Texto del estudiante de 7 básico matematica

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN PROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN
Básico
7
Daniela Bravo Valdivia • David Romero Durán
Tomo 1
MATEMÁTICA
GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE

Daniela Bravo Valdivia
Licenciada en Educación Matemática y Computación
Profesora de Estado en Matemática y Computación
Magíster en Didáctica de las Matemáticas
David Romero Durán
Licenciado en Educación
Profesor de Educación General Básica con mención en Matemática
Magister en dirección y liderazgo para la gestión educacional
MATEMÁTICA
GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE
7
º
básico
TOMO 1

Esta Guía didáctica corresponde al Séptimo año de educación básica y ha sido elaborado
conforme al Decreto Supremo N° 614/2013, del Ministerio de Educación de Chile.
©2019 – SM S.A. – Coyancura 2283 piso 2 – Providencia
ISBN: 978-956-363-728-1 / Depósito legal: 309749
Se terminó de imprimir esta edición de 7.518 ejemplares en el mes de noviembre del año
2021. Impreso en Chile, por A Impresores.
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del “Copyri-
ght”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra
por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento infor-
mático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
Dirección editorial
Arlette Sandoval Espinoza
Coordinación área Matemática
Carla Frigerio Cortés
Edición
Catalina Manosalva Iturriaga
Ayudante de edición
PatriciaVidal Oyarzo
Autoría
Daniela BravoValdivia
David Romero Durán
Solucionario
Daniela Arce Soto
PatriciaVidal Oyarzo
Asesoría pedagógica
Johanna Camacho González
Corrección de estilo y pruebas
Víctor Navas Flores
Dirección de arte
Carmen Gloria Robles Sepúlveda
Coordinación de diseño
Gabriela de la Fuente Garfias
Diseño y diagramación
Karina Riquelme Riquelme
Diseño de portada
Estudio SM
En el desarrollo de la Guía didáctica del docente de Matemática 7, participó el
siguiente equipo:
En este texto se utilizaron las
siguientes familias tipográficas:
Palatino, Helvetica, Aspira Nar
En este libro se utilizan de manera
inclusiva términos como “los niños”, “los
padres”, “los hijos”, “los apoderados”,
“los profesores” y otros que refieren a
hombres y mujeres.
De acuerdo con la norma de la Real
Academia Española, el uso del masculino
se basa en su condición de término
genérico, no marcado en la oposición
masculino/femenino; por ello se emplea
el masculino para aludir conjuntamente
a ambos sexos, con independencia del
número de individuos de cada sexo que
formen parte del conjunto. Este uso
evita además la saturación gráfica de
otras fórmulas, que puede dificultar la
comprensión de lectura y limitar la fluidez
de lo expresado.
Fotografía
Archivo fotográfico SM
Shutterstock
Gestión derechos
Loreto Ríos Melo
Jefatura de producción
Andrea Carrasco Zavala

Índice
Tomo I
Organización Guía Didáctica.................................................. 4
Índice Texto del estudiante.................................................... 6
Unidad 1: Números.............................................................. 8
Planificación semestral.......................................................... 8
Orientaciones y estrategias ................................................ 10
Actividades complementarias.............................................. 74
Evaluaciones........................................................................ 85
Cuaderno de actividades...................................................... 94
Unidad 2: Álgebra y funciones....................................... 112
Planificación semestral...................................................... 112
Orientaciones y estrategias .............................................. 114
Actividades complementarias............................................ 152
Evaluaciones...................................................................... 157
Cuaderno de actividades.................................................... 163
Solucionarios...................................................................... 173
Bibliografia......................................................................... 176
Tomo II
Índice Texto del estudiante................................................ 180
Unidad 3: Geometría........................................................ 182
Evaluaciones...................................................................... 265
Unidad 4: Probabilidad y estadística............................. 294
Evaluaciones...................................................................... 347
Solucionarios...................................................................... 365
Bibliografia......................................................................... 368

Organización Guía didáctica
Los componentes de la propuesta editorial: Texto del Estudiante (TE), Guía
Didáctica del Docente (GDD) y Cuaderno de actividades (CA) se articulan a partir
de un hilo conductor que cruza los distintos momentos didácticos y establece una
secuencia y progresión que da cuenta de los Objetivos de Aprendizaje (OA) y
responde a sus respectivos Indicadores de Evaluación (IE).
Desarrollo Cierre
Inicio
Unidad 1 - Números
Lección 1: Números enteros
Lección 2: Adición y sustracción
en ℤ
Lección 3: Números decimales
Lección 4: Fracciones
Lección 5: Porcentajes
Lección 6: Potencias
Unidad 2 - Álgebra y funciones
Lección 7: Expresiones algebraicas
Lección 8: Relaciones
proporcionales
Lección 9: Ecuaciones e
inecuaciones
Unidad 3 - Geometría
Lección 10: Polígonos
Lección 11: Área de polígonos
Lección 12: Círculo y circunferencia
Lección 13: Posición y
desplazamiento
Lección 14: Rectas y congruencia
Lección 15: Elementos notables
del triángulo
Se organiza que son:
Unidades
que están construidas
en base a tres momentos
didácticos:
Unidad 4 - Probabilidad y
estadística
Lección 16: Organización y
representación de datos
Lección 17: Medidas de tendencia
central
Lección 18: Probabilidad
4

Para dar cuenta de los OA, las habilidades y las actitudes, en el modelo didáctico del
Texto y de la GDD, se proponen las siguientes instancias:
Instancias para la
motivación y activación de
los aprendizajes previos y el
establecimiento de metas y
estrategias.
Actividades que complementan el trabajo realizado
en el Texto del Estudiante.
Actividades que
apoyan el desarrollo
e integración de los
contenidos, habilidades y
actitudes.
Actividades de síntesis,
aplicación y consolidación de las
habilidades y los aprendizajes
adquiridos y revisión de las
metas y estrategias.
Actividades digitales
complementarias a los
contenidos.
Desde
la Guía
Desde el
Texto
Desde el
Cuaderno de
actividades
• Ideas previas → Microactividades y preguntas
para iniciar la clase.
• Errores frecuentes → Sección cuyo objetivo
es identificar, enfrentar y prevenir errores
frecuentes de los estudiantes.
• Propósito y recomendaciones → Sugerencias
didácticas y metodológicas para enfrentar las
actividades propuestas en el TE.
• Ritmos y estilos de aprendizaje → Describe
actividades para distintos estilos y ritmos de
aprendizaje.
• Ambientes de aprendizaje → Orientaciones
para construir ambientes de aprendizaje
adecuados (manejo de grupos, instrucciones,
relaciones interpersonales, metas, etc.).
• Profundizaciones y variaciones → Conceptos
y actividades de profundización de los
conceptos del nivel.
• Preguntas de calidad → Preguntas para
orientar a los estudiantes en el razonamiento
matemático, planteamiento y verificación de
conjeturas, justificación y cuestionamiento de
ideas tanto propias como de sus pares, entre
otras.
• Conceptos especiales → Aborda temáticas
y conceptos del nivel que requieran un
tratamiento especial o que representen un
cambio importante en lo que se ha trabajado
en los niveles anteriores.
• Herramientas digitales → Guía las actividades
que impliquen el uso de herramientas digitales
y sugiere recursos digitales para estudiantes y
para docentes.
• Actividades complementarias
• Evaluaciones
• Solucionarios
• Bibliografía
5

Índice Texto del Estudiante
Activo lo que sé............................................................ 10
Lección 1: Números enteros...................................11
Tema 1: Números enteros (ℤ)..................................11
Tema 2: Valor absoluto............................................. 14
Tema 3: Orden y comparación en ℤ......................16
Antes de continuar................................................... 18
Lección 2: Adición y sustracción en ℤ............... 19
Tema 1: Adición en ℤ.................................................19
Tema 2: Sustracciones en ℤ.................................... 23
Tema 3: Ejercicios combinados
y aplicaciones en ℤ................................... 27
Antes de continuar...................................................29
Lección 3: Números decimales............................ 30
Tema 1: Multiplicación y división
de números decimales.............................30
Tema 2: Equivalencia entre
decimales y fracciones..............................34
Lección 4: Fracciones............................................38
Tema 1: Multiplicación de fracciones...................38
Tema 2: División de fracciones...............................42
Tema 3: Operaciones combinadas.......................46
Lección 5: Porcentajes..........................................49
Tema 1: Representación de porcentajes..............49
Tema 2: Cálculo de porcentaje............................... 52
Tema 3: Resolución de problemas
que impliquen porcentajes......................56
Lección 6: Potencias.............................................59
Tema 1: Potencias de base y
exponente natural.....................................59
Tema 2: Descomposición de un número
utilizando potencias..................................62
Tema 3: Notación científica.....................................64
Síntesis ............................................................................68
Repaso..............................................................................69
¿Qué aprendí?...............................................................70
Activo lo que sé............................................................ 74
Lección 7: Lenguaje algebraico ..........................75
Tema 1: Lenguaje algebraico.................................. 75
Tema 2: Expresiones algebraicas.......................... 78
Tema 3: Valorización de expresiones
algebraicas..................................................80
Tema 4: Reducción de expresiones
algebraicas..................................................82
Lección 8: Relaciones proporcionales.............85
Tema 1: Razones y proporciones...........................85
Tema 2: Proporcionalidad directa.........................88
Tema 3: Proporcionalidad inversa.........................92
Tema 4: Aplicaciones de
proporcionalidad........................................96
Lección 9: Ecuaciones e inecuaciones............99
Tema 1: Ecuaciones...................................................99
Tema 2: Inecuaciones.............................................102
Antes de continuar.................................................105
Síntesis...........................................................................106
Repaso............................................................................107
¿Qué aprendí?....................................................... 108
Presentación del texto..................................................3
1 Números ........................................8
2 Álgebra
y funciones ................................72
6

Activo lo que sé...........................................................112
Lección 10: Polígonos............................................ 113
Tema 1: Polígonos....................................................113
Tema 2: Ángulos en polígonos.............................116
Antes de continuar..................................................119
Lección 11: Área de polígonos......................... 120
Tema 1: Área de paralelogramos.........................120
Tema 2: Área de triángulos...................................124
Tema 3: Área de trapecios.....................................128
Antes de continuar..................................................131
Lección 12: Círculo y circunferencia.................. 132
Tema 1: Círculo y circunferencia.......................... 132
Tema 2: Perímetro del círculo...............................134
Tema 3: Área del círculo........................................138
Tema 4: Área de figuras compuestas.................142
Lección 13: Posición y desplazamiento........... 146
Tema 1: Plano cartesiano.......................................146
Tema 2: Vectores......................................................150
Antes de continuar................................................. 152
Lección 14: Rectas y congruencia...................... 153
Tema 1: Rectas paralelas y
perpendiculares....................................... 153
Tema 2: Segmentos y figuras
congruentes.............................................. 156
Lección 15: Elementos notables
del triángulo......................................... 160
Tema 1: Simetral o mediatriz................................160
Tema 2: Bisectriz......................................................164
Tema 3: Alturas........................................................168
Tema 4: Transversal de gravedad....................... 172
Síntesis........................................................................... 176
Repaso.............................................................................177
¿Qué aprendí?............................................................. 178
Activo lo que sé..........................................................182
Lección 16: Organización y representación
de datos............................................... 183
Tema 1: Población y muestra................................183
Tema 2: Tablas de frecuencia...............................186
Tema 3: Uso de gráficos........................................190
Tema 4: Encuestas...................................................196
Lección 17: Medidas de tendencia central.... 199
Tema 1: Media aritmética y rango.......................199
Tema 2: Moda...........................................................202
Tema 3: Mediana...................................................204
Tema 4: Aplicaciones de medidas de
tendencia central.....................................206
Lección 18: Probabilidad....................................... 209
Tema 1: Experimentos aleatorios........................209
Tema 2: Probabilidades y
frecuencia relativa.....................................211
Tema 3: Cálculo de probabilidades....................214
Tema 4: Comparación de probabilidades.........218
Síntesis...........................................................................222
Repaso............................................................................223
¿Qué aprendí?.............................................................224
Glosario.............................................................................226
Solucionario.....................................................................228
Bibliografía y sitios web...............................................256
3 Geometría ................................110
4 Probabilidad
y estadística ...........................180
7

Planificación semestral
8
Unidad 1: Números
OA ejes
temáticos
OA
habilidades
Tiempo
evaluación
Indicadores
Evaluación diagnóstica
L1:
Números
enteros
(11
h)
OA 1 OA d Para
concluir
Antes de
continuar
·
· Relacionan cantidades de la vida diaria con números enteros.
·
· Comprenden la construcción de ℤ por operatoria en N.
·
· Definen el concepto de valor absoluto y lo aplican.Representan
números positivos y negativos en escalas.
·
· Comparan enteros utilizando recta numérica y de forma simbólica.
L2:
Adición
y
sustracción
en
Z
(10
h)
OA 1 OA a
OA m
OA h
OA j
Para
concluir
Antes de
continuar
·
· Representan (COPISI) la adición y sustracción de enteros.
·
· Distinguen entre el signo del número y el símbolo de la adición o la
sustracción.
·
· Definen las distintas propiedades de la adición en Z y aplican las
propiedades descritas en ejercicios de adición en Z.
·
· Resuelven problemas de adiciones de números enteros mediante
propiedades.
·
· Resuelven ejercicios combinados respetando la prioridad.
·
· Resuelven problemas de manera mental y algebraica.
L3:
Números
decimales
(7
h)
OA 2 OA a
OA c
Para
concluir
Antes de
continuar
·
· Establecen la relación entre la multiplicación de un número decimal
(fracción) por un número natural.
·
· Representan concretamente la división por un número decimal y
descubren la “regla” de división entre decimales.
·
· Descubren el efecto que tienen los factores 10, 100 y 1000 en la
multiplicación y la división de números decimales.
·
· Representan números decimales finitos como fracciones y viceversa
de forma concreta, pictórica y simbólica.
L4:
Fracciones
(8
h)
OA2
OA3
OA k
OA m
OA d
Para
concluir
Antes de
continuar
·
· Explican la regla de la multiplicación de fracciones.
·
· Aplican la regla en multiplicación y división de fracciones en
ejercicios rutinarios.
·
· Representan la división de una fracción por otra fracción con material
concreto o en la recta numérica.
·
· Comprenden y utilizan el concepto de inverso multiplicativo en la
división de fracciones.
·
· Utilizan diferentes metáforas para describir la división de fracciones
·
· Resuelven problemas que involucran la división de números
decimales o la multiplicación de fracciones.
·
· Crean problemas que se modelan y se resuelven con operaciones
matemáticas en el ámbito de números enteros y fracciones.
·
· Identifican procedimientos de la vida diaria con operaciones.
L5:
Porcentaje
(8
h)
OA4 OA k Para
concluir
Antes de
continuar
·
· Calculan el porcentaje de un número, en ejercicios y problemas.
·
· Relacionan porcentajes conocidos con sus respectivas divisiones.
·
· Calculan mentalmente el porcentaje de un valor, aplicando la
estrategia de la división o de la multiplicación.
·
· Resuelven problemas que involucran porcentajes en la vida.
L6:
Potencias
(16
h)
OA5 OA d Para
concluir
Antes de
continuar
·
· Representan (COPISI) potencias de base 10.
·
· Reconocen potencias como productos de factores iguales,
identificando la base y el exponente.
·
· Representan potencias de base 10 en ℕ y viceversa.
·
· Descomponen números en potencias de base 10.
·
· Identifican los valores posicionales del sistema decimal como
potencias y completan tablas posicionales.
·
· Describen la relación entre los números escritos en sistema
métrico decimal y su notación científica.
·
· Resuelven problemas que involucran notación científica.
Evaluación final
OA Actitudes OA A, OA C, OA D
Tiempo estimado: 60 horas pedagógicas

9
OA ejes
temáticos
OA
habilidades
Tiempo
evaluación
Indicadores
L3:
Números
hasta
100
(15
h)
OA6
OA7
OA d
OA h
Para concluir
Antes de
continuar
·
· Representan patrones de manera pictórica y simbólica.
·
· Relacionan expresiones algebraicas con patrones dados.
·
· Expresan patrones geométricos con términos algebraicos
relacionando con puntos y gráficas en el plano cartesiano.
·
· Relacionan expresiones del lenguaje natural con términos
algebraicos.
·
· Representan (COPISI) expresiones algebraicas.
·
· Resuelven problemas de la vida cotidiana con ecuaciones.
·
· Representan la adición y sustracción de variables por la unión y
la separación de símbolos pictóricos.
·
· Representan la conmutatividad y asociatividad de la adición en
forma concreta o pictórica.
·
· Reducen expresiones algebraicas en perímetros de figuras
geométricas.
·
· Aplican la conmutatividad y la asociatividad de la adición para
reducir expresiones algebraicas.
L8:
Relaciones
proporcionales
(15
h)
OA8 OA f
OA l
OA b
Para concluir
Antes de
continuar
·
· Definen el concepto de razón y proporción.
·
· Comprenden y aplican la propiedad fundamental de las
proporciones.
·
· Reconocen cambios en la vida cotidiana que se desarrollan en
forma directamente o inversamente proporcional.
·
· Completan y elaboran tablas de proporcionalidad directa o
inversa.
·
· Confeccionan gráficos que pertenecen a proporcionalidad
directa o inversa.
·
· Reconocen el significado de constante de proporcionalidad.
·
· Explican la diferencia entre proporcionalidad directa e inversa.
·
· Reconocen la proporcionalidad directa e inversa en tablas de
valores, gráficos y situaciones reales.
·
· Resuelven problemas mediante la proporcionalidad
correspondiente.
L9:
Ecuaciones
e
inecuaciones
(22
h)
OA9 OA e
OA i
OA j
Para concluir
Antes de
continuar
·
· Representan transformaciones equivalentes mediante modelos
concretos de balanzas: agregar o sacar objetos.
·
· Resuelven ecuaciones e inecuaciones en ejercicios rutinarios,
aplicando transformaciones equivalentes.
·
· Modelan situaciones de la vida diaria con ecuaciones de la
forma ax = b o x/a = b, a ≠ 0.
·
· Modelan situaciones de la vida diaria con inecuaciones de la
forma ax < b; ax > b; x/a < b; x/a > b, a ≠ b, a≠0.
·
· Representan la solución de las ecuaciones o inecuaciones en la
recta numérica.
·
· Resuelven problemas de la vida cotidiana con ecuaciones e
inecuaciones.
Evaluación final
OA Actitudes OA C, OA E, OA F
Unidad 2: Álgebra y funciones
Tiempo estimado: 54 horas pedagógicas

Orientaciones
y estrategias
10
Propósito y recomendaciones
Presentación de la unidad
Las actividades mostradas en este inicio de unidad corresponden a una mues-
tra del uso de los números en muchísimos contextos, como el street art. El
hilo conductor de esta unidad es el eje de números. Las secciones y lecciones
están organizadas de acuerdo a la ampliación de los conjuntos numéricos, ya
que, hasta sexto básico los y las estudiantes han trabajado solo con números
naturales, fracciones y decimales.
Este año los estudiantes ampliarán el ámbito numérico conocido y con ello
extenderán las operaciones de adición y sustracción, haciendo que esta última
cumpla la propiedad de clausura en este nuevo conjunto numérico.
Unidad 1: Números
Inicio
Herramientas digitales
En la página 8 se presenta el código
T20M7BP008A que contiene un video
de la creación del mural Selk’nam de
Alapinta. Es importante que a medi-
da que los estudiantes vayan viendo
el video, usted pueda guiarlos en la
historia de los Selk’nam en Chile por
si no comprendieran alguna de las
imágenes del mural.

Texto del estudiante
11
Además, en esta unidad, se profundizará en la operatoria con fracciones y
decimales, haciendo el nexo entre las fracciones decimales y su representa-
ción decimal. Luego se trabaja la división y multiplicación con estos núme-
ros, para finalizar en el uso y aplicación.
Los estudiantes profundizarán también sobre los porcentajes, incluyendo su
utilización en la vida cotidiana.
Para finalizar, los estudiantes comprenderán el uso de las potencias de base
10 y exponente natural, para expresar cantidades muy grandes, y el uso de
la notación científica.
Preguntas de calidad
Comience la primera unidad del año
con preguntas que insten a los estu-
diantes a recordar lo conocimientos
adquiridos en años anteriores, por
ejemplo:
• ¿Qué tipo de números conocen?
¿Con cuáles de esos números
pueden realizar operaciones?
• ¿Conocen algunas propiedades
de operaciones en los números
naturales?
• ¿En qué contextos utilizas los
números naturales?
números decimales?
números fraccionarios?
• Sugiere situaciones o contextos
en el que se utilicen distintos
tipos de números.
A muchos estudiantes podría intere-
sarles la creación de estos murales.
Invítelos a ver un video de la crea-
ción del Museo a Cielo Abierto de
la comuna de San Miguel. Para ello,
ingresar en www.enlacesmineduc.cl
e ingresar el código G20M7BP011A

12
En esta evaluación se proponen distintas actividades construidas conside-
rando los requerimientos y prerrequisitos de los contenidos a tratar en la
unidad 1 correspondiente al eje Números.
Si lo considera pertinente y necesario, complemente estas actividades con
otras correspondientes a:
• Números naturales y sus operaciones.
• Números decimales y sus operaciones.
• Adición y sustracción de fracciones.
• Porcentajes.
Unidad 1
Complemente las preguntas de la
sección Reflexiono con las siguientes:
• ¿Cómo lo has hecho?
• ¿Qué estrategias has usado
para resolver las actividades
propuestas?
• ¿Qué dificultades has encontrado
en el desarrollo de las activida-
des? ¿Cómo las has resuelto?
Ambientes de aprendizaje
Terminada la evaluación indique a
sus estudiantes formar grupos de
trabajo e invítelos a discutir sobre
sus fortalezas y debilidades referen-
tes a los contenidos previos. Guíelos
a construir un plan de mejora para
reforzar los contenidos que fueron
clasificados como debilidades.

13
Proponga la siguiente actividad:
1. Lean el texto:
Miguel vive en el 5° piso de su edificio. Durante el verano tiene proble-
mas en la mañana, ya que la temperatura en su departamento alcanza los
30 °C. Como no tolera el calor, retirará $25 000 de su cuenta de ahorro para
comprar un ventilador en una tienda que se encuentra en el segundo sub-
terráneo del centro comercial.
a. Cambien cada número que aparezca por el inverso aditivo.
b. Compartan cómo les quedó el relato. ¿Cómo cambió el sentido?
Lección 1: Números
enteros
Tema: Números enteros ℤ
Para realizar los juegos o actividades
sugeridas, se recomienda armar pa-
rejas de fichas que sean los inversos
aditivos y colocarlas en una bolsa.
Cada estudiante saca una ficha y, sin
mostrarla, buscará al compañero que
tenga su inverso aditivo: los dos tra-
bajarán juntos durante toda la clase.
Esta actividad puede ser útil para
enseñar, practicar y repasar expresio-
nes como las siguientes: ¿qué núme-
ro tienes?, ¿cuánto suman los dos?,
¿cuántas unidades los separan del 0?,
¿a qué lado del cero te encuentras?
1. Luego de responder las pregun-
tas que aparecen en la actividad
1 de la página 11, pregunte a sus
estudiantes: ¿qué representa una
temperatura de 0 °C? La inten-
ción de la pregunta es que com-
prendan que dicho número no
siempre representa la ausencia
de algo, sino que también puede
ser una referencia. En el caso de
las temperaturas, el 0 se conside-
ra como un referente: en ningún
caso significará que no hay regis-
tro de la temperatura, o bien que
no hace frío ni calor. Resignificar
el 0 como un referente permitirá
comprender de mejor manera la
ubicación de estos números en la
recta numérica.
2. Una vez entregada la definición
de inverso aditivo, pregunte a sus
estudiantes: ¿es posible que –x sea
un número positivo? Compartan
sus respuestas fundamentando
paso a paso su proceder.

14
Como actividad complementaria a las de la página 12, se puede plantear la
siguiente, que sirve para que los estudiantes vean que, con diferentes referen-
tes, sus respuestas varían y de ello depende el signo del número que están
buscando.
Situación: Alturas2

Anotar las estaturas de todos los compañeros. Tomar la altura del más alto
como el origen y situar todas las otras ordenadamente en una recta graduada.
En el lugar correspondiente a la estatura de cada compañero escribir la dife-
rencia de estatura con respecto al más alto
Ideas previas
Una manera de introducir el conjun-
to de números enteros consiste en
preguntar a los estudiantes: ¿tiene
solución en los números naturales la
ecuación x + 1 = 0? Si bien es impor-
tante que sus estudiantes trabajen de
forma contextualizada los números
enteros, en particular los negativos,
también lo es saber que su existen-
cia es producto de la necesidad de la
misma disciplina de resolver ecua-
ciones como la antes señalada.
Fuente: Cid, E. (2003). La investigación didáctica
sobre los números enteros: estado de la cuestión.
Disponible en: https://www.researchgate.net/
publication/318903779_Propuesta_didactica_
para_la_ensenanza_de_los_numeros_enteros
Siguiendo con esta misma idea, es re-
comendable incluir más ecuaciones,
por ejemplo x + 2 = 0; x + 3 = 0, etc.,
para definir el inverso aditivo de la
siguiente manera: Si n es cualquier
número, –n es aquel que sumado a
n da cero, y para cada n, es único. Al
nuevo número –n se le llama inverso
aditivo de n. En general: n + –n = 0 y
–n + n = 0.
Temáticas y
conceptos especiales
Es importante que sus estudiantes
comprendan los números enteros
(positivos y negativos) por medio de
metáforas o haciendo alusión a si-
tuaciones de la vida. La utilidad del
huso horario es una de ellas. Tam-
bién se puede explicar la existencia
de estas dualidades como lo hicie-
ron los chinos utilizando el ying y el
yang, lo que les permitía entender los
números positivos y negativos como
opuestos, lo cual facilitaría poste-
riormente su cálculo. Así lo hacían
notar cuando jugaban con fichas de
color rojo (ying ↔ negativo) y negro
(yang ↔ positivo), donde se eviden-
ciaba que al haber más fichas ying
que yang ganaba lo negativo, pues
estas fichas eliminaban a todas las
positivas.

15
Repetir lo mismo tomando como origen:
• La estatura del más bajo.
• La del que se encuentra en la mitad
• La de cualquier compañero que no se encuentre en ninguno de los tres
casos anteriores.
Errores frecuentes
Es usual que los estudiantes constru-
yan la recta numérica de los enteros
escribiendo los números de izquier-
da a derecha, tal como se construye
la recta de los naturales, es decir:
–1 –2 –3 –4 0 1 2 3 4
… …
Esto se puede subsanar construyen-
do la recta con la definición de in-
verso aditivo. En otras palabras, si
n es un número entero a la derecha
del 0, entonces –n será el número a
la izquierda del 0, tal que el largo del
segmento entre ese número y 0 sea
n (–n es así un punto simétrico de n
con respecto al cero).
–a 0 a
a a
Fuente: Lewin, R., López, A., Martínez, S.,
Rojas, D. y Zanocco, P. (2013). Números para
futuros profesores de Educación Básica.
Santiago: SM.
De este modo, se obtiene la recta nu-
mérica completa.
Punto de origen
(punto cero)
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
R
Semirecta 2
(Sentido positivo)
Punto
unidad
Semirecta 1
(Sentido negativo)
…
…A’ 4 A’ 3 A’ 2 A’ 1 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5
A
Fuente: Segovia, I. y Rico, L. (2011). Matemáticas
para maestros de Educación Primaria. Madrid:
Pirámide.

16
Antes de responder la actividad 2 de la página 14, invite a sus estudiantes a
desarrollar las siguientes actividades:
Representa en la recta numérica los siguientes valores absolutos:
a. |5|
b. |–9|
c. |0|
d. –|–8|
Para complementar las actividades de la página 15, realice las siguientes
preguntas:
Tema: Valor absoluto
Para reforzar la definición de valor
absoluto de la página 14, realice la si-
guiente pregunta a sus estudiantes:
Si a es un número negativo, ¿es cierto
que |a| = –a? Explica y ejemplifica.
Luego de la actividad 3 de la página
15 y para reforzar los conceptos de
inverso aditivo y valor absoluto, pre-
guntar a los estudiantes:
a. Si a = –5, ¿cuál es el valor de
a +|a|−|−a|?
b. ¿Qué valor debe tener x en la ex-
presión |x – 2| = 5 para que dicha
igualdad se cumpla? Explica tus
procedimientos.

17
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica todas
tus respuestas.
a. El valor absoluto de –4 es mayor que el valor absoluto de –2.
b. El valor absoluto de 19 es menor que el valor absoluto de -19.
c. No es cierto que no existe el valor absoluto de un número negativo.
d. Mientras más a la izquierda se encuentre un número del cero, menor será
su valor absoluto.
Ritmos y estilos
de aprendizajes
Para los estudiantes más visua-
les, se sugieren preguntas como las
siguientes:
c. Dibuja las unidades (o pasos) que
separan a cada número del cero
en la recta numérica.
–3 0
4
0
d. Completa con los datos que faltan
en cada recta.
0
0
Para los estudiantes más rápidos, se
recomienda la siguiente actividad:
Dibuja en la recta numérica los nú-
meros que cumplan las condiciones
que se detallan.
i. Su valor absoluto es 2.
ii. Su valor absoluto es menor
que 5.
iii. Su valor absoluto es mayor
que 8.
iv. Su valor absoluto es menor
que 20 y mayor que 12.
Para reforzar las actividades de la
página 15, con los códigos G20M7B-
P017A y G20M7BP017B tendrá acce-
so a dos páginas de internet en que
los estudiantes deben calcular el va-
lor absoluto de diferentes expresio-
nes en un determinado tiempo.

18
Al tratar estas páginas con sus estudiante, considere que uno de los errores
frecuentes que cometen a la hora de comparar números negativos consiste
en homologar el procedimiento que realizan con los números naturales o con
los enteros positivos. La recta numérica es uno de los recursos que se pueden
utilizar para evidenciar que un número es mayor o menor que otro, pero
también se puede hacer uso de diversas situaciones, por ejemplo, deudas y
haberes: si alguien debe una cantidad, aunque esta tenga un valor absoluto
mayor, no deja de ser deuda.
Para complementar las actividades de la página 17 y afianzar el aprendizaje
de los contenidos vistos hasta el momento de números enteros, valor absolu-
Tema:
Orden y comparación en ℤ
Ritmos y estilos
de aprendizajes
Al término de la actividad 2 de la
página 16, y para los estudiantes que
evidencian dificultades aún en ubi-
car los números en la recta numérica
para compararlos, se recomienda la
siguiente actividad:
Presente el siguiente laberinto a sus
estudiantes y pídales que busquen
una ruta desde la entrada hasta la sa-
lida. La condición es que cada núme-
ro que se escoja, siguiendo la línea,
debe ser mayor que el anterior.
Entrada
Salida
–1
–11
–12
–2
–4
–6 –9
–8
–5
–3
–7
1
3
–20
Después de la actividad 3 de la pági-
na 17 y para los estudiantes más que
evidencien mejor comprensión de los
contenidos, proponga la siguiente
actividad:
Sean a, b, c y d números enteros ubi-
cados en la recta numérica, tales que
a se encuentra dos unidades a la de-
recha de b, d está ubicado una uni-
dad al lado izquierdo de b, c se ubica
una unidad al lado derecho de a y b
se encuentra una unidad a la izquier-
da del cero. ¿Cuál es la ubicación de
cada número en la recta numérica y
cuál es su orden desde el mayor al
menor?

19
to y orden y comparación de enteros, realice las siguientes preguntas a sus
estudiantes:
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tus
respuestas de manera gráfica y simbólica.
a. Sabiendo que a y b son enteros y que b – a < 0, entonces siempre se cumple
que a > b.
b. Si p es un número entero, – (p – 1) es el entero antecesor de p.
c. Si t + 3 es el sucesor del número 10, entonces el sucesor de t es 8.
d. El antecesor de –16 es menor que el sucesor de –20.
Procedimientos y algoritmos
Para que la información entregada
no solo quede en algo visual, es im-
portante que los estudiantes verbali-
cen y escriban lo que observan. Por
ello, se recomienda lo siguiente para
el procedimiento mostrado en el ejer-
cicio 3 de la página 17:
Redacta el paso a paso del procedi-
miento mostrado en el ejercicio 3 de
la página 17 y explica el porqué de la
conclusión obtenida.
Para complementar las actividades
de la página 17 y profundizar en los
contenidos de valor absoluto y orden
y comparación de enteros, proponga
las siguientes preguntas:
a. Dados los números enteros
a = |−8|, b = −−3|, c = |0| y
d = −(−|−2|), ¿cuál es el orden
creciente de ellos?
b. Si a > b, ¿cuál es el signo de
|b − a|? Ejemplifica.
Temáticas y
conceptos esenciales
La recta numérica no siempre fue
como la conocemos hoy. En un ini-
cio, puesto que los números nega-
tivos carecían de significado, eran
considerados números absurdos y
no se los colocaban en la misma recta
numérica que los números naturales,
sino que en una semirrecta en senti-
do opuesto y paralela a la que incluía
los números naturales. Ello, porque
se pensaba que se trataba de núme-
ros de distinta naturaleza.
Fuente: Cid. E. (s/f). Obstáculos epistemológi-
cos en la enseñanza de los números negativos.
Departamento de Matemática, Universidad de
Zaragoza. Disponible en: www.ugr.es/~jgodi-
no/siidm/cangas/Negativos.pdf

20
Evaluación intermedia
Lección 1
Es importante que los alumnos
aprendan a planificar su tiempo para
realizar sus tareas de manera efecti-
va. Para ello, pídales que hagan una
lista de los pasos que deben realizar
y que asignen un tiempo para cada
uno, de manera que logren terminar-
la. Pregúntenles: ¿A qué creen que
deberían asignar más tiempo? ¿Por
qué? ¿En qué creen que se demora-
rán menos?
Puede completar esta evaluación
intermedia con preguntas referen-
tes al valor absoluto de un número,
pidiéndoles que determinen distin-
tas distancias en el patio o en la sala
de clases, escribiéndolas como valor
absoluto en diferentes carteles, por
ejemplo, que peguen en la sala la
medida del largo y ancho de la piza-
rra un cartel que diga: “el ancho de la
pizarra mide |xx| cm”
Pídales a los alumnos que evalúen
su desempeño en las actividades de
acuerdo a las siguientes preguntas
metacognitivas:
• ¿ Q u é a p r e n d í c o n e s t a s
actividades?
• ¿Cuál fue mi actitud frente a las
actividades?
• ¿Cómo puedo evaluar mi resulta-
do? ¿Por qué?
• ¿Qué puedo mejorar la próxi-
ma vez que haga una actividad
similar?
El propósito de las actividades 1 y 2 es que los estudiantes puedan identi-
ficar los números positivos y negativos en distintos contextos, incluyendo
deudas y ganancias, ubicaciones en edificios, alzas o caídas en el ambiente
comercial, temperaturas y años cronológicos, dado que principalmente,
trabajaron con altitudes durante la lección. Así, se les presenta un abanico
más amplio de la utilización de estos números en la vida cotidiana y que
el número constituye solo una representación de la información que que-
remos entregar.

21
Lección 2: Adición y
sustracción en ℤ
Tema: Adición en ℤ
Puede trabajar el tema de adición
de enteros en grupos de estudian-
tes, pues es sabido que el trabajo en
equipos aporta numerosos beneficios
y ventajas para ellos, toda vez que la
interacción entre estudiantes activa
los procesos mentales (comprensión,
pensamiento crítico, razonamiento,
etc.), genera relaciones positivas y
mejora las relaciones sociales e inter-
personales, entre otros aspectos.
Fuente: https://www.galilei-
project.com/2018/10/30/
beneficios-de-trabajar-en-equipo-en-las-aulas/
Para ello, puede armar los grupos
con la siguiente actividad:
Busca tu otra mitad 1: Para esta ac-
tividad debe preparar tarjetas con
sinónimos y antónimos, refranes
partidos en dos, conceptos y defini-
ciones, operaciones y resultados, etc.
Cada estudiante deberá juntarse con
su pareja correspondiente. Si quiere
que el grupo sea más grande, siga la
dinámica y agrúpelos proponiendo
categorías más generales.
1 Actividad extraída de http://blog.tiching.
com/7-dinamicas-para-formar-grupos/
1. Responde las siguientes pregun-
tas relacionadas con el procedi-
miento de las páginas 19 y 20.
a. ¿Qué representa el –3 en la
información entregada?, ¿y el
9? ¿Por qué están ubicados en
distinta posición?
b. ¿Qué concepto matemático
permite realizar lo descrito en
el paso 3? Explica.
c. ¿Qué sucede al sumar un nú-
mero positivo y uno negativo?
¿Qué operación realizas?
Comience planteando una situación en la que deban realizar una suma de
naturales, por ejemplo: Juan compró 4 sacos de sal y Rocío, 7 sacos. ¿Cuán-
tos sacos de sal compraron en total entre los dos? Solicite a sus estudiantes
que representen la situación en la recta numérica, que la verbalicen y que
escriban el procedimiento efectuado. Luego, continúe con la actividad 1
de la página 19 y pídales que la resuelvan en la recta numérica también
antes de mirar el paso a paso descrito en el Texto del estudiante. Pregunte
si hubo algún cambio respecto del procedimiento inicial y a qué se debe. La
idea es enfrentarlos a la situación nueva y permitirles la reflexión y análisis
antes de conocer otro método de resolución (fichas de colores).

22
Errores frecuentes
Por lo general, los estudiantes suelen
confundir las generalidades para su-
mar enteros con las generalidades de
la multiplicación de enteros cuando
abordan este procedimiento. De ahí
la importancia del recurso de la recta
numérica para evitar estos errores.
Fuente: Cid, E. (2001). Los modelos concretos
en la enseñanza de los números negativos.
Pre-publicaciones del Seminario Matemático, (31).
En el paso 3 descrito en la página
20, al cancelar los cubos asociando
uno negativo con uno positivo, ¿qué
número estás representando? ¿Por
qué? ¿Se puede representar de otra
forma?, ¿cuál?
Es importante que favorezca en sus
estudiantes la reflexión y verbaliza-
ción sobre lo que están observando
y que luego deben replicar, para que
no se transforme solo en algo mecá-
nico que están repitiendo, sino que
se convierta en un hacer con sentido
y significado. Por lo mismo, se pro-
pone esta actividad para el ejercicio
3 de la página 21:
Explica el procedimiento del ejercicio
3 de la página 21 e indica cómo se
relaciona este con lo realizado con las
fichas en la página 19.
Una vez finalizada la actividad 5 de
la página 21, formule las siguientes
preguntas que permiten el análi-
sis y discusión en la sala de clases:
¿Cuál es el signo del resultado que
se obtiene al sumar un número ne-
gativo con otro positivo?, ¿y tres nú-
meros? ¿Sucederá lo mismo si sumo
4 o más números positivos y nega-
tivos? Comprueba tu respuesta con
las fichas.
Para reforzar la adición de enteros y potenciar el pensamiento reversible en
sus estudiantes, luego de la actividad 2 de la página 20, utilizando el siguien-
te cuadrado, solicite que respondan las preguntas a continuación.
2 –3 4
3 1 –1
–2 5 0

23
Ritmos y estilos
de aprendizajes
Para quienes responden con más ra-
pidez, puede proponer un juego que
les permitirá afianzar los contenidos
vistos.
En este juego se utilizan dos da-
dos y una tabla con los números
del –12 al 12. La actividad consis-
te en lanzar los dados y sumarlos
utilizando los signos que con-
venga para asignarse el valor de
uno de los casilleros que forman
la tabla. Pueden hacer uso de una
recta numérica para corroborar
los resultados. Si los casilleros ya
están ocupados, se debe ceder el
turno al siguiente participante.
Gana quien haya conseguido más
casilleros del tablero.
–12 –11 –10 –9 –8 –7
–6 –5 –4 –3 –2 –1
0
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
A quienes tienen problemas con re-
plicar lo que se muestra en el ejem-
plo de la actividad 6, página 21, o
bien que se confunden aún con el
signo del resultado final, sugiérales
resolver dichos ejercicios utilizando
una tabla. En el lado izquierdo de la
tabla, coloque solo los negativos y en
el derecho, solo los positivos. Luego,
sume ambas columnas y reste los re-
sultados obtenidos. El signo de este
corresponderá al del número con
mayor valor absoluto. Es decir, con
el ejemplo –15 + (–3) + 6 + (–1), tene-
mos la siguiente tabla:
– +
+
15
3
1
6
19 6 19 – 6 = 13
Pero como 19 > 6, entonces el re-
sultado es –13, porque 19 está en
la columna de los negativos.
a. ¿Cuánto suma cada fila y cada columna?
b. Si sumas 9 a cada número, ¿qué cuadrado obtienes? Dibújalo.
c. ¿Cuánto suma cada fila y cada columna de este nuevo cuadrado?
d. A partir del inicial, encuentra otro cuadrado en que cada fila y columna
sumen –12.

24
Ideas previas
Comience la página 22 pidiendo a
sus estudiantes que expliquen cómo
resolverían el siguiente ejercicio:
(–4) + 8 + (–6) + 6 + (–2)
Seguramente, muchos de ellos lo
resolverán agrupando los números
negativos y luego los positivos. De-
téngase en ese punto y explique que
la adición tiene ciertas propiedades
que permiten realizar estas agrupa-
ciones y que el conocimiento de ellas
nos asegura resolver correctamente
el ejercicio.
Con el código G20M7BP024A tendrá
acceso a distintos ejercicios interacti-
vos con números enteros. Aparece un
recordatorio de cada operación con
enteros y luego un link con ejercicios
que se van desarrollando de a uno y
cuyas respuestas se verifican.
Temáticas y
El uso de vectores no es arbitrario
a la hora de representar adiciones y
sustracciones de enteros en la recta
numérica. Con ellos la idea de des-
plazamiento se hace más evidente y,
de esta forma, los estudiantes entien-
den o al menos logran recordar o dar
sentido a las adiciones de dos enteros
de igual o distinto signo. El uso de
la recta numérica para operar sirve
como un modelo gráfico, lo cual per-
mite que los estudiantes puedan re-
construir las “reglas o regularidades”
de la adición de enteros dejando de
lado la memorización. Cuando los
estudiantes ya se encuentren fami-
liarizados con el procedimiento, se
recomienda reemplazar la ubicación
del primer sumando por un punto,
en lugar de una flecha, y desde ahí
realizar el desplazamiento que indi-
que el segundo sumando.
Para que sus estudiantes observen el uso de las propiedades de la adición y
las puedan identificar, solicíteles que resuelvan los problemas de la página
22 de dos maneras distintas e indiquen la propiedad que están aplicando
en cada caso. También, los puede motivar para que inventen alguna si-
tuación en la que se visualice el inverso aditivo y el elemento neutro. Por
último, puede plantear la siguiente actividad, en la que deben mencionar
la propiedad que se emplea en cada paso para resolver el ejercicio:
–12 + 5 + (–3) + (–4) + 9

25
Tema: Sustracción en ℤ
Ideas previas
Para una mejor comprensión del
algoritmo explicado con las fichas
y tablero en las páginas 23 y 24, es
recomendable que demuestre a sus
estudiantes la consistencia de este
método con su idea intuitiva de res-
tar, es decir, quitando cosas. Para
ello, realice unas cuantas restas cuyo
resultado sea positivo. Por ejemplo,
hacer las diferencias en el tablero 7
– 4, 10 – 8,..., etc., y comparar estos
resultados con los obtenidos usando
simple sustracción. Luego, pídales
que resuelvan las sumas 7 + (–4), 10
+ (–8), etc., y que comparen los resul-
tados obtenidos en la resta 7 – 4 y en
la suma 7 + (–4), por ejemplo. De esta
manera, sus estudiantes podrán re-
conocer inmediatamente la siguiente
propiedad de los números enteros:
x – n = x + (–n)
Es decir, la operación de restarle n a
x es equivalente a la suma de x y –n.
También se puede deducir fácilmente
que el negativo de –n es n. Con esto
podemos ahora restar un número ne-
gativo a un entero cualquiera, usan-
do la relación x – (–n) = x + n
En otras palabras, cuando a un ente-
ro x se le resta otro entero negativo
–n, entonces colocamos n fichas en el
lado derecho.
Fuente: Rivero, F. (s.f.) Una representación
semiótica para construir los números enteros.
Departamento de Matemáticas. Universidad de
Los Andes. Venezuela. Disponible en http://
docplayer.es/42648107-Francisco-rivero-men-
doza-departamento-de-matematicas-facul-
tad-de-ciencias-universidad-de-los-andes-meri-
da-venezuela.html
Se recomienda que, antes de comenzar con el trabajo de la actividad inicial,
verifique que todos los estudiantes puedan acceder a corroborar el ejercicio
resuelto con su propio material concreto. Si no cuentan con ello, agrupe a
los estudiantes en tantos grupos como materiales se cuente.

26
Errores frecuentes
Por lo general, los estudiantes sue-
len aplicar las reglas de la adición
a la sustracción sin expresar el sus-
traendo como el opuesto aditivo del
número correspondiente, por ejem-
plo: (–5) – (–6) = (–11). El uso de la
recta numérica en este caso puede
ayudar a evitar este error entre sus
estudiantes.
Ritmos y estilos
de aprendizajes
A quienes aún les cueste resolver con
números o que les sea más complejo
identificar lo que se realiza al restar
en la recta numérica, pídales que
escriban el paso a paso del procedi-
miento mostrado en el ejercicio 3 de
la página 24 del Texto del estudiante.
Luego, siguiendo esos pasos, invíte-
los a resolver los ejercicios sugeridos
en la misma actividad.
A quienes son más rápidos proponga
una actividad en que tengan que re-
solver distintas restas para descifrar
un mensaje secreto. Puede guiarse
por el juego que aparece ingresando
el código G20M7BP027A.
Para motivar a sus estudiantes y para
reforzar los contenidos previos, pue-
de utilizar el video de las aventuras
de Troncho y Poncho, en el cual, a
través de dibujos animados espa-
ñoles, se explica la construcción de
enteros y las operaciones de estos
números. (Use G20M7BP025A)
Para el ejercicio 2 de la página 24
del Texto del estudiante, pregunte:
¿qué significa una variación negati-
va?, ¿qué significa una variación po-
sitiva?, ¿es posible obtener 0 como
variación?
Como actividades complementarias a las de la página 25, sugiera la resolu-
ción de los siguientes problemas.
a. Un clavadista se lanza desde una plataforma ubicada a 20 metros de
altura y se sumerge a una profundidad de 5 metros. ¿Cuál es la distan-
cia entre el punto de lanzamiento y el de mayor profundidad alcanza-
da por el clavadista?

27
de la página 26 del Texto del estu-
diante, se sugiere la implementación
del juego “Sustracción de números
enteros con cartas”, al que podrá ac-
ceder ingresando el código G20M7B-
P028A. En la página de Internet
sugerida, aparecen las instrucciones
y materiales del juego, donde tam-
bién se le da la posibilidad al docente
de realizar las variaciones que estime
pertinente.
Para continuar con las preguntas
del ejercicio 6 de la página 25, y con
la idea trabajar aún más el análisis,
la discusión y el planteamiento de
ideas o conjeturas, puede sugerir la
siguiente pregunta: ¿el cero cum-
ple con ser el elemento neutro de
la sustracción de números enteros?
Ejemplifica.
b. Gabriel compró unos cubos. El cubo azul baja la temperatura del
agua en que se sumerge en 1 °C cada cinco minutos y el cubo rojo
la sube 2 °C cada ocho minutos. Para comprobar lo anterior, tomó
un vaso con agua que estaba a –6 °C y sumergió en él el cubo rojo
hasta que alcanzara una temperatura de 4 °C. Luego, sumergió
el cubo azul hasta que alcanzara 0 °C. ¿Cuántos minutos duró su
experimento?
c. Al resultado de dos veces –3 restado con –5 y sumado con 6, se le
resta –7 y se vuelve a restar 12. ¿Qué número se obtiene?

28
Para el ejercicio 7 de la página 25
del Texto del estudiante, formule la
siguiente pregunta: ¿Es posible justi-
ficar los procedimientos de Sandra y
Rodrigo con la propiedad asociativa?
Explica tu decisión, apoyándote con
las fichas o la recta numérica.
Profundización y variaciones
Relación con álgebra. Como activi-
dad complementaria a las de la pági-
na 26 del Texto del estudiante, puede
proponer la siguiente, que favorece
en los estudiantes la exploración de
distintas estrategias de resolución
sin la necesidad de seguir un deter-
minado procedimiento para resolver
ecuaciones e inecuaciones.
Determina el o los valores que fal-
tan en cada expresión para que sea
verdadera. Puedes utilizar la recta
numérica para encontrar la solución.
Explica tu estrategia a tu curso.
a. 7 – x = –3
b. w – (–8) = –19
c. 5 – y = 0
d. –12 – v < –3
Se sugiere que al finalizar la pregunta a de la sección Para concluir, propon-
ga un plenario en el cual los estudiantes puedan compartir sus respuestas
y escuchar las estrategias de otros compañeros.
El hecho de compartir esta actividad hará que los estudiantes puedan es-
cuchar distintos contextos para una misma sustracción.

29
Con el propósito de reforzar aún más los contenidos vistos en la lección y
que los estudiantes se enfrenten a otro tipo de situaciones, proponga las
siguientes actividades.
1. Muestre los siguientes triángulos. Sus estudiantes deberán seleccionar
la operación que deben realizar para obtener el resultado encerrado.
0 4
–12
+ + +
– – –
4
5
–4 0
–7
–4
Tema: Ejercicios combinados y
aplicaciones en ℤ
Errores frecuentes
Los estudiantes suelen cometer erro-
res como el siguiente: 3 – 5 + 7 – 8
= 3 – 12 – 8 = –9 – 8 = –17. Por eso
es importante enfatizar en que se es-
criban todas las sustracciones como
adiciones y en el correcto uso de las
propiedades de la adición, incorpo-
rando el uso de paréntesis.
Ritmos y estilos
de aprendizajes
A los estudiantes más rápidos, inví-
telos a resolver el siguiente problema
registrando las propiedades de la
adición que aplicaron. Miguel tiene
un videojuego en el que debe atrapar
frutas. Cada fruta tiene un puntaje
asignado y el puntaje de cada etapa
se relaciona con el total de frutas que
haya atrapado. El puntaje de cada
fruta es el siguiente: Manzana (M):
10 puntos; Uva (U): –5 puntos; Fru-
tilla (F): 0 puntos El juego tiene tres
etapas y el puntaje final se obtiene
sumando los puntajes de las dos eta-
pas con mayor puntaje y restando a
esta suma el puntaje de la etapa con
menor puntaje. Estas son las frutas
obtenidas por Miguel en cada etapa:
Etapa 1: M, M, U, F, M, F.
Etapa 2: U, U, F, M, U, U.
Etapa 3: U, M, F, M, F, M.
¿Cuál fue el puntaje final obtenido
por Miguel?

30
2. Para cada una de las propiedades, pida a sus estudiantes que señalen
tres números que cumplan con ella:
a. Que sumados den cero.
b. Que sumados den –1.
c. Que restados den –5
d. Que entre sumas y restas den por resultado 8.
Puede discutir con sus estudian-
tes las preguntas que se proponen
a continuación, de modo que ellos
expongan sus ideas y trabajen la
creatividad al plantear ejemplos nu-
méricos para defender sus opiniones.
¿Qué importancia tiene el uso de pa-
réntesis en los ejercicios combinados?
¿Cómo afecta un signo negativo an-
tes de un paréntesis?
¿Son equivalentes las siguientes ex-
presiones: –2 – 3 + 5 + (–6) – (–4) y
–2 – (3 + 5 + (–6)) – (–4)? Fundamenta
tu respuesta.

31
Lección 2
Ritmos y estilos
de aprendizajes
Para los estudiantes más rápidos en
su aprendizaje, pídales que resuel-
van la siguiente actividad: Oliver ha
consultado en un cajero automático
los últimos movimientos de su cuen-
ta corriente y obtuvo la siguiente
información:
Banco de los chilenos
Consulta de los últimos movimientos
en cuenta corriente
Tarjeta número 14330701
Fecha Concepto Importe
12/10 Saldo xxxxxx
10/10 Giro –$12000
5/10 Compra –$25900
4/10 Giro –$10000
1/10 Depósito $55000
29/9 Pago tarjeta –$150000
28/9 Saldo –$250000
Al parecer la página estaba mala y no
le pudo dar su saldo final. Calcúlalo
e interpreta el resultado.
Puede emplear la aplicación mostra-
da en el código G20M7BP031A para
evaluar la suma y resta de números
enteros con apoyo gráfico en una rec-
ta numérica interactiva con interva-
los (series numéricas) configurables.
Así, para cada operación que usted
dé, los estudiantes puedan represen-
tarla en la recta numérica, anticipán-
dose a sus resultados. De esta forma,
promueve también el cálculo mental.
El propósito de esta página es integrar y evaluar los conocimientos y habi-
lidades adquiridas hasta el momento. Para ello, en la actividad 1 se espera
que los estudiantes puedan calcular sumas y restas en un contexto más
cercano a lo que ellos se enfrentarán cuando sean mayores, relativo a los
movimientos bancarios de una cuenta; y en la actividad 2, se trabaja con
temperaturas de los planetas, para relacionar este contenido matemático
con la astronomía, contextos que no fueron tan considerados a lo largo de
la lección. Así también, se trabaja con números más grandes que los que
trabajaron durante la lección.

32
Es importante que los estudiantes comprendan que una cantidad decimal
tiene siempre una expresión fraccionaria equivalente. Pregúnteles: ¿ se pue-
de escribir siempre una fracción como número decimal? Para responder,
pueden escribir los números decimales como fracción en caso de que tengan
dificultades con los algoritmos y operar con fracciones en lugar de hacerlo
con números decimales.
Lección 3: Números
decimales
Tema: Multiplicación y división
de números decimales
Ideas previas
Para comenzar el tema, utilice las
fracciones decimales. Para ello, soli-
cite que sus estudiantes escriban los
números decimales como fracciones
y las multipliquen, para luego escri-
bir el resultado como decimal. De
esta forma, sus estudiantes utilizan
sus conocimientos previos y pue-
den observar por qué la cantidad
de cifras decimales del producto
corresponde a la suma de las cifras
decimales de los factores.
Errores frecuentes
Los estudiantes suelen hacer extensi-
bles las propiedades de los números
naturales a otros conjuntos numéri-
cos. Por ejemplo, suelen pensar que
la multiplicación de dos números
implica siempre la obtención de uno
mayor. Para la multiplicación de
números decimales, dé el siguien-
te ejemplo: dibuja un rectángulo de
base 5 cm y altura 1 cm y otro de
base 5 cm y altura 0,8 cm. Luego, re-
cuérdeles que el área de un rectán-
gulo se obtiene multiplicando la base
por la altura. Esta representación
gráfica hará evidente que al multipli-
car por un número menor que 1, el
producto (en este caso el área de los
rectángulos) deja de ser mayor que
los factores.
Fuente: Matemática. Fracciones y números deci-
males, apuntes para la enseñanza 7°. Disponible
en: www.sermaestro.com.ar/m7_docente.pdf

33
Ritmos y estilos
de aprendizajes
A quienes tengan un ritmo rápido de
aprendizaje, sugiérales el siguiente
problema, que les servirá para resol-
ver otro tipo de problemas aplicando
lo que ya saben y siendo creativos en
sus estrategias.
Encuentra un número que multipli-
cado por 7,605 dé como resultado un
número 6 unidades mayor que 63,12.
Explica qué estrategia empleaste
para resolver.
El porqué del procedimiento descri-
to en la página 31 del Texto del es-
tudiante se puede explicar mediante
el uso de fracciones decimales. Por
ejemplo, al desarrollar 2,4 · 3,87, se
procede de la siguiente manera: pri-
mero, se escribe cada decimal como
fracción; luego, se multiplican las
fracciones; por último, el resultado
se escribe como decimal, tal como se
muestra a continuación:
2,4 · 3,87 =  24
___
10
  ·  387
____
100
  =  24 · 387
_______
10 · 100
  =  9288
_____
1000
 
= 9,288
El porqué del procedimiento descrito
en el ejercicio 8 de la página 32 del
Texto del estudiante se puede expli-
car mediante fracciones decimales
y amplificación. Así, al desarrollar
4,212 : 2,34, se procede de la siguien-
te manera: primero, se escribe cada
decimal como fracción; luego, se am-
plifica cada fracción por 1000 (pues
se considera aquel número que tenga
más cifras decimales), por último, se
dividen ambos naturales, tal como se
muestra a continuación:
4,212 : 2,34 =  
4212
_____
1000
  :  234
____
100
 = 4212: 2340

34
1. Como actividad complementaria a las de la página 33 del texto del estu-
diante, plantee el siguiente problema: Javiera tiene un bidón con 7,6 litros
de jugo y quiere servir el jugo en vasos de 0,25 litros. ¿Cuántos vasos
puede llenar? El último vaso que sirvió Javiera no se llenó. ¿Con cuánto
jugo quedó?
2. Plantee la siguiente actividad a sus estudiantes, la que permitirá reforzar
la división de decimales. Deles un tiempo para hacerlo de forma manual.
Luego, sugiera la comprobación de sus ejercicios con la calculadora.
La siguiente actividad está pensada
para trabajar con computadores e In-
ternet. Invite a sus estudiantes a que
formen grupos de 4 integrantes (pue-
de ver las dinámicas sugeridas en las
lecciones anteriores) y averigüen el
rendimiento de 5 vehículos diferen-
tes. Deberán registrar los nombres,
modelos y rendimientos en sus cua-
dernos, y luego confeccionar una ta-
bla con las siguientes columnas:
• Vehículo
• Rendimiento (en km) por un litro
de combustible.
• Rendimiento (en km) por 2,5 li-
tros de combustible.
• Rendimiento (en km) por 10 litros
de combustible.
• Rendimiento (en km) por 23,5 li-
tros de combustible.
Por último, pídales que elijan un ve-
hículo y que representen la informa-
ción en un gráfico. Puede hacer una
exposición de los trabajos de cada
grupo.
Para complementar el trabajo con la
multiplicación y división de números
decimales, puede sugerir una activi-
dad similar a la que aparece cuando
se ingresa el código G20M7BP035A,
en la que se solicita identificar los ju-
gadores de fútbol con sus respectivos
nombres, para lo cual deben relacio-
nar la operación (jugador) con el re-
sultado (nombre).

35
Resuelve las divisiones que aparecen en la columna izquierda de la tabla.
Luego, relaciona cada una con su respectivo cociente y resto.
División Cociente Resto
23,6 : 0,02 50,1 0
234,2 : 1,2 195,16 4
154,2 : 3,074 1180 1962
54,128 : 2,8 19,33 8
1. Para profundizar los conceptos de
multiplicación y división de deci-
males, puede sugerir las siguien-
tes preguntas a sus estudiantes,
las cuales, además, servirán para
que expongan y defiendan sus
ideas ante el curso. Las puede
proponer en conjunto con las acti-
vidades de la página 32 del Texto
del estudiante:
a. Solicite a sus estudiantes que
comenten lo siguiente: ¿Es
posible que, al multiplicar un
número por sí mismo, el resul-
tado sea menor que el núme-
ro? Fundamenta tu respuesta.
b. Si se multiplica un número
decimal mayor que 1 por otro
que esté comprendido entre
0 y 1, ¿el resultado es mayor,
menor o igual que el número
decimal inicial? Ejemplifica.
2. Complemente la actividad 3 de
la página 31 con la siguiente
pregunta:
¿Qué sucede con la coma del co-
ciente de las siguientes divisiones:
92,3 : 0,1; 92,3 : 0,01 y 92,3 : 0,001?
¿Ocurre lo mismo que con las di-
visiones del ejercicio 3? ¿Por qué
crees que sucede eso?

36
1. En la actividad 1 de la página 34 del Texto del estudiante, se debe insistir
en que las representaciones que realicen de la fracción y del decimal deben
ser del mismo entero, para que sea posible compararlas. Para ello, pue-
de entregarle rectángulos o cuadrados en los que sus estudiantes puedan
dibujar.
2. Puede justificar el paso 2 del procedimiento mostrado en la página 34 del
Texto del estudiante con la descomposición aditiva del número decimal;
luego, escriba la parte decimal como fracción y, por último, realice la suma
de fracciones y simplifique, tal como se muestra a continuación:
3,24 = 3 + 0,24 = 3 +  24
____
100
  =  300 + 24
________
100
  =  324
____
100
  = 8  1
___
25
 
Tema: Equivalencia entre
decimales y fracciones
Ritmos y estilos
de aprendizajes
A aquellos estudiantes que sean más
visuales en la comprensión de los
contenidos, sugiera la siguiente ac-
tividad, que permite trabajar con re-
presentaciones gráficas y simbólicas.
Escribe con números decimales las
siguientes fracciones:
a.
b.
c.
d.
A quienes tengan un ritmo de apren-
dizaje más rápido, proponga la si-
guiente actividad:
Un profesor les dijo a sus estudiantes
que podían mejorar las notas de sus
trabajos realizando tres tipos de acti-
vidades las que equivaldrían a déci-
mas para su nota final. Los trabajos
tienen asignadas las siguientes alzas
de notas:
• Trabajo de investigación: se su-
man  4
__
5
  de punto.
• Ensayo sobre un matemático: se
suman   40
____
200
  de punto.
• Ejercicios de cálculo: se su-
man  300
____
500
  de punto.
¿En cuántas décimas se puede subir
la nota en cada caso? ¿Qué trabajo
realizarías tú? Justifica.
El recurso presentado en el código
G20M7BP037A permite que sus es-
tudiantes busquen el decimal equi-
valente a una fracción dada.

37
Puede reforzar esta manera de escribir un decimal como fracción con otras
fracciones hasta que sus estudiantes relacionen la cantidad de números en
la expresión decimal del número con la cantidad de ceros que tendrá el de-
nominador de la fracción.
Otras estrategias que puede presen-
tar a sus estudiantes en esta parte de
la Lección pueden ser:
• Para escribir una fracción en su
expresión decimal, se debe reali-
zar la división entre el numerador
y el denominador de la fracción.
Si se desea, antes se puede simpli-
ficar dicho número. Por ejemplo,
para expresar   9
___
24
 como decimal, el
estudiante debe simplificar dicha
fracción hasta obtener  
3
__
8
  y luego
dividir estos valores (3 : 8) para
obtener 0,375.
• Para expresar un decimal fini-
to como fracción decimal, basta
que el estudiante lea el número.
Por ejemplo, el número 0,003 se
lee “tres milésimos” que, escrito
como fracción decimal, corres-
ponde a   3
_____
1000
 . Puede recomendar
simplifíquela simplificación de la
fracción siempre que sea posible.
El recurso presentado en el código
G20M7BP038A muestra una secuen-
cia didáctica para el tratamiento de
la equivalencia entre fracciones y
decimales. Allí se sugiere el uso de
material didáctico y la resolución
de diferentes ejercicios y proble-
mas, de modo que los estudiantes
deben reflexionar y argumentar sus
respuestas.
de la página 35 del Texto del estu-
diante y fomentar la reflexión entre
sus estudiantes, proponga la siguien-
te pregunta: ¿Solo son fracciones
decimales las que tienen como de-
nominador una potencia de 10?, ¿es
posible obtener una fracción con de-
nominador 7 o 9? Ejemplifica.

38
Se recomienda que, antes de finalizar la clase, proponga la siguiente
actividad:
Relación con álgebra.
Para la siguiente secuencia numérica: 25 → 25,2 →  257
____
10
  → 25,9 →  264
____
10
  → …
a. Determina la regla de formación. Explica cómo la obtuviste.
b. Escribe los siguientes tres términos de la secuencia.
c. ¿Cambia la regla de formación si escribes todos los términos como frac-
ción o como decimal? Explica.
Proponemos el juego “La casita de
las equivalentes1
” para que sus es-
tudiantes tengan la posibilidad de
acercarse de manera más ingeniosa
y lúdica a la comprensión de la equi-
valencia entre decimales y fracciones.
Para ello, necesita 40 cartas con 20
cartas con fracciones y 20 cartas con
los decimales equivalentes y agrupar
a los alumnos en grupos de 4 perso-
nas. Para comenzar a jugar, se colo-
can, en el centro de la mesa, cuatro
cartas separadas y el resto como una
pila. Todas las cartas deben tener la
representación numérica hacia arri-
ba. En su turno, cada jugador saca
la primera carta de la pila y puede
“tomar” cartas que estén sobre la
mesa con la condición de que sean
expresiones equivalentes. Si no tiene
ninguna carta para “tomar”, deberá
dejar su carta sobre la mesa.
Las cartas “tomadas” se dejan apila-
das en la “casita”, al lado del jugador
que las ha “tomado”, con la nume-
ración hacia arriba, de modo que los
contrincantes puedan verlas y even-
tualmente tomar la casita. La casita
se toma cuando se tenga una carta
con una expresión equivalente.
Cuando se acaban las cartas de la
pila, gana el jugador que tiene la “ca-
sita” más grande.
1. Siguiendo el procedimiento del
recuadro de la página 35 del Tex-
to del estudiante y cuando los es-
tudiantes escriban las fracciones
como decimales, pregúnteles: ¿es
posible obtener como denomina-
dor una potencia de 10 si el deno-
minador es 3, 6 u 11? ¿Por qué?
2. Como complemento de las activi-
dades de la página 36, formule la
siguiente pregunta:
3. Carmen dice que  2
__
5
 
= 2,5, ¿está en
lo correcto? ¿Por qué?

39
Lección 3
Puede solicitar a los estudiantes que,
inicialmente, resuelvan las activida-
des de forma individual, procurando
dar un tiempo razonable para cada
ritmo de aprendizaje. Luego, puede
pedir que se junten en grupos de 4
personas para que comparen sus
respuestas y compartan sus estra-
tegias de resolución. De esta forma,
ellos mismos son los que validarán
sus respuestas y las argumentarán.
Por último, haga un plenario con las
respuestas de cada grupo, permi-
tiendo que hable la mayoría de los
integrantes. Durante el trabajo indi-
vidual y grupal, usted solo será un
observador y hará las devoluciones
pertinentes a sus estudiantes cuando
lo requieran.
Para reforzar la multiplicación y di-
visión de decimales, puede proponer
una actividad similar a la que se en-
cuentra en el código G20M7BP039A
llamada Las circunferencias mágicas.
Se presentan tres circunferencias que
tienen propiedades mágicas, suma
constante de diámetros y suma cons-
tante en cada circunferencia. Sin
embargo, usted puede hacer las mo-
dificaciones que estime pertinentes,
referidas a los contenidos de mul-
tiplicación y división de números
decimales. Esta actividad le permite
trabajar el cálculo mental (pues pue-
de colocar números más sencillos y
rápidos de operar) y reforzar otras
destrezas, como la observación, la
lógica y el razonamiento.
El propósito de la actividad 2 es que los estudiantes vean que un número
cualquiera se puede obtener como resultado de diferentes multiplicaciones,
es decir, que no existe una única manera de escribir un número. Puede
solicitar que busquen otras multiplicaciones o divisiones para el mismo
número, distintas a las que allí aparecen.
Principalmente, las actividades propuestas en esta evaluación consisten en la
resolución de problemas en contextos reales, como lo son los kilómetros, los
kilogramos, valores comerciales y la geometría, contextos que fueron poco
abordados durante la lección. Todo esto con el fin de que los estudiantes
apliquen los conocimientos adquiridos en la resolución de dichos problemas.

40
Dé a conocer el objetivo de la clase y para qué sirve lo que se aprenderá. Es
importante lograr que los estudiantes aprendan y aprehendan el conoci-
miento. Para ello, debemos motivarlos explicándoles la importancia teórica
y práctica de los contenidos, de modo que estos no sean una carga sino un
medio de crecimiento personal. Con respecto a la multiplicación de fraccio-
nes, su importancia práctica se da en distintos contextos; por ejemplo, en la
gastronomía es común modificar las recetas. Así, las cantidades de ingre-
dientes, expresadas en fracciones, se multiplican o dividen a fin de llegar
al volumen necesario dependiendo de cuántas porciones se quiera obtener.
Lección 4: Fracciones
Tema: Multiplicación de
fracciones
Ideas previas
Para activar los conocimientos pre-
vios de los estudiantes, trabajar la
multiplicación como una suma reite-
rada, por medio de la siguiente si-
tuación: “La profesora del 7º A llevó
6 pliegos de cartulina de diferente
color para la clase de artes visuales,
los que dividió en 10 partes iguales.
Luego, los recortó y los entregó a sus
estudiantes. Al término de la clase,
observó que le quedaron 3 pedazos
de cada pliego. ¿Cuánta cartulina le
quedó en total a la profesora?”
Solicitarle a los estudiantes que re-
presenten la situación en forma
gráfica, utilizando modelo de área
o diagrama de barras e indiquen la
operación que resuelve la situación
(que se desprende de la representa-
ción) Luego, preguntar cómo abre-
viar esa operación, empleando otra
operación. Posteriormente, trabajar
con la actividad 1 de la pág. 38, en
la que se promueva la representación
gráfica de la situación, antes de re-
visar el paso a paso sugerido en el
texto del estudiante.
Una vez realizada la actividad 1 de la
pág. 38, preguntar a los estudiantes:
Al multiplicar un natural por una
fracción se comprende la multiplica-
ción como una suma reiterada, pero
cuando multiplicamos fracciones,
¿podemos entender dicha multiplica-
ción como una suma reiterada? ¿Por
qué? Ejemplificar y defender ideas.

41
El algoritmo presentado en la activi-
dad 5 de la pág. 39, nos invita a re-
solver la multiplicación de dos o más
fracciones simplificando, en una pri-
mera instancia, los factores y luego
multiplicar las fracciones irreducti-
bles. Se puede mostrar en la pizarra
el mismo ejemplo que aparece desa-
rrollado en la actividad, realizando
las simplificaciones cruzadas con
distinto color, para que los estudian-
tes sepan qué número se simplifica-
ron y los resultados que se obtienen
de ello. Incluso, se puede sugerir la
redacción con palabras de lo que se
va realizando.
Ritmos y estilos
de aprendizajes
Para los estudiantes que tengan un
ritmo de aprendizaje más rápido,
proponga la resolución de las si-
guientes actividades, lo que permitirá
que ellos desarrollen su creatividad
en la resolución de problemas, bus-
quen otras estrategias y puedan com-
partir sus conocimientos con otros.
Responde. Determina los factores de
cada producto representado en las
imágenes siguientes. Compara tu
respuesta con la de tus compañeros.
¿Todos tienen lo mismo? Explica por
qué sucede esto.
a.
b.
c.
Responde. ¿Qué número multiplica-
do por 3 da como resultado 4? Justi-
fica tu respuesta.

42
Errores frecuentes
Para multiplicar entre sí dos fraccio-
nes, los estudiantes las reducen a un
común denominador, después mul-
tiplican los numeradores olvidando
de multiplicar entre sí los denomina-
dores. Se trata de una confusión entre
las reglas de la adición de fracciones
y las de la multiplicación. Para ello,
hacer la distinción gráfica y simbóli-
ca de la suma y la multiplicación de
dos fracciones, es decir, representar
 3
__
5
  +  2
__
7
  y  3
__
5
  ·  2
__
7
 , por ejemplo.
Fuente: Godino, J. y otros (2002) Sistemas nu-
méricos y su didáctica para maestros. Proyecto
Edumat- Maestros. Facultad de Ciencias de la
Educación. Universidad de Granada. España.
Disponible en: http://www.ugr.es/local/
jgodino/edumat-maestros/
Luego de desarrollar el desafío plan-
teado en la actividad 9 de la pág. 40,
preguntar a los estudiantes:
¿Es posible que el resultado de la
multiplicación de dos fracciones sea
igual a uno de los factores? Da dos
ejemplos.
En el código G20M7BP042A que está
a continuación, se observarán di-
ferentes actividades a realizar para
ordenar fracciones, compararlas,
obtener fracciones equivalentes, etc.
La actividad que nos interesa es la
de multiplicar y dividir fracciones,
donde se presentan diferentes conte-
nidos: actividades (tablero, memori),
práctica (áreas, dividir, calculadora y
cálculo mental) y test. También, apa-
recen ejercicios para imprimir.
Después de la actividad 8 de la pág. 40, se les puede solicitar responder
lo siguiente a los estudiantes:
Responde. Encuentra dos o más factores que te permitan obtener como
producto las siguientes fracciones. Explica el algoritmo utilizado.
a.  16
___
25
  b.  4
__
7
  c.  5
__
9
  d.  13
___
18
 
Lo anterior, permite a los estudiantes desarrollar la creatividad y a de-
fender ideas, pues no todos tendrán la misma respuesta para ello, lo que
enriquece el aprendizaje del tema en cuestión
Para los problemas que se piden resolver en la actividad 10 de la pág. 40,

43
Para Miguel de Guzmán (Guzmán,
2007) el juego es un motor de apren-
dizaje en niños y jóvenes por lo que
su uso didáctico es muy recomen-
dable en las clases de matemáticas,
puesto que permite al estudiante
acercarse de una manera más inge-
niosa y lúdica a la comprensión de
los conceptos matemáticos. Es por
ello que proponemos el juego del
memorice. Los estudiantes se reu-
nirán en parejas y recibirán un set
de cartas. Para comenzar la partida,
mezclar todas las cartas y colocarlas
boca abajo, de manera que las imá-
genes no se vean. El primer jugador
dará la vuelta a dos cartas. Si una
carta tiene los factores que son igua-
les a la otra carta que tenga al pro-
ducto o su representación, el jugador
se las lleva, sino las vuelve a escon-
der. Luego, le toca hacer lo mismo al
siguiente jugador. El objetivo es lo-
grar memorizar la ubicación de las
diferentes cartas con el fin de voltear
sucesivamente las 2 cartas idénticas
que formen pareja, para llevárselas.
La partida se terminará cuando estén
todas las parejas encontradas.
El memorice debe contener las si-
guientes cartas de fracciones:
 2
__
3
  ·  3
__
5
 ;
 2
__
5
;
 1
__
7
·
 2
__
5
;
  2
___
35
;
 1
__
6
·
 4
__
7
;
  2
___
21
;
 1
__
5
·
 3
__
5
;
  3
___
25

;
 2
__
5
·
 2
__
5
;
 2
__
3
·
 4
__
8
;
 1
__
2
·
 5
__
6
;
 3
__
4
·
 3
__
7
y las siguien-
tes representaciones gráficas de mul-
tiplicación:
 2
__
5
·
 2
__
5
;
 2
__
3
·
 4
__
8
;
 1
__
2
·
 5
__
6
;
 3
__
4
·
 3
__
7
.
De Guzmán, M. (2007) El papel del juego en la
educación matemática. Revista Iberoamericana
de Educación, nº 43, pp. 19-58
El siguiente código G20M7BP042B,
presenta solo la multiplicación de
fracciones en tres secciones: “calcula”,
“el rápido” y “soluciona problemas”.
solicitarles la representación gráfica (modelo de área) de cada situación
y que traten de obtener la operación simbólica a partir de allí. Así, no se
desvincula lo que se hace en las distintas representaciones.

44
A partir de lo realizado en forma gráfica en la página 42 del Texto del Estu-
diante, es importante hacer notar a los (las) estudiantes la correspondencia
entre las actividades realizadas en el nivel gráfico con lo que se propone hacer
en el nivel simbólico en la página 43, ¿cómo obtenemos, a partir de la repre-
sentación gráfica, el inverso multiplicativo que se nos indica en el procedi-
miento simbólico? De esta forma, no quedan dos representaciones aisladas de
un mismo concepto, sino que se puede visualizar que, independiente de cómo
se realice la división de fracciones, se está haciendo lo mismo.
Tema: División de fracciones
Errores frecuentes
Para dividir fracciones, utilizando
el algoritmo simbólico que utiliza el
inverso multiplicativo (el que se des-
cribe en la página 43 del Texto del
Estudiante) los (las) estudiantes sue-
len calcular el inverso multiplicativo
del dividendo, en vez del divisor o lo
calculan a ambos términos (dividen-
do y divisor) Esto se puede subsanar
con actividades como la siguiente:
Frente a la pregunta:
¿Cuál es el resultado de  
4
__
3
  :  7
__
5
 ? An-
drés respondió  21
___
10
 
. ¿Es correcta su
respuesta? Justifica tu decisión.
Fuente: Agencia de Calidad de la Educación
(2018) Aprendiendo de los errores. Un análisis
de los errores frecuentes de los estudiantes de II
medio en las pruebas Simce y sus implicancias
pedagógicas. Chile. Disponible en: http://
archivos.agenciaeducacion.cl/Aprendiendo_
de_los_errores_Web_24may.pdf. Consultado el
15 de marzo, 2019.
Ritmos y estilos
de aprendizajes
Para los estudiantes que aún les
cueste resolver las divisiones de ma-
nera simbólica, continuar con ellos a
nivel gráfico, tratando de que pue-
dan visualizar el algoritmo simbóli-
co en la representación gráfica. Para
ello, pueden resolver más activida-
des como las siguientes:
Resuelve las siguientes divisiones,
utilizando diagrama de barras.
a. 3 :  1
__
5
  b. 5 :  2
__
3
  c.  2
__
7
  :  1
__
4
 
Para los estudiantes que sean más
hábiles en la resolución de divisio-
nes de fracciones, proponer proble-
mas como el siguiente, donde deben
indagar más, proponer ideas y defen-
der sus conjeturas:
Resuelve. Encuentra dos fracciones
cuya suma sea 2 y cuyo cociente
sea   4
___
15
 .

45
Hágales ver que muchas de las características que tienen los números na-
turales no son extensibles a la multiplicación y división de fracciones. Pre-
gúnteles ¿siempre al multiplicar dos fracciones el producto será mayor que
los factores? ¿Siempre al dividir fracciones el cociente es menor? En el caso
de esta última, es muy importante hacer la diferencia entre dividir por 2 y
dividir por  1
__
2
.
El procedimiento2
(Lewin, 2013) que
se muestra a continuación, es otra
manera de obtener el cociente entre
dos fracciones. Es importante hacerle
notar a los (las) estudiantes que no
existe una única manera de realizar
la división, sino que también hay
otras, lo que nos sirve para promo-
ver el análisis y discusión de estos
algoritmos en la sala de clases.
a. Explica el siguiente procedimien-
to para dividir dos fracciones.
¿Es un procedimiento correcto?
¿Por qué?
 3
__
8
  :  5
__
6
  =  3 · 6
____
8 · 6
  :  5 · 8
____
6 · 8
  =  3 · 6
____
8 · 5
  =  3
__
8
  ·  6
__
5
  =  18
___
40
 
b. Resuelve las siguientes divisio-
nes aplicando el procedimiento
anterior.
•  3
__
7
  :  6
__
9
  •  4
__
5
  :  3
__
6
  •  2
__
9
  : 5
La actividad anterior, se puede apli-
car antes de resolver la actividad 6 de
la pág. 44, invitando a los estudiantes
que resuelvan con el procedimiento
que más les acomode y comprendan.
2 Lewin, R. y otros (2013) “Números para
futuros profesores de Educación Básica”.
Ediciones SM: Santiago, Chile.
Al finalizar la actividad 1 de la pág.
42, proponer a los estudiantes el
análisis de alguna situación donde el
contexto pueda ser representado con
conjuntos o colección de elementos.
Esto permitirá la discusión en la sala
de clases de qué modelo de repre-
sentación es el más adecuado para
trabajar la división y no quedarse so-
lamente con el modelo de área o el de
la recta numérica.

46
Luego que los estudiantes resuelvan las situaciones de la pág. 44, solicitarles
resolver el siguiente problema.
Andrea tiene  18
___
5
 kg de arroz en un frasco grande y armará paquetes de  1
__
4
 
kg ¿Cuántos paquetes enteros le alcanzan? ¿Cuántos kilogramos de arroz
sobran? ¿Qué fracción de la cantidad que había en el frasco grande es el
arroz que sobra?
1. Complementar la actividad 5
de la pág. 44 con la siguiente
pregunta:
¿Cuál es el inverso multiplicativo
de   0
___
17
 ?
Esto sirve para que los estudian-
tes refuercen las condiciones que
debe cumplir una fracción para
que exista (denominador distin-
to de 0) y la propiedad del cero
como elemento absorbente de la
multiplicación.
2. Una vez que los estudiantes ha-
yan resuelto el desafío planteado
en la actividad 10 de la pág. 45,
continuar con el análisis y discu-
sión de las siguientes preguntas:
a. ¿Siempre al dividir fracciones
el cociente es menor? Es muy
importante hacer la diferencia
entre dividir por 2 y dividir
por  1
__
2
 , por ejemplo.
b. Da dos ejemplos en que el re-
sultado de la división de dos
fracciones sea igual al divi-
dendo y dos ejemplos en que
el resultado sea menor que el
dividendo.
Relación con álgebra. Construye
una secuencia numérica de 8 térmi-
nos, cuyo primer término sea  1
___
27
  y
los demás se obtengan dividiendo el
anterior por  1
__
3
 
. ¿Qué sucede a medi-
da que van aumentando la cantidad
de términos de la secuencia? ¿Es po-
sible obtener 31 en algún término?
¿Por qué?

47
Temáticas y
Inverso multiplicativo. Para intro-
ducir el concepto de inverso multi-
plicativo, es recomendable trabajar
con algunas actividades, formuladas
como preguntas o como ecuaciones,
por ejemplo:
¿Es posible multiplicar 4 por un nú-
mero natural de modo que el resulta-
do sea 1? ó 4 x ? = 1
¿Es posible multiplicar 4 por una
fracción de modo que el resultado
sea 1?
Una vez que se da la definición de
inverso multiplicativo, introducir
otras preguntas, aumentando el ni-
vel de dificultad y que sirven de
complemento a las actividades de la
página 44 del Texto del Estudiante,
por ejemplo:
¿Cuál es el inverso multiplicativo de
6? ¿y de 3? ¿ y de 15?
de  1
__
5
 ?¿y de  1
__
8
 ? ¿y de   1
___
12
 ?
de  3
__
4
 ? ¿y de   6
___
13
 ? ¿ y de  23
___
54
 ?

48
La actividad 4 de la pág. 47 se puede complementar con las siguientes
actividades:
Responde el siguiente problema. Florencia comenzó a leer un libro el día
lunes. Ese día leyó  
3
__
7
 del libro; el martes leyó 0,4 de lo que le faltaba; y el
miércoles leyó la mitad de lo que le quedaba. ¿Qué expresión matemática te
permite determinar el total leído por Florencia? Si el libro tiene 86 páginas,
¿cuántas páginas le faltan por leer a Florencia?
Tema:
Operaciones combinadas
Luego de la actividad 1 de la página
46, preguntar a los (las) estudiantes
lo siguiente:
¿Son equivalentes las expresiones
2,5 +  1
__
2
  ·  4
__
7
  −  3
__
8
  :  6
__
9
  y ( 1
__
2
  ·  4
__
7
  −  3
__
8
 ) :  6
__
9
 +
2,5? Justifica tu respuesta.
Errores frecuentes
Es común observar que los (las) estu-
diantes cometen errores en sus pro-
cedimientos que alteran la respuesta,
ya sea por realizar cálculos en forma
incorrecta, por omitir o hacer cam-
bios de signos, infringir las reglas de
estructura numérica del ejercicio o el
uso inadecuado de las propiedades
de las operaciones.
Fuente: Carrión, V. (2007) Análisis de errores de
estudiantes y profesores en expresiones
combinadas con números naturales. Revista
Iberoamericana de Educación matemática,
nº 11, pp. 19 – 57.
Es por ello, que es fundamental tra-
bajar el paso a paso de los ejercicios
combinados, trabajando a partir de
sus propios errores y corregirlos, jus-
tificándolos desde la matemática, por
ejemplo, dado el ejercicio
( 1
__
2
 + 0,3) · 5,6 :  
2
__
3
  +  3
__
7
 ,
resolverlo de dos maneras distintas,
en que una sea la manera correcta y
otra la errónea, de modo que sean
los mismos estudiantes quienes esta-
blezcan el procedimiento adecuado
para su resolución.

49
Responde. ¿Qué esquema permite resolver
[
( 1
__
2
  : 3) +  2
__
3
 − 0,5]· 0,75 de ma-
nera correcta? Justifica.
 1
__
2
 
· 0,75 : 3 –0,5
+ 2
__
3
 
 1
__
2
 
· 0,75
: 3 –0,5
+ 2
__
3
 
Ritmos y estilos
de aprendizajes
Para los estudiantes que aún no pue-
dan visualizar el orden correcto de la
resolución de los ejercicios con ope-
raciones combinadas, es recomen-
dable que ellos (ellas) puedan decir,
con sus palabras, sin necesidad de
resolver todavía, el paso a paso que
se debe realizar. Para ello, se sugiere
la siguiente actividad:
Responde. Describe con palabras el
orden de las operaciones que debes
realizar para resolver de manera co-
rrecta el siguiente ejercicio:
2,4 +  1
__
5
  : 3,8 –  2
__
5
  + 2,1 · 3 – 1,2 :  
1
__
2
 
Para los estudiantes que tengan un
ritmo de aprendizaje más rápido,
proponga la resolución de la siguien-
te actividad, lo que permitirá que
ellos identifiquen procedimientos,
los expresen con sus palabras, bus-
quen otras estrategias y puedan com-
partir sus conocimientos con otros.
Responde. En el siguiente procedi-
miento, detecta el error y justifica tu
respuesta.
 5
__
6
 + 0,2 + 2 :  
1
__
4
  ·  3
__
5
  –  7
__
9
  :  1
__
3
  =
( 5
__
6
  +   2
___
10
 + 2) · 4 ·  3
__
5
  –  7
__
9
  · 3
 91
___
30
  · 4 ·  3
__
5
  –  7
__
3
  =  371
____
75
 

50
Lección 4
Ritmos y estilos
de aprendizajes
Para que el trabajo sea más rápido
y los estudiantes no se detengan en
realizar o corregir errores de cálculo,
permítales trabajar con calculadora,
siempre indicando en su cuaderno
las operaciones, procedimientos o
estrategias que han diseñado para re-
solver las actividades. Permita tam-
bién que los estudiantes presenten
las estrategias que más le acomodan
a su estilo de aprendizaje, ya sean
más visuales (apoyarse de diagramas
o esquemas) o más simbólicos (uso
de algoritmos).
Además de las preguntas que apare-
cen en la actividad 3 y para trabajar
el razonamiento con sus estudian-
tes, puede agregar: describe con tus
palabras la regla de formación de la
secuencia, ¿es posible obtener 510
como cociente?, ¿por qué?, ¿qué tér-
mino de la secuencia es 2048?, ¿pue-
des determinar el término 20 de la
secuencia?, ¿cómo?, ¿y el término 50?
Para la pregunta c de la actividad
2, sugiera que, una vez construido
el cuadrado multiplicativo, lo inter-
cambien con otro(a) compañero(a) y
lo resuelvan. Así, validan entre ellos
mismos sus propias creaciones, dan-
do la instancia de reflexión y argu-
mentación en la sala de clases.
Las actividades planteadas en esta página son variaciones a las ya mostra-
das durante la lección. Esto con el fin de que los estudiantes puedan apli-
car sus conocimientos previamente adquiridos en otro tipo de situaciones,
donde se les debe ocurrir alguna estrategia de resolución y las indicaciones
no son tan directas como lo fueron en las actividades de la lección. Por
ejemplo, la actividad 3 relaciona la división de fracciones con álgebra, al
mostrar una secuencia numérica, donde cada término se va obteniendo
al realizar una división entre 2 y una fracción cuyo denominador es una
potencia de 2.

51
Lección 5: Porcentajes
Tema: Representación de
porcentajes
Ideas previas
Para iniciar el tema de porcentajes,
trabaje con tiras fraccionarias. Puede
agrupar a sus estudiantes y pedir a
algunos grupos que las completen
con la fracción del total que represen-
ta cada trozo; a otros puede solicitar-
les que las completen con el decimal
del total que representa cada trozo.
Luego, pueden exponer sus ideas y,
en conjunto, escribir el porcentaje
equivalente. Así, construye un nue-
vo material que sirve para trabajar
las siguientes actividades y los con-
ceptos que están más adelante en la
Lección.
Para la actividad sugerida en las
ideas previas, ¿cambiarán las fraccio-
nes, decimales y porcentajes si aho-
ra tomamos como referente la pieza
más pequeña de las tiras fracciona-
rias? Fundamenta.
En la actividad 1 de la página 49 del
Texto del estudiante, con el propósi-
to de guiar la observación, formule
preguntas como las siguientes: ¿qué
ven?, ¿han visto la información orga-
nizada así en otro lugar?, ¿por qué se
utiliza el recuadro con colores para
representar la información de la tabla
y no otro instrumento?, ¿qué te llama
la atención de lo que observas?, ¿por
qué?, etc.
Es importante que sus estudiantes establezcan la relación entre porcentaje
y fracción irreductible, sobre todo con las siguientes fracciones  1
__
2
 ,  1
__
4
 ,  3
__
4
 ,  1
__
5
 , ya
que son de uso común y las más utilizadas en porcentajes. Complemente la
representación de un porcentaje con las siguientes estrategias:
• El 50 % de un número corresponde a la mitad.
• El 25 % de un número corresponde a la cuarta parte.
• El 75 % de un número corresponde a las tres cuartas partes.
• El 10 % de un número corresponde a la décima parte del número.

52
En la actividad 2 de la página 50 del Texto del estudiante, trabaje la represen-
tación simbólica y el significado del porcentaje, agregando la pregunta: ¿qué
significa el porcentaje representado?
Para desarrollar el pensamiento reversible en sus estudiantes y que ellos
puedan representar porcentajes no solo en cuadrículas, podría solicitarles,
en la actividad 4 de la página 50, que representen en una misma región cir-
cular determinados porcentajes, por ejemplo, 50%, 25%, 75%, 20%, 30%, etc.
También puede pedirles que determinen, solo observando, a qué porcentaje
corresponden las regiones por sí solas, no en conjunto como se está pregun-
tando en la actividad.
Errores frecuentes
Los estudiantes suelen tener dificul-
tades al expresar como porcentajes
los números decimales con una cifra
decimal; por ejemplo, 0,6 lo inter-
pretan como 6% en lugar de hacerlo
como el 60 %. Recomiéndeles com-
pletar con ceros los números deci-
males hasta obtener dos cifras en la
parte decimal para así poder inter-
pretar correctamente el porcentaje.
Por otra parte, suelen confundirse
cuando los porcentajes están en deci-
males, por ejemplo, 2,5 % y no logran
representarlos como fracción.
Por ejemplo, lo escriben  25
____
100
 , ya
que la expresión  25
____
100
  no les resulta
natural.
Lamentablemente, esto los lleva al
error de expresar el porcentaje en
decimal como 0,25 en vez de 0,025.
Sugiérales que el porcentaje lo trans-
formen a decimal dividiendo por 100
y que, para ello, deben desplazar la
coma dos lugares a la izquierda com-
pletando con ceros.
Para la actividad 3 de la página 50,
pregunte: ¿cómo puedes obtener el
75% representado con los trozos de
papel lustre?, ¿y el 60%?, ¿existe una
única manera? Explica.

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