Preparador de décimo grado

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA
DE LA CANDELARIA

PREPARAD0R DE CLASES
MATEMÁTICAS

DÉCIMO GRADO

KAREN LISETT KLEVER MONTERO

2012

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE LA CANDELARIA
PROGRAMACIÓN ANUAL
DÉCIMO GRADO

PRIMER PERIODO

 Inducción de la trigonometría.
 Ángulos y triángulos, elementos y clases.
 Ángulos en posición normal.
 Sistemas de medidas angulares y conversiones.
 El triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras y sus aplicaciones.
 El triángulo rectángulo y las razones trigonométricas.

SEGUNDO PERIODO

 Aplicaciones de las razones trigonométricas.
 El triángulo oblicuo.
 El teorema del seno y del coseno y sus aplicaciones.
 Análisis y gráficas de las funciones trigonométricas.

TERCER PERIODO

 Identidades trigonométricas.
 Ecuaciones trigonométricas.
 Nociones básicas de la geometría analítica del plano cartesiano.
 Concepto de geometría analítica.
 Sistema de coordenadas cartesianas rectangulares.

CUARTO PERIODO

 La geometría analítica.
 Distancia entre dos puntos.
 La línea recta, ecuaciones, pendiente y clases.
 Las secciones cónicas: la elipse, la hipérbola, la circunferencia, la parábola.

INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE LA CANDELARIA
HORARIO DE CLASES

HORARIO DE CLASE DOCENTE

Nº HORA LUNES MARTES MIERCOLES JUEVES VIERNES

1 6:50-7:40

2 7:40-8:30 9°E 10°A 10°C 10°C

3 8:30-9:15 9°E 10°A 9°E 10°C 10°D

R E C E S O

4 9:30-10:30 10°A 10°D 8°E 10°D 10°D

5 10:20-11:15 10°C 9°E 10°B 10°A

6 11:15-12:00 10°B 9°E 10°B 10°B


Aprobada de 0° a 11° Grado de Educación en los niveles de Preescolar, Básica y Media,
Según Resolución No. 3508 de Noviembre 18 de 2004, emanada de la
Secretaría de Educación Departamental
Registro DANE: 108141000018 Nit. No. 802017032-1 ICFES: 040295

MODELO PLAN DE CLASE. VERSIÓN 2012
IDENTIFICACION

AREA MATEMATICAS ASIGNATURA TRIGONOMETRIA

NIVEL MEDIA GRADO 10° PERIODO: PRIMER

FECHA TIEMPO

DOCENTE KAREN KLEVER MONTERO

TEMATICA EVALUACION DIAGNOSTICA

LINEAMIENTOS CURRICULARES Y PEDAGOGICOS

LOGRO INTEGRAL

ESTANDAR Describir y modelar fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones
trigonométricas.
Identificar los diferentes ángulos y clasificar los triángulos de acuerdo a la
COMPETENCIA
medida de sus lados y la medida de sus ángulos.

INDICADOR DE Reconoce las clases de triángulos y determina los ángulos y los lados de los
DESEMPEÑO mismos.

PRE REQUISITOS O CONOCIMIENTOS PREVIOS

Concepto de ángulos, clasificación de los ángulos y clasificación de los triángulos.

FORMACIÓN INTELECTUAL

Saludaré al grupo, dictaré la programación a trabajar durante el año lectivo 2012,
FORMACION INICIAL se darán las pautas y metodología de trabajo, realizaré el conocimiento de los
estudiantes y los dispondré a para realizar la actividad con los conceptos que
conocen del grado inmediatamente anterior.
1. Dibuja los ángulos de acuerdo a su clasificación:
a) Recto
EVALUACION b) Agudo
DIAGNOSTICA c) Obtuso
d) Llano

2. Dibuja un triángulo rectángulo y ubícales los catetos y la hipotenusa.

3. Clasifica los siguientes triángulos de acuerdo la medida de sus lados y
la medida de sus ángulos.

Un Angulo es la abertura formada por dos semirrectas que tienen un origen en
común. El origen se llama vértice, y los lados se llaman lado inicial y lado
terminal.

Los ángulos se clasifican según la medida de la abertura que éste presente así:
FORMACIÓN
COGNITIVA RECTO: es aquel cuya medida es 90°

AGUDO: es aquel cuya medida es mayor de 0° y menor de 90°

OBTUSO: es aquel cuya medida es mayor de 90° y menor de 180°

LLANO: es aquel cuya medida es 180°

NULO: es aquel cuya medida es 0°

DE GIRO O COMPLETO: es aquel cuya medida es 360°

Para realizar la medición de ángulos se necesita el TRANSPORTADOR.

EVALUACION
CRITERIOS DE EVALUACIÓN:

Uso del transportador, pulcritud en el trabajo.

Con la utilización del transportador realiza los siguientes ángulos.

a) 30° b) 45° c)70° d)130° e) 170° f)90° g)180°

Clasifica cada uno de los ángulos anteriores.

FORMACION CONTINUADA
Practicar el uso del transportador en la realización de ángulos de las siguientes medidas y tener la claridad en la
clasificación de los mismos.

Medir los siguientes ángulos y determinar a qué clase corresponde.

METODOLOGÍA
La metodología a desarrollar es una muy participativa donde el estudiante debe ir realizando en forma práctica
las explicaciones que la docente va realizando. Los estudiantes pasaran al tablero para trazar los ángulos que se
le indiquen y todos los deben ir realizando en su cuaderno.



IDENTIFICACION



FECHA TIEMPO


TEMATICA ORIENTACION DE LOS ANGULOS Y ANGULOS EN POSICION NORMAL


LOGRO INTEGRAL

Identificar características de localización de objetos geométricos en sistemas de
ESTANDAR
representación cartesiana

COMPETENCIA

INDICADOR DE Identifica los conceptos básicos del triángulo rectángulo, plano cartesiano y
DESEMPEÑO ángulo en posición normal


El plano cartesiano, las coordenadas rectangulares, ángulos. Uso del transportador, movimientos del reloj.


Saludaré a los estudiantes y los dispondré para la clase y preguntaré los conceptos
FORMACION INICIAL
necesarios para el desarrollo de la clase.

EVALUACION Se dibujará el plano cartesiano y se ubican ciertas coordenadas para indagar si
DIAGNOSTICA conocen la ubicación en el plano.

Un ángulo está en posición normal cuando el vértice coincide con el origen de un
FORMACIÓN
sistema de coordenadas cartesianas, y su lado inicial es el semieje positivo de las
COGNITIVA
abscisas (x).

Orientación de un ángulo.

Una ángulo en posición normal es positivo cuando se formado haciendo girar el
lado terminal en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, y es
negativo cuando se forma al hacer girar el lado terminal en el sentido de las
manecillas del reloj.

Ángulos coterminales: Dos ángulos son coterminales si sus lados iniciales y
terminales coinciden respectivamente.

EVALUACION
CRITERIOS DE EVALUACIÓN: en el tablero se realizará la evaluación de la temática. Cada estudiante
trazará un ángulo en posición normal de una medida y orientación determinada y hallará el ángulo coterminal
en la orientación inversa.

Actividad del libro nuevo pensamiento matemático 10. Página 14. Ejercicio 1 puntos 1, 2 y 4.

METODOLOGÍA
El aprendizaje con la experimentación, es decir, el estudiante realizará toda la clase.



IDENTIFICACION



FECHA TIEMPO


TEMATICA SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR


LOGRO INTEGRAL

Identificar características de localización de objetos geométricos en sistemas de
ESTANDAR
representación cartesiana

COMPETENCIA

INDICADOR DE Convierte ángulos del sistema sexagesimal al cíclico y viceversa.
DESEMPEÑO


Medición de ángulos, uso del transportador y regla de conversión, igualdades.


Saludaré a los estudiantes y los dispondré para la clase y preguntaré los conceptos
FORMACION INICIAL
necesarios para el desarrollo de la clase.

EVALUACION ¿Cómo se miden los ángulos?, ¿Cuál es la unidad que conoces para medir
DIAGNOSTICA ángulos?, ¿Cuántos sistemas conoces para medir ángulos?

Los sistemas de medida angular más utilizados en la mayoría de las aplicaciones
FORMACIÓN de la trigonometría, son el sistema sexagesimal y el sistema circular.
COGNITIVA SISTEMA SEXAGESIMAL

Este sistema de medida es el más conocido ya que la unidad principal de medida

es el grado (°), el cual se define como la medida del ángulo central de una
circunferencia que subtiende un arco equivalente a 1/360 del perímetro total.

Cada grado está dividido en 60 ángulos iguales de medida 1 minuto, y a su vez
cada minuto se divide en 60 ángulos iguales de medida 1 segundo, cada uno.

Es decir: 1° = 60’ y 1’ = 60’’

Los minutos se simbolizan con una coma escrita en la parte superior (‘), y los
segundos con dos comillas (”).

Para realizar la conversión de un ángulo expresado en el sistema decimal al
sistema sexagesimal se realizan las multiplicaciones con sus respectivas
equivalencias.

Ejemplo 1: convierte 75,37° a grados, minutos y segundos

La parte entera del ángulo serán los grados y la parte decimal del mismo que
quedan en grados se multiplican con su equivalencia en minutos es decir (60’) así:

75° + (0,37)(60’)= 75° + 22,2’

Entonces la parte entera de los minutos es 22 y la parte decimal 0,2 se convierten a
segundo multiplicando por (60’’)

75° + 22’ + (0,2)(60’’) = 75° + 22’ + 12’’

Por tanto: 75,37° = 75°22’12’’.

Para realizar las conversiones del sistema sexagesimal al sistema decimal se
multiplican los minutos y segundos por sus respectivas equivalencias al grado que
son: ( )° y (

Ejemplo 2: convierte 17°47’13’’ a notación decimal.

17° + 47( )° + 13(

17° + 0.7833° + 0,0036° = 17,7869°

Para realizar conversiones entre sistema sexagesimal y sistema decima, usamos las
equivalencias:

1° = 60’ y 1’ = 60’’; 1’ = ( )° y 1’’ = (

SISTEMA CIRCULAR

En este sistema, la unidad de medida de los ángulos es el radián, que equivale a la

medida de un ángulo central de una circunferencia que subtiende un arco cuya
medida es la misma medida del radio.

Como el perímetro de la circunferencia es 2πr, entonces en la circunferencia hay
2πr / r radianes = 2π radianes

EQUIVALENCIAS ENTRE EL SISTEMA SEXAGESIMAL Y EL CIRCULAR

Puesto que una circunferencia hoy 2π radianes y además hay 360°, es posible
entonces obtener equivalencias entre los dos sistemas a partir de la igualdad

2π rad = 360°, de donde π = 180°

Para convertir en grados una medida dada en radianes, multiplicamos dicha
medida por 180° y luego la dividimos entre π. M radianes= M(180)/π grados

Ejemplo 3: expresa en grados el siguiente ángulo rad.

Como π rad = 180°, entonces rad = = 120°

Para convertir en radianes una medida dada en grados, multiplicamos dicha
medida por π y luego la dividimos entre 180°. En este caso, el valor de π puede
dejarse indicado como factor, sin necesidad de expresarlo como 3,1415…

Ejemplo 4: expresa 270° en radianes

El ángulo será 270°π rad/180° = 3π rad/2.

EVALUACION
CRITERIOS DE EVALUACIÓN: habilidad para realizar las conversiones del sistema decimal al sexagesimal
y viceversa.

Anexo 1

Actividad propuesta por el libro nuevo pensamiento matemático 10. Ejercicio 2. Página 17 puntos 1 y 2.
Ejercicio 3. Página 19 puntos 1 y 2.

METODOLOGÍA
El aprendizaje con la experimentación, es decir, el estudiante realizará toda la clase. La participación en clases
es muy importante.

TALLER SOBRE ANGULOS

NOMBRE: _________________________________________________________ 10°_____
Prof: KAREN KLEVER MONTERO FECHA: _________________________

1.- Dibuja los siguientes ángulos, identifica que clase de ángulo es:
a) 35° b) 160° c) 90° d) 250° e) 115° f) 180°

2.- Traza los siguientes ángulos en posición normal y determina en que cuadrante está ubicado.
a) -45° b) 330° c) -150° d) -200° e) 270° f) 100°

3.- Realiza la medición de los siguientes ángulos en posición normal y determina la orientación que
tienen.

4.- Expresa los siguientes ángulos del sistema sexagesimal al sistema circular
a) 350° b) 70° c) 120° d) 50° e) 200° f)145°

g) 10° h) 85° i) 260° j) 90°

7.- Expresa los siguientes ángulos del sistema circular al sistema sexagesimal
a) π rad b) π rad c) π rad d) π rad e) π rad

f) π rad g) π rad h) π rad i) π rad j) π rad

EVALUACION DE ANGULOS

NOMBRE: _________________________________________________________ 10°_____

a) 170° b) 20° c) 135° d) 55°

a) -65° b) 30° c) -220° d) 120°

3.- Convierte los siguientes ángulos al sistema sexagesimal
a) 6,39° b) 13,23° c) 36,34°

4.- Convierte los siguientes ángulos del sistema sexagesimal a notación decimal
a) 12°45’40’’ b) 79°20’30’’

a) 45° b) 140°

a) π rad b) π rad

EVALUACION DE ANGULOS

NOMBRE: _________________________________________________________ 10°_____

a) 130° b) 65° c) 145° d) 25°

a) -55° b) 40° c) -320° d) 150°

3.- Convierte los siguientes ángulos al sistema sexagesimal
a) 76,39° b) 98,53° c) 99,58°

4.- Convierte los siguientes ángulos del sistema sexagesimal a notación decimal
a) 40°25’48’’ b) 65°8’45’’

a) 80° b) 160°

a) π rad b) π rad



IDENTIFICACION

AREA MATEMATICA ASIGNATURA TRIGONOMETRIA

NIVEL MEDIA GRADO 10 PERIODO: SEGUNDO

FECHA TIEMPO


TEMATICA EL TRIANGULO RECTANGULO (TEOREMA DE PITAGORAS)


LOGRO INTEGRAL

Describir y modelar fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y
ESTANDAR
funciones trigonométricas.

COMPETENCIA

Interpreta y aplica las razones trigonométricas en diferentes situaciones y
INDICADOR DE problemas.
DESEMPEÑO Describe los elementos básicos necesarios para el desarrollo y aplicación de las
razones trigonométricas.


Identificación de los lados de triángulo rectángulo (catetos e hipotenusa). Aplicación del teorema de Pitágoras.


Saludaré a los estudiantes y los dispondré para la clase. Realizaré preguntas sobre
FORMACION INICIAL
los preconceptos para analizar cómo se encuentran en el tema.

Las preguntas serán: ¿Cuál es la característica que identifica al triángulo
EVALUACION rectángulo?
DIAGNOSTICA ¿Cómo se llaman los lados que forman el triángulo rectángulo?

Dibujaré en el tablero unos triángulos rectángulos en diferentes posiciones para

que se realice la ubicación del nombre de sus lados.

El triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto. A este tipo de triángulo
los lados reciben unos nombres que son: catetos e hipotenusa. Los catetos son los
lados que forman el ángulo recto y el lado opuesto a éste ángulo recibe por
nombre hipotenusa.

Donde, a es la hipotenusa, b y c son los catetos.

TEOREMA DE PITAGORAS

El teorema de Pitágoras sirve para hallar el valor de uno de los lados si tenemos el
valor de los otros dos. El teorema dice: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma del cuadrado de los catetos.

FORMACIÓN
COGNICITIVA

Este teorema lo utilizamos cuando deseamos hallar el valor de uno de los lados si
en la información que nos dan están los otros dos lados, se solucionan situaciones
con este teorema.

Ejemplo 1:

Tenemos el triángulo cuyos lados tienen la siguiente medida: b= 6 cm; c= 9 cm y
a= ?

a2 = b2 + c2

a 2 = 62 + 92

a2 = 36 + 81

a2 = 117

a=

a = 10,82 cm.

Cuando el lado que se va a hallar es la hipotenusa se realiza la suma de los catetos
al cuadrado, pero cuando se va a hallar es un cateto se realiza la resta de la
hipotenusa al cuadrado con el otro cateto al cuadrado.

Ejemplo 2:

C2 = a2 - b2

C2 = 122 - 102

C2 = 144 – 100

C2 = 44

C=

C = 6, 63

EVALUACION
CRITERIOS DE EVALUACIÓN: habilidad para hallar el lado desconocido de un triángulo rectángulo
mediante el teorema de Pitágoras.

Desarrollo de actividades en el cuaderno y en el tablero.

Realiza la siguiente actividad.

Halla el valor del triángulo rectángulo que hace falta utilizando el teorema de Pitágoras.

a) a= ? b= 4 c= 7
b) a= 19 b= 16 c= ?
c) a= ? b= 14 c= 10
d) a= 8 b= ? c= 6
e) a= ? b= 5 c= 8

Averiguar las razones trigonométricas.

METODOLOGÍA
El aprendizaje con la experimentación, es decir, el estudiante realizará toda la clase. La participación en clases
es muy importante.



IDENTIFICACION


NIVEL MEDIA GRADO 10° PERIODO: SEGUNDO

FECHA TIEMPO


TEMATICA LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS


LOGRO INTEGRAL

ESTANDAR

Determina las razones trigonométricas de cualquier triángulo rectángulo y las
COMPETENCIA apliquen en la solución de problemas cotidianos donde se vean involucrados este
tipo de triángulos.

INDICADOR DE Identifica las seis razones trigonométricas.
DESEMPEÑO Establece las razones trigonométricas de cualquier triángulo rectángulo.


Identificar los triángulos rectángulos y establecer las relaciones entre sus lados (catetos e hipotenusa).
Establecer que es una razón.


Saludaré al grupo y los dispondré para la clase. Revisaré el compromiso y leerán
FORMACION INICIAL lo que averiguaron sobre las razones trigonométricas, luego realizaré preguntas
sobre las lecturas.

EVALUACION Preguntaré sobre el compromiso realizado. ¿Qué es una razón trigonométrica?,
DIAGNOSTICA ¿Cuántas y cuáles son las razones trigonométricas?

RAZONES TRIGONOMETRICAS

Las razones trigonométricas son relaciones que se dan entre dos lados de un
triángulo rectángulo, una razón es un cociente es decir, una división y las
relaciones que se dan entre los lados de un triángulo rectángulo se definen a
continuación:

Dado un triángulo rectángulo CAB con A recto, entonces:

Nombre Abreviatura Razón Valores

FORMACIÓN Seno Sen C
COGNICITIVA

Coseno Cos C

Tangente Tan C

Cotangente Cot C

Secante Sec C

Cosecante Csc C

SENO es la razón trigonométrica existente entre el cateto opuesto y la
hipotenusa, el valor de esta razón debe ser menor a 1.

COSENO es la razón trigonométrica existente entre el cateto adyacente y la
hipotenusa, el valor de esta razón debe ser menor a 1

TANGENTE es la razón trigonométrico existente entre cateto opuesto y el
cateto adyacente, esta razón si puede tomar valores mayores de 1

Las razones COTANGENTE, SECANTE y COSECANTE, son razones
inversas a las anteriores.

COTANGENTE es la razón trigonométrica existente entre cateto adyacente
y el cateto opuesto, es la razón opuesta al TANGENTE

SECANTE es la razón trigonométrica existente entre la hipotenusa y el
cateto adyacente, es la razón opuesta al COSENO

COSECANTE es la razón trigonométrica existente entre la hipotenusa y el
cateto opuesto, es la razón opuesta al SENO.

Ejemplo 1

Halla las razones trigonométricas del siguiente triángulo

Lo primero que tenemos que hallar es el valor del otro cateto del triángulo
y para ello se utiliza el teorema de Pitágoras

a2 = b2 + c2

132 = 122 + c2

169 = 144 + c2

c2 = 169 – 144

c2 = 25

c=

c = 5.

Se determina sobre que ángulo agudo se hallan las razones trigonométricas
en este caso se escoge el ángulo B

Sen B = = 0,92

Cos B = = 0,38

Tan B = = 2,4

Cot B = = 0,42

Sec B = = 2,6

Csc B = = 1,08

Como en el triángulo rectángulos los ángulos agudos suman 90°, las
razones trigonométricas de un de los ángulos son complementarios

EVALUACION

CRITERIOS DE EVALUACIÓN: cumplimiento y responsabilidad con las actividades. Actitud frente
a la clase, participación dentro del salón de clases.

Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes triángulos

a) b) c)

METODOLOGÍA
La clase se desarrollará en el salón de clases donde los estudiantes trabajaran con sus implementos y en sus
cuadernos, también colocaran sus habilidades en el tablero. Primero deben hallar el valor del lado que hace
falta utilizando el teorema de Pitágoras y una vez se tengan los tres lados se hallan las seis razones
trigonométricas de cada uno de los ángulos agudos.



IDENTIFICACION



FECHA TIEMPO


TEMATICA SOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS


LOGRO INTEGRAL

ESTANDAR

Soluciona los triángulos rectángulos que se le presenten y los relaciona con formas
COMPETENCIA
y esquemas de la vida cotidiana.

Distingue el triángulo rectángulo de los otros triángulos.
INDICADOR DE
DESEMPEÑO Halla los tres lados, los tres ángulos, el perímetro y el área de cualquier triángulo
rectángulo.


Conocer el triángulo rectángulo, distinguir de éste los lados con sus respectivos nombres (catetos e hipotenusa),
los ángulos. Procedimiento para hallar el perímetro y el área.


Saludaré a los estudiantes y los dispondré para la clase. Revisaré el compromiso
FORMACION INICIAL
anterior que se refería a la utilización del teorema de Pitágoras.

Preguntaré las características que tiene un triángulo rectángulo, como: ¿Qué
EVALUACION característica tiene este triángulo?, ¿Cómo se llaman los lados del triángulo
DIAGNOSTICA rectángulo?, ¿Qué procedimiento se utiliza cuando se tienen dos lados en un
triangulo rectángulo?, ¿Cómo se halla el perímetro de cualquier figura? Y ¿Cuál

es la fórmula para hallar el área de un triángulo?

Para solucionar un triángulo rectángulo, se deben conocer los tres lados, los
tres ángulos, el perímetro y el área.

Cuando se va a solucionar un triángulo rectángulo se deben dar tres datos,
éstos pueden ser dos lados y un ángulo o dos ángulos y un lado. Siempre se
debe dar al menos un lado para poder solucionar un triángulo rectángulo.

El procedimiento para solucionar un triángulo rectángulo es el siguiente.

En el triángulo rectángulo nos dan dos lados y un ángulo

Los lados dados son los catetos del triángulo, para hallar el otro lado se
FORMACIÓN utiliza el teorema de Pitágoras.
COGNICITIVA
a2 = b2 + c2

a 2 = 62 + 92

a2 = 36 + 81

a2 = 117

a=

a = 10,82 cm.

Los tres lados del triángulo son: 6 cm, 9 cm y 10,82 cm

Para averiguar los ángulos donde se conoce el ángulo recto se trabaja con
las razones trigonométricas. Asi:

Tan B=

Tan B = 0,6666666667

B = tan-1 0,66666666667

B = 33,69°

Conociendo dos ángulos y sabiendo que la suma de los tres ángulos es 180°
se procede asi.

A + B + C = 180°

90° + 33,69° + C = 180°

123,69° + C = 180°

C = 180° - 123,69°

C = 56,31°

Los tres ángulos del triángulo rectángulo son: 90°, 33,69° y 56,31°.

Para determinar el perímetro del triángulo rectángulo se suman los tres
lados que lo conforman y se obtiene que:

P = 6 cm + 9 cm + 10,82 cm

P = 25,82 cm

El área se halla utilizando la siguiente fórmula: A =

A=

A=

A = 27 cm2

Cuando el triángulo que nos dan tiene dos ángulos y un lado

El procedimiento cambia un poco, pues lo primero que se halla es el valor
del otro ángulo teniendo en cuenta que la suma de los tres es 180°.

A + B + C = 180°

90° + 52° + C = 180°

142° + C = 180°

C = 180° - 142°

C = 38°

Los tres ángulos son: 90°, 52° y 38°

Una vez se tengan los tres ángulos se hallan los lados que nos hacen falta
utilizando las razones trigonométricas.

Tan 52° =

b = 5 cm . tan 52°

b= 6,4 cm.

Como ya se tienen dos lados se utiliza el teorema de Pitágoras para hallar el
valor que nos falta (hipotenusa)

a2 = (6,4 cm)2 + (5 cm)2

a2 = 40,96 cm2 + 25 cm2

a2 = 65,96 cm2

a=

a = 8,1 cm.

Los tres lados son: 5 cm, 6,4 cm y 8,1 cm

El perímetro del triángulo se determina con la suma de los tres lados, asi:

P = 5 cm + 6,4 cm + 8,1 cm

P = 19,5 cm

El área se halla utilizando la siguiente fórmula: A =

A=

A=

A = 16 cm2

EVALUACION
CRITERIOS DE EVALUACIÓN: habilidad para el desarrollo de la actividad. La participación en
clases y la realización en el cuaderno. Manejo y utilización de la calculadora.

Desarrolla la siguiente actividad

Soluciona los siguientes triángulos rectángulos (tres lados, 3 ángulos, perímetro y área

METODOLOGÍA
La clase se explicará de manera general a todos los estudiantes, paso por paso para hallar la solución de los
triángulos de esta clase. Los estudiantes por su parte deben atender cuidadosamente las explicaciones porque
seguidamente se procederá a plantear ejercicios para que sean los estudiantes los que hallen la solución de los
mismos.



IDENTIFICACION



FECHA TIEMPO


TEMATICA SOLUCION DE PROBLEMAS


LOGRO INTEGRAL

ESTANDAR

Soluciona problemas de aplicación utilizando las razones trigonométricas y coloca
COMPETENCIA en práctica las cuatro etapas para la resolver problemas para facilitar el
procedimiento en la solución.

Utiliza las cuatro etapas para solucionar los problemas planteados.
INDICADOR DE
DESEMPEÑO Realiza el diagrama o esquema de la situación planteada y determina los datos y la
incógnita para darle solución.


Conocer las razones trigonométricas, reconocer los triángulos rectángulos en los esquemas o dibujos.


Saludaré a los estudiantes y los dispondré para la clase y escogeré a varios
FORMACION INICIAL
estudiantes para que realicen los ejercicios del compromiso en el tablero.

Realizaré varias preguntas para que tengan una panorámica de lo que van a
EVALUACION realizar en la clase ¿Qué elementos debe tener una situación para ser resuelta?,
DIAGNOSTICA ¿Cuál es la metodología que utilizan para resolver un problema?, ¿Cuándo
terminan de solucionar un problema, realizan la comprobación de la respuesta

obtenida?

SOLUCION DE PROBLEMAS

Cuando nos enfrentamos a una situación problema de la cual se debe dar
una respuesta o solución se recomienda seguir cuatro etapas que garantizan
resolver el problema de manera eficiente. Las etapas para solucionar
problemas se mencionan a continuación:

1.- COMPRENDER EL ENUNCIADO

En esta etapa se busca que el estudiante lea y comprenda todo lo que tiene
el enunciado del problema, se deben seguir las siguiente consideraciones:

Leer atentamente el problema
Determinar los datos (información que suministra el problema).
Determinar la incógnita (la pregunta o lo que se va a averiguar).
Hacer un diagrama o esquema de la situación.
Colocar los datos y la incógnita en el dibujo.

2.- CONCEBIR UN PLAN

FORMACIÓN Esta etapa busca establecer un plan para solucionar el problema, se
COGNICITIVA recomienda lo siguiente:

Establecer que parte del triángulo rectángulo nos dan y que parte piden.
Determinar la razón trigonométrica que relaciona los datos y la
incógnita.
Estimar la respuesta

3.- EJECUTAR EL PLAN

En esta etapa se hace efectivo el plan trazado en la etapa anterior.

Explicar cada paso de la solución.
Realizar en forma ordenada el procedimiento de solución.

4.- VERIFICAR LA RESPUESTA OBTENIDA

Esta etapa es la última y en ella se busca que el estudiante no se quede con
la respuesta que le dio en la etapa anterior sino que verifique o compruebe
que la respuesta es posible.

Revisar cada uno de los pasos para comprobar la veracidad de la
respuesta.

Verificar si la respuesta estimada es correcta.

Ejemplo 1

Un edificio proyecta una sombra de 62 m. cuando el ángulo de elevación
del sol es de 37º. Calcula la altura del edificio.

1.- etapa

Datos: sombra que proyecta el edificio 62 m. el ángulo de elevación 37°

Incógnita: la atura del edificio.

Diagrama con los datos y la incógnita

2.- etapa.

Nos dan el cateto adyacente 62 m y el ángulo de elevación 37°.

Nos piden el cateto opuesto

La razón trigonométrica que relaciona los dos catetos es la tangente.

3.- etapa.

Tan 37° =

x = 62 m . tan 37°

x = 46,72 m

4. Etapa.

La respuesta es el edificio tiene una altura de 46,72 m. es coherente porque
un edificio puede tener esa altura.

Ejemplo 2.

A 50 m de la base de un edificio se observa la base de la chimenea con un
ángulo de elevación de 56º y el punto más alto de la chimenea se observa
con un ángulo de elevación de 64º. Calcular la longitud de la chimenea.

1.- etapa.

Datos: distancia entre el observador y la base del edificio. Angulo de
elevación hasta la base de la chimenea 56°; ángulo de elevación hasta el
punto más alto de la chimenea 64°.

Incógnita: calcular la longitud de la chimenea.

2.- etapa.

Dan el cateto adyacente (50 m) de ambos triángulos. Los ángulos

Piden la diferencia entre el cateto opuesto de un triángulo y el otro
triángulo. La altura de la chimenea.

La razón trigonométrica que relaciona el cateto opuesto con el cateto
adyacente es la tangente, y se debe utilizar dos veces con cada uno de los
ángulos.

3.- etapa

Tan 56° =

x = 50 m . tan 56°

x = 74,13 m

Tan 64° =

y = 50 m . tan 64°

y = 102,51 m

La chimenea tiene una longitud que resulta de restar y – x, entonces,

102, 51 m – 74,13 m = 28,38 m.

4.- etapa

Respuesta: la longitud de la chimenea es de 28,38 m.

La chimenea tiene una longitud de 28,38 m y esto si es posible para una
edificación tan alta.

EVALUACION
CRITERIOS DE EVALUACIÓN: disposición para trabajar en la clase. Habilidad para desarrollar los
problemas propuestos. orden y creatividad en los dibujos o esquemas realizados.

a) Desde un punto situado a 25 m. arriba en un faro se observa una pequeña embarcación con un
ángulo de depresión de 40º. Calcula la distancia, al pie del faro, a que se encuentra la
embarcación.

b) Un cable de 36 m. de longitud sostiene una antena de la parte superior. Si el cable forma una
ángulo de 52º con la horizontal. Calcula la altura de la antena.

c) Dos aviones parten de un mismo punto; el primero hacia el norte con velocidad de 468 km/h
y el segundo hacia el este con velocidad de 538 km/h. Después de dos horas, ¿a qué
distancia se encuentra uno del otro?

d) Una estatua de 8.9 m de altura se sitúa sobre un pedestal. Si desde un sitio a 48 m. del pie del
pedestal se observa el extremo superior de la estatua con un ángulo de elevación de 26º, ¿Cuál
es la altura del pedestal?

e) El servicio de bomberos posee una escalera de 40 m de longitud. El ángulo máximo que se
puede emplear por seguridad de los bomberos es de 73º medido sobre la horizontal. Calcula la

altura máxima que se puede atender con la escalera.

f) Un avión que vuela a 1800 m de altura se observa desde una pequeña isla con un ángulo de
elevación de 20º. Calcula la distancia horizontalmente medida que hay desde la isla hasta el
punto directamente debajo del avión

g) Calcula la altura de la estatua:

METODOLOGÍA
Al iniciar la clase se hará la explicación para la resolución de problemas dando las cuatro etapas y
desarrollando unos problemas aplicándolas. Luego se propondrán unos problemas para que sean los estudiantes
los que los desarrollen en sus cuadernos y se pasaran a algunos al tablero para que hagan etapa por etapa.



IDENTIFICACION



FECHA TIEMPO


TEMATICA ACTIVIDAD SOBRE SOLUCION DE PROBLEMAS


LOGRO INTEGRAL

ESTANDAR

Soluciona problemas de aplicación utilizando las razones trigonométricas y coloca
COMPETENCIA en práctica las cuatro etapas para la resolver problemas para facilitar el

INDICADOR DE
DESEMPEÑO Realiza el diagrama o esquema de la situación planteada y determina los datos y la
incógnita para darle solución.


Conocer las razones trigonométricas, reconocer los triángulos rectángulos en los esquemas o dibujos.


Saludaré a los estudiantes y los dispondré para la clase realizando preguntas sobre
FORMACION INICIAL cada una de las etapas para solucionar problemas, ¿Cuál de los problemas
propuestos fue el más complicado?

EVALUACION Revisaré los problemas que se habían propuesto en la clase anterior. Pasarán al
DIAGNOSTICA tablero para resolverlos.

Desarrollo de los problemas propuestos

1.- Desde un punto situado a 25 m. arriba en un faro se observa una
pequeña embarcación con un ángulo de depresión de 40º. Calcula la
distancia, al pie del faro, a que se encuentra la embarcación.
Datos: altura del faro 25 m, angulo de depresión 40°
Incógnita: distancia entre el pie del faro y la embarcación.
Dibujo o esquema:

FORMACIÓN
COGNICITIVA

Dan el cateto adyacente y el ángulo. Piden el cateto opuesto.

La razón trigonométrica que relaciona los dos catetos es la tangente

Tan 40° =

a = 25 m . tan 40°

a = 20,98 m

respuesta: la distancia entre el pie del faro y la embarcación es de 20,98 m

2.- Un cable de 36 m. de longitud sostiene una antena de la parte superior.
Si el cable forma una ángulo de 52º con la horizontal. Calcula la altura de
la antena.
Datos: longitud del cable 36 m, ángulo con la horizontal 52°.
Incógnita: la altura de la antena
Diagrama.

Dan la hipotenusa 36 m y el ángulo 52° y piden el cateto opuesto.

La razón trigonométrica que relaciona el cateto opuesto y la hipotenusa es
el seno.

Sen 52° =

x = 36 m . sen 52°

x = 28,37 m

Respuesta: la altura de la antena es de 28,37 m.

Calcula la altura de la estatua:

Datos: distancia entre el observador y la base de la estatua 25 m. el ángulo
de elevación hasta la parte superior del pedestal 36° y la parte superior de la
estatua 62°.

Incógnita: la altura de la estatua.

Dan el cateto adyacente en cada uno de los triángulos y los ángulos. Piden
la diferencia entre los catetos opuestos de los triángulos.

La razón trigonométrica que relaciona los catetos es la tangente.

Tan 36° =

x = 25 m . tan 36°

x = 18,16 m

Tan 62° =

y = 25 m . tan 62°

y = 47,02 m

La altura de la estatua resulta de restar y – x, entonces,

47,02 m – 18,16 m = 28,86 m.

La altura de la estatua 28,86 m.

EVALUACION
CRITERIOS DE EVALUACIÓN: participación de los estudiantes frente a la clase. Orden y
disciplina.

Prepararse para una evaluación sobre la solución de triángulos rectángulos y resolver problemas de aplicación.
Para trabajar en las vacaciones se propone el desarrollo de la página 35 del libro Matemática 2000 10°.

METODOLOGÍA
Repasar las cuatro etapas de solucionar problemas. Se pedirá el cuaderno de los estudiantes que pasan al tablero
para resolver los problemas que habían quedado de compromiso.


EVALUACION DE MATEMATICAS

NOMBRE: ____________________________________________ CURSO: ________

Prof. KAREN KLEVER MONTERO FECHA: ________________

1.- Soluciona los siguientes triángulos rectángulos (3 lados, 3 ángulos, perímetro y el área):

2.- Soluciona el siguiente problema (utiliza las cuatro etapas para la solución)

El servicio de bomberos posee una escalera de 35 m de longitud. El ángulo máximo que se
puede emplear por seguridad de los bomberos es de 70º medido sobre la horizontal. Calcula
la altura máxima que se puede atender con la escalera.



NOMBRE: ____________________________________________ CURSO: ________




Un cable de 36 m. de longitud sostiene una antena de la parte superior. Si el cable forma
una ángulo de 52º con la horizontal. Calcula la altura de la antena.



NOMBRE: ____________________________________________ CURSO: ________




Desde un punto situado a 25 m. arriba en un faro se observa una pequeña embarcación con
un ángulo de depresión de 40º. Calcula la distancia, al pie del faro, a que se encuentra la
embarcación.



NOMBRE: ____________________________________________ CURSO: ________




Desde un punto situado a 15 mts. Arriba en un árbol, se observa un conejo con un ángulo
de depresión de 25º. Calcula la distancia, al pie del árbol, a que se encuentra el conejo.



IDENTIFICACION


NIVEL MEDIA GRADO 10° PERIODO: TERCER

FECHA TIEMPO


TEMATICA TEOREMA DEL SENO


LOGRO INTEGRAL

ESTANDAR

Soluciona problemas de aplicación utilizando el teorema del seno y coloca en
COMPETENCIA práctica las cuatro etapas para la resolver problemas para facilitar el

INDICADOR DE
DESEMPEÑO Aplica correctamente el teorema del seno para resolver triángulos que no son
rectángulos


Distinguir los triángulos que no son rectángulos para trabajar el teorema.


Saludaré a los estudiantes y los dispondré para la clase, en principio preguntaré las
FORMACION INICIAL
características de los triángulos, las clases de triángulos.

De acuerdo a las respuestas de los estudiantes en las preguntas sobre ¿Cuáles son
EVALUACION
las clases de triángulos según la medida de sus lados?, ¿Cómo se clasifican los
DIAGNOSTICA
triángulos según las medidas de sus ángulos?, realización de los esquemas.

SOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS

Los triángulos oblicuángulos son aquellos que no son rectángulos. En la
resolución de estos triángulos necesitamos algunos teoremas básicos para
dicho proceso. Tales teoremas son: el teorema del seno y el teorema del
coseno, los cuales estudiaremos a continuación:

TEOREMA DEL SENO

En un triángulo cualquiera las longitudes de sus lados son proporcionales a
los senos de los ángulos opuestos.

Para darle solución a un triángulo oblicuángulo se debe tener un lado y dos
ángulos o dos lados y un ángulo.

Ejemplo 1.

Dado el triángulo ABC, calcula los elementos restantes. A = 60°, B = 45° y
FORMACIÓN a = 4 cm.
COGNICITIVA

Primero se halla el valor del ángulo que hace falta, recordando que la suma
de los tres ángulos es 180°

60° + 45° + C = 180°

105° + C = 180°

C = 180° - 105°

C = 75°

Aplicamos el teorema del seno

b=

b=

b = 3,266

nuevamente aplicamos el teorema del seno para calcular el lado c

c=

c=

c = 4,46.

PROBLEMA

Por defecto en la construcción, una pared forma un ángulo de 80° con el
piso. A una determinada hora del día el ángulo de inclinación de los rayos
del sol es de 40°. Encuentra la longitud de la pared si a esa hora proyecta
una sombra de 5 m

Datos: ángulo de inclinación de la pared y el suelo 80°, ángulo de
inclinación de los rayos del sol 40°, proyección de la sombra 5m

Incógnita: la altura de la pared.

Falta el ángulo M que se halla con la suma de los tres ángulos igual a 180°

80° + 40° + C = 180°

120° + C = 180°

C = 180° - 120°

C = 60°

Una vez con el ángulo M, se trabaja el teorema del seno

c=

c=

c = 3,71 m

la altura de la pared es de 3,71 m.

EVALUACION
CRITERIOS DE EVALUACIÓN: Disposición para el trabajo. Puntualidad y disciplina en las clases.
Desempeño en las actividades propuestas.

Actividad propuesta en el libro Nuevo pensamiento matemático 10. Pag. 60. Ejercicio 13. Puntos 1 y 2.

METODOLOGÍA
Trabajaré con los estudiantes de manera que sean ellos los que averigüen la temática y desarrollen inicialmente
la clase y sólo aclararé dudas.



IDENTIFICACION

AREA MATEMATICA ASIGNATURA TRIGONOMETRIA

NIVEL MEDIA GRADO 10° PERIODO: TERCER

FECHA TIEMPO


TEMATICA TEOREMA DEL COSENO


LOGRO INTEGRAL

ESTANDAR

Soluciona problemas de aplicación utilizando el teorema del coseno y coloca en
COMPETENCIA práctica las cuatro etapas para la resolver problemas para facilitar el

INDICADOR DE
DESEMPEÑO Aplica correctamente el teorema del coseno para resolver triángulos que no son
rectángulos


Distinguir los triángulos que no son rectángulos para trabajar el teorema.


Saludaré a los estudiantes y los dispondré para la clase. Revisaré el compromiso
FORMACION INICIAL
de la clase anterior.

De acuerdo a las respuestas de los estudiantes en las preguntas sobre ¿Cuáles son
EVALUACION
las clases de triángulos según la medida de sus lados?, ¿Cómo se clasifican los
DIAGNOSTICA
triángulos según las medidas de sus ángulos?, realización de los esquemas.

TEOREMA DEL COSENO

En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma
de los cuadrados de las longitudes de los otros dos, menos el doble
producto de ellas, por el coseno del ángulo que forman dichos lados.

Para el triángulo ABC se cumple:

a2 = b2 + c2 – 2Cos A

b2 = a2 + c2 – 2Cos B

c2 = a2 + b2 – 2Cos C
Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y
otro B, situado al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60º. Sabiendo
FORMACIÓN
que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros del pueblo A y a
COGNICITIVA
4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B.

Hagamos primero un esquema de la situación. Sería así:

El ángulo debajo del globo es de 110º porque si trazáramos una
perpendicular desde el globo al suelo, a la izquierda tendríamos 50º y a la
derecha 60º (por cierto, también nos podrían preguntar la altura a la que
está el globo; usaríamos entonces el teorema de la altura).

Aquí tendremos que usar el teorema del coseno, porque el ángulo que
conocemos es el que forman los dos lados de los cuales tenemos su

longitud.

d2 = 62 + 42 – 2(6)(4)·cos110º

d2 = 36 + 16 – 2(6)(4)·cos110º

d2 = 52 – 48·(-0,34)

d2 = 52 + 16,32

d = 8,27Km

La distancia entre los dos pueblos es de 8,27 Km.

EVALUACION
CRITERIOS DE EVALUACIÓN: Disposición para el trabajo. Puntualidad y disciplina en las clases.
Desempeño en las actividades propuestas

Actividad del libro Nuevo pensamiento matemático 10. Pág. 64. Ejercicio 14 puntos 1 y 3.

METODOLOGÍA
Trabajaré con los estudiantes de manera que sean ellos los que averigüen la temática y desarrollen inicialmente
la clase y sólo aclararé dudas.

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE LA CANDELARIA
ASIGNATURA: Trigonometría AREA: Matemáticas
GRADO: DECIMO
TEMA: TALLER DE REPASO
FECHA: ________________________________

ESTÁNDAR: Describir y modelar fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones
trigonométricas.

INDICADOR: Reconoce las clases de triángulos y determina los ángulos y los lados de los mismos.

FORMACION INICIAL: saludaré al grupo, dictaré la programación a trabajar durante el año
lectivo 2012, se darán las pautas y metodología de trabajo, realizaré el conocimiento de los
estudiantes y los dispondré a para realizar la actividad con los conceptos que conocen del grado
inmediatamente anterior.

FORMACION VOLUTIVA Y AFECTIVA: se valorará la actitud que el estudiante presente
durante el desarrollo de la actividad.

TRIGONOMETRIA

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la
medición de los triángulos". Deriva de los términos griegos τριγωνο trigōno triángulo y
μετρον metron medida.1

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno,
coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en
las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren
medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el
caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en
astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre
puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

La trigonometría es la rama de las matemáticas que se encarga de calcular los elementos
de los triángulos. Para esto se encarga de estudiar las relaciones entre los ángulos y los
lados de los triángulos.

Esta especialidad interviene en diversas áreas de las matemáticas que requieren medidas de
precisión. La trigonometría, de todas formas, cuenta con una amplia variedad de
aplicaciones. Permite, por ejemplo, medir las distancias entre puntos geográficos o entre las
estrellas a partir de técnicas de triangulación. La trigonometría también se aplica en los
sistemas de navegación satelital.

Existen tres unidades que emplea la trigonometría para la medición de ángulos: el radián
(considerada como la unidad angular natural de la trigonometría, establece que una
circunferencia completa puede dividirse en 2 pi radianes), el gradián o grado centesimal
(que divide la circunferencia en 400 grados centesimales) y el grado sexagesimal (divide
la circunferencia en 360 grados sexagesimales).

Las principales razones trigonométricas son tres: el seno (la razón entre el cateto opuesto
sobre la hipotenusa), el coseno (la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa) y la
tangente (la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente).

Las razones trigonométricas recíprocas, por otra parte, son la cosecante (la razón recíproca
del seno), la secante (la razón recíproca del coseno) y la cotangente (la razón recíproca de
la tangente).

Se conoce como identidad trigonométrica a la igualdad que involucra a funciones
trigonométricas y que resultan verificables para cualquier valor de las variables (los ángulos
sobre los que se aplican las funciones).

Preparador de décimo grado

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