cada término.
££ Identifique los factores comunes. Usando la propiedad distributiva
encuentre, para cada una de las siguientes expresiones, un producto
indicado equivalente.
1. 4tx + 4ty
2. bam + xam - cam
3. (x + y)m + (x + y)n
4. a(x + y) + b(x + y)
5. 7x2
+ 11x2
- 2x5
+ 9x4
6. 3(x + 1) - 5(x + 1) + x2
(x + 1)
7.
3
4
3
4
xr xn+
8. 4
3
8
9
16
15
2
3
3 7 5
m m m m− + −
Matemático noruego
que vivió toda su vida
en extrema pobreza.
Fué uno de los más
grandes algebristas del
siglo XIX. Demostró el
Teorema General del
Binomio
Niels Henrik Abel
(1 802 - 1 829)
Ejemplo 1

93. 85
El procedimiento utilizado en el ejemplo 1, en el vocabulario matemática
se conoce como extracción de factor común. En realidad se trata de
una aplicación de la propiedad distributiva, habida cuenta de la simetría
de la igualdad.
En efecto, por la propiedad distributiva, las expresiones
ax + ay , ax - ay
son los desarrollos de los productos indicados
a(x + y) y a(x - y),
respectivamente, de modo que, por simetría de la igualdad,
ax + ay = a(x + y) y ax - ay = a(x - y).
Estas igualdades indican que para factorizar un polinomio cuyos
términos tienen un factor común a, debe sacarse éste como un primer
factor de la factorización buscada. Un segundo factor se halla sacando
literalmente del polinomio el factor común a, es decir, borrándolo o
tachándolo.
Se acostumbra poner a la izquierda el factor común pero, en virtud de
la propiedad conmutativa de la multiplicación, bien puede ponerse a la
derecha. Es decir,
xa + ya = (x + y) a = a (x + y)
xa - ya = (x - y) a = a (x - y).
El factor común a extraer en una factorización podría no ser un monomio
como en el siguiente ejemplo.
Factorizar la expresión (x - 1) x + (x - 1)3
En este caso el factor común es x - 1,
(x - 1) x + (x - 1)3
lo extraemos
(x - 1) ( )
reservando espacio después de él para escribir la suma de los otros
factores, x, 3 , de los productos (x - 1)x y (2x + 1)3.
Finalmente,
(x - 1) x + (x - 1) 3 = (x - 1) (x + 3)
Observe que el segundo factor de la derecha se halla dividiendo la
expresión de la parte izquierda entre (x - 1).
Conoce tu país!
El departamento con más
municipios de Nicaragua
es:
CHONTALES
Chontales “donde
los ríos son de leche
y las piedras de
cuajada” cuenta con 14
municipios.
Ejemplo 2
(x - 1) x + (x - 1)3
x + 3

94. 86
Factorizar la expresión 4u (u - 5) - 7(u - 5).
En este ejercicio el factor común es u - 5. Los otros factores que lo
acompañan en los dos términos de la expresión son 4u y 7. Escribimos
entre paréntesis el factor común, y en otro paréntesis los otros factores
(u - 5) (4u - 7)
La factorización es:
4u (u - 5) - 7 (u - 5) = (u - 5) (4u - 7).
Observe que el segundo factor de la parte derecha de la igualdad se
obtiene eliminando el factor común (u - 5) de la parte izquierda.
Como usted habrá notado en los ejemplos, el factor común a extraer
puede ser un monomio o un polinomio de dos o más términos. En
todos los casos tratados, este factor se distinguía fácilmente de un solo
vistazo, de manera que la aplicación de la propiedad distributiva era
inmediata. Sin embargo, esta no es la generalidad, de manera que en
muchas situaciones se debe transformar el polinomio que se requiere
factorizar y realizar algunos cálculos y manipulaciones algebraicas
para poder visualizar el factor común.
Factor Común Monomio
Considere el polinomio 12x2
y4
z3
w + 16x3
y3
z5
r - 20x4
y5
z.
a. Halle el máximo común divisor de los coeficientes.
b. Identifique las letras que son comunes a todos los términos del
polinomio y tómelas con su menor exponente.
c. Multiplique los resultados de los incisos a) y b).
Con este procedimiento usted puede visualizar el factor común a
extraer para obtener la factorización del polinomio; es precisamente
el monomio obtenido en este inciso c).
d. Factorice el polinomio dado, tomando el monomio encontrado en el
inciso c) como un primer factor. ¿Cómo se halla el segundo factor?
££ Repita el ejercicio con el polinomio 5a2
b3
- 45a4
b.
Un monomio es divisor de otro monomio si el coeficiente del primero es
divisor del coeficiente del segundo y cada literal del primero aparece
en el segundo monomio con menor o igual exponente.
Recuerde
Un monomio es una
expresión algebraica de
un solo término igual al
producto de un número
por una o varias letras
elevadas a potencias de
exponente natural. El
número por el cual se
multiplican las variables
se denomina coeficiente.
3x2
y3
z
es un monomio con
coeficiente igual a 3.
La parte literal es
x2
y3
z
4u (u - 5) - 7 (u - 5)
4u (u - 5) - 7 (u - 5)
4u - 7
Ejemplo 3

95. 87
Actividad en grupo
1. Encuentre todos los divisores del monomio 12x3
y2
.
2. Halle todos los divisores comunes de 12x3
y2
y 16x2
y5
z.
El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más monomios es el
monomio de mayor exponente y mayor grado que divide a todos los
monomios dados.
3. Calcule el máximo común divisor de 12x3
y2
y 16x2
y5
z.
4. Halle los cocientes entre cada monomio 12x3
y2
, 16x2
y5
z y el m.c.d.
de ambos.
5. Descomponga cada monomio 12x3
y2
, 16x2
y5
z como el producto del
m.c.d. de ellos por el cociente correspondiente.
6. Factorice el polinomio 12x3
y2
+ 16x2
y5
z.
7. Encuentre todos los divisores del monomio 12x3
y2
.
8. Factorice el polinomio 12x3
y2
+ 16x2
y5
z.
Factorizar el polinomio 36x4
- 12x3
+ 18x2
.
El máximo común divisor de los coeficientes es 6. La letra x aparece en
todos los términos del polinomio, la tomamos con su menor exponente.
El máximo común divisor de los términos del polinomio es entonces 6x2
.
Dividimos cada término entre 6x2
y lo expresamos como el producto
indicado del cociente por 6x2
.
36x4
- 12x3
+ 18x2
= 6x2
∙ 6x2
- 6x2
∙ 2x + 6x2
∙ 3.
Saquemos ahora factor común,
6x2
∙ 6x2
- 6x2
∙ 2x + 6x2
∙ 3 = 6x2
(6x2
- 2x + 3).
La factorización es:
36x4
- 12x3
+ 18x2
= 6x2
(6x2
- 2x + 3).
Observe que los términos del segundo factor de la parte derecha, son
los que resultan de dividir los términos del polinomio original entre su
máximo común divisor.
Compruebe lo aprendido.
Factorice los trinomios.
1. 4
3
8
3
10
3
5
2
7
2
9
2
x x x+ +
2. 48m-7
- 12m-8
+ 8m-5
3x2
y
es divisor de
6x2
y3
Ejemplo 4
El m. c. d. de
12x3
y2
y
16x5
yz
es
4x3
y
36
6
6
4
2
2x
x
x=
−
= −
12
6
2
3
2
x
x
x
18
6
3
2
2
x
x
=

96. 88
Factor Común Polinomio
Cuando el factor común es un polinomio el procedimiento para factorizar
es similar al caso en que dicho factor es un monomio:
Factorizar 12(x + 2)2
(y - 3) + 14(x + 2)(y - 3)2
1. El máximo común divisor de los coeficientes 12 y 14 es 2.
2. Los polinomios que aparecen como factores comunes tomados con
su menor exponente son (x + 2) y (y - 3);
3. El producto indicado de los resultados obtenidos en 1. y 2. es 2(x + 2)(y - 3).
Este es el factor común a extraer.
4. Eliminamos el factor común 2(x + 2)(y - 3) del polinomio original. El
polinomio que resulte será el segundo factor de la factorización del
polinomio dado.
Por tanto, el polinomio 12(x + 2)2
(y - 3) + 14(x + 2)(y - 3)2
ya factorizado
es igual a
2(x + 2) (y - 3)(6x + 7y - 9)
El factor 6x + 7y - 9 es el cociente de la división del polinomio dado
entre el factor 2(x + 2) (y - 3).
Algunas veces es necesario agrupar los términos del polinomio para
obtener un factor común.
Factorizar el polinomio ax + bx + ay + by
Agrupamos los términos que contienen la variable x y en otro grupo los
que contienen la variable y:
(ax + bx) + (ay + by).
Factorizamos cada grupo extrayendo factor común
x(a + b) + y(a + b).
Ahora el factor común polinomio es (a + b). Luego, la factorización es
ax + bx + ay + by = (a + b) (x + y).
Factorizar el polinomio 3x2
- 6xy - 4x + 8y
Agrupamos
(3x2
- 6xy) - (4x - 8y)
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
12 2 3
2 2 3
6 2
2
x y
x y
x
+( ) −
+( ) −( )
= +( )
( )
14 2 3
2 2 3
7 3
2
x y
x y
y
+( ) −( )
+( ) −( )
= −( )
Suma de los cocientes
6x + 7y - 9
x(a + b) + y(a + b)
Factor Común:
(a + b)
Otro factor
x(a + b) + y(a + b)
x + y

97. 89
A continuación factorizamos cada binomio:
3x(x - 2y) - 4(x - 2y).
Luego, extrayendo factor común obtenemos:
3x(x - 2y) - 4(x - 2y) = (x - 2y)(3x - 4).
Por tanto,
3x2
- 6xy - 4x + 8y = (x - 2y) (3x - 4).
Hallar la descomposición en factores del polinomio
a10
+ a9
- 4a2
- 4a.
Agrupamos a10
con - 4a2
y a9
con - 4a:
a10
+ a9
- 4a2
- 4a = (a10
- 4a2
) + (a9
- 4a).
Luego extraemos factor común en cada grupo:
a10
+ a9
- 4a2
- 4a = a2
(a8
- 4) + a(a8
- 4)
Ahora el factor común de todo el polinomio es a8
- 4. Luego,
a10
+ a9
- 4a2
- 4a = (a2
+ a) (a8
- 4)
Pero, a2
+ a todavía se puede factorizar como a(a + 1), de modo que:
a10
+ a9
- 4a2
- 4a = a (a + 1) (a8
- 4).
Compruebe lo aprendido.
Factorice los siguientes polinomios:
1. a + b + 3ac + 3bc
2. m2
- 4n2
+ m +2n
3. x3
- 3x2
+ x - 3
4. ax - 2ay - 6by +36x
5. x4
- 2 - x + 2x2
Ejemplo 8
Conoce tu país!
El departamento con
menos municipios de
Nicaragua es:
GRANADA
Granada “la Gran
Sultana” cuenta
solamente con 4
municipios:
• Granada
• Diriomo
• Diriá
• Nandaime

98. 90
Ámbito de Factorización
La factorización de una expresión se realiza con respecto a un
determinado dominio numérico D. Si se pide factorizar un polinomio en
D, los coeficientes y los términos constantes de los factores deben ser
elementos del dominio D, en este libro se factoriza en ℝ.
Las factorizaciones
1. x2
- 7x + 12 = (x - 3) (x + 4),
se realizaron en el dominio de los números enteros. En cambio,
2. x x x x2 7
3
2
2
3
3+ − = −





 +( )
3. x x x2
3 3 3− = +( ) −( ),
son factorizaciones en ℚ y �, respectivamente.
En efecto, en la primera factorización los factores
x - 3 y x + 4
son polinomios con coeficientes y término independiente en ℤ.
En la segunda factorización, aunque el segundo factor es un polinomio
en ℤ , el primero tiene un término constante, , el cual no es entero,
pero si racional.
En la tercera factorización, los términos independientes de los factores
son números irracionales y por tanto números reales.
Compruebe lo aprendido.
1. Verifique que las tres factorizaciones son correctas efectuando
los productos indicados de la parte derecha de la igualdad. ¿Qué
productos especiales están implicados?
2. Compruebe que:
x x x2
5 5 5− = +( ) −( )
3. ¿En qué ámbito numérico ocurre esta factorización?
Ejemplo 9
“Mejor que de nuestro
juicio, debemos fiarnos
del cálculo algebraico.”
L. Euler

99. 91
Polinomio Irreducible
Un polinomio es irreducible en un dominio numérico D si no se puede
expresar como el producto de dos polinomios de grados positivos y
con coeficientes en D.
El polinomio x2
+ 1 es irreducible en � y, por ende, en ℤ y en ℚ.
En efecto, si este polinomio no fuese irreducible en � , entonces se
podría expresar como el producto de dos polinomios con coeficientes
reales y de grado uno, es decir, para ciertas constantes reales
a, b, c, d, se tendría la igualdad
x2
+ 1 = (ax + b)(cx + d)
con
a ≠ 0 y c ≠ 0.
Luego la ecuación
x2
+ 1 = 0,
sería equivalente a
(ax + b)(cx + d) = 0,
la cual tiene las soluciones reales
x
b
a
= − , x
d
c
= −
(Compruébelo sustituyendo en la última ecuación.) Por tanto, estos
valores de x también serían soluciones en � de la ecuación inicial.
x2
+ 1 = 0
Pero esto significaría que hay un valor real de x tal que x2
= -1, lo cual es
imposible ya que el cuadrado de cualquier número real es un número
no negativo.
££ ¿Por qué todo polinomio de grado 1 es irreducible en � ?
La factorización ocurre en determinado dominio numérico. Un polinomio
puede ser irreducible en un dominio sin serlo en otro.
El polinomio x2
- 2 es irreducible en ℤ, pero no en �.
Conoce tu país!
El río más largo de
Nicaragua es:
RÍO COCO
El río Coco ubicado en
la región norte del país
tiene una longitud de
680 Km.
Ejemplo 10
Observación

100. 92
Realmente como se comprobará posteriormente, el polinomio
x2
- 2
no se puede expresar como el producto de dos polinomios de grados
positivos con coeficientes en ℤ , sin embargo, tiene lugar la igualdad
x x x2
2 2 2− = +( ) −( )
££ Compruebe la veracidad de esta igualdad efectuando el producto
indicado de la parte derecha ¿Qué producto notable está implicado?
Los polinomios x + 2 y x − 2 son polinomios de grado 1 en �. Por
tanto, el polinomio
x2
- 2
se puede expresar como el producto de dos polinomios de grado
positivo en �. Esto significa que este polinomio no es irreducible en �.
De aquí en adelante, a menos que se diga lo contrario, cuando
hablemos de factorización, se debe entender que el dominio numérico
en consideración es el conjunto de los números enteros.
En consecuencia, factorizar un polinomio significará expresarlo como
un producto de polinomios irreducibles en ℤ , es decir, con coeficientes
en ℤ .
Compruebe lo aprendido.
I. Factorice cada uno de los siguientes polinomios:
1. 13m3
n - 13m2
n2
+ 13mn3
2. 2y(x - 3) + 3m(x - 3)
3. 5a4
b + 5a3
b2
+ 5a2
b3
4. (m + n) p - (m + n)r
5. 34m³n³ - 51m²n
6. 5z - zw + 15 - 3z
7. 18x3
z - 30x2
z2
+ 42xz
8. 12x² - 9x + 4x - 3
9. 7pq4
- 7p2
q3
+ 7p3
q2
10. x² + 4x - 15x - 60
11. 3x3
yz7
- 9xy2
z3
+ 9x5
y7
z
12. (x2
+ 1) x + (x2
+ 1) ∙ 1
13. (x + 17) x + (x + 17)12
14. (x2
+ 1) x - (x2
+ 1) ∙ 1
15. (x4
- 3)(x2
+ x + 1)+(x4
- 3)
16. x2
y2
+ ay2
+ ab + bx2
17. 48a⁹b²c⁶ + 40a⁵b³c⁴ - 24a⁴b⁴c⁴
18. 6x3
- 9x2
+ 4x - 6
19. 4m5
+ 4n5
+ 3m + 3n
20. 2av2
+3u3
+2auv-3uv2
-2au2
-3u2
v
21. 3a - 4b + 4ab
Reforzamiento.
¿Cuál de los siguientes
binomios es irreducible?
a. x2
- 10
b. m2
+ 100
c. a2
- 54
d. z2
+ 8
Ejemplo 11

101. 93
II. Indique el ámbito de factorización de cada una de las siguientes
descomposiciones factoriales:
• x2
- 8x + 15 = (x - 5) (x - 3)
• x x x x² + − = −
−




 +
+




3 1
13 3
2
13 3
2
III. ¿Por qué un polinomio de grado uno en ℤ es irreducible?
Factorización de Diferencia de Cuadrados
Una diferencia de cuadrados, como su nombre lo indica, es una
expresión de la forma:
a2
- b2
Por ejemplo, la expresión:
4x2
- 81y2
es una diferencia de cuadrados pues,
• 4x2
es el cuadrado de 2x porque (2x)2
= 4x2
• 81y2
es el cuadrado de 9y porque (9y)2
= 81y2
• La expresión dada es la resta de 4x2
y 81y2
I. Indique cuáles de las siguientes expresiones son diferencias de
cuadrados perfectos
1. 25m2
- 81n2
2. 144p2
- 100h4
3. 144x6
- 200y2
4. 25a2
+ 9b2
5. 64m3
- 128n6
6. x10
- y10
Reto
Factoriza los polinomios
x4
+ 3x2
+ 2
e2
+ 14e + 40 + ek + 10k
Discútelos y
comparte la solución
con tus compañeros
“Defiende tu derecho a
pensar, porque incluso
pensar de manera
errónea es mejor que
no pensar.”
Hipatia

102. 94
Recuerde, reflexione y concluya
I. ¿Qué característica tienen en común las siguientes expresiones?
Dé una descripción que las englobe a todas.
1. (u + v)(u - v).
2. (5m + 3n)(5m - 3n).
3. (2x + y)(2x - y).
4. (7xy + 2z)(7xy - 2z).
II. Efectúe los productos arriba indicados. ¿Qué forma general tienen
los resultados?
III. Extraiga raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo de la diferencia
dada: 16m2
- 9n2
.
IV. ¿Qué obtenemos si multiplicamos la suma y la resta de los resultados
de la acción anterior.
V. ¿Cuál es la factorización de 16m2
- 9n2
?
VI. ¿Qué ocurre si multiplicamos la suma y la resta de las raíces
cuadradas del minuendo y el sustraendo de la expresión 81u2
- 4p2
?
VII. ¿Cuál es la factorización de 81u2
- 4p2
?
Del estudio de los productos notables sabemos que la suma por la
diferencia de dos términos es igual a la diferencia de los cuadrados de
los términos correspondientes. Por ejemplo, el producto indicado
(2x + 5) (2x - 5)
es igual a la diferencia del cuadrado de 2x y el cuadrado de 5:
(2x + 5)(2x - 5) = (2x)2
- (5)2
,
es decir,
(2x + 5)(2x - 5) = 4x2
- 25.
De aquí, por simetría, obtenemos la igualdad equivalente:
4x2
- 25 = (2x + 5) (2x - 5),
Conoce tu país!
El río más corto de
Nicaragua es:
RÍO OCHOMOGO
El río Ochomogo,
ubicado en la región del
Pacífico, cuenta con una
longitud de 25 Km.

103. 95
resultando que la descomposición factorial de 4x2
- 25 consta de dos
factores, el primero de los cuales es la suma de las raíces cuadradas
de 4x2
y 25 y el segundo factor es la diferencia entre esas mismas
raíces.
b2
a b a b a b2 2
− = +( ) −( )
a2
En general, de los productos notables se sabe que:
(a + b)(a - b) = a2
- b2
.
Luego, aplicando la simetría de la igualdad se obtiene que la
descomposición factorial de una diferencia de cuadrados, a2
- b2
, es
igual al producto de la suma de las raíces cuadradas del minuendo y el
sustraendo por la diferencia de esas mismas raíces, es decir,
a2
- b2
= (a + b)(a - b).
Observe que el minuendo del segundo factor de la descomposición
factorial es la raíz cuadrada del minuendo de la diferencia de la parte
izquierda de la igualdad.
25
4 25 2 5 2 52
x x x− = +( ) −( )
4 2
x
Encontrar la descomposición factorial del polinomio
49u4
- 4r2
.
Extraemos raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo de la expresión
dada:
• La raíz cuadrada de 49u4
es _________
• La raíz cuadrada de 4r2
es __________
Conoce tu país!
El departamento con
menor extensión de
Nicaragua es:
MASAYA
Masaya “la ciudad de
las flores” tiene una
extensión de 590 Km2
.
Ejemplo 12

104. 96
Hacemos el producto indicado de la suma por la diferencia de los dos
resultados anteriores:
(7u2
+ 2r) (7u2
- 2r)
Esta es la factorización del polinomio dado:
49u4
- 4r2
= (7u2
+ 2r)(7u2
- 2r)
Compruebe lo aprendido.
Descomponga factorialmente los siguientes polinomios:
1. 25u2
- 16y4
z6
2. (x + y)2
- y2
3. x2
y2
- u4
v2
4. (x - y)2
- (x + y)2
5. (x + y)4
- y2
6. x4
y4
- x4
w4
7. 196m2
n6
- 169p4
z2
8. 289w4
m8
- 961a2
9. (x - y)8
- (x + y)4
10. (x + y + z)2
- (x - y - z)2
11. (a - b2
)2
- (b2
- a)2
12. (m - n)4
- (m + n)4
Factorización de una Suma o Diferencia de Cubos
Recuerde, reflexione y concluya
I. Considere los siguientes productos indicados
1. (5x + 2y) (25x2
- 10xy + 4y2
)
2. (3x + 7y) (9x2
- 21xy + 49y2
)
3. (4m + 9n) (16m2
- 36mn + 81n2
)
4. (6m + n) (36m2
- 6mn + n2
)
a. Analice y comente con sus compañeros.
b. ¿Qué tienen en común los productos indicados propuestos?
c. ¿Qué relación hay entre los términos del segundo factor y los
del primero?
“Todo saber tiene de
ciencia lo que tiene de
matemática.”
Poincaré
49u4
- 4r2
49 74 2
u u=
4 22
r r=
(7u2
+ 2r) (7u2
- 2r)

105. 97
d. Efectúe los productos arriba indicados. En cada caso
explique cómo se pueden obtener los términos del resultado
a partir de los términos del primer factor del producto indicado
correspondiente.
II. Repita la actividad anterior con las siguientes expresiones
1. (5x - 2y) (25x2
+ 10xy + 4y2
)
2. (3x - 7y) (9x2
+ 21xy + 49y2
)
3. (4m - 9n) (16m2
+ 36mn + 81n2
)
4. (6m - n) (36m2
+ 6mn + n2
)
III. Considere los siguientes polinomios
1. 125x3
+ 8y3
5. 125x3
- 8y3
2. 27x3
+ 34y3
6. 27x3
- 34y3
3. 64m3
+ 729n3
7. 64m3
- 729n3
4. 216m3
+ n3
8. 216m3
- n3
¿Qué tienen en común estas expresiones? ¿A qué forma general
responden?
Sobre la base de los resultados obtenidos en la actividad 1., indique
cuál es la descomposición factorial de cada uno de los polinomios
dados.
Junto con sus compañeros de grupo formule expresiones similares
a los polinomios dados. Encuentre con ellos la factorización de
cada una de las expresiones encontradas.

106. 98
Luego de haber realizado las actividades anteriores, seguramente usted
habrá llegado a una conclusión sobre cómo obtener la descomposición
factorial de sumas y diferencias de cubos perfectos, es decir, de
polinomios de los tipos:
a3
+ b3
y
a3
- b3
.
Del estudio de los productos notables se sabe que:
(a + b) (a2
- ab + b2
) = a3
+ b3
,
y que,
(a - b)(a2
+ ab + b2
) = a3
- b3
.
Al aplicar la simetría de la igualdad a estas expresiones, obtenemos la
factorización de a3
+ b3
y de a3
- b3
. En realidad, de las dos igualdades
anteriores, por simetría se obtiene que:
a3
+ b3
= (a + b) (a2
- ab + b2
)
a3
- b3
= (a - b)(a2
+ ab + b2
)
De acuerdo con este resultado, para hallar la descomposición factorial
de una suma de cubos, a3
+ b3
:
• Extraemos primero raíz cúbica a los dos términos de la suma dada:
a a33
= , b b33
= .
• La suma de estas raíces, a + b, será el primer factor de la descomposición.
El segundo factor constará de tres términos: el cuadrado de la primera
raíz, el producto de las dos raíces, tomado con signo menos, y el
cuadrado de la segunda raíz.
Describa el proceso para hallar la descomposición factorial de una
diferencia de cubos.
Matemático griego
cuya obra Aritmética
(tratado de ecuaciones)
le atribuye el título de "el
padre del álgebra".
Diofanto de Alejandría
(d. C. 214 - d. C. 298)

107. 99
Hallar la descomposición factorial del polinomio 27x3
+ 64y3
Extraigamos raíz cúbica a los términos de la expresión dada
Raíz cúbica de 27x3
es 27 333
x x=
Raíz cúbica de 64y3
: es 64 433
y y=
Como las raíces cúbicas son exactas, la expresión dada es una suma
de cubos perfectos. La descomposición factorial tendrá como primer
factor a la suma,
3x + 4y
de las raíces encontradas. El segundo factor tiene tres términos: el
cuadrado de la primera raíz,
(3x)2
= 9x2
el producto de ambas raíces, tomado con signo menos,
-(3x)(4y) = -12xy
y el cuadrado de la segunda raíz,
(4y)2
= 16y2
Luego, la factorización buscada es:
27x3
+ 64y3
= (3x + 4y) (9x2
- 12xy + 16y2
).
Encontrar la descomposición factorial del polinomio
216m3
- 125n3
En este caso se trata de una diferencia de cubos. En efecto,
216m3
= (6m)3
, (5n)3
= 125n3
,
de modo que,
216m3
- 125n3
= (6m)3
- (5n)3
.
Ejemplo 13
“Todo lo has creado
con medida, número y
peso.”
Sabiduría 11,21
Ejemplo 14

108. 100
Para hallar la descomposición factorial primero extraemos raíz cúbica
al minuendo y al sustraendo de la diferencia dada
• La raíz cúbica de 216m3
es 6 6
3
3
m m( ) =
• La raíz cúbica de 125n3
es 5 5
3
3
n n( ) =
El primer factor de la descomposición es la diferencia entre las raíces
arriba encontradas, es decir,
6m - 5n.
El segundo factor está compuesto por tres términos: el cuadrado de la
primera raíz, el producto de las dos raíces y el cuadrado de la segunda
raíz. Es decir, es igual a:
(6m)2
+ (6m)(5n) + (5n)2
o equivalentemente,
36m2
+ 30mn + 25n2
Por tanto, la factorización es
216m3
- 125n3
= (6m - 5n) (36m2
+ 30mn + 25n2
)
Factorizar el polinomio x6
- y6
.
Podemos expresar este polinomio como una diferencia de cubos. En
efecto, por la ley de los exponentes x6
= (x2
)3
, y6
= (y2
)3
, de donde,
x6
- y6
= (x2
)3
- (y2
)3
luego, factorizando la diferencia de cubos, obtenemos:
x6
- y6
= (x2
- y2
) [ (x2
)2
+ x2
y2
+ (y2
)2
],
es decir,
x6
- y6
= (x2
- y2
)(x4
+ x2
y2
+ y4
).
Pero el primer factor de la parte derecha es una diferencia de
cuadrados, que factorizado es igual a (x + y) (x - y), de modo que, al
hacer la sustitución correspondiente obtenemos finalmente que
x6
- y6
= (x + y)(x - y)(x4
+ x2
y2
+ y4
)
Ejemplo 15
Factorización de
216m3
- 125n3
(6m)3
- (5n)3
6m - 5n
Primer Factor
6m - 5n
(6m)2
+ 30mn + (5n)2
Segundo factor

109. 101
Compruebe lo aprendido.
I. Factorizar los siguientes polinomios:
1. 27p3
- 1000h3
2. 343m3
+ 1000n6
3. 64u3
- 27g6
4. 64t3
z6
- 8w6
p15
5. 125m12
- 512k15
6. 27p12
- 729w3
7. 81n3k
- 27m3r
8. a3n
- b3m
9. 343p6r
- 512q3
10. x27
- y27
11. u3
- v6
z3
12. (a - b)3
+ a3
13. 125m12
+ 512h21
14. (x - y)3
+ y3
15. m3
- (m + n)3
16. m9w
+ (m - n)9w
Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica de la forma
a2
+ 2ab + b2
Observe que el primero y el tercer término son cuadrados perfectos.
El doble producto de las raíces cuadradas de estos dos términos da el
segundo término.
a2
+ 2(a)(b) + b2
a a2
= b b2
=
La expresión 9x2
+ 6xy + y2
es un trinomio cuadrado perfecto.
En efecto:
La raíz cuadrada de 9x2
es 3x.
La raíz cuadrada de y2
es y.
El doble producto de 3x e y es 6xy.
Por tanto, 9x2
+ 6xy + y2
= (3x + y)2
“La matemática es el
trabajo del espíritu
humano que está
destinado tanto a
estudiar como a
conocer, tanto a
buscar la verdad como
a encontrarla.”
Évariste Galois
Recuerde que:
a2
+ 2ab + b2
es el binomio:
(a + b)2
Por ejemplo:
(3x + 5y)2
es igual a:
9x2
+ 30 xy + 25y2
9 3 32 2 2
x x x= =
y y2
=
2(3x)(y) = 6xy

110. 102
Recuerde, reflexione y concluya
I. Factorice agrupando y luego extrayendo factor común a:
1. a2
+ ab + ab + b2
2. a2
- ab - ab + b2
3. 4k2
+ 6kp + 6kp + 9p2
4. 4k2
- 6kp - 6kp + 9p2
5. 16x2
- 15y - 15xy + 25y2
6. 25x2
+ 35xy + 35xy + 49y2
7. 9m2
+ 21mn + 21mn + 49n2
8. 25x2
- 35xy - 35xy + 49y2
II. Utilice los resultados anteriores para factorizar cada uno de los
siguientes polinomios:
1. 25x2
+ 70xy + 49y2
2. 16x2
- 40xy + 25y2
3. a2
+ 2ab + b2
4. a2
- 2ab + b2
Actividad en grupo
I. Determinen cuáles de las siguientes expresiones son trinomios
cuadrados perfectos
1. 49m2
+ 14mn + n2
2. 25u2
+ 40uv + 16v2
3. 81x2
+ 90xy + 4y2
4. 36x2
+ 60xw + 25w2
II. Desarrollen los siguientes binomios
1. (7m + n)2
2. (5u + 4v)2
3. (6x + 5w)2
Comparen los resultados de este ejercicio con los polinomios del
ejercicio anterior.
III. Comparta los resultados obtenidos con sus compañeros de grupo. A
partir de sus observaciones formule una estrategia para factorizar
trinomios cuadrados perfectos.
IV. Utilicen la estrategia encontrada para factorizar los siguientes
polinomios
1. 4x2
+ 48xy + 36y2
2. 64m2
+ 32mn + 4n2
Reforzamiento
Realice las
factorizaciones
indicadas:
• a2
- 2ab2
+ b4
• 4x8
+ 20x4
y + 25y2
• (a - b)2
+ 8(a - b) + 16
• x2n
+ 2xn
yn
+ y2n
• 0,01x10
- 121
• (a - 2b)2
- c2
• 729 - (x + y)3

111. 103
La expresión a2
- 2ab + b2
es también un cuadrado perfecto, surge
de sustituir a por (-a) ó b por (-b) en el trinomio cuadrado perfecto
a2
+ 2ab + b2
.
Compruebe que la expresión 16x2
- 40xw + 25w2
es un trinomio
cuadrado perfecto.
El trinomio cuadrado perfecto:
a2
+ 2ab + b2
,
surge como desarrollo del binomio,
(a + b)2
es decir,
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
.
Por simetría de la igualdad,
a2
+ 2ab + b2
= (a + b)2
y llegamos a la conclusión de que ésta es la factorización del trinomio
cuadrado perfecto.
Observe que los sumandos a y b en el interior del paréntesis de la
parte derecha, son las raíces cuadradas respectivas del primer y tercer
término del trinomio, es decir, de los términos cuadráticos.
Si en la expresión de arriba sustituimos -b en lugar de b:
a2
+ 2a(-b) + (-b)2
= (a + (-b) )2
,
obtenemos
a2
- 2ab + b2
= (a - b)2
igualdad que también se puede obtener desarrollando el binomio (a-b)2
y aplicando luego la simetría de la igualdad.
Así, para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, extraemos raíz
cuadrada a los términos cuadráticos; se suman los resultados de esta
acción si el término no cuadrático tiene signo positivo, de lo contrario
se restan. La suma o resta resultante se eleva al cuadrado.
Por la ley de los signos
(-a)2
+ 2(-a)b + b2
es igual a:
a2
- 2ab + b2
a2
+ 2ab + b2
(a + b)2
a2
b2
a2
- 2ab + b2
(a - b)2
a2
b2
(3x - 7w)2
9x2
+ 42xw + 49w2
49 2
w9 2
x

112. 104
Factorice el polinomio 9x2
+ 42xw + 49w2
Primero verifiquemos si el polinomio dado es un cuadrado perfecto.
• La raíz cuadrada de 9x2
es 3x.
• La raíz cuadrada de 49w2
es 7w.
• El doble producto 2(3x)(7w) es 42xw.
Luego, la expresión dada es un trinomio cuadrado perfecto y su
factorización es 9x2
+ 42xw + 49w2
= (3x + 7w)2
.
Factorice el polinomio 25m2
- 70mp + 49p2
Primero comprobamos si el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto.
• La raíz cuadrada de 25m2
es 5m.
• La raíz cuadrada de 49p2
es 7p.
• El doble producto 5m y 7p es 70mp.
Todo indica que la expresión dada es un trinomio cuadrado perfecto.
Ahora procedemos a factorizar. Puesto que el signo del término no
cuadrático es negativo, restamos las raíces cuadradas, 5m y 7p, de los
términos cuadráticos. Luego elevamos la resta al cuadrado. Tenemos
así, la factorización buscada:
25m2
- 70mp + 49p2
= (5m - 7p)2
££ Factorice los siguientes polinomios
• 144r2
+ 120rh + 25h2
• 81ω2
- 180ωA + 100A2
Factorizar el polinomio 121x2
+ 16y2
- 88xy.
Aunque sus términos no están ordenados como en los ejemplos
anteriores, la expresión dada es un trinomio cuadrado perfecto.
Realmente, en primer lugar es un trinomio pues consta de tres términos
y dos de éstos, 121x2
y 16y2
, son cuadrados perfectos.
• La raíz cuadrada de 121x2
es 11x.
• La raíz cuadrada de 16y2
es 4y.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3

113. 105
Por otra parte, el tercer término es el doble producto de las raíces
cuadradas de los otros dos términos, con signo negativo.
• -88xy = -2(11x) (4y).
Todo esto confirma que la expresión es un trinomio cuadrado perfecto.
Procedamos a factorizarlo.
Puesto que el término no cuadrático, -88xy, tiene signo negativo la
factorización se halla elevando al cuadrado la resta de las raíces
cuadradas de los términos cuadráticos: la factorización es
121x2
+ 16y2
- 88xy = (11x - 4y)2
Compruebe lo aprendido.
I. Factorice cada uno de los siguientes polinomios:
1. x2
+ 6x + 9
2. 81z2
+ 108zw + 36w2
3. 16x2
+ 8x + 1
4. 64x4
+ 176x2
w3
+ 121w6
5. y2
+ 10y + 25
6. x2
+ 2x (a + b) + (a + b)2
7. 4y2
- 24y + 36
8. 9 - 6 (a + b) + (a + b)2
9. 81y2
- 180y + 100
10. 25x2
+ 30xz + 9z2
11. 4(x + y)2
+ 4(x + y) (x - y) + (x - y)2
12. 9(m - n)2
+ 12(m - n) (m + n) + 4(m + n)2
13. 4(1 + a)2
- 4 (1 + a)(b - 1) + (b - 1)2
Ordenamos:
121x2
- 88xy + 16y2
121x2
- 16y2
+ 88xy
121 2
x 16 2
y
11x 4y
-2(11x)(4y) = -88y

114. 106
Factorización de Trinomios de la Forma x2
+ bx + c
Recuerde, reflexione y concluya
Efectúe por escrito los siguientes productos indicados.
1. (x + 5) (x + 1)
2. (x + 1) (x + 4)
3. (x + 3) (x + 7)
4. (x - 5) (x + 2)
En cada uno de los resultados obtenidos,
¿Cuál es el grado del polinomio?
¿Cuál es el coeficiente de x2
?
¿Cómo se relaciona el coeficiente del término lineal con los
términos constantes del producto indicado dado?
¿Cómo se puede obtener el término constante a partir de los
términos constantes de los factores del producto indicado dado?
Comparta con sus compañeros de grupo los resultados obtenidos.
Resolver y compartir la respuesta con sus compañeros.
1. (x + 1)(x + 2)
2. (x + 7)(x - 2)
3. (x + 5)(x + 3)
4. (x - 3)(x - 2)
5. (x - 2)(x + 1)
6. (x - 6)(x - 4)
Considere los siguientes polinomios
1. x2
+ 6x + 5
2. x2
- 3x + 2
3. x2
+ 7x + 10
4. x2
- 10x + 24
¿Qué binomios deben multiplicarse para obtener el polinomio dado?
¿Qué caracteriza a los polinomios tratados en esta sección?
Si olvidó qué producto
notable debe usar para
multiplicar, por ejemplo
(x + 6) (x + 8),
utilice la propiedad
distributiva:
(x + 6) (x + 8)
= (x + 6)x + (x + 6)8
= x2
+ 6x + 8x + 6 ∙ 8
= x2
+ 14x + 48
Cuando se estudiaron
los productos notables
se estableció que:
(x + a)(x + b) =
x2
+ (a + b)x + ab.
Aplicando la propiedad
distributiva tenemos
que:
(x + a)(x + b) =
(x + a)x + (x + a)b.
Luego, aplicando de
nuevo la propiedad
distributiva en la
parte derecha de esta
igualdad obtenemos:
(x + a)(x + b) =
xx + ax + xb + ab.
Ahora, usando la
definición de potencia
y la propiedad
conmutativa llegamos
a que:
(x + a)(x + b) =
x2
+ ax + bx + ab
Finalmente, sacando
factor común,
obtenemos:
(x + a)(x + b) =
x2
+ (a + b)x + ab.

115. 107
Coopere con sus compañeros de grupo para responder a estas
interrogantes. En colaboración con ellos formule una táctica para
efectuar la factorización de polinomios del tipo aquí tratado.
Estamos interesados en el proceso inverso, factorizar polinomios del
tipo:
x2
+ px + q
donde p y q son números enteros. Si un polinomio de este tipo se
factoriza tiene que ser como un producto de dos binomios de grado.
Exactamente, deberán existir dos binomios enteros de grado 1,
(x + a) y (x + b), tales que:
x2
+ px + q = (x + a)(x + b),
pero, puesto que,
(x + a)(x + b) = x2
+ (a + b)x + ab,
deberá cumplirse que:
x2
+ px + q = x2
+ (a + b)x + ab.
Pero, la única manera de que esto ocurra es que:
a + b = p
y
ab = q.
Llegamos a la siguiente conclusión:
Para factorizar un trinomio del tipo:
x2
+ px + q,
deberemos buscar dos números enteros a y b cuya suma sea igual a p:
(a + b) = p
y su producto coincida con q:
ab = q
Si tales números existen la factorización es:
x2
+ px + q = (x + a)(x + b)
En caso contrario el polinomio no es factorizable.

116. 108
Observe que en la factorización, el primer término de los binomios de la
derecha es la raíz cuadrada del término cuadrático del trinomio dado.
La suma de los términos constantes, a y b, debe ser al coeficiente del
término lineal px en tanto que el producto debe coincidir con el término
constante o término independiente.
Factorizar el polinomio x2
+ 8x + 15
En este caso p es 8 y q es igual a 15, así que debemos buscar dos
números cuya suma sea 8 y su producto sea 15. En otras palabras, se
buscan dos factores de 15 tales que su suma sea igual a 8. Los posibles
factores junto con su suma, se muestran en el siguiente arreglo.
a 1 15 3 5
b 15 1 5 3
a + b 16 16 8 8
Los números buscados son los de la cuarta columna. Luego,
x2
+ 8x + 15 = (x + 3)(x + 5).
Podrían escogerse los valores de la columna número cinco, pero lo
que resulta es la misma factorización sólo que los factores aparecen
escritos en otro orden
x2
+ 8x + 15 = (x + 5)(x + 3).
Por ello, cuando el coeficiente de x y el término independiente sean
positivos, omitiremos aquellos pares (a; b) que difieran sólo en el orden.
Factorizar el polinomio
u2
+ 39u + 140.
Este es un polinomio del mismo tipo del ejemplo anterior: un polinomio
de grado 2 con coeficiente principal igual a 1, la diferencia es que éste
tiene otra variable, u en lugar de x. Luego, el procedimiento que se sigue
para factorizarlo es el mismo que utilizamos en ejemplos anteriores.
Buscamos dos números que sean factores de 140 y cuya suma coincida
con 39. Para ello descomponemos 140 en sus factores primos y luego
agrupamos éstos para determinar las parejas de factores de 140.
Los factores 1 y 140 de la descomposición 140 = 1 ⋅ 140 se descartan
obviamente.
Ejemplo 5
Ejemplo 4
Descomposición
de 140:
140 2
70 2
35 5
7 7
1
Descomposición de 15:
15 3
5 5
1
Factores positivos de 15:
1, 3, 5,
3 ∙ 5 = 15.

117. 109
La descomposición de 140 en factores primos es:
140 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7
De manera que:
140 = 2⋅(2⋅5⋅7) = (2⋅2)⋅(5⋅7)
140 = (2⋅2⋅5)⋅7 = (2⋅5)⋅(2⋅7)
Las parejas de factores posibles de 140 y sus correspondientes sumas
se disponen en el siguiente cuadro.
a 2 4 20 10
b 70 35 7 14
a + b 72 39 27 24
Como puede apreciarse, los factores necesarios son 4 y 35 pues su
suma es la deseada. Por tanto,
u2
+ 39u + 140 = (u + 4) (u + 35).
Factorizar y determinar el conjunto anulador del polinomio
x2
+ 5x - 14
Buscamos dos números enteros a y b tales que
x2
+ 5x - 14 = (x + a)(x + b)
o, equivalentemente,
ab = -14 y a + b = 5.
Como el producto de a y b es negativo, estos factores deben tener
signos contrarios y, dado que la suma es positiva, el factor de mayor
valor absoluto debe ser positivo. Asignaremos a b el factor de mayor
valor absoluto. En la tabla de abajo a la derecha hemos enlistado los
posibles valores de a y b, asignándole a b el factor de -14 de mayor
valor absoluto.
a -1 -2
b 14 7
a + b 13 5
Ejemplo 6

118. 110
Igualmente podríamos asignárselo al factor a, pero esto incidiría en
la factorización solamente en el orden de los factores. Vemos que la
solución del problema es a = -2, b = 7.
Así, x2
+ 5x - 14 = (x + 7) (x - 2).
Hallar la descomposición en factores de cada uno de los siguientes
polinomios:
1. x2
- 7x - 18
2. x2
- 15x + 56
1. En este caso debemos encontrar dos factores de -18 cuya suma
coincida con -7. Uno de los factores debe ser negativo y el otro
positivo y, puesto que la suma es negativa, el de mayor valor absoluto
debe ser negativo. Los factores naturales de 18 son: 1,18,2,9,3,6,
así que las posibles parejas de factores de -18 son
a 1 2 3
b -18 -9 -9
a+b -17 -7 -6
Los valores buscados son a = 2, b = -9. Luego,
x2
- 7x - 18 = (x + 2)(x - 9)
2. Consideremos ahora el polinomio
x2
- 15x + 56
Aquí buscaremos dos factores a y b de 56, tales que:
a + b = -15
Puesto que el producto es positivo, los factores deben tener el mismo
signo, pero además, ya que la suma es negativa, estos números deben
ser negativos.
Puesto que 56 = 23
⋅ 7, en virtud de la propiedad asociativa:
56 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7 = (2 ⋅ 2 ⋅ 2) ⋅ 7 = (2 ⋅ 2) ⋅ (2 ⋅ 7)
y
56 = 2 ⋅ (2 ⋅ 2 ⋅ 7)
Además,
56 = 1 ⋅ 56
Descomposición de
56 en factores primos
56 2
28 2
14 2
7 7
1
56 = 23
· 7
Descomposición de
18 en factores primos
18 2
9 3
3 3
1
18 = 2 · 32
Ejemplo 7

119. 111
Por tanto, los valores posibles de a y b son los contenidos en la tabla
siguiente:
a -1 -8 -4 -2
b -56 -7 -14 -28
a + b -57 -15 -18 -30
Es claro que los números buscados son -8 y -7, de modo que:
x2
- 15x + 56 = (x - 8) (x - 7).
Factorizar el polinomio x2
- 12x + 35.
Buscamos dos factores de 35 cuya diferencia o suma sea igual a 12.
Esos factores son 7 y 5. Sustituimos 12 por la suma 7 + 5:
x2
- 12x + 35 = x2
- (7 + 5) x + 35,
Distribuyendo obtenemos:
x2
- 12x + 35 = x2
- 7x - 5 x + 35.
Luego, agrupamos y enseguida sacamos factor común en cada grupo:
x2
- 12x + 35 = (x2
- 7x) - (5x - 35),
x2
- 12x + 35 = x (x - 7) - 5(x - 7).
Finalmente, por la propiedad distributiva, aplicada a la parte derecha
de la última igualdad, obtenemos:
x2
- 12x + 35 = (x - 5) (x - 7).
Compruebe lo aprendido.
Encuentre la descomposición en factores de cada polinomio
• x2
- 12x + 35
• m2
- 13m + 40
“La matemática es
la ciencia del orden
y la medida, de
bellas cadenas de
razonamientos, todos
sencillos y fáciles.”
René Descartes
Ejemplo 8

120. 112
Encontrar la descomposición en factores de la expresión algebraica
m2
+ 5m - 14.
Los números 7 y 2 son factores de 14 y 7 - 2 = 5. Luego,
m2
+ 5m - 14 = m2
+ (7 - 2)m - 14,
es decir,
m2
+ 5m - 14 = m2
+ 7m - 2m - 14,
de donde, agrupando y sacando factor común,
m2
+ 5m - 14 = (m2
+ 7m) - (2m + 14)
m2
+ 5m - 14 = m (m + 7) - 2(m + 7).
Por último, sacando factor común (m + 7), llegamos a que:
m2
+ 5m - 14 = (m - 2) (m + 7).
££ Encuentre la descomposición factorial de p2
+ 4p - 21.
Hallar la descomposición factorial del polinomio
w2
- 2w - 48
Buscamos dos factores de 12 cuya suma o resta sea igual a 2. Éstos
son 8 y 6,
8 ⋅ 6 = 48, 8 - 6 = 2
En la expresión dada sustituimos 2 por la diferencia 8-6:
w2
- 2w - 48 = w2
- (8 - 6)w - 48.
Distribuimos y agrupamos en la parte derecha de la igualdad:
w2
- 2w - 48 = w2
- 8w + 6w - 48.
w2
- 2w - 48 = (w2
- 8w) + (6w - 48).
Extraemos factor común en cada grupo:
w2
- 2w - 48 = w(w - 8) + 6(w - 8),
y finalmente sacamos el factor común (w - 8) para obtener la igualdad
siguiente:
w2
- 2w - 48 = (w - 8) (w + 6)
"El corazón de las
matemáticas son sus
propios problemas."
Paul Halmos
Reforzamiento.
Aplique los casos de
factorización estudiados
y factorice:
• 6x4
- 11x3
- 10x2
• (x + y)2
+ 5(x + y) - 6
Ejemplo 10
Ejemplo 9

121. 113
Compruebe lo aprendido.
Factorice los siguientes polinomios:
1. x2
+ 8x + 15
2. n2
+ n -20
3. w2
+ 20w + 75
4. y2
+ 16y - 80
5. x2
- 25x + 1 004
6. w2
- 69w + 1 080
7. z2
- 6z - 72
8. x2
y2
+ 34xy + 120
9. n2
+ 10n - 600
10. 403 - 44x + x2
11. m2
+ 12m - 693
12. x2
- 6x - 91
Factorización de Trinomios de la Forma px2
+ qx + r
Recuerde, reflexione y concluya
1. Multiplique (2x + 5) por (4x + 7). En el resultado obtenido
a. ¿Cuál es el coeficiente del término cuadrático?
b. ¿Cómo se relaciona el coeficiente de éste con los coeficientes de
los términos cuadráticos de los binomios que se multiplicaron?
c. ¿Cuál es el término constante?
d. ¿Qué relación hay entre él y los términos constantes, 5 y 7, de
los binomios factores?
e. ¿Cuál es el coeficiente del término lineal?
f. ¿Cómo se puede obtener a partir de los coeficientes de los
binomios que se multiplicaron?
2. Repita el ejercicio anterior con los binomios
(3x + 2) y (5x + 6)
Comparta y comente con sus compañeros los resultados obtenidos.
3. En las siguientes igualdades, ¿cuáles son los valores de p, q y r?
a. 45x2
+ 36x + 67 = px2
+ qx + r
b. (ac) x2
+ mx + bd = px2
+ qx + r
Un matemático, como un
pintor o un poeta, es un
fabricante de modelos.
Si sus modelos son más
duraderos que los de
estos últimos, es debido
a que están hechos de
ideas. Los modelos del
matemático, como los
del pintor o los del poeta
deben ser hermosos.
La belleza es la primera
prueba; no hay lugar
permanente en el mundo
para unas matemáticas
feas.”
G.H.Hardy

122. 114
4. Suponga que el polinomio 15x2
+ 34x + 16 se puede obtener como
el producto de dos polinomios lineales, es decir:
15x2
+ 34x + 16 = (ax + b)(cx + d).
Efectúe el producto indicado en la parte derecha de la igualdad.
Compare el resultado con el polinomio de la parte izquierda de la
misma igualdad.
Complete las siguientes igualdades.
• ac =
• bd =
• ad + bc =
Busque los valores de a,b,cy dque hacen verdaderas las igualdades
del ejercicio anterior.
¿Cuál es la descomposición factorial del polinomio 15x2
+ 34x + 16?
Repite el ejercicio 4, con el polinomio 6x2
+ 17x + 12
Analice junto con sus compañeros de grupo los resultados obtenido
en esta actividad. A partir de éstos intente formular una táctica para
factorizar polinomios del tipo aquí tratado.
Si un polinomio del tipo:
px2
+ qx + r,
se puede factorizar tiene que ser como un producto de dos binomios
de grado 1, es decir, deberán existir números enteros a, b, c y d, tales
que
px2
+ qx + r = (ax + b) (cx + d).
De los productos notables sabemos que:
(ax + b)(cx + d) = acx2
+ (ad + bc) x + bd,
Conoce tu país!
La ciudad más antigua de
Nicaragua es:
GRANADA
Granada, también
conocida como “la gran
sultana” fue fundada
alrededor del 8 de
diciembre de 1 524 por
Francisco Hernández de
Córdoba.
“No hay rama de
la matemática, por
abstracta que sea, que
no pueda aplicarse algún
día a los fenómenos del
mundo real.”
Nikolay Lobachevsky

123. 115
luego, deberá cumplirse que:
px2
+ qx + r = acx2
+ (ac + bc) + bd,
lo cual se satisface sí y sólo si:
ac = p
ac + bd = q
bd = r.
Por tanto, deberemos buscar dos parejas de números enteros: una
pareja
(a ; c)
de factores de p y una pareja,
(b ; d)
de factores de r, de manera que:
ad + bc = q.
Si los enteros a, b, c y d con las características indicadas existen,
el polinomio dado es factorizable en la forma en que se señaló
anteriormente. En caso contrario, el polinomio es irreducible.
px2
+ qx + r
px2
+ qx + r = (ax + b)(cx + d).
a
c
ac = p
b
d
bd = q
bc
ad
ad + bc = r
Expresar factorialmente el polinomio
20x2
- x - 12
En este caso p = 20, q = -1 y r = -12. Por tanto, buscaremos una pareja
(a; c) de factores de 20 y una pareja (b; d) de factores de -12 tales que
ad + bc = -1.
"Sólo es útil el
conocimiento que nos
hace mejores.”
Sócrates
Ejemplo 11

124. 116
Las posibilidades las presentamos en los siguientes arreglos:
a 1 20 2 10 4 5
c 20 1 10 2 5 4
b -1 1 12 -12 -2 2 6 -6 -3 3 4 -4
d 12 -12 -1 1 6 -6 -2 2 4 -4 -3 3
La selección correcta es:
(a; c) = (5 ; 4)
y
(b; d) = (-4 ; 3)
En efecto, para estos valores,
ad + bc = (5) (3) + (-4) (4) = -1.
Sustituyendo a = 5, c = 4, b = -4 y d = 3 en 20x2
- x - 12, tenemos:
20x2
- x - 12 = (ax + b) (cx + d)
obtenemos:
20x2
- x - 12 = (5x - 4)(4x + 3).
px2
+ qx + r
20 + qx + r = (ax + b)(cx + d)
5
4
20
-4
3
-12
bc
ad
(5)(3) + (4)(-4) = -1
Otra manera de abordar la factorización de este tipo de polinomios
consiste en reducir el problema a una factorización de trinomios de la
forma anterior, es decir, del tipo:
x2
+ px + q
En efecto, supongamos que se pide factorizar un polinomio de la forma
px2
+ qx + r
Matemático italiano,
descubridor de un
método para resolver
ecuaciones de tercer
grado. Las fórmulas de
tartaglia son conocidas
como fórmulas de
Cardano.
Niccolo Fontana
Tartaglia
(1 500 - 1 557)

125. 117
Multiplicando por p y dividiendo por q, obtenemos que:
px2
+ qx + r =
p(px2
+ qx + r)
p
=
(px)2
+ q(px) + pr
p
Haciendo la sustitución:
u = px,
obtenemos que:
px qx r
u qu pr
p
2
2
+ + =
+ +
Puede probarse que el polinomio,
px2
+ qx + r,
se puede factorizar sí y sólo si es factorizable el polinomio:
u2
+ qu + pr,
en la indeterminada u = px.
Expresar en factores el polinomio 21x2
- 5x - 4
Multipliquemos y dividamos por 21:
21 5 4
21 21 5 4
21
2
2
x x
x x
− − =
− −( )
Esto es,
21 5 4
21 5 21 84
21
2
2
x x
x x
− − =
− ( )−( )
Observe que el producto de 21 por -5x se deja indicado permutando
21 con -5 y asociando 21 con x. El producto de 21 por -4 sí se ejecuta.
Ahora hacemos la sustitución
u = 21x
y sustituimos en la parte derecha de la igualdad anterior,
21 5 4
5 84
21
2
2
x x
u u
− − =
− −
Ejemplo 12

126. 118
Factoricemos el polinomio u2
- 5u - 84. Para ello buscamos dos números
que multiplicados den -84 y sumados den como resultado -5. Dichos
números son -12 y 7. Por tanto,
u2
-5u -84 = (u - 12) (u + 7)
Luego,
21 5 4
12 7
21
2
x x
u u
− − =
−( ) +( )
.
Y, sustituyendo u por 21x, llegamos a que:
21 5 4
21 12 21 7
21
2
x x
x x
− − =
−( ) +( )
Luego, sacando factor común,
21 5 4
3 7 4 7 3 1
21
2
x x
x x
− − =
−( )⋅ +( )
Al simplificar concluimos que:
21x2
- 5x - 4 = (7x - 4) (3x + 1)
Actividad en grupo
1. Encontrar las raíces y el conjunto anulador del polinomio 21x2
- 5x- 4.
2. Siguiendo el procedimiento utilizado en el ejemplo 12, factorice el
polinomio 12x2
+ 8x - 15.
Veamos ahora un forma un poco más abreviada de ejecutar la
factorización. Supongamos que se pide factorizar el polinomio
10x2
- 13x - 30
££ Hacemos lo siguiente: abrimos dos parejas de paréntesis, de
apertura y de cierre y dividimos entre el coeficiente de x2
, en nuestro
caso 10.
10 13 30
10
2
x x− − =
( )( )
Dentro de los paréntesis vamos a escribir los factores previos de la
descomposición factorial. Cada uno de estos factores tendrá como
término a 10x (el coeficiente de x2
, multiplicado por la incógnita x); por
ello escribimos 10x en cada paréntesis:
10
10x
10
13 302
x x− − =
10x
Las matemáticas son
el alfabeto con el cual
Dios ha escrito el
Universo."
Galileo Galilei

127. 119
Para completar los factores, buscamos dos números cuyo producto
sea 10(-30) = -300 y que su suma sea igual a -13. Esos números son
-25 y 12. Estos son los términos que faltan en los factores. Por tanto,
10
10x − 25
10
13 302
x x− − =
10x + 12
Luego, al simplificar, obtenemos:
10x2
- 13x - 30 = (2x - 5) (5x + 6)
Compruebe lo aprendido.
Factorice cada uno de los siguientes polinomios:
a. 2x2
+ 7x + 3
b. 2y2
+ 9y + 4
c. 3z2
- 14z - 5
d. 4m2
- 29m + 7
e. -9 + 12n + 5n2
f. 12 + 22p + 6p2
g. 7x2
- 46x - 21
h. 8y2
+ 24y - 32
i. -66w + 40 + 9w2
j. -32v - 90 + 10v2
k. - 80 + 20u2
+ 84u
l. 24b2
+ 58b - 35
m. 10x2
+ 110x + 300
n. 6h2
+ 50h - 600
o. 15m3
+ 186m - 692
p. 2m2
w2
+5mw + 2
Factorización de polinomios del tipo a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
y
a3
- 3a2
b + 3ab2
- b3
Recuerde, reflexione y concluya
Complete
1. (u + v)3
= u3
+ + + v3
2. (m + 2n)3
= m3
+ 6m2
n + + 8n3
3. (3p + r)3
= + + 9pr2
+ r3
4. (5x + y)3
= + 75x2
y + 15 xy2
+
5. (2x - 3y)3
= - 36x2
y + 54xy2
-
6. (p - q)3
= p3
- + -
“La inteligencia
consiste no sólo en
el conocimiento,
sino también en la
destreza de aplicar los
conocimientos en la
práctica.”
Aristóteles
Matemática
egipcia, la primera
de la cual se tiene
conocimiento seguro y
detallado aunque no se
conservan ninguna de
sus obras. Se distinguió
por los comentarios a
Aritmética de Diofanto
y a Secciones Cónicas
de Apolonio. Murió
asesinada.
Hipatia
(355 - 416)

128. 120
Desarrolle:
1. (3k + p)3
2. (5x + 1)3
3. (2x - 5)3
4. (4m - 7n)3
Como habrá recordado por medio de las dos actividades anteriores, la
expresión:
a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
es el desarrollo del cubo de la suma de a y b. Es decir,
a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
= (a + b)3
Por tanto la factorización de a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
se halla extrayendo
primero raíz cúbica a los términos cúbicos a3
y b3
; luego se eleva al
cubo la suma de estas raíces.
En forma similar tenemos que:
a3
- 3a2
b + 3ab2
- b3
= (a - b)3
.
Factorizar el polinomio 125h3
+ 300h2
p + 240hp2
+ 64p3
La raíz cúbica de 125h3
es 5h.
125 5 533 3 33
h h h= =
La raíz cúbica de 64p3
es 4p:
64 4 433 3 33
p p p= =
Por otra parte,
3(5h)2
∙ 4p = 3 ⋅ 25h2
⋅ 4p = 300h2
p
3(5h) ∙ (4p)2
= 15h ⋅ 16p2
= 240hp2
Por tanto, el polinomio dado es de la forma
a2
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
con a = 5h y b = 4p. En consecuencia, la factorización es el cubo de la
suma de 5h y 4p. Es decir,
125h3
+ 300h2
p + 240hp2
+ 64p3
= (5h + 4p)3
.
"Las matemáticas
convierten lo
invisible en visible."
Keith Devlin
Ejemplo 13

129. 121
Factorizar el polinomio 8m3
- 12m2
n + 6mn2
- n3
Observemos que:
• La raíz cúbica de 8m3
es igual a 2m.
• La raíz cúbica de n3
es n.
• 3(2m)2
n = 12m2
n
• 3(2m)n2
= 6mn2
Todo esto señala que el polinomio dado es de la forma
a3
- 3a2
b + 3ab2
- b3
con a = 2m y b = n. Por tanto, la descomposición factorial buscada es
el cubo de la diferencia de 2m y n; esto es
8m3
- 12m2
n + 6mn2
- n3
= (2m - n)3
Compruebe lo aprendido.
Factorice
1. 343x3
+ 294x2
y + 84xy2
+ 8y3
2. 125m6
- 75m4
n3
+ 15m2
n6
- n9
3. 1 000r12
+ 1 200r8
p2
+ 480r4
p4
+ 64p6
Resolución de Ecuaciones por Factorización
Recuerde, reflexione y concluya
Resuelva las siguientes ecuaciones:
1. x - 3 = 0
2. x + 8 = 0
3. 2x - 3 = 0
4. 3x - 4 = 0
5. 7x + 5 = 0
6. 3x + 5 = 0
7. 7x - 1 = 0
8. 5x - 8 = 0
Responda en equipo las siguientes preguntas.
1. Si 3b = 0, ¿Cuál es el valor de b?
2. Si dos números son positivos, ¿cómo es su producto? ¿Y si son
negativos?
3. Si un número es positivo y otro negativo, ¿cómo es el producto de
ellos?
¿Sabías qué?
Los babilonios, fueron
los primeros que
resolvieron ecuaciones
cuadráticas. En unas
tablillas descifradas por
Neugebaveren
1 930, cuya antigüedad
es de unos 4 000
años, se encontraron
soluciones a varias
de estas ecuaciones,
empleando el método
conocido actualmente
como “completar el
cuadrado”.
Ejemplo 14

130. 122
4. Si un producto de dos números es positivo, ¿qué signos pueden
tener dichos números?
5. Si un producto de dos números es negativo, ¿qué signos deben
tener dichos números?
6. Si en un producto uno de los factores es cero, ¿cuánto vale el
producto?
7. Si un producto de números reales es cero, ¿pueden ser todos sus
factores distintos de cero?
Discuta las preguntas anteriores con sus compañeros y encuentre
características comunes a todas las repuestas que obtuvieron.
En la discusión de las respuestas de las últimas preguntas, habrá
reconocido la propiedad aniquiladora del cero que establece que si
se multiplica por cero el resultado es cero. Para la multiplicación de
números reales, la propiedad recíproca también vale: si un producto es
igual a cero, entonces uno o más de los factores debe ser cero. Luego
tiene lugar la siguiente regla:
Ley del Producto Nulo
Un producto es igual a cero si y sólo si uno o más de
los factores es cero:
Si 2n
(n - 1) = 0, entonces por la propiedad del producto nulo debe
cumplirse que:
2n
= 0 ó n - 1 = 0
Pero siempre,
2n
> 0
de modo que la única opción que nos queda es n - 1 = 0 de donde
obtenemos n = 1.
Resolver la ecuación
(x - 3) (2x - 1) = 0
De acuerdo con la propiedad del producto nulo, al menos uno de los
factores x - 3 ó 2x - 1 debe ser cero, es decir, la ecuación equivale
al siguiente enunciado
x - 3 = 0 ó 2x - 1 = 0.
Ejemplo 1

131. 123
Resuelva cada ecuación componente de esta disyunción.
x - 3 = 0 ó 2x - 1 = 0
x - 3 + 3 = 0 + 3 ó 2x - 1 + 1 = 0 + 1
x + 0 = 3 ó 2x + 0 = 1
x = 3 ó 2x = 1
Por tanto,
x = 3 , x =
1
2
,
son las soluciones de la ecuación. El conjunto solución de la ecuación
dada es entonces 3
1
2
;






.
Lina multiplicó su edad, estimada en años, con la de su hermano
Juan y luego restó el quíntuple de su propia edad, obteniendo como
resultado 21 años. Lina es un año menor que Juan. ¿Qué edad tiene
Lina?
Sea x la edad de Lina. Puesto que Juan es un año mayor que Lina su
edad es x + 1. Luego, el producto de las edades de Lina y Juan es:
x(x + 1),
menos el quíntuple de la edad de Lina, 5x, resulta:
x(x + 1) - 5x,
cantidad que, según el problema, es igual a 21, es decir,
x(x + 1) - 5x = 21.
Esta ecuación modela matemáticamente el problema planteado.
Desarrollando se obtiene la ecuación equivalente:
x2
+ x - 5x = 21
o
x2
- 4x - 21 = 0.
Para resolver esta ecuación
• Factorice primero el miembro izquierdo
x2
- 4x - 21 = (x + 3)(x - 7)
Ejemplo 2

132. 124
• Luego sustitúyalo por la expresión equivalente factorizada,
(x + 3) (x - 7) = 0.
• Aplique ahora la propiedad del producto nulo y resuelva.
Las soluciones de la ecuación son:
x = -3, x = 7.
Ahora verificamos si las soluciones de la ecuación tienen sentido.
Puesto que las edades se miden con números positivos la solución
x = -3 no tiene sentido como solución del problema. Por tanto, se
descarta.
La otra solución x = 7 si está adecuada al problema.
Concluimos que la edad de Lina es de 7 años.
Resuelva la ecuación x2
- 7x + 12 = 0
• Factorice primero la parte izquierda de la ecuación
x2
- 7x + 12 = (x - 3) (x - 4)
• Sustitúyala por la expresión equivalente factorizada
(x - 3) (x + 4) = 0
• Aplique a esta ecuación la propiedad del producto nulo y resuelva
x - 3 = 0 ó x + 4 = 0
x = 3 ó x = -4
El conjunto solución es:
S = {-3; -4}
"La ciencia de la
matemática es como
un simple castillo de
cristal, donde adentro
se ve todo, pero de
afuera no se ve nada."
Norma Banicevich

133. 125
Ejercicios de Cierre de Unidad
I. Halle la descomposición en factores de los siguientes polinomios
1. 24x2
+ 18pq
2. 56ay - 104ay2
3. ac + ad + bc + bd
4. ac - ad + bc - bd
5. ac + ad - bc -bd
6. ac - ad - bc + bd
7. 8x2
- 8y2
8. x4
- 1
9. m2
- 4n2
10. 100h2
- 36
11. 16x4
- y4
12. p3
+ q3
13. 5x3
+ 5w3
14. 16m12
- 49n9
15. x2
- 2x + 1
16. h2
+ 26h + 169
17. m4
- 36m2
+ 180
18. 15n2
+ 11np - 12p2
19. p3
+ 21p2
h + 147ph2
+ 343h3
20. 8x3
- 12x2
z + 6xz2
- z3
21. 63m2
- 700n2
22. (x + y)2
- z2
23. 34u2
- 79uv - 15v2
24. x2
- 5x + 6
25. z2
- 20z + 84
26. t2
+ 20t + 75
27. 64m2
+ 80mn +25n2
28. 15n2
+ 11np -12p2
29. x9
- y9
30. u3
v3
- 15u2
v2
w2
+ 75uvw4
- 125w6
31. m3
n6
- 1
32. 198mn - 44mp + 132mr - 66mh
33. 48u2
v2
- 52u7
v + 37u3
v3
+ 48u4
v6
II. Resuelva las siguientes ecuaciones
1. -32v + 90 + 10v2
= 0
2. 24b2
+ 58b - 35 = 0
3. 80 + 20u2
- 84u = 0
4. x2
- 6x + 9 = 0
5. 81z2
- 108zw + 36w2
= 0
6. (n + 5)(2n - 8) = 0
7. 16a2
- 8a + 1 = 0
8. 4m2
- 24m + 36 = 0
9. (x + 2a)(2x - 3b) = 0
10. (x - 1)(x - 3) = 0

134. 126
11. x2
+ 12x + 36 = 0
12. k2
+ 14k + 49 = 0
13. 4m2
- 12m + 9 = 0
14. 25y2
+ 10y + 1 = 0
15. (2 + m)(3m - 2) = 0
16. (2m + 7)(3m - 8) = 0
17. (y - 7)(y + 11) = 0
18. (w + 5)(w + 4) = 0
19. (3x - 7)(x - 1) = 0
20. (m - 13)(11 - 25m) = 0
21. (33x - 7)(33 + 7x) = 0
22. 9 x2
- 4z2
1. 25x2
+ 36 + 60x
2. 49 - n4
3. 144k2
- 25
4. (m + 18)(m + 18) = 0
5. m2
n6
- x8
y10
6. x2
+ 4x + 12
7. k2
- 11k + 28
8. m2
+ 4m + 3
9. y2
+ y - 30
10. m2
- m - 6
11. r2
+ 11r + 28
12. n2
+ 17n + 70
13. x2
+ 12x - 160
14. y2
+ 91y - 90
15. x6
- 2x3
- 99
16. k8
+ 18k4
+ 80
17. m2
n2
+ 19mn + 78
18. (m-n)3
+3(m-n)2
(m+n)+3(m-n)(m+n)2
+(m+n)3
III. Factorizar:

135. Unidad 4
Operaciones
con Radicales
El Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional, a través de la Empresa Nicaragüense
de Alimentos Básicos (ENABAS) ha distribuido un total de 70 mil libras de frijoles en los
siete distritos de la capital, a través de los puestos de venta móviles que ha dispuesto el
Gobierno Sandinista mediante el Plan Especial de Frijoles Solidarios, con el objetivo de
brindar a la población un producto de calidad y a bajos precios, lo que representa un
ahorro económico considerable para los consumidores.
Fuente: 19 digital.
08 de Mayo 2014.

136. 128
Operaciones con Radicales y Fracciones
Algebraicas
Introducción
En esta unidad usted aprenderá a simplificar radicales, a realizar
operaciones de adición y multiplicación entre ellos y a racionalizar.
Para ello requerirá de la experiencia y los conocimientos adquiridos
sobre potencias y radicales, así como el manejo de las propiedades de
las operaciones con números reales. Un buen dominio de estos temas
será de mucha ayuda en el camino que ahora emprenderemos.
Otro tema que abordaremos será las operaciones con fracciones
algebraicas. Las reglas para simplificar y operar con fracciones
numéricas se trasladan sin cambio alguno al caso de las fracciones
algebraicas; todo es igual, salvo el hecho de que aquí el numerador y
el denominador de las fracciones son polinomios.
Operaciones con Radicales
Para operar con radicales debe tener presente las propiedades
fundamentales de los radicales, así como las propiedades de las
operaciones con números reales.
Recuerde, reflexione y concluya
1. ¿Cuál es el índice del radical 7 25
x ? ¿y el radicando o cantidad
subradical?
2. ¿Cuál es la forma radical equivalente a la expresión x
3
5
?
3. Descomponga 625 como un producto de primos.
4. Exprese x10
como el producto de una potencia de x, con exponente
múltiplo de 4, por otra potencia de x.
5. ¿Cuando dos radicales son semejantes?
6. Simplifique las siguientes expresiones:
a) (5x2
)4
b) (7x3
y4
)3
c) 3 6 12 3
1
3x y z( )
d) 4 2 6 9
1
2a b c( )
“Dios no sólo juega a los
dados: a veces los tira
donde no se pueden ver.”
Stephen William
Hawking

137. 129
7. Escriba cada una de las siguientes expresiones usando un solo
radical:
a. x y b. a75
c.
6
2
34
24
x
xy
Simplificación de Radicales
Una expresión radical está simplificada cuando los factores bajo
el radical tienen exponente menor que el índice del radical, no hay
fracciones bajo el radical y el índice es el menor posible.
Compruebo lo aprendido
Indique cuáles radicales están simplificados.
1. 2 23
x y
2. 16 74
x
3. 8 4 3 25
yx z
4. 12 2 34
m n
5. 4 2 35
m n
6. 8 23
x n
Si el exponente de un factor del radicando en una expresión radical es
múltiplo de la raíz, entonces tal expresión no está simplificada, en tal
caso, para simplificarla se extrae dicho factor con exponente igual al
cociente del exponente entre el índice del radical.
Simplifique el radical
x y w10 155
Puesto que en el radicando el factor x10
tiene como exponente un múltiplo de de
la raíz 5, extraemos este factor con exponente igual a:
10
5
2=
igual hacemos con el factor y15
;
10 155 2 3 5
=x x y wy w
Si el exponente de un factor del radicando es mayor que la raíz
del radical, podemos extraer una parte de dicho factor. Para ello lo
descomponemos como el producto de una potencia de igual base y
con exponente menor que el índice por una potencia de la misma base
y con exponente igual a un múltiplo del índice del radical.
Ejemplo 1
"Las matemáticas
son el alfabeto con el
cual Dios ha escrito el
Universo."
Galileo Galilei

138. 130
Simplifique el radical
54 113
a
Puesto que 54 = 2 ⋅ 27 = 2 ⋅ 33
y a11
= a9
⋅ a2
, tenemos entonces que:
54 2 3113 3 9 23
= ⋅ ⋅ ⋅a a a
54 23113 3
a =
Simplifique la expresión
625 10
4
x
y
Puesto que no deben aparecer fracciones bajo el radical, expresamos
la cantidad sub-radical como una fracción con denominador y4
, para
ello basta con multiplicar el numerador y el denominador por y3
como
sigue:
625 625 62510 10 3
3
10 3
4
= =
y y y y
x x y x y
Como 625 = 54
y x10
= x8
· x2
, tenemos que:
625 5 5 510 4 8 2 3
4
2
4
2 3
4
2
4
4
2 3x
y
x x y
y
x x y
y
x
y
x y= =
( ) =
( ) ⋅
de manera que,
625 5 510
4
2
4
4
2 34
2
4
2 3
4
x
y
x
y
x y
x
y
x y=
( ) ⋅ =





 ⋅
=





 ⋅ =
5 52
4
4
2 34
2
2 34
x
y
x y
x
y
x y
En conclusión,
625 510
4
2
2 34
x
y
x
y
x y=
Descomposición
en factores de 625:
625 5
125 5
25 5
5 5
1
625 = 5⁴
Ejemplo 2
Ejemplo 3

139. 131
Compruebo lo aprendido
Simplifique
1. 729 5 73
a b y
2. a b
y
4 7
5
3. a c
b
3 3
6
+
4.
a b a ab b
c
−( ) + +( )2 2
7
3
Simplifique la expresión
1
64
1
9
+
Algunas personas suponen, equivocadamente que:
1
64
1
9
1
64
1
9
1
8
1
3
11
24
+ = + = + =
En este caso, debemos simplificar primero la parte subradical. Para
ello, efectuamos la suma de las fracciones bajo el signo radical:
1
64
1
9
9 64
64 9
73
64 9
73
8 3
73
8 3
2 2 2
+ =
+
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅( )
Así, 1
64
1
9
73
24
73
24
73
242 2
+ =
( )
=
( )
=
Por analogía con algunas propiedades de los radicales ocurre, a
menudo, que algunos suponen válida la igualdad siguiente:
a b a b+ = + ,
pero lamentablemente errónea. Si no, vea para a = b = 1:
a b+ = + =1 1 2
mientras que
a b+ = + = + =1 1 1 1 2
¿Para qué valores de a y b es válida la igualdad a b a b+ = + ?
En general,
a b a bn n n
+ ≠ +
“Sólo vemos lo que
conocemos.”
Johann Wolfgang Von
Goethe.
Ejemplo 4

140. 132
Suma de Radicales
Recuerde, reflexione y concluya
I- Complete:
• 3x + 5x = __________________________
• −5y + 7 y = _________________________
• 15z + 2z = __________________________
II- En los resultados anteriores, sustituya por x, 175
por y
y n a por z. ¿Qué igualdades obtiene?
III- Extraiga factor común y complete:
1. a
n n
p b p
2. a
n np b p
3. a u b u5 5
+ =
Para definir la suma de dos o más radicales se debe atender al hecho
de que si los radicales son semejantes o no. Definamos, pues, cuando
dos radicales son semejantes:
Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y la misma
cantidad subradical.
Indique cuáles de los siguientes radicales son semejantes:
a. 35
a
b. 73
mn
c. 45
a
d. 153
mn
e. −23
mn
f. −68
amn
Para sumar dos o más radicales semejantes, se suman los coeficientes
y se escribe la misma raíz. En esta suma nos valemos de la propiedad
distributiva, más exactamente, de la extracción de factor común. La
suma de radicales no semejantes se deja indicada.
a c b c a b cn n n
+ = +( )

141. 133
a c b c a c b c a b c a b cn n n n n n
− = + −( ) = + −( )  = −( )
Efectúe las siguiente sumas de:
a. 3 5 7 54 4
+
b. 2 56 6 6
x x x+ −
c. 4 11 2 73 5 5
a b b c+( )+ +( )
Solución
a. Tenemos 3 5 7 5 3 7 5 10 54 4 4 4
+ = +( ) =
b. Sería 2 5 2 5 1 66 6 6 6 6
x x x x x+ − = + −( ) =
c. Primero hagamos la reducción de los términos semejantes, 115
a
y 25
b, los otros términos no cambian. Luego,
4 11 2 7 4 13 73 5 5 3 5
a b b c a b c+( )+ +( )= + +
Multiplicación de Radicales
Definamos ahora radicales homogéneos:
Dos expresiones radicales son homogéneas si tienen el mismo índice.
Los radicales:
33
x y 43 y ,
son radicales homogéneos pues tienen el mismo índice 3.
Los radicales:
−5 23
x y y 5 22
x y
no son homogéneos, pues aunque tienen el mismo radicando, sus
índices son distintos: 3 ≠ 2.
Ejemplo 5
Ejemplo 6

142. 134
Para multiplicar radicales homogéneos utilizaremos las propiedades
de los radicales, que establece que:
a b a bn n n
⋅ = ⋅
Se podría pensar que el producto de dos radicales no homogéneos
se deja indicado, a como ocurre en el caso cuando sumamos dos
radicales no semejantes. Pero no es así, podemos transformar el
producto de dos radicales no homogéneos en un producto de radicales
homogéneos utilizando las leyes de los exponentes.
Sean am y bn dos radicales no homogéneos (m ≠ n), por las propiedades de
los exponentes
a a am m
n
mn
= =
1
y b b bn
m
mnn
= =
1
es decir,
a am nmn
= y b bn mmn
=
Por tanto,
a b a b a bm n nmn mmn n mmn
⋅ = ⋅ =
Multiplicar
3
x y
4 y
Tenemos que
x y x y x y3 4 4 33 4 4 312
⋅ = ⋅ =⋅
Multiplicar
3 23x y+ y x y− 3
El producto de 3 23x y+ por x y− 3 es
3 3 2 23 3 3 3x x x y y x y y− + −
que es igual a
3 22 3 23
x x y y− −
Efectuando el producto indicado, obtenemos:
3 2 3 22 3 26 23 3 26 23
x x y y x x y y− − = − −
Ejemplo 7
Ejemplo 8

143. 135
Racionalización
Una fracción con radicales, como hemos visto, es aquella que presenta
expresiones radicales en el numerador, en el denominador o en
ambos. En algunos casos, se ha de necesitar para facilitar el trabajo
con dichas fracciones, de la eliminación de tales expresiones ya sea
del numerador o del denominador. A este proceso de eliminar las
expresiones radicales de la fracción se le denomina racionalización.
Formalmente, decimos que racionalizar el numerador de una fracción
con radicales significa expresarla como una fracción equivalente con el
numerador sin radicales. Análogamente, racionalizar el denominador
significa expresar la fracción como una equivalente sin términos
radicales en el denominador.
Racionalice el denominador de la expresión
2 3
3
x
x
+
££ Si multiplicamos 3
x por x23
, obtenemos: x x33
= . Por tanto,
multipliquemos la fracción dada por una fracción cuyo numerador y
denominador sea x23
, y de ésta manera obtenemos:
2 3 2 3 2 3 2 3
3 3
23
23
23
33
23
x
x
x
x
x
x
x x
x x
+
=
+
⋅ =
+( ) =
+( )x x
En general, para racionalizar una fracción con radicales del tipo xpn
multiplicamos por xqn
donde q = n - p. Este factor se denomina factor
racionalizante.
Estudiemosahoraalgunoscasosparticularesdetiposderacionalización.
Del estudio de los productos notables sabemos que:
x y x y x y2 2
− = −( ) +( )
Por tanto, al racionalizar la expresión a b− se multiplica por a b+
y por los productos notables se sabe que:
a b a b a b a b+( ) −( )= ( ) −( ) = −
2 2
“Siempre que enseñes,
enseña a la vez a
dudar lo que enseñas.”
José Ortega y
Gasset
Ejemplo 9
Se dice que:
a b− ,
es el conjugado de:
a b+
y recíprocamente.

144. 136
Racionalizar el denominador de:
3
2 5x y−
El conjugado de 2 5x y− es 2 5x y+ . Luego,
3
2 5
3 2 5
2 5 2 5x y
x y
x y x y−
=
+( )
−( ) +( )
es decir,
3
2 5
3 2 5
2 5
3 2 5
2 52 2
x y
x y
x y−
=
+( )
( ) −( )
=
+( )
−x y
x y
Racionalice el denominador de la expresión
x
xy xz2 3 +
El factor racionalizante es 2 3xy xz− . Multiplicamos el numerador y
el denominador por éste, obteniendo
x
xy xz
x xy xz
xy xz xy xz2 3
2 3
2 3 2 3+
=
−( )
+( ) −( )
es decir,
x
xy xz
x xy xz
xy xz
x xy xz
xy2 3
2 3
2 3
2 3
4 32 2
+
=
−( )
( ) −( )
=
−( )
⋅ − xz
Luego,
x
xy xz
x xy xz
x y z
xy xz
y z2 3
2 3
12
2 3
12+
=
−( )
−( )
=
−( )
−
Para racionalizar una suma o diferencia de más de dos raíces
cuadradas, primero asociamos y luego se utiliza repetidamente la
técnica de racionalización antes expuesta.
Para racionalizar la expresión a b c+ + asociamos los dos
primeros términos así:
a b c+( )+
Ejemplo 10
Ejemplo 11

145. 137
Ahora, multipliquemos por su conjugado
a b c+( )− lo que nos da
a b c a a b b c+( ) −( ) = + + −
2 2
2
= + −( )+a b c ab2 .
Seguidamente, multiplicamos por a b c ab+ −( )− 2 su conjugado,
obteniendo como resultado,
(a + b - c)2
- 4ab,
con lo cual concluye la racionalización de la expresión dada.
Si se quiere racionalizar una diferencia de raíces cúbicas.
a b3 3
−
deberá multiplicarse por un factor que haga que los términos de esta
diferencia se eleven al cubo, eliminándose con ello los radicales de la
expresión. Sean,
x a= 3
y y b= 3
.
De los productos notables sabemos que:
x y x xy y x y−( ) + +( )= −2 2 3 3
,
es decir,
a b3 3 3
3
3
3
−( ) ( ) ( )


 = ( ) −( )+ +3
2
3 3 3
2
a a b b a b ,
o lo que es lo mismo,
a b a ab b a b3 3 23 3 23
−( ) + +( )= −
Por tanto, el factor racionalizante de a b3 3
− , es la expresión:
a ab b23 3 23
+ +
Racionalizar el denominador de
x y
x y
−
−
2
23 3
El factor racionalizador de x y3 3 2− es x x y y23 3
2
3
2 2+ ⋅ + ( )
¡Importante!
Usaremos los términos
factor racionalizante y
factor racionalizador,
indistintamente.
Ejemplo 12

146. 138
Luego,
x y
x y
x y x x y y
x y x
−
−
=
−( ) + ⋅ + ( )





−( )
2
2
2 2 2
2
3 3
23 3
2
3
3 3 233 3
2
3
2 2+ ⋅ + ( )




x y y
,
es decir,
x y
x y
x y x xy y
x y
−
−
=
−( ) + +( )
( ) −( )
2
2
2 2 4
2
3 3
23 3 23
3
3
3
3
.
De donde,
x y
x y
x y x xy y
x y
−
−
=
−( ) + +( )
−
2
2
2 2 4
23 3
23 3 23
y por tanto,
x y
x y
−
−
= + +
2
2
2 43 3
23 3 23
xyx y
Consideremos ahora racionalizar una suma de raíces cúbicas. Sean
x a= 3
y y b= 3
. Recordando el producto notable:
(x + y)(x2
- xy + y2
) = x2
+ y2
Tendremos que:
a b a a b b a b3 3 3
2
3 3 3
2
3
3
3
3
+( ) ( ) − + ( )




 = ( ) + ( ) ,
es decir,
a b a ab b a b3 3 23 3 23
+( ) − +( )= + .
Por tanto, el factor racionalizador de a b3 3
− es la expresión:
a ab b23 3 23
− +
Hallar el factor racionalizador de 23 3
m n+
Sean, x m= 23
e y n= 3
Entonces:
x m m3 3
3
2 2= ( ) =
y n n3 3
3
= ( ) =
Ejemplo 13
Matemático alemán,
maestro de escuela y
más tarde Profesor de
la Universidad de Berlín.
Puede considerársele
como el padre del
Análisis moderno. En sus
primeras investigaciones
abordó el problema de
los números irracionales.
Luego se dedicó el resto
de su vida al estudio
de las funciones de
variables complejas y de
variables reales.
Karl Wilhelm Theodor
Weierstrass
(1 815 - 1 897)

147. 139
y por tanto,
2m + n = x3
+ y3
= (x + y) (x2
- xy + y2
),
al sustituir x por 23
m e y por n obtenemos:
2 2 2 23 3 3
2
3 3 3
2
m n m n m m n n+ = +( ) ( ) − + ( )




 ,
es decir,
2 2 4 23 3 23 3 23
m n m n m mn n+ = +( )( ).
Por tanto, el factor racionalizador de 23 3
m n+ es:
4 223 3 23
m mn n− +
Sean x an
= , y bn
=
Puesto que:
xn
= a, yn
= b
y
xn
- yn
=(x - y) (xn-1
- xn-2
y + ... + xyn-2
+ yn-1
)
tendremos que
a - b = a b- a a b bn n nn nn nn
( ) + +…+( )− − −1 2 1
Por tanto, el factor racionalizador de a bn n
− es:
a b- a a b bn n nn nn nn
( ) + +…+( )− − −1 2 1
Racionalizar el denominador de
a
a b
+
−
3
6 6
El factor racionalizante de a b− es igual a
a a b a b ab b56 45 3 25 45 56
+ + + +
Por tanto, al sustituir y simplificar tendremos:
a
a b
a a a b a b ab b
a b
+
−
=
+( ) + + + +( )
−
3 3
6 6
56 45 3 25 45 56
Racionalizar el denominador de las siguientes fracciones radicales:
4 3
4 34 4
x
x
−
−
,
5
27 7
u v−
Ejemplo 14
"Cierto es que un
matemático que no tiene
también algo de poeta,
jamás será un perfecto
matemático."
Weierstrass

148. 140
Compruebo lo aprendido
I. Simplifique las siguientes expresiones según las operaciones
indicadas, aplicando las propiedades de los radicales:
1.
ab
ab
( )
( )
3
6
2
6
2. 5 4 3x x x+ −
3. 3 665 56
ab ab−
4. 3 4 2 4 22
a a a a+ + =
5.
m m m
m
6. a −( )6
2
a +( )6
2
7. ba −( )
2
ba +( )
2
II. Racionalice el denominador de las siguientes expresiones radicales:
1)
a
b a
2)
a
a46
3)
x
x y
4)
a a
b a c−
5)
a b b a
a b b a
−
+
6)
ab
a b3 25
7)
a b
a b
−
−
8)
3
47
a b
9)
1
3 3 4 4−
10)
4
1 2 3+ +
11)
a
b a b33 3
−
12)
x
x
−
−
1
III. Racionalice el denominador:
a. 1
a b c+ +
b. 1
a b c− −

149. 141
Operaciones con Fracciones Algebraicas
Para operar con fracciones algebraicas debe tener presente las
propiedades fundamentales de las operaciones con polinomios,
así como los productos notables y la factorización de polinomios.
Puesto que una fracción algebraica no es más que una fracción cuyo
numerador y denominador son polinomios, las operaciones se definen
similarmente a las operaciones con fracciones numéricas.
Recuerde, reflexione y concluya
1. ¿Qué es un polinomio? Dé ejemplos.
2. ¿Cómo se suman dos polinomios? ¿qué podemos decir de la resta?
3. Sume los siguientes polinomios:
a. 3x3
- 5x + 3 con 12x2
- 23x + 10
b. 4x2
y - 13xy + 10y con x2
- 4xy - 2
c. 6x2
+ 7x - 3 con 2x2
- 11x + 6
4. Reste los polinomios anteriores, el primero del segundo.
5. ¿Cómo se multiplican dos polinomios?
6. Multiplique cada uno de los resultados del ejercicio 4, sucesivamente
por: 2x2
, 3x - 5 y - xy + 3x - 1.
7. ¿Diga cuáles de todos los polinomios de los ejercicios anteriores
son irreducibles, y en qué dominio?.
8. Factorice los polinomios no irreducibles del ejercicio anterior.
9. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son fracciones algebraicas?
a. 2 1
5 2
x
x
+
−
b. 7 2 5
7 10
2
2
x x
x x
− +
+ +
c. x y
x y
−
+
d. 2x
x

150. 142
Simplificación de Fracciones Algebraicas
Al igual que en la simplificación de fracciones numéricas, si el numerador
y el denominador de una fracción algebraica tienen un factor común,
éste factor se puede cancelar:
ac
bc
a
b
=
Simplifique las siguientes fracciones algebraicas
1.
x x
x x
−( )
+( )
1
3
2.
x x
x x
−( ) +( )
−( ) +( )
4 8
3 8
Algunas veces es necesario factorizar el numerador o el denominador,
o ambos, para poder determinar el factor o los factores comunes y así
poder simplificar como ocurre en e siguiente ejemplo.
Simplifique la fracción
x x
x x
2
2
2 15
9 20
+ −
+ +
Factoricemos el numerador y el denominador
x2
+ 2x - 15 = (x - 3) (x + 5),
x2
+ 9x + 20 = (x + 4) (x + 5).
Luego,
x x
x x
x x
x x
x
x
2
2
2 15
9 20
3 5
4 5
3
4
+ −
+ +
=
−( ) +( )
+( ) +( )
=
−
+
Simplifique las siguientes fracciones algebraicas
1. 13 13
45 45
a b
a b
−
−
2. mn n np
m mn mp
− −
− −
2
2
3.
x y y
x y x y
+( )
+( ) −( )
4. ay y
bz z
+
+
5. ax bx ay by
ax bx ay by
+ + +
+ − −
6. 2 4
4 42
p
p p
−
− +
Ejemplo 1

151. 143
Suma de Fracciones Algebraicas
Como lo mencionamos antes, sumaremos fracciones algebraicas
de igual manera que cuando sumábamos fracciones numéricas. En
particular, si dos fracciones algebraicas tienen el mismo denominador,
entonces para sumarlas se suman los numeradores y se escribe el
mismo denominador
a
b
c
b
a c
b
+ =
+
Resuelva la siguiente suma indicada
7 3
3 1
3 2 5
3 1
3 2
2
3
2
x x x
x x
x x
x x
− −
− +
+
+ −
− +
Como ambas fracciones tienen el mismo denominador, para sumarlas,
sumaremos los numeradores y pondremos el mismo denominador, así
tenemos que
7 3
3 1
3 2 5
3 1
7 3 3 2 5
3 1
3 2
2
3
2
3 2 3
2
x x x
x x
x x
x x
x x x x x
x x
− −
− +
+
+ −
− +
=
− − + + −
− +
− − −
− +
10 5
3 1
3 2
2
x x
=
x
x x
Calcule las sumas indicadas
1. 5 3 7 8x
y
x
y
−
+
+
2. x
y
x x
y
2 2
1
2 3
3 3 1
2 3
+
−
+
− +
−
3. a b a b+
+
−
5 5
4. a
a b
b
a b2 2
−
−
−
Para sumar fracciones algebraicas con distinto denominador se
necesita calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores
como lo hacíamos para las numéricas.
Puesto que el denominador de una fracción algebraica es un polinomio,
es necesario introducir el concepto de mínimo común múltiplo de dos
o más polinomios.
Ejemplo 2

152. 144
El mínimo común múltiplo de dos o más polinomios es el polinomio
de menor grado y de menor coeficiente principal, que es múltiplo de
los polinomios dados.
Hallar el mínimo común múltiplo de los polinomios
2x2
- 9x - 5 y 4x3
+ 4x2
- 7x +2
Factoricemos primero los polinomios,
2 9 5
2 9 2 10
2
2 10 2 1
2
2
2
x x
x x x x
− − =
( ) − ( )−
=
−( ) +( )
=
−( ) +( ) = −( ) +( )
2 5 2 1
2
5 2 1
x x
x x
4x3
+ 4x2
- 7x + 2 = 4x3
+ 4x2
- 8x + x + 2
= (x + x - 2) + (x + 2)
= (x - 1)(x + 2) + (x + 2)
= (x + 2)[4x (x - 1)+1]
= (x + 2)[4x2
- 4x +1]
= (x + 2) (2x + 1)2
Así,
2x2
- 9x - 5 = (x - 5)(2x + 1)
4x3
+ 4x2
- 7x + 2 = (x + 2) (2x + 1)2
El producto de los factores comunes y los no comunes elevados a su
mayor exponente es
(2x + 1)2
(x + 2) (x - 5)
Este polinomio es el mínimo común múltiplo de los polinomios dados.
La suma algebraica de fracciones con distintos denominadores se
efectúa de la siguiente manera:
Paso 1. Primero se encuentra el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de
los denominadores. Este será el denominador de la fracción suma.
Paso 2. Se divide el mínimo común denominador entre el denominador
de cada fracción y se multiplica el cociente resultante por el numerador
de la misma fracción; el resultado se toma con signo positivo si la
fracción se está sumando y con signo negativo si se está restando.
Ejemplo 3
“Los números
gobiernan el mundo.”
Pitágoras

153. 145
Paso 3. Se suman los resultados obtenidos en el segundo paso. La
suma será el numerador de la fracción suma.
Efectuar la operación indicada
3
2 9 5 4 4 7 22 3 2
x x
x
x x x− −
+
+ − +
La factorización de los denominadores es
2x2
- 9x - 5 = (x - 5)(2x + 1)
4x3
+ 4x2
- 7x + 2 = (x + 2)(2x + 1)2
Luego,
3
2 9 5 4 4 7 2
3
5 2 1 2 2 1
2 3 2 2
x x
x
x x x x x
x
x x− −
+
+ − +
=
−( ) +( )
+
+( ) +( )
El mínimo común múltiplo de los denominadores es (x + 2)(x - 5)(2x + 1)2
.
Este será el denominador de la suma de las fracciones.
3
5 2 1 2 2 1 2 5 2 1
2 2
x x
x
x x x x x−( ) +( )
+
+( ) +( )
=
+( ) −( ) +( )
Divida el mcm entre el denominador de la primera fracción
x x x
x x
x x
+( ) −( ) +
−( ) +( )
= +( ) +( )
2 5 2 1
5 2 1
2 2 1
2
( )
Multipliquemos el resultado por el numerador de la primera fracción
3(x + 2)(2x + 1)
Este es un primer sumando en el numerador de la fracción resultado.
3
5 2 1 2 2 1
3 2 2 1
2 5 2 1
2 2
x x
x
x x x x x−( ) +( )
+
+( ) +( )
=
+( ) +( )+
+( ) −( ) +( )
x x
Ahora divida el m.c.m. entre el denominador de la segunda fracción
y multiplique el cociente que resulte por el numerador de la misma
fracción. Deberá obtener como resultado el polinomio
x(x - 5)
Este es un segundo sumando en el numerador de la fracción suma.
3
5 2 1 2 2 1
3 2 2 1 5
2 5 2
2
x x
x
x x
x x x x
x x x−( ) +( )
+
+( ) +( )
=
+( ) +( )+ −( )
+( ) −( ) ++( )1
2
Ejemplo 4
¡Recuerde!
Al mínimo común múltiplo
de los denominadores le
llamamos mínimo común
denominador.

154. 146
Luego, simplificando en el numerador obtenemos
3
5 2 1 2 2 1
7 10 6
2 5 2 1
2
2
2
x x
x
x x
x x
x x x−( ) +( )
+
+( ) +( )
=
+ +
+( ) −( ) +( )
Es decir,
3
2 9 5 4 4 7 2
7 10 6
2 5 2 1
2 3 2
2
2
x x
x
x x x
x x
x x x− −
+
+ − +
=
+ +
+( ) −( ) +( )
La diferencia entre dos fracciones se realiza de forma similar a la suma.
Efectuar la resta 4
3
2
6 92
x
x x x−
−
− +
Descomponga los polinomios como producto de factores irreducibles
x - 3 = (x - 3)
x2
- 6x + 9 = (x - 3)2
Se tendrá entonces
4
3
2
6 9
4
3
2
32 2
x
x x x
x
x x( ) ( ) ( )−
−
− +
=
−
−
−
Halle el mínimo común múltiplo de los denominadores
m.c.m.d. = {(x - 3),(x - 3)2
} = (x - 3)2
Este es el denominador de la fracción buscada. Se tiene entonces
4
3
2
3 3
2 2
x
x x x−
−
−
=
−( ) ( ) ( )
Busquemos el numerador. Si dividimos (x - 3)2
entre x - 3 obtenemos
x - 3; esto lo multiplicamos por 4x y el resultado lo ponemos en el
numerador
4
3
2
3
4 3
3
2 2
x
x x
x x
x−( )
−
−( )
=
−( )−
−( )
Seguidamente dividimos (x - 3)2
entre el denominador de la otra
fracción, es decir entre sí mismo, y luego multiplicamos por el numerador
el resultado (1) y se coloca en el numerador con el signo menos ya que
estamos restando la fracción. Obtenemos:
4
3
2
3
4 3 2
3
4 12 2
3
2 2
2
2
x
x x
x x
x
x x
x−( )
−
−( )
=
−( )−
−( )
=
− −
−( )
¡Recuerde!
Igual que para las
fracciones numéricas,
aquí también se
cumple que
a
b
c
d
−
Puede ser expresado
como
a
b
c
d
+ −






Ejemplo 5

155. 147
Por tanto,
4
3
2
6 9
4 12 2
3
2
2
2
x
x x x
x x
x−
−
− +
=
− −
−( )
Compruebo lo aprendido
Calcule las restas indicadas
1)
x x
x
x x
x
2 2
5 3
5
6 7
5
− +
−
−
− −
−
2)
a a b b
a b c
a b b a
a b c
3 2 2
3 3 3
2 2 3
3 3 3
3 3 3+ −
−
− −
Multiplicación de Fracciones Algebraicas
La multiplicación de fracciones algebraicas se efectúa igual que la
multiplicación de fracciones numéricas, se multiplica numerador por
numerador y denominador por denominador
a
b
c
d
a c
b d
⋅ =
⋅
⋅
Multiplicar:
5 3
4 2
x
x
+
−
. 2 1
7 2
x
x
−
+
Tenemos que
5 3
4 2
2 1
7 2
5 3 2 1
4 2 7 2
10 11 3
28
2
2
x
x
x
x
x x
x x
x x
x
+
−
⋅
−
+
=
+( ) −( )
−( ) +( )
=
+ −
− 66 4x −
Multiplique las siguientes fracciones
2 1
3
2 1
4
x
x
x
x
−
+
+
+
El producto de estas es igual a:
2 1
3
2 1
4
2 1 2 1
3 4
x
x
x
x
x x
x x
−
+
⋅
+
+
=
−( ) +( )
+( ) +( )
Es decir,
2 1
3
2 1
4
4 1
7 12
2
2
x
x
x
x
x
x x
−
+
⋅
+
+
=
−
+ +
Ejemplo 6
Ejemplo 7
¡Recuerde!
Puede escribir
(a + b)(x - y) en lugar
de
(x - y) (a + b), por la
propiedad conmutativa
de la multiplicación.

156. 148
pues,
(2x - 1)(2x+ 1) = 4x2
- 1
y
(x + 3)(x + 4) = x2
+ 7x + 12
Compruebo lo aprendido
Multiplique las siguientes fracciones
a. x y
x y
x xy y
x xy y
+
−
⋅
− +
+ +
2 2
2 2
b. 3 4
3 4
9 12 16
9 12 16
2 2
2 2
x y
x y
x xy y
x xy y
−
+
⋅
− +
+ +
c. x y
x y
x x
x y
+
−
⋅
+
+
2
3
División de Fracciones Algebraicas
De manera similar a cuando definimos la división entre fracciones
numéricas, haremos algunas observaciones.
Primeramente, notemos que todo polinomio puede ser considerado
como una fracción algebraica cuyo numerador es el polinomio mismo
y su denominador el polinomio constante 1.
Además, así como para las fracciones numéricas, se excluye al 0
dentro de los posibles denominadores, igualmente excluiremos al
polinomio nulo del conjunto de todos los posibles denominadores de
alguna fracción algebraica, es decir, sí,
a
b
es una fracción algebraica, entonces a puede ser cualquier polinomio,
pero b debe ser distinto del polinomio nulo. Definamos ahora, lo que es
una fracción recíproca:
La fracción recíproca de una fracción no nula
a
b
es la fracción
b
a

157. 149
Ahora sí podemos definir la división entre fracciones algebraicas. Para
dividir una fracción entre otra se multiplica la primera por la fracción
recíproca de la segunda:
a
b
c
d
a
b
c
d
ad
bc
÷ = =i
Divida la fracción
x
x
−
+
3
4
entre
x
x
−
−
3
6
Tenemos
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
•
x
x
−
+
−
−
=
−
+
÷
−
−
=
−
+
−
−
3
4
3
6
3
4
3
6
3
4
6
3
=
−( ) −( )
+( ) −( )
x x
x x
3 6
4 3
=
−
+
x
x
6
4
Divida la fracción
5 3
2 5
x y
x
+
−
entre
2 5
2
x
x
+
+
Tenemos
5 3
2 5
2 5
2
5 3
2 5
2 5
2
5 3
2 5
2
2 5
x y
x
x
x
x y
x
x
x
x y
x
x
x
+
−
+
+
=
+
−
÷
+
+
=
+
−
⋅
+
+
=
+( ) +( )
−( ) +( )
=
+ + +
−
5 3 2
2 5 2 5
5 10 6
4 25
2
2
x y x
x x
x x xy y
x
Dividir
a.
3 2
4 72
x y
x
−
−
÷
x
x y
−
+
1
3 2
b. a b
ab
2 2
+
÷
a
a b2 2
−
Ejemplo 8
Ejemplo 9

158. 150
Compruebo lo aprendido
Simplifique las siguientes fracciones algebraicas:
1. p q
p q
2 2
7 7
−
−
2.
x y
y x
2 2
2 2
−
−
3. a b
a b
+
+3 3
4. a b
a b
−
−3 3
5. x
x
+
−
1
12
6. 1
5 5
−
−
x
x
7. a ab b c
a b ab c
2 2 2
2 2 2
2
2
− + −
− − −
8.
a b
b
+( ) −( )
−
5 5
5
9.
a b
b a
−
−
10.
a a
a
2
2
7 10
25
+ +
−
Realice las sumas y restas indicadas:
1. a b a b+
+
−
2 2
2. x y w x y z x y z− +
−
+ −
+
− −
3 3 3
3. 9 16
1
2 6 7
1
7 5 14
12
2
2
2
a
a
a a
a
a a
a
−
−
−
− −
−
+
− +
−
4. x
x
x
x
+
−
+
−
−
1
1
1
5 52
5. x y
x y
x y
x y
−
−
−
−
−
3
3
6 4
2
Realice los productos y divisiones indicadas:
¡Recuerde!
Para sumar o restar
es importante notar
si las fracciones
tienen igual o distinto
denominador.
Matemático noruego
que vivió toda su vida
en extrema pobreza.
Fue uno de los más
grandes algebristas
del siglo XIX.
Demostró el Teorema
General del Binomio.
GENIO Y POBREZA
Niels Henrik Abel
(1 802-1 829)
x
y
z
y
b
x z
−






−






3
3
5
5
3
2
a
b
b
a
+






a
b
c
d
a c
b
+





 ÷
+
a
b
b
c
c
a
ac
b
+ +






1 1 1
a b a b
+





 +






x
a
x
b
a
x
b
y
+





 ÷ −






a
b
b
c
c
a
ac
b
+ +





 ÷
x
y
y
x
m
n
x
y
y
x
m
n
+ −





 ÷ − +






x
a
y
b
x
a
y
b
−





 +






1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

159. 151
Ejercicios de Cierre de Unidad
I- Simplifique las siguientes expresiones según las operaciones indicadas, aplicando las
propiedades de los radicales:
1. 15 40 75 14 1204 2
+ − +a ab b
2. 9 15 12 60 24 452
w v vw w v+ −
3. 11 7 5 13 33 3
x y x y−( ) +( )
4.
8
25
1 3
9
4
7 6
3
2a b c
a bc
bc
a
−








− +






5.
125
2 2
15 123
2 2
x y z
x y y x−( ) +( )
4
II- Racionalice el denominador de las siguientes expresiones:
1. 1
23
a b
2. m
m m− −3
3. x y
x y
− −
+ −
1
1
3 2
3 3
4. y x
x y
2 2
3 3
−
−
5.
p
p23
III- Simplifique las siguientes fracciones algebraicas:
1.
a ab
b ab
2
2
−
−
2. x y
x y
−( )
−
2
3 3
3.
a a
a a
2
2
3 2
2
+ +
− −
4. a
a
3
1
1
−
−
5. x x
x
2
15 50
5
− +
−
6. a b
a b
4 4
2
−
−( )
7.
m
m m
2
2
16
3 28
−
− −
8. 9 25
6 10
2 2
a b
a b
−
+
9. x x x
x x x x

160. 152
IV- Efectue los siguientes ejercicios:
1. a b c a b c+ −
+
− −
2 4
2. 15 12 14 2x y
x y
y
x y
−
−
−
+
+
3.
5 2 6 2 4 3
y
22 2 2 2 2 2
x xy y
x y
x xy
x y
x xy
x
x y
x y
+ +
+
−
+
−
+
+
+
−
+
−
4.
x y x y+( ) +
−( )
2 2
2 6
5.
3
3
3
9
2 2
2
x y
y
x y
y
−( ) −
+( )
6. 36 49
36 49 84
2 2
2 2
h p
h p ph
−
+ −
1
(6h - 7p) 3
−
V- Realice los siguientes ejercicios:
1) 6)
2) 7)
3) 8)
4) 9)
5) 10)
x y
x y
x y x y
y
+( )
−( )








−( )







−
2
2
2 2
3 2 3




+( )






3
3
y
x y
4
2
2
ab
ab
a b
b
x
y
y
x






−( )







−






−
−






x y
y x
2 2
2 2
m n
m
m n
mn
a b
a ab b
−





−





−
+ +
10
10
6 3
6
5 4
22 2 2






−





4 5
2 2
b a
a b
m n
m n
m n
m
m n
n
m m2 2 2 2
5
3 9−
−





 ÷
+( )







−




 ÷
+ 22
15n






a b
b
a b
a
a b
b
a b
a
+




 ÷
−





+




 ÷
−
2 2
2 2
2
2 2
2



-1

161. Unidad 5
Sistemas de
Ecuaciones Lineales
La Coordinadora del Consejo de Comunicación y Ciudadanía, Compañera Rosario
Murillo, informó a través de los Medios del Poder de las Familias y Comunidades: “En el
modelo de alianzas gobierno nacional-gobierno local, Presidencia de la
República-Gobiernos Locales, estaremos haciendo por año, en los próximos tres años,
3 mil 21 cuadras en todos los municipios del país. Estas cuadras son trabajadas en
concreto hidráulico, adoquín y asfalto”.
Fuente: 19 digital.
21 de Mayo 2014.

162. 154
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Introducción
Muchos problemas prácticos precisan de la resolución simultánea de
varias ecuaciones lineales para encontrar las soluciones comunes a
todas ellas. En geometría, las rectas y planos se interpretan como
soluciones de ecuaciones lineales, de modo que la determinación de
las posiciones relativas de rectas y planos equivale a la resolución de
sistemas de ecuaciones lineales.
Ecuaciones lineales en dos variables
Recuerde, reflexione y concluya
1. Dé un ejemplo de una ecuación lineal en la incógnita x.
2. Escriba una ecuación lineal en la variable y.
3. ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación lineal en una
variable?
4. ¿Cuál de los siguientes números es solución de la ecuación 3x-6=0
a) 2 b) 1 c)
1
2
d) 3
5. Halle las soluciones de las siguientes ecuaciones
• 2x - 3 = 0
• 5y - 4 = 7y + 45
•
3
2
1
6
5
3
8
z z+ = −
6. La suma de tres números enteros consecutivos es 18. Hallar dichos
números.
7. El perímetro de un rectángulo es igual a 42 cm. El largo es el triplo
del ancho aumentado en 5. Hallar las dimensiones del rectángulo.
8. La edad de Camila es el doble de la de su hermana. Dentro de
5 años la suma de las edades será de 22 años. ¿Cuántos años
tiene Camila?
Recordemos:
Una ecuación lineal,
es una ecuación del
tipo
ax = b; a,b ∈ �
Si a ≠ 0 , la ecuación
tiene la solución única
x =
b
a

163. 155
Analicemos el siguiente problema:
Juan labora lavando carros en una tienda de servicios automotrices.
Devenga un salario básico semanal de 300 córdobas más una comisión
de 5 córdobas por cada vehículo que lava.
a. ¿Qué relación hay entre el salario semanal de Juan y la cantidad
de vehículos que él lava por semana?
b. Si en una semana lavó 100 automóviles, ¿cuál será su salario
durante esa semana? y ¿si lava 120 carros?
c. ¿Cuántos vehículos tendría que lavar para recibir un salario
semanal de 1 500 córdobas?
Supongamos que x es la cantidad de carros que Juan lava
semanalmente. Puesto que por cada vehículo que lava le pagan
cinco córdobas, semanalmente recibirá una cantidad en córdobas
equivalente a
5 ∙ (cantidad de vehículos lavados en la semana) = 5x,
en pago por el lavado de los vehículos. Esta cantidad, más el salario
básico de 300 córdobas conforman el pago total que Juan recibe
semanalmente.
La siguiente ecuación representa esta forma de pago.
y = 5x + 300.
Como observamos, esta es una ecuación en dos variables:
x e y.
¿Qué representa x?
¿Qué representa y?
¿Qué representa el 5 en esta ecuación?
¿Qué representa el número 300?
Un par ordenado de números es solución de una ecuación en dos
variables x, y si al sustituir el primer número por x y el segundo por y,
se obtiene una igualdad; en este caso decimos que el par ordenado
satisface o cumple la ecuación.
Cálculo del salario
semanal de Juan.
Salario Básico: 5x
Carros lavados: 300
Pago total
y = 5x + 300

164. 156
Despeje de la variable
y:
8 + 3y = 11
8 + 3y - 8 = 11 - 8
3y = 3
3
3
3
3
y
=
y = 1
Indique si (2 ; 310) y (5 ; 350) son soluciones de la ecuación y = 5x + 300.
Consideremos primero el par (2 ; 310).
Sustituyamos 2 por x y 310 por y en la ecuación dada
y = 5x + 300
310 = 5 (2) + 300
310 = 10 + 300
310 = 310.
Puesto que las cantidades obtenidas a izquierda y derecha son iguales,
esto verifica que el par (2; 310) es solución de la ecuación dada.
Ahora sometamos a prueba al par (5; 350). Sustituimos en este caso 5
por x y 350 por y. Luego efectuamos las operaciones indicadas.
y = 5x + 300
y = 5 (5) + 300
y = 25 + 300
y = 325.
Puesto que las cantidades obtenidas para y son distintas,
el par (5; 350) no es solución de la ecuación dada.
Para hallar distintas soluciones de una ecuación en dos variables
x, y, asigne distintos valores a x , sustitúyalos en la ecuación
y despeje y.
Hallar dos soluciones distintas para la ecuación 2x + 3y = 11.
Pongamos x = 4 y sustituyamos este valor en la ecuación dada
2x + 3y = 11.
Obtenemos
2 (4) + 3y = 11,
es decir,
8 + 3y = 11.
Ahora despejando y de esta ecuación obtenemos
y = 1.
Esto nos da la solución x = 4, y = 1. Es decir el par (4 ; 1).
Ejemplo 1
Ejemplo 2

165. 157
Busquemos otra solución de la ecuación. Eso sí, vamos a proceder de
una manera un poco diferente, primero expresemos y en función de x.
Despejando y de la ecuación dada:
2x + 3y = 11
2x + 3y - 2x = 11 - 2x
3y = -2x + 11
3
3
2 11
3
y x
=
− +
y x= − +
2
3
11
3
Elijamos un valor para x distinto del asignado anteriormente, por
ejemplo x = 6. Sustituyamos este valor en la ecuación dada por el
despeje para encontrar el valor de y.
El resultado será:
y = −
1
3
Por tanto, si x = 6, entonces y = −
1
3
. Así el par (6; −
1
3
) es otra solución
de la ecuación 2x + 3y = 11.
Compruebo lo aprendido
Encuentre otros dos pares ordenados que sean solución de la
ecuación 2x + 3y = 11. Grafique estos pares ordenados y las dos
soluciones anteriores en un plano cartesiano.
¿Qué patrón siguen los puntos de la gráfica?
Halle varias soluciones de la ecuación y = 2x + 1. Represente en
forma gráfica los pares ordenados encontrados.
Haremos una tabla de tres columnas. En la primera vamos a disponer
distintos valores de x, en la segunda los valores correspondientes de y
en la tercera y última los pares ordenados (x; y), es decir, las soluciones
de la ecuación.
Ejemplo 3
Calculo de y para:
x = 6
y x= − +
2
3
11
3
y = − ( )+
2
3
6
11
3
y = − +
12
3
11
3
y = −
1
3

166. 158
Gráfique el conjunto
solución de las siguientes
ecuaciones:
a. y = -2x + 1
b. y = 3x - 2
x y = 2x + 1 (x ; y)
-1 y = 2 (-1) + 1 = -1 (-1 ; -1)
0 y = 2 (0) + 1 = 1 (0 ; 1)
1 y = 2 (1) + 1 = 3 (1 ; 3)
2 y = 2 (2) + 1 = 5 (2 ; 5)
3 y = 2 (3) + 1 = 7 (3 ; 7)
Los pares ordenados de la última columna son soluciones de la
ecuación dada.
Compruebo lo aprendido
Construya una tabla como la del ejemplo anterior para las siguientes
ecuaciones. En cada caso asigne 6 valores a la variable x; grafique
las soluciones, estudie el patrón que siguen e intente llegar a una
conclusión en cuanto a cómo se posicionan estos pares ordenados
en el plano cartesiano.
a. y = 5x - 3
b. y = -2x - 1
Una ecuación como las de los ejemplos anteriores se denomina
ecuación lineal en dos variables. Recibe este nombre porque sus
soluciones son puntos que se encuentran en una recta.
¿Cuántas soluciones tiene una ecuación lineal en dos variables?
¿Por qué?
Dé ejemplos de otras ecuaciones lineales como las expuestas
anteriormente.
Para representar gráficamente todas las soluciones de una ecuación
lineal en dos variables, encuentre dos o más soluciones y luego trace
una recta que pase por ellas. Los puntos que integran dicha recta son
exactamente todas las soluciones de la ecuación.
¿Cuántos puntos, como mínimo, determinan una recta?
¿Cuál es el mínimo de soluciones necesarias para poder trazar la
gráfica de una ecuación lineal en dos variables?

167. 159
Graficar el conjunto solución de la ecuación x + 3y = 6.
Expresemos y en términos de x.
y x= − +
1
3
2
Encontramos dos soluciones de la ecuación.
x y x= − +
1
3
2 (x ; y)
0 y = − ( )+ =
1
3
0 2 2 (0 ; 2)
3 y = − ( )+ =
1
3
3 2 1 (3 ; 1)
Puesto que por dos puntos distintos del plano pasa una y sólo una
recta, es suficiente con los dos puntos encontrados. La recta que pasa
por ellos es el conjunto solución buscado. La gráfica es la que se ve
abajo.
32
2
1
0
1
(3;1)
(0;2)
0
Trabajo en Equipo
1) Los precios de los boletos para la presentación de una artista
internacional en el Teatro Nacional Rubén Darío, en cierta ocasión
fueron los siguientes:
Primer Balcón $50
Segundo Balcón $35
Tercer Balcón $25.
Ejemplo 4
Despeje la variable “y”
para cada uno de los
siguientes ejercicios:
x + 3y = 6
x + 3y - x = 6 - x
3y = -x + 6
3
3
6
3
y x
=
− +
y x= − +
1
3
2

168. 160
Los ingresos que percibiría el teatro por la venta de cada tipo de boleto
están representados por las siguientes ecuaciones:
y = 50x, y = 35x, y = 25x.
Estas ecuaciones son del tipo y = mx.
a. Determine el valor de m en cada caso.
b. Identifique entre las gráficas que aparecen en la parte izquierda la
que corresponde a cada una de las ecuaciones.
c. ¿En qué se parecen estas gráficas? ¿En qué difieren?
2) Grafique las ecuaciones
y = -x, y = -2x, y = -3x.
¿Qué similitud guardan las gráficas? ¿En qué se diferencian?
3) Identifique el valor de m en las siguientes ecuaciones. Trace sus
gráficas.
y = x , y = 2x, y = 3x.
4) Dé ejemplos de otras ecuaciones de este tipo y trace sus gráficas.
5) ¿Qué ocurre con la gráfica de la ecuación y = mx a medida que m
cambia?
6) ¿Cómo es la gráfica de y = mx, si m > 0? ¿Y si m < 0?
7) ¿Cómo debe ser m para que el gráfico de y = mx atraviese los
cuadrantes I y III? y ¿Para que cruce los cuadrantes II y IV?
8) Las ecuaciones lineales y= 3x+ 2, y= 2x+ 3, y= x- 3 son ecuaciones
del tipo:
y = mx + b
a) Para cada una de ellas identifique los valores de m y b.
b) Trace la gráfica de la ecuación y = 3x + 2 y la de y = 3x en un
mismo plano cartesiano. ¿Qué puede decir de estas rectas?
c) Repita el ejercicio anterior con el grupo de ecuaciones {y = 2x + 3, y = 2x}
y también con el conjunto de ecuaciones {y = x-3, y = x}.
9) ¿Qué conclusión general se puede extraer acerca de los gráficos de
las ecuaciones y = mx + b, y = mx?
4
200
100
0
20-2-4
-100
-200
y
x

169. 161
Róger y Francisco, dos amigos entrañables, decidieron comprar cada
uno una alcancía para ahorrar para los gastos de diciembre del año en
curso. El propio día de la compra, el 6 de enero, Róger ingresa a su
alcancía la cantidad de cuatro córdobas, no así Francisco pues gastó
todo su dinero en la adquisición de la alcancía. Acuerdan ahorrar dos
córdobas cada uno a partir del 10 de enero.
Encuentre las ecuaciones que describen los métodos de ahorro de los
dos amigos. Trace las gráficas.
Las ecuaciones son las siguientes:
y= 4 + 2x, y = 2x.
Las gráficas de la izquierda corresponden a estas ecuaciones. Observe
que las rectas son paralelas y la gráfica de y = 4 + 2x, está cuatro
unidades por encima de la gráfica de la ecuación y = 2x.
¿Qué distancia vertical hay entre el gráfico de y = 5x y y = 5x + 4?
Las ecuaciones del ejemplo anterior son de la forma
y = mx + b
y
y = mx.
Este tipo de ecuaciones siempre son paralelas y por tanto tienen la
misma inclinación, la cual está determinada por el coeficiente m.
Observe que si (x0
; y0
), (x1
; y1
) son soluciones de la ecuación y = mx + b,
entonces,
y1
- y0
= mx1
- mxo
de donde,
m
y y
x x
=
−
−
1 0
1 0
En general, si (x0
; y0
) es un punto de una recta no vertical, entonces
para cualquier otro punto (x ; y) de la recta, el cociente
m
y y
x x
=
−
−
0
0
,
es un valor constante denominado pendiente de la recta. Este valor
determina qué tan inclinada está la recta, a mayor valor de m mayor
inclinación de la recta.
Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.
Ejemplo 5
4
4
2
0
20-2-4
-2
-4
y
x
4
3
2
1
0
-1
1
(0;3)
(1;1)
0
Gráfico de y = 3 - 2x
4
3
2
1
0
-1
1
(0,5 ; 2)
(0;1)
0
Gráfica de y = 2x + 1

170. 162
Trabajo en Equipo
1. Indique cuáles ecuaciones corresponden a rectas paralelas:
a. y = 5x + 3 b. y = 2x - 5 c. y = -2x + 5 d. y = 5x - 2.
2. Halle la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2; 7) y (3; 5).
3. Halle la pendiente de la gráfica de la ecuación 2x + 3y = 9.
4. Si dos rectas tienen pendientes diferentes, ¿en cuántos puntos se
interceptan?
5. Dos ecuaciones lineales, ¿pueden tener solo 2 soluciones?
En general, una ecuación lineal en dos incógnitas es una ecuación
de la forma
ax + by = c
donde a, b, c son constantes reales.
Una solución de la ecuación es un par de valores x = x0
; y = y0
, tal que
se cumple la igualdad: ax0
+ by0
= c
Por ejemplo, el par (2 ; -5) es solución de la ecuación
4x - 7y = 43,
Porque
4(2) - (7)(-5) = 43.
El punto (5; 0) no es solución de la misma ecuación puesto que
4(5) - 7(0) = 20 ≠ 43.
Si a = 0 = b, entonces la ecuación toma la forma
0x + 0y = c.
Cualquiera que sea la asignación de valores que demos a las variables
x, y, la parte izquierda de esta ecuación siempre dará cero. Luego, si
c = 0, la ecuación será satisfecha por cualquier punto, mientras que si
c ≠ 0, no habrá ningún punto que pueda hacer válida la relación
0 = 0x + 0y = c ≠ 0,
y por tanto, el conjunto solución será el conjunto vacío.
En cualquier caso, el conjunto solución de la ecuación
0x + 0y = c
no es una recta, de modo que, propiamente hablando, este tipo de
ecuaciones no entrarían en la familia de las ecuaciones lineales. Sin
embargo, pueden aparecer cuando se resuelven ciertos sistemas de
ecuaciones, así que debemos tenerlas en cuenta.
La pendiente de la
recta que pasa por:
A(3;1) y B(2;-4)
Se calcula haciendo:
A (3;1) → (x1
; y1
)
B(2;-4) → (x2
; y2
)
Sustituyendo en:
m
y y
x x
=
−
−
2 1
2 1
Tendremos:
m =
− −
−
4 1
2 3
m =
−
−
5
1
m = 5

171. 163
Consideremos ahora el caso, cuando a ≠ 0 ó b ≠ 0 en
ax + by = c.
Si b ≠ 0, entonces podemos despejar y de la ecuación para obtener
y
a
b
x
c
b
= − +
Este tipo de ecuación ya fue tratada en los párrafos anteriores. Su
gráfica es una recta de pendiente:
m
a
b
= −
La ecuación 12x - 15y = 30 es de la forma ax + by = c. Identifique
a, b y c. Encuentre la pendiente de la gráfica.
El coeficiente de la variable x es a = 12, el de la variable y
es b = -15 y c = 30.
La pendiente de la gráfica es:
m
a
b
= − = −
−
=
12
15
4
5
Compruebo lo aprendido
La ecuación 5x + 7y = 2 es del tipo ax + by = c. Identifique a,b y c.
Halle la pendiente y trace la gráfica de la ecuación.
Describa el conjunto solución de la ecuación
3x + 5y = -3.
Si el coeficiente b de la variable y es igual a cero, entonces la ecuación
toma la forma
ax = c.
Aquí despejando x obtenemos que:
x
c
a
= ,
en tanto que y puede tomar cualquier valor real. Las soluciones son los
puntos (
c
a
; y) donde y es un número real cualquiera.

172. 164
Por tanto, si b = 0, el conjunto solución de la ecuación:
ax + by = c
(a ≠ 0), es el conjunto de puntos
{(
c
a
; y): y ∈ �}
Este conjunto es la recta vertical que intercepta al eje horizontal x en
x
c
a
=
Trace el gráfico de la ecuación 3x + 0y = 5.
Sistemas de Ecuaciones Lineales en dos incógnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas es un conjunto
de dos ecuaciones lineales en las mismas dos incógnitas.
Un sistema de dos ecuaciones lineales en las incógnitas x, y es un
sistema del tipo
a x b y c
a x b y c
1 1 1
2 2 2
+ =
+ =



donde a1
, a2
, b1
, b2
, c1
, c2
, son constantes reales.
Una solución del sistema es cualquier punto de �2
que sea solución
de ambas ecuaciones del sistema. Todas las soluciones del sistema
forman el conjunto solución.
Compruebe que el par de valores x = −
29
28
, y = −
23
14
constituye una
solución de ambas ecuaciones del sistema:
2 3 7
6 5 2
x y
x y
+ = −
− =



¿Cuáles son las pendientes de las gráficas de las ecuaciones del
sistema?
¿En cuántos puntos se interceptan estas gráficas?
Un punto que sea solución del sistema debe pertenecer a las gráficas
de las ecuaciones puesto que satisface ambas ecuaciones.
Una libra de café
cuesta 25 córdobas
y 1 libra de frijoles 10
córdobas.
Si
x: es el costo de la
libra de café
y: es el costo de la
libra de frijol entonces:
x + y = 25 + 10 = 35
De manera general si
no conocemos el valor
de la libra de cada
producto tenemos
la ecuación en dos
variables
x + y = 35
4
3
2
1
0
-1
1
(2 ; 3)
(2,1)
0
Gráfica de 3x + 0y = 6
ó bien x = 2
2

173. 165
Llamaremos a las
rectas:
ℓ1
como ℓ1
y ℓ2
como ℓ2
¿Cuántas soluciones tiene el sistema?
Grafique ambas ecuaciones en un mismo plano cartesiano para
corroborar su respuesta.
Sean ℓ1
y ℓ2
las rectas determinadas por las ecuaciones
ax + by = p y cx + dy = q, respectivamente.
Entonces:
1. El conjunto solución del sistema es infinito si y sólo si cada ecuación
del sistema dado se puede convertir en la forma algebraica de la
otra, es decir, ℓ1
= ℓ2
2. El conjunto solución del sistema es vacío (no tiene solución) sí y
solo si ℓ1
|| ℓ2
(las rectas son paralelas).
1
2
3. El conjunto solución del sistema es unitario (tiene una solución
nada más) sí y solo si las rectas ℓ1
y ℓ2
se cortan en un punto.
1
2
1 = 2

174. 166
Operaciones elementales sobre un sistema
Una operación elemental sobre un sistema de dos ecuaciones lineales
consiste en la realización de cualquiera de las siguientes acciones:
1. Intercambiar de lugar las ecuaciones del sistema.
2. Multiplicar una ecuación por un número real diferente de cero.
El resultado de multiplicar una ecuación por un número real se
denomina múltiplo escalar de la ecuación.
3. Sumar a una ecuación del sistema un múltiplo escalar de la otra
ecuación del sistema.
En particular, sumar o restar a una ecuación del sistema la otra ecuación
del mismo sistema es una operación elemental del tipo 3.
Consideremos el sistema
3 5 7
6 10 14
x y
x y
+ =
+ =



Multipliquemos la primera ecuación por -2 (operación del tipo 2).
Obtenemos el sistema equivalente.
− − = −
+ =



6 10 14
6 10 14
x y
x y
Ahora sumémosle la primera ecuación a la segunda. Tendremos de
nuevo un sistema equivalente.
− − = −
+ =



6 10 14
0 0 0
x y
x y
Importante
Dos sistemas son
equivalentes si tienen el
mismo conjunto solución
La equivalencia
entre sistemas
de ecuaciones es
una relación de
equivalencia.
Ejemplo 1

175. 167
Si ahora multiplicamos la primera ecuación por −
1
2
, obtenemos el
sistema
3 5 7
0 0 0
x y
x y
+ =
+ =



Cuando un sistema tiene una ecuación del tipo 0x + 0y = 0, el conjunto
solución del sistema coincide con el conjunto solución de la otra
ecuación del sistema.
Por tanto, el conjunto solución del último sistema es igual al conjunto
solución de la ecuación
3x + 5y = 7.
Este conjunto es la recta que pasa por los puntos 0
7
5
7
3
0; ;











y
Verifíquelo usted mismo.
Por transitividad de la relación de equivalencia de sistemas, el sistema
original es equivalente al último sistema. Luego la solución del sistema
3 5 7
6 10 14
x y
x y
+ =
+ =


 ,
es la misma del sistema planteado anteriormente, es decir, la recta
definida por la ecuación 3x + 5y = 7.
Geométricamente, esto significa que la recta determinada por la
ecuación 6x + 10y = 14 coincide con la recta definida por la ecuación
3x + 5y = 7.
Observe que la segunda ecuación del sistema dado es múltiplo
escalar de la primera ecuación del sistema. Este hecho, junto con las
operaciones elementales aplicadas en el proceso, fue lo que condujo
a determinar que la solución del sistema coincide con la solución de la
primera ecuación del mismo.
En general tiene lugar el siguiente resultado:
Siempre que una de las ecuaciones de un sistema sea múltiplo
escalar de la otra ecuación, entonces el conjunto solución de esa
otra ecuación es el conjunto solución del sistema.

176. 168
Determine el conjunto solución del sistema
2 7 3
7
2
3
2
x y
x y
− =
− =




Observe que la primera ecuación se puede obtener de la segunda
multiplicando ésta por 2. Es decir, la primera ecuación es múltiplo
escalar de la segunda. Luego, por lo antes expuesto, el conjunto
solución del sistema coincide con el conjunto solución de la segunda
ecuación
x y− =
7
2
3
2
el cual es una recta.
Halle dos puntos distintos de la recta definida por la ecuación
x y− =
7
2
3
2
y realice el trazado de ella.
Plantee un sistema de dos ecuaciones lineales, distinto de los aquí
presentados, de manera que una de las ecuaciones sea un múltiplo
escalar de la otra. Luego describa y grafique el conjunto solución.
El resultado del ejemplo 1 se puede obtener más rápidamente si
aplicamos una operación elemental de tipo 3. En efecto, si en el
sistema.
3 5 7
6 10 14
x y
x y
+ =
+ =



a la segunda ecuación le sumamos el producto de la primera por -2, es
decir, le sumamos la ecuación -6x - 10y = -14:
-6x - 10y = -14
6x - 10y = 14
0x - 0y = 0
Ejemplo 2

177. 169
obtenemos, la ecuación:
0x + 0y = 0,
que sustituirá a la segunda ecuación del sistema original, para obtener
el sistema equivalente:
3 5 7
0 0 0
x y
x y
+ =
+ =



El proceso desarrollado podemos describirlo de la siguiente manera
+
-2 3 5 7
6 10 14
x y
x y
+ =
+ =



3 5 7
0 0 0
x y
x y
+ =
+ =



Consideremos el sistema:
2 5 5
6 15 60
x y
x y
+ =
− − =



Multipliquemos la primera ecuación por -3 y sumemos el resultado a la
segunda ecuación.
+
3 2 5 5
6 15 60
x y
x y
+ =
− − =



2 5 5
0 0 45
x y
x y
+ =
+ =



Cada término de la primera ecuación se multiplica por -3 y el resultado
se suma al término semejante de la segunda ecuación.
Por ejemplo, -3 (2x) = 6x, se suma al término 6x de la segunda ecuación
dando como resultado 0x. Si repetimos esta operación con los otros
términos obtenemos la ecuación:
0x + 0y = 45,
la cual va a sustituir a la segunda ecuación del sistema original para
obtener el sistema equivalente del esquema anterior a la derecha de la
flecha, es decir, el sistema:
2 5 5
0 0 45
x y
x y
+ =
+ =



La segunda ecuación de este sistema no tiene solución y, por tanto,
el sistema tampoco posee solución. Por tanto, el conjunto solución del
sistema original
2 5 5
6 15 60
x y
x y
+ =
+ =



+
3 2
6
0
x
y
x
−



Ejemplo 3

178. 170
es el conjunto vacío. Geométricamente, esto significa que las rectas
determinadas por las ecuaciones del sistema no tienen puntos
comunes, es decir son rectas paralelas no coincidentes.
Hallar el conjunto solución del sistema de ecuaciones.
2 5 5
2 5 20
x y
x y
+ =
− − =



Observemos que si despejamos y en ambas ecuaciones del sistema
anterior, obtenemos:
y x
y x
= − +
= − +






2
5
1
2
5
4
de modo que el coeficiente de x de la primera ecuación coincide con el
coeficiente de y en la segunda.
Observe que las partes derechas de las ecuaciones difieren en 3
unidades. Es decir, el valor de y que se obtiene en la segunda ecuación
al asignarle un valor a x, excede en 3 unidades al valor de y que se
obtiene en la primera ecuación al hacer la misma asignación al valor
de x.
Al realizar el gráfico del sistema de ecuaciones, se observará que la
gráfica de la segunda ecuación está desplazada, con respecto a la
gráfica de la primera ecuación, verticalmente 3 unidades hacia arriba.
Luego, las dos gráficas son rectas paralelas como ya habíamos
determinado.
Consideremos de nuevo el sistema del ejemplo 1,
3 5 7
6 10 14
x y
x y
+ =
+ =



Hallar el conjunto solución.
Ejemplo 4
Ejemplo 5

179. 171
Despejemos y en ambas ecuaciones. Obtenemos:
y x
y x
= − +
= − +






3
5
7
5
6
10
14
10
Es decir,
y x
y x
= − +
= − +






3
5
7
5
3
5
7
5
Este sistema consta de dos ecuaciones repetidas. Por tanto, se reduce
a una sola ecuación.
y x= − +
3
5
7
5
la que es equivalente a la ecuación
3x + 5y = 7
Luego, el conjunto solución de esta ecuación es el conjunto solución
de todo el sistema dado.
Las ecuaciones del sistema del ejemplo 1 son ecuaciones con la misma
pendiente. Resultó que las rectas que ellas determinan son paralelas
no coincidentes (es decir, el conjunto solución del sistema es vacío no
tiene solución)
Si al despejar y en dos ecuaciones lineales resultan ecuaciones
con la misma pendiente, entonces las gráficas que determinan
estas ecuaciones son rectas paralelas. Y, si además, los términos
independientes resultantes coinciden, entonces las rectas también
coinciden.
Por otra parte, si las pendientes son distintas entonces las rectas no
son paralelas, y por tanto, se cortan en un solo punto.
Analicemos el sistema:
3 5 0
6 7 5
x y
x y
− =
+ =




180. 172
Multiplicando la primera ecuación por -2 y sumando el resultado a la
segunda obtenemos el sistema equivalente
3 5 0
0 17 5
x y
x y
− =
+ =



es decir,
3 5 0
17 5
x y
y
− =
=



Ahora, en la segunda ecuación despejamos y, obteniendo
y =
5
7
Luego sustituimos este valor de y en la primera ecuación, con lo cual
ésta se transforma en una ecuación lineal en una incógnita
3x - 5(0) = 0
es decir, la ecuación
3x = 0
cuya solución es x = 0. Por tanto, una solución del sistema es el punto
de coordenadas
x = 0, y =
5
17
Encontremoslaspendientesdelasecuacionesdelsistema.Despejando
y en la primera ecuación obtenemos
y x=
3
5
Y, en la segunda,
y x= − +
6
7
5
la pendiente de la primera ecuación es
3
5
y la de la segunda es
6
7
.
Puesto que las ecuaciones tienen diferentes pendientes, las gráficas
que ellas determinan se cortan en un solo punto. Este punto pertenece
a ambas rectas y por tanto es solución de las dos ecuaciones del
sistema.
Por tanto, el sistema dado sólo tiene una solución, precisamente el
punto encontrado anteriormente.

181. 173
Método de igualación.
En la sastrería “¡Viste cómo se viste!”, confeccionan dos tipos de
pantalones: búfalo y señor. La confección de un pantalón se realiza
en dos etapas, primero se efectúa el corte y posteriormente se ejecuta
la costura. Para un búfalo se requieren 1 hora de corte y 3 horas de
costura, mientras que un señor necesita 2,5 horas para el corte y 4
de costura.
Tipo de pantalón Búfalo Señor
Tiempo de corte 2 h 2,5 h
Tiempo de costura 3 h 4 h
Cantidad producida en un mes x y
Si x representa la cantidad de pantalones búfalo confeccionados en un
mes, ¿cuál es la cantidad de horas por mes gastadas en el corte de
este tipo de pantalones?
El tiempo que se tardan en efectuar varios cortes del mismo tipo es
(Tiempo en realizar un corte)(total de cortes efectuados).
Por tanto, si se fabrican x pantalones búfalo y en cada uno se requiere
2 horas en el corte, entonces el tiempo necesario para cortar todos los
pantalones de este tipo será igual a 2x.
• Si se trabajaron 180 horas al mes en el corte de los pantalones
búfalo, ¿cuántos cortes de este tipo fueron realizados?
• ¿Se podría haber trabajado 175 horas en el corte completo de una
cierta cantidad de pantalones búfalo?
Si y representa la cantidad de pantalones señor fabricados en un mes
¿Cuánto tiempo de trabajo mensual se requiere para el corte de estos
pantalones?
Ejemplo 6

182. 174
Como el corte de un pantalón señor requiere de 2,5 horas de trabajo,
en la fabricación de y unidades se necesitan 2,5 y horas de corte.
¿Cuál es el tiempo de trabajo mensual en el corte de todos los
pantalones, es decir, incluyendo búfalos y señor?
Puesto que el tiempo en horas que consume el corte de los pantalones
es de 2x para los búfalo y 2,5y para los señor, el tiempo total de corte
en horas es igual a
2x + 2,5y.
¿Cuál sería el total de horas dedicadas al corte si se fabricaran 40
pantalones búfalo y 55 del tipo señor?¿Cuál es el número de pantalones
señor confeccionados si el tiempo total de corte es de 274 horas y se
fabricaron 58 pantalones búfalo?
TABLA 1
Tipo de pantalón Búfalo Señor Total
Tiempo de corte 2 h 2,5 h
Tiempo de costura 3 h 4 h
Cantidad producida en un mes x y
Horas de corte por mes 2x 2,5y 2x + 2,5y
Horas de costura por mes 3x 4y 3x + 4y
La expresión algebraica que representa el total de horas de costura
que se requieren para fabricar una cantidad x de pantalones búfalo y
una cantidad y de pantalones señor es igual:
3x + 4y.
Suponga que en la sastrería ¡Viste cómo se viste! el tiempo de trabajo
mensual estipulado es de 104 horas para el corte y de 161 horas para
la costura. De acuerdo con estas condiciones, ¿cuántos pantalones
búfalo y cuántos señor se pueden fabricar mensualmente?
De acuerdo con lo que ya hemos establecido, tenemos que, bajo las
restricciones planteadas,
2x + 2,5y = Horas de corte = 104
3x + 4y = Horas de costura = 161.

183. 175
El problema planteado queda expresado por el sistema de ecuaciones
2 2 5 104
3 4 161
x y
x y
+ =
+ =



Este es un sistema de dos ecuaciones lineales en las incógnitas x, y.
Si no queremos trabajar con decimales multiplicamos ambos lados de
la primera ecuación por 10 para obtener el sistema equivalente.
20 25 1 040
3 4 161
x y
x y
+ =
+ =



Para resolver este sistema realizamos el procedimiento siguiente:
1. Despejemos la misma incógnita, por ejemplo y, en ambas
ecuaciones.
20x + 25y = 1 040 y
x
=
−1 040 20
25
3x + 4y = 161 y
x
=
−161 3
4
2. Igualamos las expresiones resultantes:
1 040 20
25
161 3
4
−
=
−x x
Con lo cual se obtiene una ecuación en una sola incógnita x.
3. Resolvemos la ecuación
4 (1 040 - 20x) = 25( 161 - 3x)
4 160 - 80x = 4 025 - 75x
4 160 - 4 025 = -75x + 80x
135 = 5x
135
5
= x
x = 27.
4. Sustituimos el valor encontrado de x en una de las expresiones en
que tenemos despejada a y:
y
x
x
=
−
=
−
= =
=
161 3
4
161 3 27
4
80
4
20
27
( )

184. 176
5. Los dos valores obtenidos, forman la solución del sistema
x = 27, y = 20.
De acuerdo con la representación que le asignamos a x y a y en el
problema, podemos concluir que si la cantidad de horas mensuales
dedicadas al corte y a la costura se fijan en 104 y 161 horas
respectivamente, entonces se podrán fabricar un total de 27 pantalones
búfalo y 20 pantalones señor.
El método desarrollado para resolver el sistema de ecuaciones se
denomina método de igualación.
Método de sustitución.
Calcule las pendientes de las ecuaciones del sistema para constatar
que son diferentes y que, por tanto, la solución encontrada es la única
solución del sistema.
La empresa “La reina del paladar” está dedicada a la fabricación de
jugos y mermeladas. Sus costos de producción son de 0,54 dólares
en la elaboración de un frasco de mermelada y de 0,045 dólares en la
preparación de una botella de jugo.
¿Cuántos frascos de mermelada y cuántos de jugo se deben producir
para que los costos totales de producción asciendan a 855 dólares y la
cantidad total de unidades producidas sea de 8 000 unidades?
Las cantidades de frascos de mermelada y de jugo necesarias para
cumplir la obligación de fabricar 8 000 unidades a un costo de 855
dólares, son valores desconocidos que debemos determinar. Por ello
les llamamos incógnitas. Pero para poder hablar de ellas debemos
asignarles un nombre. Designemos pues
x = cantidad producida de frascos de mermelada
y = cantidad producida de frascos de jugo
Nuestro cometido es despejar las incógnitas, es decir, determinar
cuáles son sus valores. Para lograrlo debemos plantearnos un
enunciado matemático que los involucre y que refleje fielmente la
situación planteada en el problema.
Ejemplo 7

185. 177
Se nos dice que el total de unidades producidas debe ser de 8 000
unidades. Por tanto, en correspondencia con esta exigencia y la
notación acordada, debemos plantear que
x + y = 8 000
El costo de producción del total de frascos de mermelada producidos es
el producto del costo unitario, 0,54 dólares, por el total x, de unidades
producidas. Esto es
Costo de producción de x frascos de mermelada = 0,54x
En forma similar se halla el costo total de producción de los frascos de
jugo:
Costo de producción de y frascos de jugo = 0,045y
El costo total de la producción de x frascos de mermelada e y frascos
de jugo es entonces igual a
0,54x + 0,045y
Pero de acuerdo con el problema este costo debe ser igual a 855
dólares. En consecuencia,
0,54x + 0,045y = 855
Resumiendo, tenemos que
x y
x y
+ =
+ =



8 000
0 54 0 045 855, ,
Si no queremos trabajar con decimales podemos multiplicar la segunda
ecuación por 1 000 para obtener el sistema equivalente
x y
x y
+ =
+ =



8 000
540 45 855 000
Este es un sistema de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas. Para
resolverlo seguimos el procedimiento siguiente:

186. 178
Despejemos una de las incógnitas en una de las ecuaciones, por ejeplo
y en la segunda primera ecuación:
x + y = 8 000 y = 8 000 - x
Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación,
540x + 45(8 000 - x) = 855 000
con lo cual se obtiene una ecuación en una sola incógnita x.
Resolvemos la ecuación
540x + 45 (8 000 - x) = 855 000
540x + 360 000 - 45x = 855 000
540x - 45x = 855 000- 360 000
495x = 495 000
x= =
495 000
495
1 000
Sustituimos el valor de x en la ecuación que tenemos despejada y:
y = 8 000 - x = 8 000 - 1000
y = 7 000
Los dos valores obtenidos forman la solución del sistema:
x = 1 000, y = 7000
Con la solución obtenida llegamos a la conclusión de que, para cumplir
con los requerimientos del problema, se deben fabricar mil frascos
de mermelada y siete mil de jugo. El método que utilizamos en esta
ocasión para resolver el sistema se denomina método de sustitución.
Metodo de reducción.
Felipe compró un televisor y un equipo de sonido en C$ 17 700 y los
vendió en C$ 19 366. Si en la venta del televisor ganó el 8% y en la venta
del equipo de sonido ganó el 10%, ¿cuánto le costó cada artículo?
Ejemplo 8

187. 179
Denotemos
x = costo del televisor
y = costo del equipo de sonido
Puesto que Felipe gana el 8% en la venta del televisor y el 10% en la
venta del equipo de sonido, en cada una de las transacciones él gana
Ganancia en la venta del televisor = 0,08 x
Ganancia en la venta del equipo de sonido = 0,10 y
El precio en que Felipe vende cada artículo, es igual al costo más su
ganancia. Por tanto, el televisor lo vende en
x + 0,08x = (1 + 0,08)x = 1,08x
mientras que la venta del equipo de sonido la realiza en la cantidad de
y + 0,10y = (1 + 0,10)y = 1,10y
Los dos artículos los vendió Felipe en:
1,08x + 1,10y = 19 366
habiéndolos adquirido en la cantidad de
x + y = 17 700
El siguiente sistema de ecuaciones lineales refleja algebraicamente el
problema planteado.
1 08 1 10 19 366
17 700
, ,x y
x y
+ =
+ =




188. 180
Para resolver este sistema vamos a utilizar el método de reducción.
Éste método consiste en la realización de los siguientes pasos.
1. Se multiplican las ecuaciones por números adecuados, de tal
manera que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales
en ambas ecuaciones.
2. Las restamos eliminando una de las incógnitas
3. Se resuelve la ecuación resultante.
4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y
se resuelve.
5. La pareja de valores obtenidos es la solución del sistema.
Apliquemos pues este método al sistema.
1 08 1 10 19 366
17 700
, ,x y
x y
+ =
+ =



1. Multipliquemos la primera ecuación por 100 y la segunda por 108
108 110 1 936 600
108 108 1 911 600
x y
x y
+ =
+ =



2. Restemos las ecuaciones. Obtenemos la ecuación en y,
2y = 25 000.
3. Resolvemos esta ecuación
y = =
25 000
2
12 500
4. El valor obtenido para y se introduce en la segunda ecuación del
sistema inicial x + y = 17 700, y resolvemos:
x + 12 500 = 17 700,
x = 17 700 - 12 500
x = 5 200.
La pareja, x = 5 200, y = 12 500, es la solución del sistema. Por tanto,
Felipe compró el televisor y el equipo de sonido en C$5 200 y C$ 12 500
respectivamente.

189. 181
Matrices y Determinantes de 2 x 2
Un arreglo de dos filas y dos columnas de números reales se denomina
matriz real 2 × 2.
Si la matriz se denota por A, entonces:
A =






a a
a a
11 12
21 22
Donde el elemento aij
representa al término que figura en la i-ésima
fila y en la j-ésima columna llamado, componente (i,j) de la matriz A.
Las componentes (i,i) (i = 1,2) forman la diagonal principal de la matriz,
llamada diagonal principal de la matriz A.
La matriz
A =
−





1 0
3 7 4,
es una matriz real cuya componente (2,1), es decir, el elemento que
está en la fila 2 columna 1, es igual a 3,7. La diagonal principal de esta
matriz está formada por los números -1 y 4.
Determinantes 2 x 2
El determinante de una matriz real es denotado por detA, y es igual
al producto de las componentes de la diagonal principal menos el
producto de las componentes de la otra diagonal, es decir,
detA = = −
a a
a a
a a a a11 12
21 22
11 22 12 21
El determinante de la matriz
A =
−





1 0
3 7 4,
es igual a detA = (-1)(4) - (3,7)(0) = - 4 - 0 = -4.
Encuentre el valor de los determinantes:
B D=
− −





 =
−






5 2
1 3
0 4
1 2
Ejemplo 9

190. 182
El determinante de la matriz
A =






a a
a a
11 12
21 22
también se denota por
a a
a a
11 12
21 22
££ Hallar el determinante de la matriz
A =
−
−






2 6
4 7
Matriz de un Sistema de dos Ecuaciones Lineales
Consideremos un sistema de dos ecuaciones lineales en las incógnitas
x, y:
ax by p
cx dy q
+ =
+ =



La matriz
a b
c d






Se denomina matriz coeficiente o matriz de coeficientes del sistema.
Observe que los elementos de la primera columna son los coeficientes
de x y los componentes de la segunda columna son los coeficientes de
la incógnita y.
Si a la matriz coeficiente agregamos una columna formada por los
términos independientes de las ecuaciones, obtenemos la denominada
matriz ampliada del sistema:
a b
c d
p
q








Esta es una matriz de dos filas por tres columnas, una matriz 2 × 3.
Observe que se introduce un segmento de línea vertical punteado para
indicar que el sistema de ecuaciones correspondiente ahí aparecen los
signos de igualdad.

191. 183
Trabajo en Equipo
Consideremos el sistema:
2 5 1
7 3 2
x y
x y
+ =
+ = −



La matriz de coeficientes de este sistema es la matriz,
2 5
7 3






Siendo su matriz ampliada:
2 5
7 3
1
2

−






a. Encuentre la matriz coeficiente y la matriz ampliada del sistema
3 5
5 4 6
x y
x y
− =
− + =



b. Calcule el determinante de la matriz de coeficientes del sistema.
c. Cambie en la matriz coeficiente la primera columna por la tercera
columna de la matriz ampliada y calcule el determinante de la matriz
resultante.
d. En la matriz de coeficientes cambie la segunda columna por la
tercera columna. Escriba aquí la ecuación de la matriz ampliada y
calcule el determinante de la matriz que resulta.
Metodo de Cramer
Consideremos de nuevo el sistema
ax by p
cx dy q
+ =
+ =



Multipliquemos la primera fila por d y la segunda por –b y luego
sumemos los resultados.
d ax + by = p adx + bdy = pd
-b cx + dy = q -bxc + bdy = qb
adx - bxc = pd - qb
Extrayendo factor común obtenemos
(ad - bc) x = pd - qb

192. 184
En forma similar, como resultado de multiplicar la primera ecuación del
sistema por –c y las segunda por a, y sumar los resultados, se obtiene:
(ad - bc)y = aq - pc
Si ad - bc ≠ 0, de las ecuaciones obtenidas, se deduce la solución del
sistema dado.
Observemos que si A =






a b
c d
es la matriz de coeficientes del sistema,
entonces
ad bc
a b
c d
− = = ( )det A
Por otra parte, si Aj
representa la matriz que resulta de reemplazar
la j-ésima columna de A por la columna de términos independientes
p
q





 , entonces
A
p b
q d
A
a p
c q
1 2=





 =






y
pd qb
p b
q d
− = = det(A )1
aq pc
a p
c q
− = = det(A )2
Luego, de estas relaciones y de las igualdades, obtenemos que si
det (A) ≠ 0,
x
A
A
y
A
A
=
( )
( )
=
( )
( )
det
det
det
det
1 2
es una solución del sistema.
Este método de solución de sistemas de ecuaciones lineales se
denomina Método de Cramer.

193. 185
Resolver el sistema de ecuaciones:
2 3 11
4 11 97
x y
x y
− = −
+ =



La matriz coeficiente y la matriz ampliada del sistema son
respectivamente
A =
−





2 3
4 11
y B =
− −





2 3 11
4 11 97
La matriz A1
que se obtiene de sustituir la primer columna de A por
la columna de términos independientes
−





11
97
es decir, por la tercera
columna de la matriz ampliada, es
A1
11 3
97 11
=
− −





y la matriz A2
que resulta de reemplazar la segunda columna de A
por la columna
−





11
97
es la matriz
A2
2 11
4 97
=
−





Los determinantes de A, A1
y A2
son respectivamente
det (A) = 34, det (A1
) = 170, det (A2
) = 238
Luego,
x
A
A
y
A
A
= = = = = =
det
det
det
det
( )
( )
( )
( )
1 2170
34
5
238
34
7
Por tanto, el par x = 5, y = 7 es una solución del sistema dado.
Compruebo lo aprendido
Resolver el sistema de ecuaciones por el Método de Cramer.
x y
x y
− =
+ = −



4 10
3 2 12
Ejemplo 1

194. 186
Tipos de Sistema de Ecuaciones.
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar de acuerdo con el
número de soluciones que puedan poseer. Según este criterio pueden
presentarse los siguientes casos.
• Sistema incompatible si no posee soluciones.
• Sistema compatible si tiene al menos una solución. Estos sistemas
a su vez se clasifica en:
a. Sistema compatible determinado cuando tiene un número
finito de soluciones.
b. Sistema compatible indeterminado si tiene un conjunto infinito
de soluciones.
Para el caso de los sistemas de dos ecuaciones lineales en dos
incógnitas, de acuerdo con lo estudiado anteriormente, un sistema es
compatible determinado si tiene exactamente una solución.
• Cuando el determinante del sistema es diferente de cero, el sistema
es compatible, es decir que si A es la matriz coeficiente del sistema,
entonces:
det (A) ≠ 0, el sistema es compatible.
• El sistema es incompatible si el determinante es igual a cero, es
decir,
det (A) = 0, el sistema es incompatible.
Supongamos que el sistema
ax by p
cx dy q
+ =
+ =



posee dos soluciones distintas (x1
; y1
) y (x2
; y2
). Entonces,
ax by p
ax by p
cx dy q
cx dy q
1 1
2 2
1 1
2 2
+ =
+ =



+ =
+ =



Además x1
- x2
≠ 0 ó bien y1
- y2
≠ 0, pues (x1
; y1
) ≠ (x2
; y2
).

195. 187
Si x1
- x2
≠ 0, multiplicamos la primera ecuación por d y la segunda por –b:
ad (x1
- x2
) + bd (y1
- y2
) = 0,
-bc (x1
- x2
) - bd (y1
- y2
) = 0,
al sumar obtenemos:
(ad - bc) (x1
- x2
) = 0.
Finalmente, dividiendo por x1
- x2
y simplificando, concluimos que
ad - bc = 0.
Si x1
- x2
= 0, entonces y1
- y2
≠ 0. Desarrolle este caso y llegue a la
conclusión de que ad - bc = 0.
Restando a cada una de las dos primeras igualdades, la igualdad que
tiene por debajo, obtenemos
a(x1
- x2
) + b(y1
- y2
) = 0,
c(x1
- x2
) + d(y1
- y2
) = 0.
De esta manera queda demostrado que si un sistema de dos ecuaciones
lineales en dos incógnitas tiene al menos dos soluciones diferentes,
entonces el determinante de la matriz de coeficientes del sistema es
igual a cero.
Sea A la matriz de coeficientes de un sistema de dos ecuaciones
lineales en dos incógnitas.
Clasifique el siguiente sistema de ecuaciones:
2 3 11
4 11 97
x y
x y
− = −
+ =



Solución: La matriz del sistema es
A =






2
4
- 3
11
Ejemplo 2

196. 188
Calculemos su determinante:
det (A) = (2)(11)-(4)(-3) = 10.
Puesto que el determinante de la matriz es no nulo, el sistema es
compatible determinado. En consecuencia, el conjunto solución
del sistema está constituido por un solo punto y las gráficas de las
ecuaciones del sistema son dos rectas no paralelas.
Trabajo en Equipo
Haga un cuadro sinóptico para representar la clasificación de los
sistemas de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas de acuerdo con
el número de soluciones que posea.
Caracterice cada uno de los siguientes sistemas
a. 5 6 3
2 5 1
x y
x y
+ =
− + =



b.
4
1
3
2 7
9
3
4
8
x y
x y
− =
− + =






,
c.
5
3
2
0
2 3 0
x y
x y
+ =
+ =




d.
3 2 12
3
2
1
x y
x y
+ =
+ =




e.
4 3 7
2 5 3
x y
x y
+ =
− = −



f.
0 5 0 8 100
1 2 1 5 50
, ,
, ,
x y
x y
+ =
+ =




197. 189
Ejercicios de Cierre de Unidad
I. Halle dos soluciones distintas de las ecuaciones dadas.
1. y x= −
1
2
3 65,
2. 11
3
7
100x y+ =
3. 0,45 m = n - 1
4. 3x + 5y = 0
5.
1
2
23 4 796− =y ,
6. 3x + 7y = 0
7. 2
16
27
5
5
2
3
m n+ =
8. p + q = 0
9. 729
7
0 25
3
289
81
3
3
3
1
2
x + =












−
,
10.
5
3
7
256 32 874y y− = ,
II. Trace el gráfico de las siguientes ecuaciones:
1. y = 7x - 2
2. 3y - 5x = 2
3. 15
2
16 0 25x y− = ,
4. x - y = 0
5. 2 10
6
5
y x= −

198. 190
III. Encuentre la pendiente de las rectas del ejercicio anterior y determine cuáles de éstas
son paralelas.
IV. Resuelva los sistemas de ecuaciones lineales:
1. x y
x y
− =
+ =



3
2 7
2. − + = −
− − =



2 5 16
3 3
m n
m n
3.
5 13
1
x y
x y
+ =
+ =



4.
1
2
3
1
8
1
20
1
10
1
16
x y
x y
− =
+ =






5.
− + = −
− =



4 24 1
8 16 10
p q
p q
6.
x y
x y
+ =
− =



2
3 5
7.
r s
s
− =
− =



3 5
4 3
8.
4m+5n =10
3m-8n = -6



9.
x y
x
− =
=



3
3 10
V. Explique porqué dados dos sistemas de ecuaciones donde las ecuaciones del segundo
son combinaciones lineales de las ecuaciones del primer sistema, los sistemas son
equivalentes.
VI. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales y compruebe su respuesta.
1.
8x - 2y = 14
2x - 3y = -9
2. 0,03x - 0,02y = 1,06
0,50x - 0,75y = -0,01
3.
x y
x y
− =
+ =






20
3
6
8
5
3 5
4.
7
3
4
14
3
2 2
x y
x y
− =
− =






5.
x
y
x
y
+
=
−
+
= −







5
1
2 2
3 4
3
4
6.
5 6 6
6 11 5
x y
x y
− =
− =




7.
6 2 38
4 4
x y
x y
− = −
+ = −



8.
3 5
3 12
6 1
6 51
8
4 2
2 10
8 10
x
y
x
y
x
y
x
y
+
+
=
+
+
−
+
=
−
+







9.
x y
x y
+ =
− =



12
13
10.
2
3
1
5
10
3
+ =
=






x
y
y
x

199. Unidad 6
Congruencia y
Semejanza
Pascual Rigoberto López Pérez, más conocido por Rigoberto López Pérez (1929 – 1956),
poeta nicaragüense e importante símbolo de la revolución, marcó el inicio del fin de la
tiranía, pasó a la inmortalidad el 21 de Septiembre de 1956. En septiembre de 1981,
Rigoberto López Pérez entró a la lista de Héroes Nacionales por la “gesta heroica llevada
a cabo al ajusticiar al tirano”. El Decreto fue aprobado el día en que se cumplieron 25 años
del asesinato de López Pérez.
Fuente: 19 digital.
20 de Septiembre 2013.

200. 192
Congruencia
Introducción
En el lenguaje corriente, diríamos que dos figuras geométricas son
congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño. Por ejemplo
los tres triángulos presentados a continuación son congruentes.
Unidad
6
B
A C
H
G I
E
D F
La palabra congruente
se deriva de las
palabras latinas “con
que significa con” y
“gruere, que significa
concordar”.
Las figuras
congruentes pueden
hacerse coincidir,
parte por parte. Las
partes coincidentes
se llaman partes
correspondientes. El
símbolo para indicar
la correspondencia
es ↔
El símbolo para
denotar congruencia
es ≅. Este símbolo es
una combinación de
los dos símbolos: =,
que significa tener el
mismo tamaño y ∼
que significa tener la
misma forma.
Si existe alguna correspondencia ABC↔DEF entre los vértices del
ΔABC con los del ΔDEF, tal que cada pareja de lados correspondientes
son congruentes y cada pareja de ángulos correspondientes son
congruentes, la correspondencia ABC↔DEF se llama congruencia
entre los triángulos y escribimos ΔABC ≅ ΔDEF.
Así, si ΔABC ≅ ΔDEF, se pueden establecer seis relaciones entre los
lados y los ángulos de los dos triángulos.
AB DE o bien AB DE≅ =, ,
AC DF o bien AC DF≅ =, ,
BC EF o bien BC EF≅ =, ,
∠ ≅ ∠ ∠ = ∠A D o bien m A m D, ,
∠ ≅ ∠ ∠ = ∠B E o bien m B m E, ,
∠ ≅ ∠ ∠ = ∠C F o bien m C m F, .
B
A C
E
D F

201. 193
Relaciones de congruencia
Los teoremas siguientes son una consecuencia directa de las
propiedades del conjunto de los números reales. Pueden usarse para
simplificar muchas demostraciones de los demás teoremas.
1. Teorema de congruencia para los segmentos.
• Teorema reflexivo: Todo segmento es congruente así mismo,
AB AB≅
• Teorema simétrico: Si AB CD≅ , entonces CD AB≅ .
• Teorema transitivo: Si AB CD≅ , y CD EF≅ , entonces AB EF≅ .
• Teorema de la adición: Si B está entre A y C, E entre D y F, y si
AB DE≅ y BC EF≅ , entonces AC DF≅ . Ver figura abajo.
A B C D E F
• Teorema de la sustracción: Si B está entre A y C, E está D y F,
AC DF≅ y BC EF≅ , entonces AB DE≅ .
2. Teorema de congruencia para los ángulos
• Teorema reflexivo: Todo ángulo es congruente así mismo,
∠ ≅ ∠A A.
• Teorema simétrico: Si ∠ ≅ ∠A B, entonces ∠ ≅ ∠A A.
• Teorema transitivo: Si ∠ ≅ ∠A B y ∠ ≅ ∠B C, entonces ∠ ≅ ∠A C.
• Teoremadelaadicióndeángulos:SiDestáenelinteriorde ∠ABC,
P está en el interior de ∠ ∠ ≅ ∠ ∠ ≅ ∠RST ABD RSP DBC PST, ,y
entonces ∠ ≅ ∠ABC RST.
• Teorema de la sustracción de ángulos: Si D está en el
interior de ∠ABC, P está en el interior de ∠ ∠ ≅ ∠RST ABC RST, ,
y ABD RSP∠ ≅ ∠ , entonces ∠ ≅ ∠DBC PST. Ver figura siguiente.

202. 194
A
B
C
D
R
S
T
P
Definiciones
• Un lado de un triángulo se dice estar comprendido por los ángulos
cuyos vértices son los extremos del segmento.
• Un ángulo de un triángulo se dice estar comprendido por los lados
del triángulo que están en los lados del ángulo.
Trabajo en Equipo
Resuelva las siguientes actividades
1. Considere que ∆ ≅ ∆MQP NQP. Haga una lista de los seis pares de
partes correspondientes de estos dos triángulos.
Q NM
P
2. Dado que ∆ ≅ ∆ABE DCF . Haga una lista de los seis pares de
partes correspondientes de estos dos triángulos.
F
DC
E
BA

203. 195
3. Conteste las siguientes preguntas:
1. ¿Es una figura congruente consigo misma?
2. Si dos figuras son cada una de ellas congruentes con una tercera,
¿serán congruentes entre sí?
3. ¿Son congruentes los lados de un cuadrado?
4. ¿Son congruentes los lados de un rectángulo?
5. ¿Son congruentes dos caras opuestas de un cubo?
6. ¿Son congruentes dos caras adyacentes de un cubo?
7. ¿Son congruentes dos caras opuestas de un bloque rectangular,
tal como un ladrillo?
8. ¿Son congruentes dos caras adyacentes de un ladrillo?
9. Dibuje dos polígonos que no tengan la misma forma pero que
tengan la misma área. ¿Cuál de las siguientes opciones demuestra
este ejercicio?
a. Si dos polígonos tienen la misma área, entonces no son
congruentes.
b. Si dos polígonos son congruentes entonces tienen distinta área.
c. La igualdad de las áreas de dos polígonos no implica la
congruencia entre ellos.
10. Mediante un gráfico represente los siguientes teoremas de
congruencia para segmentos:
a. Teorema reflexivo.
b. Teorema simétrico.
c. Teorema transitivo.
d. Teorema de la Adición.
e. Teorema de la sustracción.

204. 196
Criterios de Congruencia de Triángulo
De acuerdo con la definición de congruencia, para decidir si dos
triángulos son congruentes debemos comprobar tres congruencias
entre segmentos y tres congruencias de ángulos. Sin embargo, en la
práctica podría resultar difícil y tedioso verificar todas estas condiciones.
Por ello son importantes los criterios de congruencia. Un criterio de
este tipo es un grupo de condiciones mínimas bajo las cuales podemos
decidir si dos triángulos son congruentes. Esta sección está dedicada
al estudio de estos criterios, los cuales enunciamos a continuación.
Criterios de Congruencias de Triángulos
Dos triángulos son congruentes si las siguientes partes de uno de
ellos son congruentes con las partes correspondientes del otro:
1. Tres lados (LLL)
2. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL)
3. Dos ángulos y el lado comprendido entre ellos(ALA)
¿Cuáles de los criterios se puede aplicar para demostrar la congruencia
de la pareja de triángulos dada?
B A E
DC
B
A D
C
G
J
H
F
E
FG
E
M
B C
A
B' C'
A'
Criterio
Lado-Lado-Lado
LLL
Criterio
Lado-Ángulo-Lado
LAL
Criterio
Ángulo-Lado-Ángulo
ALA
G
F
H
G'
F'
H'
J'
K'I'
J
KI
R
Q
M
P
T
S

205. 197
• ¿Qué congruencia adicional tendría que usarse para demostrar la
congruencia de los triángulos usando ALA?
W
A
B
Z
• ¿Qué congruencia adicional debería indicarse para poder usar
LAL a fin demostrar la congruencia de los triángulos?
D
A
C
B
Si dos segmentos se bisecan los segmentos que unen los extremos
son congruentes.
Supongamos que los segmentos AB y CD se bisecan, en un punto E.
Por definición esto significa que AE = BE y que CE = DE, es decir
AE BE y CE DE≅ ≅ .
Ejemplo 1
Los ángulos opuestos
por el vértice son
congruentes. El
símbolo ∡ indica
medida del ángulo.
∠ ≅ ∠
∠ ≅ ∠
1 3
2 4
Es decir tienen la
misma forma y la
misma medida.
∡1 = ∡3
∡2 = ∡4
Por otra parte, por ser ángulos opuestos por el vértice ∡AEC ≅ ∡BED.
Tenemos entonces que en ∆AEC dos lados CE y AE y el ángulo
comprendido, son congruentes con los parte correspondientes, DE y
BE, y el ángulo comprendido. Por el criterio LAL,
∆AEC ≅ ∆BED
Los segmentos AC y BD son lados homólogos. Luego, por definición
de congruencia de triángulos:
AC ≅ BD
B
D
A
C
E
B
DA
C
E
1
4
3
2

206. 198
££ Mario desea determinar la distancia que hay de un punto B donde
se encuentra en la orilla del Río San Juan, hasta otro punto A
situado en la otra rivera. Para ello camina 23m en dirección
perpedicular al segmento AB marca con una estaca un punto C y
continúa caminando otros 23m en la misma dirección hasta un
punto D. En ese punto dobla hacia la derecha en dirección
perpendicular a la dirección anterior hasta alcanzar un punto E
desde donde divisa en línea recta al punto A a la estaca que sembró
en C.
Mario midió la distancia entre el punto D y el E, de 13 m, y asegura que
ésta es la misma distancia del punto A al punto B.
Responda:
• ¿Tiene Mario la razón? ¿Por qué?
• ¿Por qué el ángulo ∠ACB es congruente con ∠ECD?
• ¿Por qué ∠ABC ≅ ∠EDC?
• ¿Qué criterio se debe aplicar para demostrar que ∆ABC ≅ ∆EDC?
A
C
D
E
B
En la figura, ∠ ≅ ∠ ∠ ≅ ∠1 2 3 4y . Encontrar la longitud de RP y la de RM
El segmento MP es lado común de los triángulos ∆MNP y ∆MRP y es
congruente consigo mismo. Bajo la correspondencia MNP↔MRP,
Ejemplo 2
M
P
R
1,35
1,93
1 2
N 3 4

207. 199
Se cumple:
ΔMNP ≅ ∆MRP
Luego, por definición de congruencia de triángulos, las medidas son
iguales.
RP NP y RM NM= = = =1 35 1 93, ,
Congruencia de Triángulos Isósceles
En un triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados congruentes
también son congruentes.
Sea un triángulo isósceles ∆ABC de lados congruentes AB y CB .
Consideremos la correspondencia.
ABC↔CBA
B
A C
B
A C
Puesto que AB ≅ CB y BC ≅ BA y ∠ABC ≅∠CBA, es decir, dos lados
AB y BC y el ángulo comprendido entre ellos,∠ABC, del triángulo
∆ABC, son congruentes con las partes correspondientes, CB, BA y
∠CBA del triángulo ∆CBA. Por tanto, ∆ABC ≅ ∆CBA, por LAL. Luego,
por congruencia de triángulos, ∠A ≅∠C.
Diremos que una correspondencia uno a uno entre los vértices
de dos triángulos es una congruencia si los lados y los ángulos
correspondientes son congruentes.
Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos
opuestos son congruentes. En el caso del triángulo isósceles se
cumple la congruencia LAL.

208. 200
££ Demuestren que todo triángulo es congruente consigo mismo.
Sugerencia: Denoten los vértices del triángulo por A ,B y C, y utilicen
la correpondencia idéntica ABC↔ABC para demostrar que
∆ABC ≅ ∆ABC.
Recuerden que cada segmento y cada ángulo del triágulo ∆ABC es
congruente consigo mismo.
Nota 1:
La correspondencia ABC↔BCA entre los vértices del triángulo ∆ABC
también se puede escribir como:
A B C
B C A






donde bajo cada vértice de la primera fila se escribe el vértice
correspondiente. Las correspondencias biunívocas como ésta, se
denominan permutaciones de los vértices.
En el ejercicio anterior, usted observará que para cualquier triángulo
∆ABC la permutación (correspondencia) idéntica.
A B C
A B C






es una congruencia, es decir, ∆ABC ≅ ∆ABC
Nota 2:
¿Qué ocurre si en lugar tener una permutación idéntica se tiene
cualquier permutación? Supongan por ejemplo que la permutación.
A B C
A C B






es una congruencia, es decir, ∆ABC ≅ ∆ACB. Entonces, por definición
de congruencia AB ≅ AC y en consecuencia el triángulo ABC es
isósceles.
B
A B C
A C B






es una
congruencia
por tanto
El triángulo
ABC es
isósceles
A
B
AB ≅ AC
C
C
A

209. 201
Compruebo lo aprendido
Utilice el criterio adecuado para demostrar la congruencia de cada
pareja de triángulos
Recuerde:
Dos trángulos son
congruentes si
tienen sus tres lados
correspondientes
y sus tres ángulos
correspondientes
congruentes.
Así que cuando se
quiera determinar
la conguencia de
dos trángulos, no es
necesario verificar la
correspondencia entre
los seis elementos.
Bastan solo tres de
ellos:
LLL
LAL
ALA
b)
L
J
M
∆JKL≅∆JKM
a)
D
A
C
B
∆ABC≅DBC
K
c)
Q
P RT S
∆PQT≅∆RQS
d)
A V W
M
U Z
B
∆UVM≅∆ZWM
e)
F
∆AFC ≅ ∆BFD
BA
E
D C
∆ABC ≅ ∆BAD
A C
DB
f)
Recuerde: Si los dos catetos de un triángulo rectángulo son
respectivamente congruentes a los dos catetos de otro triángulo
rectángulo, los triángulos son congruentes.
Recuerde: La bisectriz de un triángulo isósceles lo divide en dos
triángulos congruentes.

210. 202
1. ¿A qué criterios recurrió para determinar la semejanza entre las
figuras anteriores?
2. ¿Qué hace que dos triángulos sean semejantes? Explique.
3. ¿Dos triángulos congruentes son semejantes? Justifique su
respuesta.
4. ¿Cuáles de las siguientes características determinan la semejanza
entre triángulos?
a) La cantidad de lados.
b) La cantidad de ángulos interiores.
c) La suma de la medida de los ángulos interiores.
d) Las longitudes de los lados.
e) Las medidas de los ángulos interiores.
f) Las relaciones entre los lados.
En Matemática
el concepto de
semejanza va ligado
al concepto de
proporcionalidad,
por ello se dice que
dos objetos son
semejantes, si existe
una proporción entre
ellos.
Ejemplo:
Un mapa es una
representación
semejante a una
porción del globo
terráqueo, de ahí que
deba tener una misma
proporción para que
las medidas que se
tomen sobre él sean
lo más cercano a su
valor real.
Semejanza
En el lenguaje cotidiano la palabra semejanza se utiliza para hacer
referencia al parecido o similitud entre dos o más objetos o personas.
Esta semejanza está determinada por una o varias características
comunes, tales como tamaño, forma, color, textura, entre otros. Cabe
pues indagar ¿en qué deben parecerse dos triángulos para que
puedan ser catalogados como semejantes? ¿Qué características
deben ser tomadas en cuenta para definir la semejanza de triángulos?
Dos circunferencias cualesquiera son semejantes; dos cuadrados
cualquiera son semejantes, dos triángulos equilateros cualesquiera
son semejantes. Es decir, dos figuras son semejantes si una de ella
es un modelo a escala de la otra.
Figuras semejantes
Recuerde, reflexione y concluya

211. 203
Para que el concepto de semejanza tenga utilidad en el estudio de los
triángulos, no debe resultar que todos los triángulos sean semejantes
entre sí. En virtud de ello, ¿Cuáles de las características mencionadas
en los ejercicios anteriores se deben descartar a la hora de definir el
concepto de semejanza? ¿Por qué?
Los triángulos de la figura de la derecha son semejantes. Trace las
rectas AA´ ,BB´ y CC´ .Observe que concurren en el punto exterior D.
Los puntos A', B' y C' son los correspondientes u homólogos de los
puntos A, B y C respectivamente. Esta correspondencia entre los puntos
determina una correspondencia entre los segmentos; precisamente,
A'B' es homólogo de AB
A'C' es homólogo de AC
B'C' es homólogo de BC
Traslade de posición al ∆A’B’C’, sin rotarlo,
preservando sus medidas. Obtendrá un nuevo
triángulo semejante a ΔABC. Encuentre el punto
de concurrencia de las rectas que pasan por
los puntos homólogos; posiblemente este punto
también cambió de posición.
Esta es la gráfica construida a partir de los datos del ejemplo No.1
B
A
C
D
Las rectas AA´ ,BB´, CC´ concurren en un mismo punto exterior D.
5
13
B
c
b
a
A C
2
B´
c´
b´
a´
A´ C´
B
A
C
D
A'
B'
C'
Ejemplo 1
A
B
C
A'
B'
C'
5
13
D

212. 204
Compruebo lo aprendido
Considere ∆ABC y un punto exterior D.
1. Trace las rectas DA , DB y DC .
2. En la recta DA elija un punto A' distinto de D.
3. En la recta CD elija un punto C' distinto de D.
4. Por el punto A' trace una recta paralela al segmento AB. Denote
como B' el punto de intersección de esta recta con la recta DB.
5. Por el punto C' trace una recta paralela al segmento AC y denote
con C' el punto de intersección de esta recta con la recta DC .
Trace el segmento A'B' .
De lo anterior obtenemos que: ∆A'B'C' ∼∆ABC.
B
A
D
a
c
b C
B
A
C
D
A'
B'
C'
1. Utilizando el método anterior, trace un triángulo semejante a ΔABC tal
que el homólogo de AC tenga el doble de la longitud de éste lado.
Compare las medidas del triángulo obtenido con las de ΔABC.
El símbolo ∼ indica
semejanza.

213. 205
2. ¿Cuál es el resultado de la división de la longitud de un lado de
ΔA'B'C' con el lado correspondiente en ΔABC?
3. Repita el ejercicio anterior de manera que la longitud del homólogo
del lado AB sea el triple de la de éste. Compare las longitudes de
los otros pares de lados correspondientes. ¿Cuál es el resultado
de la división de la longitud de un lado de ΔA'B'C' con el lado
correspondiente alS ΔABC?
4. Realicetresconstruccionesadicionalessimilaresalasdosanteriores
en las que las longitudes de los homólogos del segmento AB ,
sean respectivamente, el cuádruple, el quíntuple y el séxtuple, de
la longitud de AB . En cada caso determine el cociente entre las
longitudes de los homólogos. Compare los resultados.
5. Sobre la base de los resultados obtenidos formule una conclusión
acerca de los cocientes
A B
AB
A C
AC
BC
BC
' ' ' ' ' '
entre las longitudes de los lados homólogos de dos triángulos
semejantes ΔABC y ΔA'B'C'.
Continuemos analizando la construcción anteriormente descrita y
utilizada para, a partir de un triángulo dado, obtener uno semejante.
En primer lugar, el procedimiento genera un triángulo cuyos lados son
paralelos a los lados correspondientes del triángulo original (Véase la
figura de la columna izquierda). Este hecho, cómo veremos, determina
la relación que hay entre los ángulos interiores de ΔABC y los de
ΔA'B'C'.
Las correspondencias A↔A', B↔B', C↔C' entre los vértices de los
triángulos, establecen las correspondencias entre los ángulos
interiores, a saber:
∠BAC ↔ ∠B'A'C', ∠ABC ↔ ∠A'B'C', ∠ACB ↔ ∠A'C'B'
Veamos cómo se relacionan dos ángulos homólogos según esta
correspondencia. En la figura podemos observar que la recta DC es
transversal a las rectas paralelas C B' ' y CB . Por ello las medidas
angulares α y β son iguales. Similarmente, las rectas paralelas CA
y C A' ' son cortadas por la recta transversal DC en los puntos C y C’,
de modo que también son iguales las medidas angulares γ y δ. Pero
β = α y γ = δ implica que:
β + γ = α + δ

214. 206
1
2
2,24
4,47
4
2
C B
A
P
M
K
La parte izquierda de esta igualdad es la medida del ángulo ∠ACB y
la parte derecha es la medida de ∠A'C'B' (vea la figura abajo). Luego,
∠ ≅ ∠A'C'B' ACB
££ Pruebe que en la figura anterior ∠ ≅ ∠ABC A'B'C' y ∠ ≅ ∠BAC B'A'C'.
Hemos llegado así, a la siguiente conclusión:
Los ángulos homólogos correspondiente a los triángulos semejantes
∆ABC ∼ ∆A'B'C' son congruentes:
∠A ≅∠A’; ∠B ≅∠B’; ∠C ≅∠C’.
Por otra parte, a partir de los resultados obtenidos en las actividades
anteriores podrá conjeturarse la validez de la siguiente afirmación.
Los lados homólogos (correspondiente) de los triángulos semejantes
∆ABC y ∆A'B'C' son proporcionales, es decir,
′ ′ ′ ′ ′ ′
= =
A B
AB
A C
AC
B C
BC
Ciertamente, tiene lugar la siguiente definición:
α
δ
β
A
B
C
D
A’
B’
C’
Dada una correspondencia entre dos triángulos. Si los ángulos
correspondientes son congruentes y los lados correspondiente
son proporcionales, entonces la correspondencia se llama una
semejanza y decimos que los triángulos son semejantes.
Trabajo en Equipo
Considere los triángulos de la figura en la columna izquierda. Bajo
la correspondencia ABC↔MPK los lados correspondientes son
proporcionales.
a. Mida los ángulos de los triángulos ∆ABC y ∆MPK.
b. Compruebe que los ángulos homólogos (correspondiente) son
congruentes.
c. Concluya que los triángulos son semejantes.

215. 207
Este ejercicio muestra una propiedad de la semejanza de triángulos:
basta que los lados correspondientes sean proporcionales para que
los triángulos sean semejantes.
2. Dibuje un triángulo con un lado de 3 cm y otro lado lado de 5 cm.
Luego trace otros dos triángulos, uno duplicando las medidas del
triángulo inicial y otro triplicándolas. Mida los ángulos de los tres
triángulos, ¿qué observa?
• Los triángulos ∆ABC y ∆FGH tienen dos pares de ángulos
congruentes; de ello se deduce que los ángulos del tercer par ∠B y
∠G, también son congruentes. ¿Por qué?
• Mida los lados de los triángulos ∆ABC y ∆FGH.
• Compruebe que
AB
FG
AC
FH
BC
GH
= =
HF
G
45o
63,43o
CA
B
45o
63,43o
3. Bajo la correspondencia:
ABC↔KMN
dos lados ∆ABC son proporcionales a los lados correspondientes
∆KMN y los ángulos comprendidos entre ellos son congruentes (ver
figura al lado izquierda).
• Verifique que los lados correspondientes son proporcionales
• Compruebe que los ángulos homólogos (correspondiente) son
congruentes.
• ¿Qué se puede decir de los triángulos ∆ABC y ∆KMN?
M
CA
B
60,61o
2
3
N
K
60,61o
4
6
• ¿Por qué el triángulo ∆ABC es semejante a ∆FGH?

216. 208
Compruebo lo aprendido
Dibuje un triángulo con dos lados de 3 cm y 5 cm y un ángulo entre
ellos de 60 grados. Trace otro triángulo duplicando las medidas de
los dos lados anteriores pero preservando la medida del ángulo
entre ellos. ¿Cómo son los triángulos resultantes?
Nota: Los ejercicios anteriores muestran que para determinar si dos
triángulos son semejantes no es necesario probar la congruencias
de todas las parejas de ángulos homólogos y la proporcionalidad de
todos los lados correspondientes. Cada ejercicio corresponde a un
determinado criterio de semejanza.
Como en el caso de congruencia de triángulos, los criterios de
semejanza son un grupo de condiciones mínimas que garantizan la
semejanza de triángulos.
Antes de enunciar y verificar la validez de los criterios de semejanza,
vamos a estudiar el siguiente Teorema
Teorema de Thales
Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros
lados en puntos diferentes, entonces determina sobre ellos segmentos
proporcionales a dichos lados.
CA
B
D E
90º
h
CA
B
D E
AB ∩ DE = {D}
CB ∩ DE = {E}
DE || AC
AB
AD
CB
CE
=
Conclusión
Sea ∆ABC, de la columna izquierda, para ∆EBD tome el lado EB
como base y en ∆CDE tome como base al lado CE . Trace las alturas
correspondientes.

217. 209
Note que las alturas coinciden. Las áreas de ∆EBD y ∆CDE son entonces
y
respectivamete. Al dividir estas áreas se obtiene:
1. Consideremos el mismo ∆ABC, sólo que ahora en ∆BDE, tome el
lado BD como base y en ∆ADE, tome como base al lado AD .
Razone como en el caso anterior para llegar a la conclusión
de que
2. Los triángulos ∆ ADE y ∆ CDE tienen el lado común DE . Tome este
lado como base para ambos triángulos. Resultará entonces que
las alturas coinciden. ¿Por qué? En consecuencia los triángulos
tienen la misma área, es decir, área(ADE) = área(CDE). Por tanto,
Es decir,
EC
EB
AD
BD
= ,
sumando 1 a ambos lados se obtiene
EC
EB
EB
EB
AD
BD
BD
BD
+





 = +






de donde
B
D E
A C
CA
B
D E
90º
h
EC EB
EB
AD BD
BD
+
=
+ por tanto se concluye BC
EB
AB
BD
=

218. 210
El recíproco del teorema de Thales también es válido:
Siunarectaintersecaadosladosdeuntriánguloydetermina
sobre dichos lados segmentos proporcionales, entonces es
paralela al tercer lado.
Una consecuencia del teorema de Thales es el siguiente resultado:
C
A
B
D E
Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos
transversales, los segmentos de la transversales determinadas
por las paralelas son proporcionales.
AB
BC
DE
EF
=
AD BE CF
F
Hallar el valor de x en el siguientes ejercicio:
Solución: Aplicando el Teorema de Thales podemos establecer la
proporcionalidad entre los lados, tal como se indica en la proporción.
C
BA
D E
9
6
15
x
CD
DA
CE
EB
x
x
x
=
=
=
( )( )
=
15 9
6
15 6
9
10
Ejemplo 1
Nota:
La proporcionalidad
de este ejemplo,
puede ser establecida
de otras formas, por
ejemplo: CD
CE
AD
BE
=
Nota:
Consulta con tu
docente otras formas
de establecer la
proporcionalidad.

219. 211
Semejanza de Triángulos
La definición de semejanza exige dos cosas:
1. Los ángulos correspondientes deben de ser congruentes.
2. Los lados correspondientes deben de ser proporcionales.
Para el caso de los triángulos, resultará que si se cumple una de las
dos condiciones, también se cumple la otra. Es decir, si los ángulos
corresponientes son congruentes, entonces los lados correspondientes
son proporcionales, y recíprocamente estas relaciones se presentan
en el teorema de semejanza AAA y el teorema de semejanza LLL, que
se estudiarán a continuación.
C
BA
a
c
b
C’
B’A’
b’
a’
c’
∆ABC∼∆A'B'C' (triángulo ABC es semejante al triángulo A'B'C' ) si y sólo
si: 1) ∠A ≅∠A'; ∠B ≅∠B'; ∠C ≅∠C'. 2)
a
a
b
b
c
c′
=
′
=
′
Verifique que los triángulos siguientes son semejantes:
B
5
6
10
C A
8
A'
4
B'
3
C'
En efecto:
∠A≅ ∠A'; ∠B ≅∠B'; C ≅∠C'
6
3
8
4
10
5
2= = =
Postulado: Considerese ∆ABC y ∆A’B’C’:
Si ∆ABC ∼ ∆A’B’C, entonces
AB
A B
BC
B C
AC
A C′ ′
=
′ ′
=
′ ′
Ejemplo 2

220. 212
Criterios de Semejanza de Triángulo
• CRITERIO: Ángulo - Ángulo - Ángulo (AAA)
Si dos triángulos tienen los tres
ángulos de uno respectivamente
congruentes a los tres ángulos del
otro, los triángulos son semejantes.
Es decir , en ∆ABC y ∆DEF: ∠A≅∠D,
∠B≅∠E y ∠F≅∠C,
entonces ∆ABC∼∆DEF
Según la figura, si AB ǁ DE,
¿es ∆ABC∼∆DEC?
Si AB ǁ DE, entonces ∠D≅∠B
(alternos internos entre paralelas) y ∠E≅∠A (alternos internos entre
paralelas), por lo tanto : ∆ABC∼∆DEC.
• CRITERIO: Lado - Ángulo - Lado (LAL)
Si dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados
correspondientes de otro triángulo, y ademas los ángulos comprendidos
entre ellos son congruentes, entonces los
triángulos involucrados son semejantes.
Es decir, en ∆ABC y ∆DEF,
Si ∠A≅∠D y
AC
DF
AB
DE
= ,
entonces ∆ABC∼∆DCE.
A B
F
D E
C
A B
D E
C
A
B C
D
E F
La simbología:
∡ ó m∠ indican medida
de un ángulo:
∡A = 35°
ó
m∠A = 35°
Algunos libros suprimen
el símbolo (°: grado) e
indican ∡A = 35
Colorario de
semejanza AA
Si dos ángulos de un
triángulo son congruentes
a dos ángulos
correspondientes de otro
triángulo, entonces los
triángulos involucrados
son semejantes.
Ejemplo 1

221. 213
Compruebe si son semejantes ∆CRJ∼∆LBQ. Utilice la información dada
en las fíguras:
R J
C
35°
12
15
B Q
L
10
35°
8
Como y además m∠R=m∠B=35 entonces ∆CRJ∼∆LBQ, por el
criterio LAL.
• CRITERIO: Lado - Lado - Lado (LLL)
Dos triángulos son semejantes si sus tres pares
de lados respectivamente son proporcionales.
Es decir, a
b
b
e
c
f
= =
entonces, ∆ABC∼∆DEF
A partir de la información dada, Compruebe
si son semejantes ∆TMQ∼∆CXJ
T
Q
M
15
18
12
C
J 12
X
10
8
como
18
12
12
8
15
10
= = entonces ∆TMQ∼∆CXJ
Compruebo lo aprendido
1. Losladosdeuntriángulomiden24m,18my36m,respectivamente.Si
los lados de otro triángulo miden 12m, 16m y 24m, respectivamente.
Determina si son o no semejantes, justifica tu respuesta.
2. Los lados de un triángulo miden 36 m, 42 m y 54 m, respectivamente.
Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero
mide 24 m, hallar los otros dos lados de este triángulo.
D
dE
e
F
f
c
a
b
A
B C
Ejemplo 2
Ejemplo 3

222. 214
Teorema de Pitágoras
Uno de los teoremas más conocidos y útiles en Geometría es el
Teorema de Pitágoras, llamado así por el matemático griego Pitágoras.
Este teorema se enuncia así:
“Entodotriángulorectángulo,elcuadradodelalongituddelahipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.”
Hipotenusa
Cateto
Cateto: a
: c
: b
Con estas fórmulas podemos calcular cualquiera de las longitudes de
los lados de un triángulo rectángulo.
Hallar la medida del lado que falta en cada uno de los siguientes casos.
a) El valor de la hipotenusa
Usando la formula para la hipotenusa, tenemos:
x
5cm
8 cm
El valor aproximado para x es 9,43cm
b) El valor de un cateto:
b cm
20 cm
12 cm
El valor para b es 16 cm
x
x
x
= +
= +
=
8 5
64 25
89
2 2
c a b hipotenusa
a c b cateto
b c a cateto
= + →
= − →
= − →
2 2
2 2
2 2
c2
= a2
+ b2
, así:
b
b
b
b
= −
= −
=
=
20 12
400 144
256
16
2 2
Ejemplo 1

223. 215
Aplicaciones del
teorema de Pitágoras
1. Calcule la medida
de la diagonal
de un rectángulo
cuyos lados miden
8 cm y 5 cm,
respectivamente.
2. Los lados de un
triángulo isósceles
miden 13 cm,
13 cm y 10 cm.
Calcule su área.
3. Determinar la
medida de la
hipotenusa de
un triángulo
rectángulo
sabiendo que los
catetos miden
6 cm y 3 cm,
respectivamente.
4. Si en un triángulo
rectángulo la
medida de la
hipotenusa es 32
cm y la de uno
de sus catetos es
12 cm. Hallar la
longitud del otro
cateto.
Teorema de la Altura y Teorema del Cateto
Ya hemos estudiado el Teorema de Pitágoras y su aplicación a los
triángulos rectángulos. Ahora veamos que en un triángulo rectángulo,
al trazar la altura sobre la hipotenusa, se cumplen algunos teoremas
importantes conocidos como derivados del Teorema de Pitágoras.
A continuación estudiaremos cada uno de estos teoremas y sus
aplicaciones.
TEOREMA DE LA ALTURA: La altura sobre la hipotenusa de un
triángulo rectángulo forma dos triángulos rectángulos que son
semejantes al triángulo dado y también mutuamente semejantes.
Colorario: La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo
es media proporcional de las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa.
C
A D Bnm
h m
h
h
n
h mn
h mn
=
=
=
2
En el triángulo rectángulo de
la derecha, trazamos la altura
sobre la hipotenusa. Calcular las
medidas respectivas de a y b.
Observemos que la medida de la
hipotenusa es 9 cm + 16 cm = 25
cm. Entonces, para hallar la medida de a, empleamos el Teorema de
Pitágoras.
b
b
b
b
2
2
12 9
144 9
144
9
16
= ⋅
= ⋅
=
=
h 9 b= ⋅
12 cm
9 cm
b
15 cm
a
25 15
625 225
625 225
400
400
20
2 2 2
2
2
2
= +
= +
− =
=
=
=
a
a
a
a
a
a
Ejemplo 1

224. 216
TEOREMA DEL CATETO: Cualquiera de los catetos de un triángulo
rectángulo es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y
la medida de su proyección sobre la hipotenusa .
BA
h
m nD
C
b a
Para el cateto CB tenemos:
AB
a
a
n
a n AB
=
= ( )( )
Para el cateto AC tenemos:
AB
b
b
m
b m AB
=
= ( )( )
Determine la medida de los catetos y la hipotenusa, para el siguiente
ejercicio.
BA
h
m=15 n=10D
C
b a
Altura Medida del cateto CB
m
h
h
n
h
h
h
h
=
= ( )( )
=
=
≈
2
15 10
150
5 6
12 25,
AB
a
a
n
a
a
=
= ( )( ) =
≈
10 25 250
15 81,
AB
b
b
m
b
b
=
= ( )( ) =
≈
15 25 375
19 36,
Ejemplo 2
Medida del cateto AC

225. 217
Ejercicios de cierre de Unidad
1. La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del
primero son 18, 21 y 30, determina los lados del segundo.
2. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 m, 8 m y 10 m respectivamente. ¿Cuánto
medirán los catetos de un triángulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m?
3. Las rectas r y r’ secantes se cortan en O. Demuestra que ∆OAA’ ∼ ∆OBB’.
A
rr´
A´
B B´
b
a
O
4. Las rectas r y r’ secantes se cortan en O y OA = 8 cm, OB = 12 cm, AA’ = 10 cm. A’B’ = 15 cm.
Determina OB’ y BB’.
A
rr´
A´
B B´
b
a
O
5. En el ∆ABC, AD ⊥ BC y CE ⊥ AB. Demostrar que CE ⋅ AB = AD ⋅ BC
A B
C
D
E
6. Si en el ∆ABC, CD es la bisectriz del ∠ACB y ∠ABE ≅ ∠ACD, demostrar que ∆ACD ∼ ∆DBE
y que ∆ADC ∼ ∆CEB.
A B
C
D
E

226. 218
7. Los lados de un triángulo miden 2 cm, 1,5 cm y 3 cm. Construye, sobre un segmento de
2,5 cm homólogo del primer lado de este triángulo, un triángulo semejante a aquel.
8. Si los segmentos AB y CD se cortan en un punto E tal que CE ⋅ EB = ED ⋅ AE, demostrar
que los segmentos AC y BD que unen sus extremos, son paralelos.
A
B
C
D
E
9. Si AE = 12, EB = 28, CE = 15, AC = 18, determinar ED y BD.
A
B
C
D
E
10. Encuentra el valor de AD, si AC = 25. Utilice la información brindada la figura.
15
3
A
B
E
C
D
11. Se sabe que PQ ≌ PR y que PX biseca ∠QPR. Demostrar que ∆QPX ~ ∆QPR
P
Q
X
R
12. Dado que ∠X ∠NGV. Demostrar que ∆NGV ~ ∆NTX
N
G
V
X
T

227. Unidad 7
Funciones y
Ecuaciones
Para Nicaragua, con la VIII Cumbre de Petrocaribe con sede en Managua, se ratificaron
los acuerdos sobre cooperación energética, programas sociales y productivos; en
especial, la construcción de la Refinería en Nicaragua; la inyección financiera para
impulsar la agricultura, mejorar la producción de arroz y café; y el desarrollo de mataderos
industriales y plantas procesadoras de leche y maíz.
Fuente: 19 digital.
02 de Julio 2013.

228. 220
Introducción
La explicación de muchas situaciones y fenómenos que ocurren en
la vida requieren a menudo de la modelización matemática. En este
quehacer las funciones juegan un papel de vital importancia.
En esta unidad estudiaremos dos de las funciones que tienen mayor
aplicación. La función lineal que relaciona proporcionalmente dos
magnitudes x, y mediante una fórmula del tipo
y = ax, a ≠ 0
y la función afín que establece una correspondencia entre dos
cantidades x, y por medio de una relación de la forma
y = ax + b
También abordaremos las funciones cuadráticas, las funciones cúbicas
y la función constante.
Función Lineal y Afín
Recuerde, reflexione y concluya
Si b es la imagen de un elemento a bajo la acción de una
función f , es decir, si ,b = f(a) entonces se dice que a es una preimagen
de b bajo f.
De acuerdo con la definición de función, cada elemento de su dominio
tiene exactamente una imagen en el codominio. Sin embargo, algunos
elementos del codominio pueden tener distintas preimágenes o bien
no tener ninguna.
1. Si f: ℤ → ℤ es una función de ℤ en ℤ definida por y = x.
a. ¿Cuál es la imagen de x = 0?
b. ¿Es -4 imagen de algún elemento?
c. ¿Cuál es la imagen de 1? ¿Y de -1?
d. ¿Cuántas preimágenes tiene 1?
e. ¿Cuántas preimágenes tiene un entero positivo?
f. ¿Cuántas tiene un entero negativo?
2. La función s: � → �, dada por la ley de asignación:
s(x) = x + 1, x ∈ �,
se denomina función sucesor.
Recordemos
Una función f: D → V
de un conjunto D en
un conjunto V asigna
a cada elemento x de
D, un único elemento
en el conjunto V,
denotado por f(x), y
denominado imagen
de x bajo (la acción
de) f.
El conjunto D es el
dominio y V es el
codominio de f.
Si f: D → V es
una función, en la
expresión.
f(x),
x se denomina
argumento de la función
f.
Si,
f(x) = y
y es un valor de la
función f.

229. 221
a. Encontrar los valores de la función s en x = 1, x = 2, x = 3, x = 999.
b. ¿Qué valor natural no toma la función s?
c. ¿Cuándo un elemento x es preimagen, bajo s, de un elemento y ∈ �?
d. ¿Qué elemento de � no tiene preimagen?
e. ¿Qué se puede decir de los naturales m, n si s(m) = s(n)?
f. ¿Cuántas preimágenes tiene cada elemento distinto de 1 en �?
Para resolver la última interrogante, aplique la función y simplifique la
igualdad resultante.
Imagen o rango de una función
El conjunto de valores que toma una función
f: D → V
se denomina imagen o rango de f, y se denota por Imf. Es decir,
Imf = {f(x): x ∈ D}
Consideremos el conjunto D de estudiantes del noveno grado de un
colegio cualquiera de secundaria, por ejemplo, nuestro colegio, y sea
V el conjunto numérico
V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Definamos una función f: D → V de D en V por la siguiente ley de
asignación:
f(x) = número de disciplinas que recibe x.
Puesto que todos los estudiantes de noveno grado deben recibir
las mismas asignaturas, la cantidad f(x) es la misma para todos los
elementos x ∈ D. Luego, la imagen de f,
Imf = {f(x): x ∈ D}
Es un conjunto unitario, es decir, tiene un único elemento.
££ ¿Cuál es ese elemento?
Ejemplo 1
Una función f: D → V
es una función real
de variable real si su
dominio y codominio
son subconjuntos de
ℝ.

230. 222
Función Constante
Una función f: D → V cuya imagen es un conjunto unitario se denomina
función constante. En otras palabras,
f: D → V es constante si existe un valor c ∈ V tal que f(x) = c, para
cualquier x ∈ D. En forma equivalente, f es constante si para
cualesquiera elementos x1
, x2
en el dominio D de f,
f(x1
) = f(x2
) = c
Gráfica de una función
La gráfica de una función f: D → V es el conjunto de pares (x; y) tales
que
f(x) = y
Si f(x) = y entonces x ∈ D e y ∈ V. Por tanto, la gráfica de f es el
subconjunto, G(f), de D × V, definido por:
G(f) = {(x; y) ∈ D x V : f(x) = y}
Describa la gráfica del ejemplo 1, tomando como D el conjunto formado
por usted y cuatro de sus compañeros de clase.
££ Consideremos la función f: ℝ → ℝ definida por
f(x) = 3x
para todo x ∈ ℝ.
• ¿Cuál es la imagen de 4 bajo f?
• Indique una preimagen de 5, es decir, un valor de x tal que f(x) = 5.
Sea b es un número real arbitrario, entonces,
es decir, es una preimagen de b. Por otra parte, si a es preimagen
arbitraria de b, es decir, si
b = f(a)
entonces,
b = 3a
y
(0; c)(C>0)
x
Fig.1
y
(0; c)(C<0)
Fig.2
Ejemplo 2
Sean:
D = {2,3,4,5}
y
V = {0,6,7,8,9},
Definamos:
f: D → V
según el siguiente
diagrama.
2
3
4
5
0
6
7
8
9
Observemos que el 9
no tiene preimagen,
cada uno de los
restantes elementos
de V tiene una única
preimagen. Es decir,
cada elemento de V
tiene, cuando más, una
preimagen.

231. 223
de donde
Por tanto, b tiene una sola preimagen, precisamente .
Puesto que b es un elemento arbitrario de ℝ, esto prueba que todo
elemento de ℝ tiene exactamente una preimagen.
Función Inyectiva
Una función f : D, → V es inyectiva, si cada elemento del codominio V
tiene a lo más una preimagen.
En otras palabras una función es inyectiva si cada elemento de la
imagen o rango, tiene exactamente una preimagen en el dominio de
la función.
La función f = ℝ → ℝ definida por
f(x) = x2
, x ∈ ℝ
no es inyectiva, pues el 9, por ejemplo, tiene dos preimágenes, -3 y 3,
ya que
f(-3) = (-3)2
= 9 = (3)2
= f(3)
Gráficamente, la inyectividad significa que cualquier recta horizontal
corta al gráfico de la función en a lo sumo un punto.
Cualquier recta horizontal l corta a una recta
inclinida en un único punto P. (figura 3)
Por tanto, si una función tiene como gráfica a
una recta inclinada, entonces dicha función es
inyectiva.
Función Lineal.
Sea a un número real fijo. La aplicación lineal de razón a, es la función
f = La
: ℝ → ℝ definida por
f(x) = La
(x) = ax, (x ∈ ℝ)
Ejemplo 3
3

232. 224
Si a = 0, entonces f = L0
coincide con la función constante nula, que a
cada número real le asigna el valor de cero, es decir,
L0
(x) = 0x = 0
para todo x ∈ ℝ. Por otra parte, si a ≠ 0, entonces la gráfica de, f = La
G(f) = {(x;y): f(x) = y} = {(x;y): ax = y}
es el conjunto de puntos de ℝ2
que verifican la ecuación
y = ax
Esta es una ecuación lineal en dos incógnitas, de pendiente a ≠ 0, cuyo
conjunto solución es, por tanto, la recta inclinada que pasa por los
puntos (0;0) y por el punto (1;a).
En consecuencia, si a ≠ 0, la función lineal L0
es inyectiva. Para hacer
un esbozo de su gráfica se ubican los puntos (0;0) y (1;a) y se traza la
recta que pasa por estos puntos.
De acuerdo con los postulados de la geometría euclidiana, por dos
puntos distintos pasa una y solamente una recta. Por tanto, los
puntos (0;0) y (1; a) determinan de forma única la gráfica de La
. Si se
desea construir el gráfico de forma más detallada pueden ubicarse
otros puntos.
Consideremos la función f = L3
: ℝ → ℝ, definida por:
f(x) = 3x
Esta es una función lineal de razón o pendiente 3, de manera que
es inyectiva y su gráfico es una recta. Hallemos dos puntos de ella,
evaluando la función en x = 0 y en x = 1.
Tenemos f(0) = 3(0) = 0 y f(1) = 3(1) = 3.
Por tanto, (0; 0) y (1;3) son puntos de la gráfica No. 5. Ésta puede
apreciarse en la figura 5. En la parte izquierda puede verse la tabulación
de cinco puntos de la gráfica.
Gráficamente:
La imagen de una
función real f de
variable real, es la
intersección del eje Y
con el haz de rectas
horizontales que
pasan por los puntos
del gráfico de f.
Imf
Ejemplo 4
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x y
-2 3(-2) = -6
-1 -3
0 0
1 3
2 6
Tabla de valores del
ejemplo No. 4
Fig.4
Fig.5

233. 225
I. Trazar la gráfica de las funciones lineales siguientes:
1. f(x) = x
2. f(x) = 2x
3. f(x) = 5x
4. f(x) = 4x
5. f(x) = -x
6. f(x) = -2x
7. f(x) = -5x
8. f(x) = -4x
Un vendedor de cierta tienda de artículos electrodomésticos recibe 5%
de comisión por el monto de ventas efectuada a la semana.
De modo que si él vende una cantidad equivalente a 12 000 córdobas,
entonces el recibirá de comisión un total de:
y = L0,05
(12 000) = (0,05)12 000 = 600
En general, si x representa el monto semanal en ventas, entonces la
comisión será de:
y = L0,05
(x) = 0,05x
Retomemos la situación del vendedor del ejemplo anterior, pero ahora
supongamos que él ha logrado que además de la comisión, se le
asigne un salario básico de C$ 400.
En este caso, si x representa el monto semanal de ventas efectuadas
en una semana, nuestro vendedor recibirá, una comisión equivalente
a 0,05x más el salario básico de 400, para un total de:
y = 0,05x + 400,
es decir, la relación funcional entre las ventas realizadas y el sueldo
semanal es:
y = L0,05
(x) = 0,05x + 400.
Ejemplo 5
En las aplicaciones el
dominio de las funciones
puede restringirse. En el
ejemplo 5 no tiene sentido
que x tome valores
negativos.
Ejemplo 6
Recuerda:
El dominio de una
función lineal es todo ℝ .

234. 226
Este tipo de relaciones funcionales recibe el nombre de función afín.
Función Afín
Una función afín es una función f = ℝ → ℝ definida por la una ley de
asignación del tipo
f(x) = ax + b (x ∈ ℝ)
donde a, b son constantes reales.
La función f = ℝ → ℝ definida por
f(x) = 3x + 4
es una función afín. En este caso, ¿cuánto vale a? ¿Y b? Observemos
que, para todo x ∈ ℝ,
f(x) = L3
(x) + 4
El punto (x; f(x)) = (x; 3x + 4) está por encima del punto (x; L3
(x) = (x; 3x)
a cuatro unidades de distancia sobre la misma recta vertical.
Esto significa que el gráfico de f se puede obtener a partir del gráfico
de L3
, desplazándolo 4 unidades verticalmente hacia arriba.
Puesto que el gráfico de L3
es una línea recta inclinada, el gráfico de
de f también será una recta inclinada paralela a la gráfica de L3
.
Como corolario deducimos que f es una función inyectiva. ¿Por qué?
££ Trace en un mismo plano cartesiano las gráficas de L3
y f, para el
ejemplo anterior.
En general, la gráfica de la función afín f = ℝ → ℝ con la ley de
asignación
f(x) = ax + b
es una recta paralela a la gráfica de la función lineal La
, separada de
ella por una distancia vertical de |b| unidades.
Diremos que La
es la función lineal asociada a la función afín f.
Si a ≠ 0 la gráfica de La
será una recta inclinada y por ende la de f
también. Por tanto, si a ≠ 0, cualquier función afín f asociada a la
función lineal La
será una función inyectiva.
Trazar la gráfica de la función afín f: ℝ → ℝ con la regla de asignación
f(x) = 2x - 3
En este caso
f(x) = L2
(x) - 3
Ejemplo 2
Ejemplo 1
Si b < 0, el gráfico
estará desplazado |b|
unidades hacia abajo
con respecto al gráfico
de La
(x; La
(x))
(x; f(x))

235. 227
La gráfica de f estará desplazada con respecto a la de la función lineal
L2
, 3 unidades verticalmente hacia abajo pues b = -3 < 0.
Así, una manera de esbozar el gráfico de f es trazar el de L2
y luego
desplazar éste 3 unidades hacia abajo. Para ello basta con desplazar
el eje x, 3 unidades hacia arriba.
Otra manera de construir el gráfico de f, es la siguiente: Se traza el
gráfico L2
y desde dos puntos distintos de él se bajan segmentos
verticales de longitud 3; luego se traza la recta que pasa por los puntos
finales de estos segmentos, ésta será la gráfica buscada.
Una manera práctica es tabular dos puntos. Cuando la función afín no
es lineal, se asigna a x el valor de cero y se calcula el valor de y; eso
nos da un punto del gráfico sobre el eje y. En nuestro caso obtenemos
y = f (0) = 2(0) - 3 = -3
Luego asignamos a la variable y el valor de cero y despejamos el valor
de x de la ecuación 0 = f(0), que en nuestro caso toma la forma
0 = 2x + 3, x = ;
Esto nos dá un punto sobre el eje x.
Los puntos son (0;3) y ( ;0) son puntos del gráfico. Estos son los
tabulados en la tabla de la izquierda. La recta que pasa por estos
puntos es la gráfica de la función f.
££ Trace la gráfica de la función f de este ejemplo.
Los procedimientos indicados en el ejemplo anterior son aplicables a
cualquier función afín.
Gráfica de la función afín
Cuando a ≠ 0 y b ≠ 0, la función afín f : ℝ → ℝ con ley de asignación
f(x) = ax + b
tiene como gráfica a la recta que corta al eje y en el punto (0;b) y al eje
x en el punto . Estos puntos son distintos pues b ≠ 0.
Para calcular estos puntos se evalúa primero la función en x = 0,
obteniéndose y = f(0) = a ∙ 0 + b = b. Luego, se hace y = 0, y se resuelve
la ecuación 0 = ax + b, de donde, despejando x se obtiene
Las figuras de la izquierda muestran los gráficos para los casos a > 0
y a < 0.
x
0 3
0

236. 228
Compruebe lo aprendido
Grafique las funciones lineales
Trace el gráfico de f : ℝ → ℝ para las siguientes leyes de asignación.
1. f(x) = 4x + 1
2. f(x) = -5x + 3
3. f(x) = -2x -
Actividad en grupo
Formulen ejemplos de funciones lineales y afines, diferentes de las
que hasta ahora hemos considerado. Tracen sus gráficos.
Construyan gráficos que correspondan a funciones, no
necesariamente lineales.
Expliquen por qué es válida la siguiente aserción:
Decir que cada elemento del codominio de una función f = D → V
posee exactamente una preimagen, equivale a afirmar que si u y v son
elementos arbitrarios del dominio de f, entonces
f(u) = f(v)
implica
u = v
Por tanto,
f = D → V es inyectiva
f(u) = f(v) implica u = v
En forma equivalente,
f es inyectiva ↔ u ≠ v → f(u) ≠ f(v)
Un gráfico
corresponde a
una función real
de variable real si
cualquier recta vertical
lo corta en a lo más
un punto.
Este gráfico no
corresponde a una
función pues el eje Y
lo corta en dos puntos
y
x

237. 229
Movimientos de gráficas en el Plano
Recuerde, reflexione y concluya
La función Tb
: ℝ → ℝ definida por
Tb
(x) = x + b,
es una función a fín asociada a la función lineal L1
. Ella se denomina
función de traslación en b unidades.
La función Tb
cada argumento x lo aumenta o lo disminuye en |b|
unidades, según sea b positivo o negativo.
En realidad, toda función a fín es la compuesta de una lineal y una
traslación. En efecto, si
f : ℝ → ℝ
es la función afín con regla de asignación
f(x) = ax + b,
entonces,
f(x) = La
(x) + b = Tb
(La
(x)) = (Tb
∘La
)(x)
para todo x ∈ ℝ , lo cual significa que:
f = (Tb
∘La
).
Como se observó anteriormente, el gráfico de esta función se obtiene
trasladándolo verticalmente |b| unidades, hacia arriba si b > 0 o hacia
abajo cuando b < 0.
En general, si f es una función real de variable real, podemos considerar
la compuesta
Tb
∘f
cuyo gráfico se obtiene del gráfico de f trasladándolo en dirección
vertical |b| unidades hacia arriba si b > 0 o hacia abajo si b < 0.
Si cualquier recta horizontal corta al gráfico de f en a lo más un punto,
entonces igual ocurrirá con el gráfico de la función compuesta Tb
∘ f .
Esto señala que si la función f es inyectiva entonces también lo es la
función compuesta Tb
∘f.
Recordemos:
Dadas las funciones:
y
la función compuesta
C
actúa con la ley
de asignación
Tb
∘f
f
b
y

238. 230
Este resultado puede demostrarse de la siguiente manera:
Supongamos que f es inyectiva, es decir,
f(x1
) = f(x2
) ⇒ x1
= x2
,
luego,
(Tb
∘La
)(x1
) = (Tb
∘La
)(x2
)
implica, por definición de compuesta,
Tp
(f(x1
)) = Tp
(f(x2
))
y, por definición de traslación en p unidades,
f(x1
) + p = f(x2
) + p,
en esta igualdad podemos eliminar p en ambos lados, obteniéndose
f(x1
) = f(x2
)
de donde, por la inyectividad de f, concluimos que
x1
= x2
.
Por tanto,
(Tp
∘f)(x1
) = (Tp
∘f)(x2
) ⇒ x1
= x2
lo cual prueba que Tp
∘f es inyectiva.
De esta manera,
Si la función f es inyectiva, la función compuesta,
Tp
∘f,
también es inyectiva.
Nota: El estudio de la función cuádratica se realizará posterior al tema
de ecuaciones cuadráticas y sus métodos de solución porque existe un
tratamiento metodológico para el trazo de la gráfica que puede incluir
el cálculo del intersepto en el eje “x” y en el eje “y”, lo que necesita el
conocimiento previo del cálculo de raices cuadráticas.
En general, si
y
son funciones inyectivas,
entonces la compuesta
también es inyectiva:
En efecto, asumiendo
la inyectividad de f y
g, tendremos:
g(f(x1
)) = g(f(x2
)),
implica, por inyectividad
de g, que:
f(x1
) = f(x2
),
de donde, por
inyectividad de f,
concluimos que
x₁ = x₂

239. 231
Función Cúbica
Consideremos la función f : ℝ → ℝ definida por:
f(x) = x3
.
Si,
f(u) = f(v)
entonces,
u3
= v3
,
es decir,
u3
- v3
= 0
La parte izquierda de esta igualdad es una diferencia de cubos, que
factorizamos como
(u - v)(u2
+ uv+ v2
)
Por tanto,
(u - v)(u2
+ uv+ v2
) = 0
de donde
u - v = 0 ó u2
+ uv+ v2
= 0,
la primera igualdad implica que:
u = v
y la segunda es válida para valores reales u, v, sólo que u = 0 = v.
Por tanto,
f (u) = f (v) ⇒ u = v,
lo cual significa que f es una función inyectiva.
Por otra parte, la función f es impar, es decir,
f (-x) = -f (x), ∀x ∈ ℝ
En efecto,
f (-x) = (-x)3
= -x3
= -f (x)
Por tanto, el gráfico de f es simétrico con respecto al origen de
coordenadas. Por otra parte, puesto que
f (1) = 13
= 1,
es decir, (1; 1) pertenece al gráfico de f, entonces el punto (-1;-1) también
está en él. Además
f (0) = 03
= 0
así que el punto (0; 0) también es parte del gráfico de la función f.
Recordemos:
Una diferencia de
cubos:
se factoriza como:
Si una función es
impar, entonces su
gráfico es simétrico
con respecto al
origen, lo cual
significa que si el
punto
pertenece al gráfico
entonces también el
punto
es parte del gráfico
de

240. 232
El gráfico de f es de la forma:
pasando por los puntos (-1;-1), (0; 0) y (1; 1).
Evalúe la ley de asignación f(x) = x3
en x = -2, x = 2, x = -0,5 y en x = 0,5.
Grafique la función f.
Puesto que la función f de este ejemplo es inyectiva, la compuesta
g = Tb
∘f
es también inyectiva. La ley de asignación de esta función es:
g(x) = Tb
(f(x)) = g(x) + b = x3
+ b,
es decir,
g(x) = x3
+ b
para todo x ∈ ℝ.
Recalcamos, el gráfico de g se obtiene del de f mediante una traslación
vertical de |b| unidades, hacia arriba o hacia abajo en dependencia de
si b es positivo o negativo.
Trabajo en Equipo
Graficar la función f : ℝ → ℝ, para cada una de las siguientes reglas
de asignación:
1. f(x) = x3
+ 2
2. f(x) = x3
- 2
3. f(x) = x3
+ 3
4. f(x) = x3
- 3

241. 233
Consideremos ahora la compuesta g = f ∘ Tb
. En este caso el dominio
de g se debe restringir a los valores de x tales que Tb
(x) pertenezca al
dominio de f; entonces, para cada x en ese dominio. Se tiene:
g(x) = f (x + b)
Por tanto, el valor que tomará g en cada argumento x es igual al valor
que toma f en x + b. En consecuencia, si (u;v) es un punto de gráfico
g, es decir, g(u) = v, entonces u + b ∈ Domf y f(u + b) = v, por lo que
(u + b;v) es un punto del gráfico de f.
Recíprocamente, si (u + b;v) es un punto del gráfico de f, entonces
u + b ∈ Domf y f(u + b) = v, entonces u ∈ Domg y g(u) = v, lo cual
significa que (u;v) es un punto del gráfico de g. Por tanto, (u;v) es un
punto del gráfico de g cuando y solamente cuando (u + b;v) pertenece
al gráfico de f. De esta manera cada punto (u;v) del gráfico de g está
asociado con un único punto (u + b;v) del grafico de f.
Los puntos asociados tienen la misma segunda componente, lo cual
implica que se localizan a la misma altura, es decir, tienen la misma
dirección vertical. Por otra parte, si (u;v) es un punto arbitrario del
gráfico de g y (a;v) es el punto asociado en el gráfico de f, entonces
u + b = a
de donde:
u = a - b
Si f es la función cúbica
definida por:
f(x)= x3
para todo número real x,
entonces:
g(x) = (f ∘ Tb
)(x)= (x + 1)3
El dominio y rango
de g es �.

242. 234
Por tanto, todo punto A' del gráfico de g se obtiene del punto asociado
A en el gráfico de f, restándole la constante b a la primera componente
y dejando intacta la segunda componente. Esto da como resultado una
traslación horizontal de |b| unidades hacia la izquierda si b es positivo,
o hacia la derecha si b es negativo.
En conclusión, la gráfica de g = f ∘ Tb
se obtiene a partir del gráfico de
f trasladando éste horizontalmente |b| unidades, hacia la izquierda si
b > 0 o hacia la derecha si b < 0.
Cada punto del gráfico de g= h o T3
se
halla trasladando cada punto del gráfico
de h, tres unidades hacia la izquierda.
g
K´
A´
H´
K
A
H
J´ J
h
Trace las gráficas de las siguientes funciones:
1. g(x) = (x + 1)3
2. g(x) = (x - 1)3
3. g(x) = (x + 4)3
4. g(x) = (x + 0,5)3
También podemos hacer la composición g = h ∘ f de una función
arbitraria f con una función lineal h(x) = ax, de razón a ≠ 0.
De este modo para todo x del dominio de f. Se tiene:
g(x) = h(f (x)) = af (x)
De acuerdo con la definición de g, si (u;v) es un punto del gráfico de f,
entonces el punto (u;av) pertenece al gráfico de g.
f(x) = x3
g(x) = (x - 2)3
b = -2
Observe que el punto
donde la gráfica de
f interseca al eje
horizontal, igual que
el resto de puntos,
se han trasladado
dos unidades hacia
la derecha y de este
modo obtener el
gráfico de g.

243. 235
Todos los puntos del gráfico de g se obtienen de esta manera; se toman
los puntos de f y se multiplican sus segundas componentes por la
constante a. Por eso, si a > 0 el gráfico de g tendrá una forma parecida
al de f pero dilatado o comprimido verticalmente en un factor a.
Si a < 0, la gráfica es como la de f dilatada o comprimida verticalmente
en un factor |a|.
Por ejemplo, el gráfico de la función g(x) = 2x3
es parecido al gráfico
de f(x) = x3
. Para hacer un esbozo de él, tabule los puntos con x igual
a 0,1 y -1:
x g = 2x3
0 0
-1 -2
1 2
Se trazan los puntos (0;0), (-1;-2), (1;2) y se traza una gráfica parecida
a la de la función f(x) = x3
pasando por estos puntos.
La función g dada por la fórmula g(x) = 5(x - 2)3
, es la composición de
una lineal de razón 5, una cúbica y una función de traslación. Su gráfica
es parecida a la de la función f(x) = x3
, trasladada ésta 2 unidades
hacia la derecha y luego dilatada verticalmente en un factor 5. Para
trazar el gráfico de g tabule al menos tres puntos: uno donde la gráfica
interseca al eje horizontal, es decir, donde g(x) = 0, que en nuestro caso
ocurre cuando x = 2; otro a la izquierda de éste punto (escoja un valor
de x menor que 2), y otro a su derecha, con un valor de x mayor que 2.
Ubique estos puntos y trace una curva que pase por ellos,
similar a y = x3
.
Compruebo lo aprendido
Trace el gráfico de las funciones con las siguientes leyes de
asignación.
1. g(x) = 5x3
2. g(x) = 0,5x3
3. g(x) = 2,5x3
4. g(x) = 2(x + 1)3
5. g(x) = 4(x - 1)3
6. g(x) = 3(x + 2)3
7. g(x) = 3(x - 4)3
x
1 -5
2 0
3 5

244. 236
Ecuaciones Cuadráticas
Recuerde, reflexione y concluya
Resuelva las ecuaciones siguientes factorizando el miembro
izquierdo y aplicando la propiedad del producto nulo.
x2
+ 16x + 60 = 0
2x2
+ x - 10 = 0
La ecuación
3x2
+ 5x - 4 = 0
es equivalente a:
3(3x2
+ 5x - 4) = 0
la cual se puede escribir como:
(3x)2
+ 5(3x) - 12 = 0
El miembro izquierdo no se puede factorizar en ℤ ¿Por qué?
En la unidad 3 abordamos la resolución de ecuaciones cuadráticas de
la forma
x2
+ bx + c = 0
mediante un método que consiste en dos pasos:
Paso 1.Factorizar el polinomio de la parte izquierda.
Paso 2.Aplicar la propiedad del producto nulo a la ecuación que resulta
después de efectuar el paso 1.
En el caso de la ecuación
3x2
+ 5x - 4 = 0
o su equivalente, el polinomio de la parte izquierda no se puede
factorizar y por tanto no podemos aplicar directamente el método
referido.
Si multiplicamos la ecuación 3x2
+ 5x - 4 = 0 por , se obtiene la ecuación
equivalente:
Ejemplo 1

245. 237
con un polinomio mónico en la parte izquierda. Dividamos por 2 el
coeficiente del segundo miembro, esto es:
Ahora sumemos y restemos :
,
al agrupar los primeros tres miembros y factorizar se obtiene
es decir,
o lo que es lo mismo
La parte izquierda es una diferencia de cuadrados; luego la ecuación
se puede escribir como
Ahora, al aplicar la propiedad del producto nulo se obtiene
ó
Por tanto, la ecuación tiene dos soluciones.
y x =
Reforzamiento:
Encuentre la solución
a las siguientes
ecuaciones
cuadraticas:
1. x2
+ 16x + 60 = 0
2. 2x2
+ 0 - 10 = 0
3. x2
- 10 = 0
4. x2
+ 1 = 0

246. 238
En forma compacta se escribe:
El conjunto solución de la ecuación es entonces
Discriminante.
Considere de nuevo la ecuación:
3x2
+ 5x - 4 = 0
Sean a = 3, b = 5, c = -4 los coeficientes del polinomio de la parte
izquierda.
Para los valores dados de a,b y c calcule
D = b2
- 4ac,
esta expresión se denomina discriminante.
Al resolver la ecuación 3x2
+ 5x - 4 = 0 obtuvimos las soluciones
y
Escríbalas en términos de la literales a,b,c y d y en términos de
solamente a, b y c. Observe que, el denominador 6 = (2)(3) = (2)a, se
puede sustituir por 2a.
¿Qué fórmulas se obtienen? Escríbalas en una sola fórmula usando el
símbolo ±.
££ Aplique la fórmula obtenida para resolver la ecuación
5x2
- 9x + 2 = 0
En este caso a = 5, b = -9 y c = 2.
• Para la ecuación:
3x2
+ 2x + 5 = 0
1. Determine los valores de a,b y c.
2. Encuentre las soluciones.
Reto Matemático:
1. En la ecuación :
x2
+ bx - 9= 0
si x = 1, ¿cuanto
vale b?
2. En la ecuación:
ax2
+ 3x - 5 = 0
si x = -2, ¿cuanto
vale a?

247. 239
Considere la ecuación:
x2
+ 7x + 3 = 0
El coeficiente implícito del término cuadrático del polinomio de la parte
izquierda es a = 1; los otros coeficientes son b = 7 y c = 3. Las soluciones
de esta ecuación son
• Calcule el discriminante D = b2
- 4ac de la ecuación.
• Exprese la soluciones en términos de las literales a,b,c y D. El
denominador es 2 = 2(1) = 2a.
Una ecuación cuadrática es una ecuación cuyas partes izquierda y
derecha son polinomios cuya diferencia es un polinomio cuadrático.
La ecuación:
7x2
+ 6x - 4 = -5x2
+ 2x + 1
es una ecuación cuadrática. Si en ambos miembros sumamos el
polinomio 5x2
- 2x - 1, la ecuación se transforma en la equivalente
12x2
+ 4x - 5 = 0,
en este caso a = 12, b = 4, c = -5 y el discriminante es
D = b2
- 4ac = (4)2
- 4(12)(-5),
es decir,
D = 256
Las soluciones de la ecuación son:
, simplificando tenemos:
y
2(12)
El conjunto solución es
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Reto Matemático:
Hallar el
discriminante de:
1. 3x2
+ 5x + 9 = 0
2. 9x2
- 5x +10 = 0
3. x2
- 5x - 6 = 0
4. x2
+ 8x - 9 = 0

248. 240
Compruebo lo aprendido
Escriba la ecuación
3x2
+ 2x - 7 = -5 - 8
en la forma
ax2
+ bx + c = 0
Indique los valores de a, b y c.
Escriba la fórmula de solución de la ecuación.
Resuelva la ecuación.
Toda ecuación cuadrática se puede escribir en forma estándar
ax2
+ bx + c = 0
restando el polinomio de la parte derecha al polinomio de la parte
izquierda.
Las letras a,b y c denotan números fijos con a ≠ 0.
La fórmula general
proporciona la solución o las soluciones reales de la ecuación cuando
el discriminante D es mayor o igual a cero.
Una solución real de una ecuación es un número real que es solución
de la ecuación.
Actividad en grupo
I. Discuta con sus compañeros, ¿Por qué no hay solución real, es
decir en ℝ, cuando el discrimínante D = b2
- 4ac es negativo?
II. Calcule el discriminante de cada ecuación y determine cuáles
ecuaciones tienen soluciones reales.
1. 3x2
- 7x + 4 = 0
2. 8x2
+ 2x + 1 = 0
3. 2x2
- 4x + 5 = 0
4. 6x2
+ 5x - 3 = 0
5. x2
- 1 = 0
6. 3x2
- 6x = 0
Para el discriminante:
D = b2
- 4a,
se tienen los casos
siguientes:
D = 0, una raíz doble.
D < 0, una solución
compleja.
D > 0, dos raíces
reales distintas.

249. 241
III. Consideren las siguientes ecuaciones. Calculen los discriminantes
y resuelvan las que tienen solución real.
1. 5x2
- 2x - 3 = 0
2. 7x2
+ 9x + 2 = 0
3. -8x2
- 12x + 36 = 0
4.
5.
6.
IV. ¿Qué relación existe entre el signo del discriminante y la cantidad
de soluciones reales que tiene la ecuación?
V. Formulen 3 ecuaciones cuadráticas; una con discriminante negativo,
otra de discriminante nulo y una tercera con discriminante positivo.
Luego resuelvan las ecuaciones que tienen solución real.
Ecuaciones Cuadráticas y Números Complejos
Recuerde, reflexione y concluya
I. ¿Cuáles de las siguientes igualdades son válidas para cualesquiera
números reales a, b, c.?
1. (a + b)+ c = a + (b + c)
2. a + b = b + a
3. a + 0 = a
4. a2
≥ 0
5. (b + c) + (a + b)2
= a2
+b2
II. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones no tienen solución real?
1. x2
- 5x + 6 = 0
2. 2x2
+ 5x + 4 = 0
3. 4x2
+ 7x + 5 = 0
4. 2x2
- 1 = 0
5. x2
+ 2 = 0

250. 242
Números Complejos
Llamaremos números complejos a los pares ordenados (a;b) de
números reales a y b, con las operaciones que adición y multiplicación
que abajo se detallan.
Dado un número complejo
z =(a;b)
se llama parte real de z a la primera componente a y a la segunda
componente se denomina parte imaginaria de z.
Indique la parte real y la imaginaria de cada número complejo
• (-3; 7)
• ( ; -0,754)
• (
π
4
; e)
Adición. Para cualesquiera números complejos (a;b) y (c;d) definamos
la suma
(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)
Es decir que, la parte real de la suma de dos números complejos es
la suma de las partes reales de los sumandos; análogamente, la parte
imaginaria de la suma es la suma de las partes imaginarias de los
sumandos.
Por ejemplo,
(-3; 5) + (4; 9) = (-3 + 4; 5 + 9) = (0; 14)
Efectúe las sumas abajo indicadas.
1. (9;13) + (2;4)
2. (2;4) + (9;13)
3. (-3; 6) + (-5; -7)
4. (-5; 7) + (-3;6)
5. (13; 4) + (0;0)
6. (5;3) + (-5;-3)
7. (-6;2) + (6;-2)
8. [(5;-4) + (8;3)]+(1;-2)
9. (5;4) + [(8;3) + (1;-2)]
Notación:
Dado z = (a;b)
denotaremos:
a = Re(z);
b = Im(z).
Donde Re se refiere a
la parte real y Im a la
parte imaginaria
Números Complejos
Historia:
Aparecen por primera
vez en la solución
de ecuaciones de
segundo y tercer
grado; siglo XVI -
XX. Los principales
estudios los hicierón
Argan, Gauss,
Hamilton.
Se aplica en el campo
de la electricidad
Cálculo de
impendencia
equivalentes en redes
eléctricas a corrientes
alternativas
También se puede
simbolizar un número
complejo de la forma

251. 243
Propiedad conmutativa: el orden de los sumandos no altera la suma
(a;b) + (c;d) = (c;d) + (a;b)
El par (0;0) sirve de neutro aditivo, es decir, un par cualquiera no
cambia si le sumamos el par (0;0):
(a;b) + (0;0) = (a;b).
El opuesto de un par se obtiene tomando los valores opuestos de
sus componentes, es decir, -(a;b) = (-a;-b), lo cual significa que
(a;b) + (-a;-b) = (0;0)
Propiedad asociativa:
[(x;y) + (w;z) ] + (u;v) = (x;y) + [(w;z) + (u;v))]
Multiplicación.
Para cualesquiera números complejos (a; b) y (c; d), definimos:
(a; b) (c; d) = (ac - bd; ad + bc).
Por ejemplo, (2;5) (7;3) = (-1; 41):
(2)(3) + (5)(7)
(2)(7) + (5)(3)
(2;5) (7;3) = (14 - 15;6 + 35) = (-1;41)
Las cantidades
imaginarias son las
raíces de índices
par de cantidades
negativas
Unidad Imaginaria:
La cantidad , se
le denomina "Unidad
Imaginaria".
Según la notación
de Gauss, la
Unidad Imaginaria
se simboliza por la
letra
Los números
complejos son
aquellos que tienen
la forma
z
Parte
Real
Parte
Imaginaria

252. 244
Realizar las siguientes operaciones
1. (3; 5)(6; 9)
2. (6; 9)(3; 5)
3. (2;5)(1;0)
4. (-4;7)(1;0)
5. [(2;3)(4;6) ](-5;2)
6. (2;3)[(4;6)(-5; 2)]
7. (3;4)[(1;5)+(3;7)]
8. (3;4)(1;5)+(3;4)(3;7).
Los resultados de este ejercicio sugieren la validez de las propiedades
enunciadas en el siguiente ejercicio.
Dé razones que justifiquen las siguientes propiedades
Propiedad conmutativa:
El orden de los factores no altera el producto
(a;b)(c;d) = (c;d)(a;b)
El par (1;0) juega el papel de neutro multiplicativo. Un par arbitrario no
cambia si lo multiplicamos por (1;0):
(a;b)(1;0) = (a;b)
Propiedad asociativa:
[(a;b)(c;d)](e;f) = (a;b)[(c;d)(e;f)]
Propiedad distributiva:
(a;b)[(c;d)+(e;f)] = (a;b)(c;d) + (a;b)(e;f)
Actividad en grupo
I. Efectúe
1. (2;0)(3;0)
2. (-4;0)(7;0)
3. (√5;0)(-6;0)
4. (0; 4)(0;5)
5. (0; -5)(0;-3)
II. Pruebe que (u;0)(v;0) = (uv;0).

253. 245
III. Realice oralmente los siguientes ejercicios
1. (-3;0)(5; 0)
2. (2;0)(4;0)
3. (m;0)(n;0)
Para sumar o multiplicar números complejos con partes imaginarias
nulas, basta con sumar o multiplicar, según sea el caso, las partes
reales; la parte imaginaria del resultado siempre es cero:
(u;0) + (v;0) = (u + v;0)
(u;0)(v;0) = (uv;0).
Por eso, y en aras de una escritura más sencilla, identificamos cada
número del tipo (u;0) con el número real u,
Para todo número real u,
u = (u;0)
Por otra parte, si λ es un número real arbitrario, entonces;
(λ;0)(a;b) = (λa - 0b; 0a + λb)
es decir,
λ (a;b) = (λa;λb)
Similarmente,
(a;b) λ = (a;b)(λ;0) = (λa;λb)
Por tanto, para multiplicar un número complejo ℤ por un número real λ,
se multiplica por λ la parte real y la parte imaginaria de ℤ.
Si z = (a;b) es un número complejo con parte real a y parte imaginaria
b, entonces
z = (a;0) + (0;b)
1=(1;0)
0=(0;0)
-1=(-1;0)
6(a;b) = (6a;6b)
3(-4;7) = (-12;21)

254. 246
es decir,
z = (a;0) + b(0;1)
Denotemos el número complejo (0;1) con el símbolo i. Entonces
podemos escribir
z = a + bi,
esta es la representación polinómica del número complejo z.
Sean u, v números reales arbitrarios. Verifique que
(0;u)(0;v) = (-uv;0)
(0)(v) + (u)(0)
(0)(0) - (u)(v)
(0 ; u) (0 ; v) = ( ; )
Como caso particular, al hacer u = 1 = v, se obtiene que
i ∙ i = (0;1)(0;1) = (-1;0)
es decir,
i2
= -1
Esta igualdad determina que el número complejo i = (0;1) es solución
de la ecuación cuadrática
Con la notación polinómica ahora resulta mucho más sencillo realizar
la multiplicación de números complejos.

255. 247
Multiplicar z = (2;5) por w = (4;3).
Escribamos primero z y w en forma polinómica:
z = 2 + 5i
w = 4 + 3i
Ahora multiplicamos de manera habitual, aplicando las propiedades
de las operaciones de adición y multiplicación de números complejos:
zw = (2 + 5i)(4 + 3i) = 8 + 6i + 20i + 15i2
Tomando en cuenta que i2
= -1, obtenemos que
zw = 8 + 26i - 15 = -7 + 26i
££ Efectúe las operaciones indicadas
1. (2 + 5i) + (-2 + 7i)
2. (2-4i)(6 - 17i)
3.
Si r es un número positivo entonces existe un número real a, también
positivo y tal que a2
= r, es decir
Luego
Por tanto,
es decir
Consideremos ahora la ecuación cuadrática
ax2
+ bx + c = 0
Las soluciones están dadas por la fórmula general
Ejemplo 1

256. 248
En el caso en que el discriminante D = b2
- 4ac es un número real
negativo, las soluciones son los números complejos
Encontrar el conjunto solución de la ecuación
5x2
- 2x + 3 = 0
En este caso a = 5, b = -2 y c = 3.
El discriminante es negativo:
D = b2
- 4ac = (-2)2
- 4(5)(3) = 4 - 60 = -56
Por tanto, las soluciones son los números complejos, a saber:
Al simplificar obtenemos que
££ ¿Cómo son las partes reales de las soluciones de una ecuación
cuadrática con discriminante negativo? y ¿Las partes imaginarias?
Trabajo en Equipo
Halle las soluciones de las siguientes ecuaciones. En cada caso sume
y reste las soluciones.
1.
2. x2
+ 7x + 13 = 0
3. 4x2
+ x + 1 = 0
4. 6x2
- 2x + 1 = 0
¿Cuál es el resultado de sumar las soluciones de una ecuación
cuadrática? ¿Y si las restamos?
Ejemplo 2

257. 249
Desigualdades
Recuerde, reflexione y concluya
Juan de cinco años es menor que su hermano de siete años; la relación
entre las edades la expresamos con ayuda del símbolo < escribiendo
5 < 7
expresión que se lee “5 es menor que 7”. Podemos describir la misma
situación usando la relación inversa
7 > 5
la cual se lee “siete es mayor que cinco”. Las relaciones como estas se
denominan desigualdades.
Describa otras situaciones de la vida que impliquen desigualdades.
La diferencia de edades entre los hermanos arriba mencionados, la
del mayor menos la del menor, es 2, un número positivo. En general,
una cantidad es mayor que otra cuando la diferencia entre ella y la
menor es un número positivo. Es decir,
a > b sí y solo si a - b, es un número positivo.
El opuesto de un número positivo es un número negativo. El opuesto
de a-b es b-a, de modo que si a-b es positivo, entonces b-a es
negativo. En consecuencia, la definición anterior la podemos escribir
en forma equivalente como
b < a, sí y solo si b - a, es negativo.
Compruebe lo aprendido
Complete los siguientes enunciados:
1. a>4 si y sólo si _______________
2. a<6 si y sólo si _______________
3. m<n si y sólo si _______________

258. 250
De la definición de la relación < se sigue que un número a es positivo
si y sólo si a>0. Similarmente, b es negativo si y sólo si b<0. Luego, la
definición la relación > se puede escribir como
a > b si y sólo si a - b > 0
o equivalentemente,
b < a si y sólo si b - a < 0
Trabajo en Equipo
Complete los siguientes enunciados.
1. 5 < x, sí y solo si ____________
2. m > 4, sí y solo si ___________
3. h < p, sí y solo si ____________
4. n - r > 0, por tanto n __________ r.
Compatibilidad de > con la adición
La suma y el producto de números positivos son también positivos. Es
decir,
1. Si a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0.
2. Si a > 0 y b > 0, entonces ab > 0.
Por otra parte, si a > b entonces
a - b > 0
Ahora bien, si c es un número cualquiera
(a + c) - (b + c) = a - b
en consecuencia, al sustituir en la desigualdad anterior
(a + c) - (b + c) > 0
y por tanto
a + c > b + c
Esto prueba que
a > b ⇒ a + c > b + c

259. 251
Esta propiedad se denomina compatibilidad de la relación de orden >
con la adición.
Si a >7, ¿qué relación hay entre a + 5 y 12?
Si a > b, ¿cómo se relacionan y ?
Si a > b, ¿qué relación habrá entre a - c y b - c?
Compatibilidad < con el producto.
Suponiendo que a > b y que c es un número positivo, concluimos que,
por ser a - b y c números positivos, el producto
(a - b)c
es también positivo, es decir,
(a - b)c > 0
y, por tanto,
ac - bc > 0
De aquí se obtiene, por definición,
ac > bc
Estos razonamientos prueban la compatibilidad de la relación de orden
> con la multiplicación por números positivos que se enuncía así:
si a > b y c > 0, entonces ac > bc.
¿Qué propiedad se debe utilizar para obtener la desigualdad ac - bc > 0
a partir de la desigualdad (a - b)c > 0?
Compruebe lo aprendido
Complete
1. Si a > b entonces a ______ b
2. Si a > b entonces 2 011a __________ 2 011b.
3. si __________.
4. nc > mc si n > m y __________.
5. pr > qr si r > 0 y __________.

260. 252
El cociente entre dos números positivos es un número positivo. En
particular, si c es un número positivo, entonces es un número positivo.
En consecuencia, si a > b y c > 0, entonces de acuerdo con la
propiedad anterior . Es decir,
si a > b y c > 0, entonces
Compruebe lo aprendido
Complete las siguientes afirmaciones de manera que resulten
verdaderas.
1. Si a > b, entonces
2. , si a b.
3. , si m > n y r o.
4. , si h > 0 y k p.
5. u > v. Por tanto
Escriba todas las propiedades anteriores usando la relación <, inversa
de >.
Suponga que c < 0.
Sume –c a ambos lados de la desigualdad. Utilizando la compatibilidad
de la relación de orden con la adición. Obtendrá que:
0 < -c
Esto prueba que c < 0 y 0 < -c, o, lo que es lo mismo, c < 0 y - c > 0.
££ Suponga que a > b y que c < 0.
¿Por qué a - b > 0 y –c > 0?
¿Por qué (a - b)(-c) > 0?
Esto conduce a la desigualdad bc - ac > 0. Justifique.
En conclusión bc > ac, o en forma equivalente, ac < bc.

261. 253
Se ha probado la propiedad siguiente:
si a > b y c < 0, entonces ac < bc.
Es decir, si las dos partes de una desigualdad se multiplican por un
número negativo, el símbolo de la desigualdad cambia de sentido.
De igual manera, si los dos miembros de una desigualdad se dividen
entre un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. Si c es
un número negativo, su inverso multiplicativo es también negativo.
Por tanto, si a > b y c < 0 entonces
Luego,
si a > b y c < 0, entonces .
Trabajo en Equipo
Complete adecuadamente las siguientes expresiones con > ó <
1. Si a > b entonces -6a -6b.
2. Si m > n entonces
3. Si p>q entonces
4. si p q.
5. 5a > -5b si a b.
6. si h p.
7. hr < pr si h > r y r 0.
8. hr < pr si r < 0 y h p.
9. mk < nk si m n y k 0.
10. si a b y h 0.

262. 254
Considere la desigualdad h - 4 < 5
Sume 4 a ambos lados de la desigualdad y utilice la compatibilidad del
orden con la adición. Obtendrá la desigualdad:
h < 9,
de esta manera se ha “despejado” h.
• Despeje r de la desigualdad
3r < 6.
Para ello divida ambos lados de la desigualdad entre 3 y simplifique.
• Considere la desigualdad
3x + 4 < 10.
Reste 4 a ambos lados de la desigualdad. ¿Qué resulta?
Divida entre 3 ambos laos de la desigualdad resultante del paso
anterior. Al simplificar, en la parte izquierda debe aparecer solamente
x. Entonces se ha despejado x. ¿Cuál es la desigualdad que resulta?
Por disposición del gobierno los hogares cuyo consumo de energía
eléctrica no exceda los 150 Kwh reciben un tratamiento preferencial
en el pago de la energía. Si x denota la cantidad de Kwh consumidos
entonces para optar al tratamiento x debe ser menor o igual a 150; esto
se expresa simbólicamente escribiendo
x < 150 ó x = 150.
O en forma más compacta x ≤ 150.
Las expresiones como estas se denominan también, inecuaciones.
El símbolo ≤ se lee “es menor o igual que”. Puesto que la cantidad
de kwh no puede ser un número negativo se debe cumplir también
que 0 ≤ x. Esta desigualdad con la anterior se fusionan escribiéndose
abreviadamente como
0 ≤ x ≤ 150
Esta expresión significa que los valores de x deben estar entre 0 y 150,
y que además x puede tomar los valores de 0 y 150. Esta desigualdad
la podemos representar de distintas maneras:
1. De forma conjuntista
2. Como un intervalo cerrado [a; b].
Ejemplo 2
Ejemplo 1

263. 255
3. En forma gráfica
0 150
££ Describa los valores que satisfacen la inecuación 1 ≤ x ≤ 3.
En general, si a y b son números reales tales que a ≤ b, el intervalo
cerrado [a;b] es el conjunto de números reales que satisfacen
a ≤ x ≤ b
es decir,
[a;b] = {x ∈ ℝ: a ≤ x ≤ b}
La escritura a ≤ x ≤ b es abreviatura de a ≤ x y x ≤ b.
a b
Intervalo [a ; b]
Describa el conjunto solución S de la inecuación x<5.
La descripción conjuntista es
La desigualdad indica que los valores de S están acotados
superiormente por 5, es decir no pueden exceder a 5, ni ser igual a 5.
Por otra parte, no hay acotaciones inferiores, es decir, x puede tomar
cualquier valor menor que 5, sin importar qué tan menor lo sea; esto lo
describimos escribiendo
-∞ < x < 5
o en forma de intervalo S = (-∞;5).
El símbolo -∞ no representa ningún número, sirve para indicar que el
intervalo no tiene acotaciones inferiores. El paréntesis a la derecha de
5 señala que este valor no es parte del intervalo.
La descripción gráfica es
5
Ejemplo 3

264. 256
La flecha señala que el intervalo (-∞; 5) se extiende indefinidamente
hacia la izquierda del 5; el círculo en 5 indica que 5 no es parte del
intervalo.
En general, el intervalo (-∞; b) denota el conjunto de números reales
que verifica la inecuación x < b. Así:
(-∞; b] = {x ∈ ℝ: x < b}
Si a este intervalo le agregamos el extremo derecho, b, obtenemos el
intervalo (-∞; b]:
(-∞; b) = (-∞; b) ⋃ {b},
es decir,
(-∞; b] = {x ∈ ℝ: x < b} ⋃ {b}
= {x ∈ ℝ: x < b ó x = b}
la expresión x<b ó x=b se escribe abreviadamente como x≤b, de modo
que
(-∞; b) = {x ∈ ℝ: x ≤ b}
La descripción gráfica es
b
Otros intervalos son:
• (a;b) = {x ∈ ℝ: a < x < b}
• (a;∞) = {x ∈ ℝ: x > a}
• (a;b] = {x ∈ ℝ: a < x ≤ b}
• [a;b) = {x ∈ ℝ: a ≤ x < b}
El intervalo (-3; 0) es el conjunto de todos los números reales x que
cumplen que -3 < x < 5, es decir todos los números entre –3 y 5:
(-3;5) = {x ∈ ℝ: -3 < x < 5}
En forma gráfica:
a b
Ejemplo 4

265. 257
Los círculos en a y b señalan que estos valores no pertenecen al
intervalo.
Trabajo en Equipo
Describir en forma conjuntista, en forma de intervalo y de manera
gráfica el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones
1. x < -0,25
2. 4 ≤ x
3. -1 ≤ x <
4.
Resolver la desigualdad 5x - 3 < 6x + 7
En esta inecuación la variable x aparece en ambos lados de la
desigualdad. Para ubicarla sólo en el lado derecho restemos 5x,
aplicando la compatibilidad de la relación de orden con la adición:
5x - 3 - 5x < 6x + 7 - 5x,
luego, simplificando obtenemos
-3 < x + 7,
ahora restemos 7:
-3 - 7 < x + 7 - 7,
entonces tendremos
-10 < x,
Resulta x > -10
Resulta -2 < x.
Luego, el conjunto solución es el intervalo (-10; ∞).
Para mantener la demanda cierta repostería debe producir al menos
5 tortas al día. El costo de producción por unidad es de cincuenta
córdobas y cada torta se vende a 65 córdobas. Si se desea que los
costos de producción por día no excedan los C$ 500, ¿cuántas tortas
se pueden producir por día?
Ejemplo 6
Ejemplo 5

266. 258
Sea x la cantidad de tortas producidas al día. Ya que la demanda es de
al menos cinco tortas al día, se debe tener:
5 ≤ x
Producir una torta cuesta C$ 50, asi que producir x cantidad de ellas
debe costar C$ 50x. Esta cantidad no debe exceder a C$ 500. Por
tanto,
50 x ≤ 500
Dividiendo entre 50
es decir
x ≤ 10
Las restricciones sobre x son: 5 ≤ x y x ≤ 10.
En forma abreviada,5 ≤ x ≤ 10.
Por supuesto, la solución no es todo el intervalo [5;10] pues la cantidad
de tortas fabricadas debe ser un número natural (no se venden tortas
en fracciones). La cantidad x puede tomar los valores 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Compruebe lo aprendido
Resolver las inecuaciones siguientes
1. 2x - 6 > 7x + 4
2.
3.
4.

267. 259
Ecuaciones lineales racionales en una variable
Recuerde, reflexione y concluya
I. Factorice
1. x2
+ 2x - 15
2. x2
+ 3x - 28
3. x2
+ 8x + 12
4. 12x2
+ 5x - 3
5. x2
- x - 6
II. Halle el mínimo común múltiplo de los polinomios dados
1. x2
- 4, x - 2, x + 3, x - 2
2. x2
+ 2x - 15, x2
- x - 6
3. (x+4)2
,x2
- 16,x - 4
4. x3
- 1, x2
- 1,x + 1
III. Simplifique
1.
2.
3.
4.

268. 260
Ecuación Racional
Una ecuación racional es una ecuación en la que aparecen fracciones
racionales polinómicas, es decir, fracciones en las que el numerador y
denominador son polinomios. Por ejemplo,
es una ecuación racional.
Resolver la siguiente ecuación
Multipliquemos ambos lados de la ecuación por el mínimo común
múltiplo de los denominadores
Obtenemos la ecuación lineal
(3x + 5) · 3- (5x) · 4 = (7 - x) ·6 + 12
desarrollando tenemos:
9x + 15 - 20x = 42 - 6x + 12,
ahora simplifiquemos en ambos lados de la ecuación,
-11x + 15 = -6x +54,
sumemos 6x en ambos lados; con ello se elimina el -6x en la parte
derecha,
-11x + 15 + 6x = 54,
simplificando resulta,
-5x + 15 = 54
Ejemplo 1

269. 261
ahora restemos 15 en ambos lados. de este modo:
-5x = 39,
por último, al dividir esta última ecuación entre -5 se llega a que:
Por tanto, el conjunto solución de la ecuación dada es
Compruébelo sustituyendo por x en la ecuación original.
Compruebe lo aprendido
Resuelva las siguientes ecuaciones
1.
2.
3.
Cuando se trabajen ecuaciones en las que la variable aparece en
algunos de los denominadores, se debe tomar en cuenta que el
denominador de una fracción no puede tomar el valor 0.
Resolver la ecuación
Multipliquemos por x + 1 en ambos lados de la ecuación:
Ejemplo 2

270. 262
Al simplificar se llega a que x2
- 1 = 0. Es decir (x + 1)(x - 1) = 0, de donde,
por la propiedad del producto nulo, x + 1 = 0 ó x - 1 = 0. Por tanto,
x = -1 ó x = 1.
Pero con x = -1 se anula el denominador de la fracción de la parte
izquierda enlaecuaciónoriginal.Portanto,estevalorquedadescartado.
Solo nos queda como solución el valor x = 1. El conjunto solución es
por tanto
S = {1}
££ ¿Qué valores no puede tomar x en cada una de las siguientes
ecuaciones?
•
•
Resolver la ecuación
Los denominadores de las fracciones involucradas en esta ecuación
no deben ser iguales a cero. Por tanto, x + 1 ≠ 0 y 5x ≠ 0. Por tanto,
x ≠ -1 y x ≠ 0.
El mínimo común múltiplo de los denominadores es
mcm(x + 1,5x) = 5x(x + 1)
Multipliquemos ambos lados de la ecuación por este polinomio:
,
ahora simplificamos,
3(5x) = 3(x + 1),
desarrollando resulta:
15x = 3x + 3,
Ejemplo 3

271. 263
luego,
12x = 3,
finalmente, se divide entre 12 para obtener que
Esta solución es válida pues no coincide ni con -1 ni con 0, que son los
valores prohibidos. Por tanto, el conjunto solución de la ecuación es
Función Cuadrática
Una función cuadrática es una función con una ley de asignación
f(x) = ax2
+ bx + c
donde a, b y c son constantes reales con a ≠ 0.
Las siguientes fórmulas de asignación definen funciones cuadráticas.
1. f(x) = 3x2
- 7x2
+ 4
2. f(x) = 5x2
+ 8x - 4
3. f(x) = x2
- 5x + 6
4. f(x) = 7x2
+ 2x - 3
El gráfico de una función cuadrática es una parábola cóncava, hacia
arriba si el coeficiente "a" de x2
es positivo y cóncava hacia abajo si "a"
es negativo.
El punto más bajo de la parábola, cuando a > 0, se denomina vértice.
Cuando a < 0, el vértice es el punto más alto del gráfico.
Consideremos la función f(x) = x2
.
Ubique tres puntos del gráfico, el vértice, un punto en la rama izquierda
y un punto en la rama derecha. Para ello haga una tabla.
En este caso el vértice se encuentra en el origen, el punto (0;0). Los
puntos que se encuentran sobre la rama izquierda del gráfico tienen
primera coordenada menor que cero, la primera coordenada del
vértice; por ello asigne a x un valor menor que cero y calcule el valor
correspondiente de f(x), esto le dará un punto en la rama izquierda.
a < 0
x
y
Parábola Cóncava
hacia abajo
Ejemplo 1
a > 0
x
y
Parábola Cóncava
hacia arriba

272. 264
Para hallar un punto en la rama derecha asígnele a x un valor mayor
quela primera coordenada del vértice (en este caso igual a 0) y luego
calcule el valor respectivo de y = f(x)
x y = f(x) = x2
y (x;y)
0 f(0) = 02
0 (0;0)
-1 1 (-1;1)
1 f(1) = 12
1 (1;1)
Vértice
En rama izquierda
En rama derecha
Ubique el vértice (0;0) y los puntos (-1;1) y (1;1). Trace el gráfico.
La parábola de la izquierda es la gráfica de la función. Observe que el
vértice (0;0) es el punto más bajo de la gráfica.
El dominio de la función es el conjunto de valores que toma la variable
x. Como puede notarse en la ley de asignación, para estos valores
no hay restricciones, así que el dominio es el conjunto de todos los
números reales.
El rango de la función es el intervalo que va desde la segunda
coordenada del vértice hasta +∞ , es decir [0, +∞).
Trace el gráfico de la función g(x) = x2
+ 1
La ley de asignación de esta función se parece a la del ejemplo anterior;
aquí se le suma uno adicional.
En realidad la función g coincide con la compuesta de la función
f y la función de traslación T1
.
Por tanto, el gráfico de g es el de trasladado verticalmente
1 unidad hacia arriba. Es decir, que los puntos del gráfico de
g(x) = x² + 1 se hallan sumándole 1 a las segundas coordenadas de los
puntos del gráfico de . En particular, el vértice del gráfico de g
es el punto(0;1).
La gráfica de g es una parábola con vértice en (0;1). Para hallar otros
puntos del gráfico que nos permitan trazarlo proceda como en el ejemplo
anterior. Asígnele a x un valor menor que la primera coordenada del
vértice y otro valor mayor que la primera coordenada del vértice y
calcule los valores correspondientes de .
Ejemplo 2
El dominio de la
función cuadratica
por ser una función
polinomial de grado
2; siempre será
el conjunto de los
números reales
Domf = ℝ
Rango
1. Vertice (h;k)
h
b
a
= −
2
, k = f(h)
2. Si es cóncava hacia
arriba el rango es:
[k; ∞)
3. Si es cóncavo hacia
abajo el rango es:
(-∞;k]

273. 265
x y = g(x) = x2
+ 1
0 1
-1 2
1 2
££ Trace las gráficas de las siguientes funciones
• f(x) = x2
- 1
• f(x) = x2
+ 3
En términos generales podemos decir que el gráfico de f(x) = x2
+ c
coincide con el de y = x2
trasladado verticalmente c unidades, hacia
arriba si c > 0 o hacia abajo cuando c < 0.
££ Considere la función con ley de asignación
f(x) = (x + 2)2
para todo número real x.
¿Qué funciones deben componerse para obtener f?
¿Qué relación hay entre el gráfico de f(x) y el de h(x) = x2
?.
Grafique la función f(x).
Trazar el gráfico de la función f(x) = 3(x - 5)2
La gráfica de f se obtiene del gráfico de y = x2
trasladándolo b = 5
unidades hacia la derecha, con lo cual el vértice (0;0) de y = x2
se
transforma en el vértice (5;0) de y = (x - 5)2
, y luego se dilata el gráfico
resultante en un factor 3: las segundas coordenadas de los puntos del
gráfico de y = (x - 5)2
se multiplican por 3. El vértice será el mismo de
y = (x - 5)2
, es decir: (5;0).
Demos a x un valor menor que 5, por ejemplo x = 4; el valor
correspondiente para y = f(x) es
y = 3(4 - 5)2
= 3
Ejemplo 3
(-1;2) (1;2)
(0;1)
-2 -1 1 2 3
2
4
Rama
izquierda
Rama
derecha

274. 266
Esto nos da el punto (4;3) sobre la rama izquierda de la gráfica de (una
parábola). Para hallar un punto sobre la rama derecha damos a x un
valor mayor que la primera componente del vértice, por ejemplo x = 6;
el valor de y = f(x) es entonces:
y = 3(6 - 5)2
= 3
De esta manera tenemos el vértice (5; 0), el punto (4;3) sobre la rama
izquierda y el punto (6;3) sobre la rama derecha del gráfico de f Trace
una parábola que pase por estos puntos con vértice en (5;0), este será
la gráfica de f.
Trazar el gráfico de la función f definida por:
f(x) = 3(x - 5)2
+ 2
La gráfica de esta función es como la del ejemplo anterior, trasladada
verticalmente 2 unidades hacia arriba. Por tanto, su gráfico será
una parábola cuyas ramas se abren hacia arriba. Los puntos arriba
calculados (4;3), (6;3) y el vértice (5;0) del gráfico y = 3(x - 5)2
, nos
sirven para trazar el nuevo gráfico, sólo hay que trasladarlos 2 unidades
hacia arriba, para lo cual se debe sumar 2 unidades a las segundas
componentes. Obtenemos el punto (4;5) sobre la rama izquierda, el
punto (6;5) en la rama derecha y el vértice (5;2). Con estos datos, trace
el gráfico de f
Trace la gráfica de f(x) = 3(x - 5)2
+ 4
Hacer el trazo de la función cuadrática
f(x) = 3(x - 5)2
- 2
En este caso el gráfico de f se halla trasladando el gráfico de
y = 3(x-5)2
verticalmente 2 unidades hacia abajo. En otras palabras se
debe restar 2 a todas las segundas componentes de los puntos del
gráfico de y = 3(x - 5)2
. Con ello, los puntos (4;3) (6;3) en las ramas
izquierda y derecha y el vértice (5;0) se transforman en los puntos
(4;1), (6;1) y (5;-2) respectivamente. Trace una parábola con vértice
(5;-2) que pase por los puntos (4;1) y (6;1); esta será la gráfica de f.
Como podrá notar al trazar el gráfico de y = 3(x - 5)2
- 2, éste interseca
al eje horizontal en dos puntos distintos. Éstos, por estar sobre el eje
horizontal, deben tener segunda coordenada igual a cero y, por tanto,
deben satisfacer la ecuación cuadrática:
3(x - 5)2
- 2 = 0
Ejemplo 5
Ejemplo 4
(4,3) (6,3)
(5,0)
654321
(4,1) (6,1)
654321
A

275. 267
Resuelva esta ecuación e indique los puntos de intercepción de la
gráfica de y = 3(x - 5)2
- 2 con el eje horizontal x (interseptos con el eje
x).
Trace el gráfico de la función cuadrática definida por la fórmula
f(x) = -x2
El gráfico de esta función se obtiene del gráfico de y = x2
multiplicando
las segundas coordenadas de los puntos de dicho gráfico por -1. Por
tanto, el gráfico de f(x) = -x2
es también una parábola con vértice en el
origen y con ramas abriéndose hacia abajo.
Puesto que f(-1) = -1 = f(1), la gráfica pasa por los puntos (-1;-1)
y (1;-1). Ubique estos puntos y trace una parábola que pase por ellos y
que tenga como vértice al punto (0;0).
Dibuje el gráfico de f(x) = -x2
+ 1. Halle el dominio y el rango o recorrido
de f.
Este gráfico lo podemos obtener trasladando el de y = -x2
una unidad
verticalmente hacia arriba. El nuevo vértice será el punto (0;1) y los
puntos (-1;-1) y (1;-1) del gráfico de y = -x2
se transforman en los puntos
(-1;0) y (1;0) del gráfico de f. Por tanto, la gráfica de f es la parábola
(figura a la izquierda) de vértice (0;1) que corta al eje horizontal en los
puntos (-1;0) y (1;0).
El rango de f está constituido por todos los valore que ella toma, es
decir, por todas las segundas coordenadas de los puntos del gráfico
de f, que, como puede verse en el gráfico, son todos los puntos entre
-∞ y 1 (segunda coordenada del vértice), es decir el intervalo (-∞;1].
Trabajo en Equipo
Para cada una de las siguientes funciones, 1) halle los intersectos
con el eje horizontal, si los hay 2) trace el gráfico, 3) halle el dominio
y el rango.
1. f(x) = -x2
+ 3
2. f(x) = -x2
+ 5
3. f(x) = -x2
+ 2
4. f(x) = x2
- 1
5. f(x) = x2
- 2
6. f(x) = x2
- 4
(0,1)
(-1,0) (1,0)
Vértice
(0,0)
(-1,-1) (1,-1)
Ejemplo 6
Ejemplo 7

276. 268
Ejercicios de cierre de la unidad
I. Gráfique las siguientes funciones y determine dominio y rango:
1. g(x) = 2 - 3x
2. h(x) = -2x + 7
3. f(x) = x3
- 1
4. m(x) = x - 3
5. m(x) = x - 3
6. y = x3
- 27
7. f(x) = -2x2
- x
8. h(x) = 1 - 2x + x2
9. h(x) = -3x2
+ 3x -6
10. z(x) = x2
- 5
II. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas auxiliándose de la fórmula general:
1. 2x2
- x - 3 = 0
2. y2
+ 6y + 10 = 0
3. y2
+ 2 = 6y
4. x2
+ x - 1 = 0
5. 9x2
- 12y + 10 = 0
6. 4x2
- 20y + 16 = 0
III. Resuelva las siguientes desigualdades y represéntelas de forma gráfica y en intervalos.
1. x + 2 < 5 + 3x
2. 2 - 6x > 8x - 3
3. 3x - 5 ≤ 6x + 3
4. 8 - 5x ≥ 3x + 4
IV. Resuelva las ecuaciones racionales.
1.
2.
3.

277. 269
A
Ángulo. La unión de dos rayos con un origen
común.
Ángulos adyacentes. Dos ángulos con un
lado y un vértice común.
Ángulos congruentes. Los ángulos que
tienen la misma medida.
Ángulos par lineal. Dos ángulos adyacentes
y suplementarios.
Ángulos par vertical. Se les denomina así a
los ángulos opuestos por el vértice, que son
ángulos que tienen un vértice común y los
lados de uno son semirrectas opuestas a los
lados del otro.
Ángulo perigonal. Es un ángulo que mide
360o
, también se le llama ángulo de un giro
B
Bisectriz. Es una recta que divide a un
ángulo en dos ángulos congruentes.
C
Clase de fracciones equivalentes. Un
conjunto de fracciones equivalentes cuyo
representante es la fracción irreducible.
Concepto primitivo. Un concepto que no
puede definirse con otros conceptos más
básicos.
Conectivo lógico. Una expresión verbal que
sirve para unir o enlazar dos proposiciones
simples.
Conjunto finito. Es un conjunto en
correspondencia con un subconjunto finito de
números naturales.
Conjunto. Es un concepto no definido o
fundamentalycomotalnoadmitedefiniciónen
términos de conceptos más fundamentales.
Conjuntos disjuntos o disyuntos. Son
conjuntos que no tienen elementos comunes.
D
Determinación de conjuntos. Un conjunto
se puede determinar de dos maneras: por
extensión o por comprensión.
Diagramas de Venn. Son ilustraciones
usadas en Matemática para representar
conjuntos y sus operaciones, usando figuras
geométricas.
Dominio de una relación. Es el conjunto
cuyos elementos son las primeras
componentes de los pares ordenados de la
relación.
E
Estudio estadístico. Es una investigación
que se hace sobre algún fenómeno de una
población, en base a datos estadísticos.
F
Fracciones complejas. Son fracciones en
las cuales el numerador, el denominador o
ambos son fracciones.
Frecuencia absoluta. Es el número de veces
que aparece en la muestra dicho valor de la
variable.
Frecuencia relativa. Es el cociente entre
la frecuencia absoluta y el tamaño de la
muestra.
G
Gráfica de un número. Es un punto en la
recta numérica o en el plano cartesiano.
sectores tal que, cada sector es proporcional
a la cantidad representada.
Glosario

278. 270
H
Histograma. Es una representación gráfica
de una variable en forma de barras.
I
Interés. Es una cantidad calculada sobre un
capital inicial y un tiempo determinado.
Intersección de conjuntos. La intersección
de dos conjuntos A y B, es el conjunto de
elementos comunes a los conjuntos A y a B.
L
La bicondicional. También se llama
equivalencia o implicación doble, es una
proposición de la forma “P si y solo si Q”, en
la cual tanto P como Q tienen que ser ambas
verdaderas o ambas falsas.
La condicional. Es una proposición
compuesta de la forma “p implica q” donde p
es el antecedente y q el consecuente.
La conjunción. Es una proposición
compuesta por dos proposiciones enlazadas
con el conectivo “y”.
La disyunción. Es una proposición
compuesta por dos proposiciones enlazadas
con el conectivo “o”.
Lógica. Es una ciencia formal y una rama de
la Filosofía que estudia los principios de la
demostración y la inferencia.
M
Magnitudes proporcionales. Son dos
magnitudes que varían proporcionalmente de
acuerdo a un valor constante.
Mediatriz. Una recta que divide a un
segmento en dos segmentos congruentes.
Medida de un ángulo. Es un número que
está en correspondencia con la abertura del
ángulo.
Medidas de tendencia central. Son valores
alrededor de los cuales se concentran los
datos de una distribución de frecuencias.
N
Notación científica. También llamada
notación índice estándar, es una manera
concisa de representar un número utilizando
potencias de base diez.
O
Ojiva. Es una gráfica asociada a una
distribución de frecuencias, en la cual se
observan los valores que están encima o
debajo de ella.
P
Pertenencia. Es la relación de “estar” entre
un elemento y un conjunto.
Población. Es el conjunto de individuos de
referencia sobre el que se realiza un estudio
estadísticos.
Postulado del área. Por cada región
poligonal y una unidad de medida, existe un
número positivo llamado la medida del área
de la región.
Promedio. Es la media aritmética de un
conjunto de valores.
Proporción. Es la igualdad de dos razones.
Proposición. Es un enunciado con un valor
de verdad: verdadero o falso.
Proposición compuesta. Es la que está
formada por dos o más proposiciones simples
enlazadas por conectivos lógicos.
Proposición simple. Es un enunciado con
un valor de verdad, que no tiene conectivos
lógicos.
R
Razón. Es el cociente de dos cantidades.

279. 271
Rectas paralelas. Son dos o más rectas
coplanares que no se interceptan.
Región poligonal. Es el conjunto de puntos
del polígono y su interior.
Relación. Es un subconjunto de un producto
cartesiano A x B formado por pares ordenados
de acuerdo a un criterio de la relación.
Relación de equivalencia. Es la relación que
cumple las propiedades reflexiva, simétrica y
transitiva.
Relación de orden. Es la relación entre los
elementos de un conjunto de acuerdo al
criterio “x es menor que y”.
S
Segmento. Es un conjunto de puntos entre
dos puntos diferentes inclusive.
Segmentos congruentes. Dos segmentos
que tienen la misma medida.
Subconjunto. Es la relación entre dos
conjuntos de acuerdo al criterio “estar en”.
T
Tablas de verdad. Es un instrumento que
refleja el valor de verdad de una proposición.
V
Valor absoluto. El valor absoluto de un
número a, es la distancia del número al cero.
Se simboliza ∣a∣.
Variable cualitativa. Son variables que
expresan distintas cualidades, características
o modalidad.
Variable cuantitativa. Son variables que se
expresan mediante cantidades numéricas.
Variable estadística. Es una característica
medible en diferentes individuos.

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